专题强化1 匀变速直线运动的推论（一）——平均速度及中点位置瞬时速度
学习目标
1.能利用匀变速直线运动的位移、速度及平均速度的定义式推导出平均速度公式，并会解决实际问题。 2.能利用匀变速直线运动的速度—位移关系推导出中间位置的瞬时速度公式，并会解决实际问题。
强化点一 平均速度公式
在匀变速直线运动中，某段时间t的初、末速度分别是v0和v，加速度为a。
活动1：平均速度与中间时刻的瞬时速度有什么关系？
活动2：平均速度与初、末速度有什么关系？
提示：活动1：平均速度的定义式为＝，匀变速直线运动的位移与时间关系式为x＝v0t＋at2，则＝＝v0＋a·＝。
由上式可知：匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度等于这一段时间内的平均速度。
活动2：平均速度＝＝v0＋a·＝＝＝。
由上式可知：匀变速直线运动中，一段时间内的平均速度等于这段时间初、末速度和的一半。
1.匀变速直线运动的平均速度公式：＝＝
（1）匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。
（2）若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式，即＝，＝。
2.三个平均速度公式的适用范围
（1）＝适用于任何运动。
（2）＝及＝仅适用于匀变速直线运动。
【例1】 （平均速度公式与v-t图像的综合）一辆汽车在水平地面上沿直线行驶，在0～2t时间内做匀加速直线运动，速度由0变为v。在2t～3t时间内做匀减速直线运动，速度由v变为0，如图所示，在这两段时间内，下列说法正确的是（ ）
A.加速度的大小之比为2∶1
B.位移的大小之比为2∶1
C.平均速度的大小之比为1∶2
D.平均速度的大小之比为2∶1
答案：B
解析：根据v-t图像的斜率表示加速度，可得加速度的大小之比a1∶a2＝∶＝1∶2，故A错误；平均速度的大小之比∶＝∶＝1∶1，故C、D错误；位移的大小之比为x1∶x2＝·2t∶t＝2∶1，故B正确。
【例2】 （平均速度公式的应用）（2024·北京高考2题）一辆汽车以10 m/s的速度匀速行驶，制动后做匀减速直线运动，经2 s停止，汽车的制动距离为（ ）
A.5 m B.10 m
C.20 m D.30 m
答案：B
解析：汽车制动后做匀减速直线运动至速度减为0，其平均速度＝＝5 m/s，则汽车的制动距离为x＝t＝5×2 m＝10 m，B正确，A、C、D错误。
【考教衔接】
真题 探源 本题源于人教版必修一P46练习与应用·T2的情境： 以18 m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速直线运动，在3 s内前进36 m。求汽车的加速度及制动5 s内发生的位移
衔接 分析 （1）两题都是研究汽车制动后的匀减速直线运动。 （2）两题都求解了汽车制动后发生的位移
解题 通法 求解过程均用到平均速度公式
1.〔多选〕一质点从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内的位移为2 m，那么（ ）
A.这3 s内，质点的平均速度是1.2 m/s
B.第3 s末，质点的瞬时速度是2.2 m/s
C.质点的加速度是0.6 m/s2
D.质点的加速度是0.8 m/s2
解析：AD 第3 s内的平均速度即为第2.5 s时的瞬时速度，即v2.5＝ m/s＝2 m/s，所以加速度a＝＝ m/s2＝0.8 m/s2，C错误，D正确；第3 s末瞬时速度v＝at3＝0.8×3 m/s＝2.4 m/s，B错误；这3 s内平均速度＝＝ m/s＝1.2 m/s，A正确。
强化点二 中间位置的瞬时速度公式
在匀变速直线运动中，某段位移x（对应时间为t）的初、末速度分别是v0 和v，加速度为a。
活动1：该段位移中点位置的瞬时速度等于多少？
活动2：该段位移中点位置的瞬时速度与该段时间中间时刻的瞬时速度大小关系如何？
提示：活动1：由匀变速直线运动速度与位移关系式得－＝2a·，v2－＝2a·，联立解得＝。
活动2：分别作出匀加速直线运动的速度—时间图像和匀减速直线运动的速度—时间图像，如图甲、乙所示。
由图甲看出0～时间内的位移不到总位移的一半，因此位移中点的时刻＞，则＞；由图乙可知＜，所以＞。
由以上推导过程可得出结论：不论物体做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有＞。
1.中点位置的瞬时速度公式：＝。
2.适用条件：匀变速直线运动。
3.对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即＞。
【例3】 （中间时刻瞬时速度和中间位置瞬时速度大小的比较）〔多选〕一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论正确的有（ ）
A.物体经过AB位移中点的速度大小为
B.物体经过AB位移中点的速度大小为
C.若为匀减速直线运动，则v3＜
D.在匀变速直线运动中一定有v3＞v4＝v5
答案：BD
解析：由题意可知，在匀变速直线运动中，物体经过AB位移中点的速度为v3＝，时间中点的速度为v4＝，A错误，B正确；全程的平均速度为v5＝，不论物体做匀加速直线运动还是匀减速直线运动，都有v3＞v4＝v5，故C错误，D正确。
【例4】 （中间时刻瞬时速度与中间位置瞬时速度公式的应用）（2025·四川成都高一月考）汽车从A到B做匀加速直线运动。已知汽车经过A点时速度为2 m/s，经过B点时速度为8 m/s，A、B间距离为L。则下列说法中正确的是（ ）
A.汽车经过AB中间时刻的速度是 m/s
B.汽车经过AB位移中点时速度是5 m/s
C.若汽车前一半位移所用时间t1，后一半位移所用时间t2，则t1∶t2＝1∶（－1）
D.若汽车前一半时间发生位移x1，后一半时间发生位移x2，则x1∶x2＝7∶13
答案：D
解析：汽车经过中间时刻的速度＝＝5 m/s，故A错误；设中间位置的速度为v，则v2－＝2ax，－v2＝2ax，联立解得v＝＝ m/s，故B错误；前一半位移内的平均速度v1＝＝ m/s，后一半位移内的平均速度v2＝＝ m/s，根据x＝vt知，汽车在前一半位移所用的时间与后一半位移所用时间的比为＝＝，故C错误；前一半时间内的平均速度＝＝3.5 m/s，后一半时间内的平均速度＝＝6.5 m/s，根据x＝vt知，前一半时间内的位移与后一半时间发生的位移之比为＝＝，故D正确。
2.（2025·内蒙古赤峰高一月考）一个做匀加速直线运动的质点，先后经过a、b两个位置时的速度分别为v0和9v0，从a到b的时间为t0，则下列判断中正确的是（ ）
A.质点经过ab中点的速度为5v0
B.质点的加速度为
C.质点在前一半时间内通过的位移比后一半时间内通过的位移少v0t0
D.质点通过前一半位移所需的时间约是后一半位移所需时间的2倍
解析：D 经过ab中点的速度为v中点＝＝v0，选项A错误；质点的加速度为a＝＝，选项B错误；中间时刻的速度v1＝＝5v0，质点在前一半时间内通过的位移比后一半时间内通过的位移少Δx＝×－×＝2v0t0，选项C错误；设ab＝2l，则质点通过前一半位移所需的时间t1＝＝，通过后一半位移所需的时间t2＝＝，则＝≈2，选项D正确。
1.如图是我国航母战斗机在航母上的起飞过程。假设该战斗机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所通过的位移为x，则该战斗机起飞前的运动时间为（ ）
A. B.
C. D.
解析：A 由匀变速直线运动的平均速度公式可知＝，所以x＝t，即t＝，故A正确，B、C、D错误。
2.（2025·河南南阳高一月考）一物体做匀加速直线运动，在20 s时间内运动了40 m，那么物体运动至20 m处时的速度为（ ）
A.等于2 m/s B.小于2 m/s
C.大于2 m/s D.无法确定
解析：C 根据匀变速直线运动规律可知，中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度，即＝＝，中点位移的瞬时速度＝，可知＞，依题意，可得物体在这20 s时间内的平均速度大小为＝＝ m/s＝2 m/s，所以物体运动至20 m处时的速度大于2 m/s，故选C。
3.（2025·山西运城高一期中）2024年9月18日至22日，第十二届非洲航空航天与防务展在南非行政首都比勒陀利亚的瓦特克卢夫空军基地举办。假设参展的某种战机可达到740 m/s的最大速度，且从静止匀加速到最大速度所需的最短时间仅为85 s，设该战机从静止开始做加速直线运动（视为匀加速直线运动），则该战机从静止开始运动后3分钟内可以行进的最大距离为（ ）
A.81.75 km B.92.25 km
C.101.75 km D.122.25 km
解析：C 匀加速运动的位移为x1＝t1＝×85 m＝31.45 km，匀速运动的位移为x2＝vmt2＝740×95 m＝70.3 km，该战机从静止开始运动后3分钟内可以行进的最大距离为x＝x1＋x2＝101.75 km，故选C。
4.一物体从斜面上某点由静止开始做匀加速直线运动，经过3 s后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经9 s停止，则物体在斜面上的位移与在水平地面上的位移大小之比是（ ）
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.3∶1
解析：C 设物体到达斜面底端时的速度大小为v，则物体在斜面上的平均速度大小为＝，在斜面上的位移大小为x1＝t1＝t1，在水平地面上的平均速度大小为＝，在水平地面上的位移大小为x2＝t2＝t2，则x1∶x2＝t1∶t2＝1∶3，故选项C正确。
5.〔多选〕做初速度为零的匀加速直线运动的物体，若物体在第5 s内的平均速度为4.5 m/s，则下列说法正确的是（ ）
A.第1 s内，物体的平均速度为1 m/s
B.第10 s末，物体的速度为9.0 m/s
C.10 s内，物体的位移为50 m
D.物体的加速度为1 m/s2
解析：CD 设加速度为a，由速度与时间的关系式可得，物体在4 s末的速度为v4＝at4＝4 s·a，物体在5 s末的速度为v5＝at5＝5 s·a，则在第5 s内的平均速度为＝＝4.5 m/s，解得a＝1 m/s2，故D正确；由速度与时间的关系式可得，物体在1 s末的速度为v1＝at1＝1 m/s，第1 s内物体的平均速度为＝＝0.5 m/s，故A错误；由速度与时间的关系式可得，物体在10 s末的速度为v10＝at10＝10 m/s，故B错误；由位移与时间的关系式可得，10 s内物体的位移为x10＝a＝50 m，故C正确。
6.〔多选〕（2025·广东佛山高一期中）如图甲为某高速公路出口的ETC通道示意图。一汽车驶入通道，到达O点的速度v0＝20 m/s，此时开始减速，到达M时速度减至v＝4 m/s，并以4 m/s的速度匀速通过MN区，汽车从O运动到N共用时10 s，v-t图像如图乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A.汽车减速运动的加速度大小a＝4 m/s2
B.O、M间中点的速度为12 m/s
C.O、M间的距离为48 m
D.汽车在ON段平均速度大小为7.2 m/s
解析：ACD 根据图乙可得，汽车减速运动的加速度大小为a＝＝ m/s2＝4 m/s2，故A正确；根据匀变速直线运动位移中点的速度规律，可得O、M间中点的速度为＝＝＝4 m/s，故B错误；O、M间的距离为x1＝t1＝×4 m＝48 m，故C正确；汽车在ON段的位移为x＝x1＋vt2＝48 m＋4×6 m＝72 m，所以汽车在ON段平均速度大小为＝＝ m/s＝7.2 m/s，故D正确。
7.（2025·江苏扬州高一期中）一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，已知在2 s内经过相距27 m的A、B两点，汽车经过B点时的速度为15 m/s。求：
（1）汽车经过A点的速度大小；
（2）汽车从出发点到A点的平均速度大小；
（3）A点与出发点间的距离。
答案：（1）12 m/s （2）6 m/s （3）48 m
解析：（1）汽车在AB段的平均速度为
＝＝ m/s＝13.5 m/s
又＝
解得vA＝12 m/s。
（2）根据平均速度的推论知，汽车从出发点到A点的平均速度为'＝＝ m/s＝6 m/s。
（3）汽车的加速度为a＝＝ m/s2＝1.5 m/s2
A点与出发点的距离为x＝＝48 m。
1 / 2专题强化1 匀变速直线运动的推论（一）
——平均速度及中点位置瞬时速度
1.能利用匀变速直线运动的位移、速度及平均速度的定义式推导出平均速度公式，并会解决实际问题。 2.能利用匀变速直线运动的速度—位移关系推导出中间位置的瞬时速度公式，并会解决实际问题。
强化点一 平均速度公式
在匀变速直线运动中，某段时间t的初、末速度分别是v0和v，加速度为a。
活动1：平均速度与中间时刻的瞬时速度有什么关系？
活动2：平均速度与初、末速度有什么关系？
1.匀变速直线运动的平均速度公式：＝＝
（1）匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。
（2）若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式，即＝，＝。
2.三个平均速度公式的适用范围
（1）＝适用于任何运动。
（2）＝及＝仅适用于匀变速直线运动。
【例1】 （平均速度公式与v-t图像的综合）一辆汽车在水平地面上沿直线行驶，在0～2t时间内做匀加速直线运动，速度由0变为v。在2t～3t时间内做匀减速直线运动，速度由v变为0，如图所示，在这两段时间内，下列说法正确的是（ ）
A.加速度的大小之比为2∶1
B.位移的大小之比为2∶1
C.平均速度的大小之比为1∶2
D.平均速度的大小之比为2∶1
尝试解答
【例2】 （平均速度公式的应用）（2024·北京高考2题）一辆汽车以10 m/s的速度匀速行驶，制动后做匀减速直线运动，经2 s停止，汽车的制动距离为（ ）
A.5 m B.10 m C.20 m D.30 m
尝试解答
【考教衔接】
真题探源 本题源于人教版必修一P46练习与应用·T2的情境： 以18 m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速直线运动，在3 s内前进36 m。求汽车的加速度及制动5 s内发生的位移
衔接分析 （1）两题都是研究汽车制动后的匀减速直线运动。 （2）两题都求解了汽车制动后发生的位移
解题通法 求解过程均用到平均速度公式
1.〔多选〕一质点从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内的位移为2 m，那么（ ）
A.这3 s内，质点的平均速度是1.2 m/s
B.第3 s末，质点的瞬时速度是2.2 m/s
C.质点的加速度是0.6 m/s2
D.质点的加速度是0.8 m/s2
强化点二 中间位置的瞬时速度公式
在匀变速直线运动中，某段位移x（对应时间为t）的初、末速度分别是v0 和v，加速度为a。
活动1：该段位移中点位置的瞬时速度等于多少？
活动2：该段位移中点位置的瞬时速度与该段时间中间时刻的瞬时速度大小关系如何？
1.中点位置的瞬时速度公式：＝。
2.适用条件：匀变速直线运动。
3.对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即＞。
【例3】 （中间时刻瞬时速度和中间位置瞬时速度大小的比较）〔多选〕一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论正确的有（ ）
A.物体经过AB位移中点的速度大小为
B.物体经过AB位移中点的速度大小为
C.若为匀减速直线运动，则v3＜
D.在匀变速直线运动中一定有v3＞v4＝v5
尝试解答
【例4】 （中间时刻瞬时速度与中间位置瞬时速度公式的应用）（2025·四川成都高一月考）汽车从A到B做匀加速直线运动。已知汽车经过A点时速度为2 m/s，经过B点时速度为8 m/s，A、B间距离为L。则下列说法中正确的是（ ）
A.汽车经过AB中间时刻的速度是 m/s
B.汽车经过AB位移中点时速度是5 m/s
C.若汽车前一半位移所用时间t1，后一半位移所用时间t2，则t1∶t2＝1∶（－1）
D.若汽车前一半时间发生位移x1，后一半时间发生位移x2，则x1∶x2＝7∶13
尝试解答
2.（2025·内蒙古赤峰高一月考）一个做匀加速直线运动的质点，先后经过a、b两个位置时的速度分别为v0和9v0，从a到b的时间为t0，则下列判断中正确的是（ ）
A.质点经过ab中点的速度为5v0
B.质点的加速度为
C.质点在前一半时间内通过的位移比后一半时间内通过的位移少v0t0
D.质点通过前一半位移所需的时间约是后一半位移所需时间的2倍
提示：完成课后作业 第二章 专题强化1
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