专题强化2 匀变速直线运动的推论（二）——逐差公式及比例式
学习目标
1.会推导相邻相等时间的位移差公式Δx＝aT2，并会用它解答有关问题。 2.掌握初速度为零的匀加速直线运动比例式的应用。
强化点一 逐差公式
物体做匀加速直线运动，加速度为a，相邻的相等时间T内的位移依次为x1、x2、x3、…
活动1：任意两个连续相等的时间间隔内的位移差有什么关系？
活动2：任意两个连续相等的时间间隔内的位移差与加速度存在什么数量关系？
提示：活动1、活动2：
如图所示：
第一个时间T内的位移x1＝v0T＋aT2
第二个时间T内的位移x2＝（v0＋aT）T＋aT2
第三个时间T内的位移x3＝（v0＋a·2T）T＋aT2
……
第n个时间T内的位移
xn＝[v0＋a·（n－1）T]T＋aT2
所以有Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2
T为连续相等的时间间隔，x1、x2、x3、…、xn为连续相等时间间隔内的位移。
由以上推导过程可以得出结论：匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差都相等，都等于aT2。
1.逐差相等公式：Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2
即匀变速直线运动中任意两个连续相等时间内的位移差相等。
2.公式的应用
（1）判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。
（2）求加速度：利用Δx＝aT2，可求得a＝。
3.推论：xm－xn＝（m－n）aT2。
【例1】 （逐差公式用于解决匀变速直线运动问题）一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度vA、末速度vC及加速度a的大小。
答案：1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2
解析：方法一 基本公式法
由x＝v0t＋at2得，x1＝vAT＋aT2，x2＝vA·2T＋a（2T）2－x1，vC＝vA＋a·2T，将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入以上各式，联立解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
方法二 平均速度公式法
连续两段时间T内的平均速度分别为＝＝ m/s＝6 m/s，＝＝ m/s＝16 m/s。设A、B的中间时刻为D，B、C的中间时刻为E，则vD＝，vE＝。由于B是A、C的中间时刻，则＝，＝，vB＝，又vB＝，联立解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s，其加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2 。
方法三 逐差相等公式法
由Δx＝aT2可得，a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2，又x1＝vAT＋aT2，vC＝vA＋a·2T，解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
1.一个物体做匀加速直线运动。它在第1 s内的位移为2.4 m，它在第3 s内的位移为3.6 m。求：
（1）该物体运动的加速度是多大？
（2）该物体在第5 s内的位移是多大？
答案：（1）0.6 m/s2 （2）4.8 m
解析：（1）根据逐差相等公式有Δx＝x3－x1＝2aT2
解得a＝0.6 m/s2。
（2）根据逐差相等公式有x5－x3＝2aT2
解得x5＝4.8 m。
【例2】 （逐差公式用于求解纸带的加速度）（2025·广西柳州高一联考）某小组用如图甲所示的装置探究木块沿斜面下滑的运动规律。将木块放在倾斜的木板上，纸带穿过电磁打点计时器限位孔与木块相连，打点计时器所接交流电源频率为50 Hz，接通电源后，由静止释放木块，得到如图乙所示的一条纸带，A、B、C、D、E为选取的计数点，相邻两计数点间还有四个点未画出。
（1）纸带左（选填“左”或“右”）端与木块相连；
解析：木块做匀加速直线运动，相同时间通过的位移逐渐增大，则纸带左端与木块相连。
（2）根据图乙的数据，打C点时木块的速度大小为1.0m/s；木块的加速度大小为3.0m/s2。（以上两空结果均保留两位有效数字）
解析：相邻两计数点间还有四个点未画出，则相邻计数点的时间间隔为T＝5×0.02 s＝0.1 s
打C点时木块的速度大小为
vC＝＝ m/s≈1.0 m/s
根据逐差法可得木块的加速度大小为a＝＝ m/s2≈3.0 m/s2。
总结提升
逐差法求纸带的加速度
（1）若共有四段连续相等时间内的位移，可把四段位移看成两大段：s1＝x1＋x2，s2＝x3＋x4，时间间隔Δt＝2T，纸带的加速度a＝＝。
（2）可以把连续的六段位移看成连续的两大段位移s1＝x1＋x2＋x3，s2＝x4＋x5＋x6，时间间隔Δt＝3T，即a＝＝。
强化点二 初速度为零的匀加速直线运动的比例式
1.初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分（设相等的时间间隔为T）
（1）1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比：由v＝at可得v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
（2）1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比：由x＝at2可得
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶4∶9∶…∶n2。
（3）第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比：
由xⅠ＝x1、xⅡ＝x2－x1、xⅢ＝x3－x2、…、xN＝xn－xn－1可得
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶（2n－1）。
2.初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分（设相等的位移为x0）
（1）通过x0、2x0、3x0、…、nx0所用时间之比：
由x＝at2，可得t＝，所以t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶。
（2）通过连续相同的位移所用时间之比：
由tⅠ＝t1、tⅡ＝t2－t1、tⅢ＝t3－t2、…、tN＝tn－tn－1可得tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶（－1）∶（－）∶…∶（－）。
（3）通过位移x0、2x0、3x0、…、nx0的瞬时速度之比：
由v2＝2ax，可得v＝，
所以v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶。
【例3】 （按时间等分的比例式的应用）〔多选〕一个物体做初速度为零的匀加速直线运动，比较它在开始运动后第1 s内、第2 s内、第3 s内的运动，下列说法中正确的是（ ）
A.1 s末、2 s末、3 s末速度之比是1∶2∶3
B.第1 s内、第2 s内、第3 s内各段时间经历的位移大小之比是1∶3∶5
C.第1 s内、第2 s内、第3 s内各段时间的平均速度之比是1∶3∶5
D.第1 s内、第2 s内、第3 s内各段时间中间时刻的瞬时速度之比是1∶2∶3
答案：ABC
解析：由于物体做初速度为零的匀加速直线运动，所以其1 s末、2 s末、3 s末的瞬时速度之比为1∶2∶3，A正确；前1 s内、前2 s内、前3 s内位移之比为1∶4∶9，则第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5，B正确；根据匀变速直线运动的平均速度公式＝＝，可得第1 s内、第2 s内、第3 s内各段时间的平均速度之比等于各时间段内的位移之比，也是各时间段中间时刻的瞬时速度之比，由B中分析可知比值为1∶3∶5，C正确，D错误。
【例4】 （按位移等分的比例式的应用）（2025·安徽合肥高一期中）合肥轨道交通8号线一期工程是安徽省首条全自动驾驶的地铁线路。列车在一次运行测试中，从a点开始做匀减速直线运动，通过连续四段相等的位移s，运动到e点时速度减为零，列车可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A.列车通过a、b、c、d点时的速度大小之比为4∶3∶2∶1
B.列车通过ae段的平均速度等于通过c点的瞬时速度
C.列车通过ab段和de段的平均速度大小之比为（2－）∶1
D.列车通过ac段和ce段所用时间之比为（－1）∶1
答案：D
解析：按照逆向思维法，列车由e点反向做初速度为零的匀加速直线运动，根据速度—位移公式v2＝2ax可知，列车通过a、b、c、d点时的速度大小之比为2∶∶∶1，A错误；c点是位移的中点，不是时间的中点，故列车通过ae段的平均速度不等于通过c点的瞬时速度， B错误；逆向思维，根据初速度为零匀变速直线运动通过相等位移所用时间规律可知，列车通过 ab段和 de段的时间之比为 （2－）∶1，根据平均速度的公式＝，可知平均速度大小之比为1∶（2－），C错误；逆向思维，根据初速度为零匀变速直线运动通过相等位移所用时间规律可知，列车通过ac段和ce段所用时间之比为（－1）∶1，D正确。
2.（2025·宁夏中卫高一期中）如图所示，在水平面上固定着四个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度v射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动。当穿透第四个木块（即D位置）时速度恰好为零，下列说法正确的是（ ）
A.子弹从O运动到D全过程的平均速度等于在B点的瞬时速度
B.子弹通过每一部分时，其速度变化量vA－vO＝vB－vA＝vC－vB＝vD－vC相同
C.子弹到达各点的速率vO∶vA∶vB∶vC＝2∶∶∶1
D.子弹通过各木块经历的时间tA∶tB∶tC∶tD＝1∶∶∶2
解析：C 根据匀变速直线运动的推论有＝＝，＝，可得＜，即中间时刻的瞬时速度一定小于中间位置时的速度，所以子弹从O运动到D全过程的平均速度小于在B点的瞬时速度，故A错误；由于子弹的速度越来越小，故穿过每一块木块的时间不相等，根据Δv＝aΔt，可知速度的差值不相等，故B错误；将子弹的运动反向视为初速度为零的匀加速直线运动，则由v2＝2ax可知，通过C、B、A、O的速度之比为1∶∶∶2，即子弹到达各点的速率vO∶vA∶vB∶vC＝2∶∶∶1，故C正确；将子弹的运动视为反向初速度为零的匀加速直线运动，则由x＝at2可知，反向通过各木块用时之比为1∶（－1）∶（－）∶（2－），则子弹正向通过各木块经历的时间tA∶tB∶tC∶tD＝（2－）∶（－）∶（－1）∶1，故D错误。
1.冰壶的运动可以看成匀减速直线运动，假设冰壶经过9 s停止运动，那么冰壶在先后连续相等的三个3 s内通过的位移之比x1∶x2∶x3为（ ）
A.1∶2∶3 B.5∶3∶1
C.1∶4∶9 D.3∶2∶1
解析：B 冰壶的运动过程可以逆向看成初速度为零的匀加速直线运动。根据初速度为零的匀加速直线运动的特点，该逆过程在三个连续3 s内的位移之比为1∶3∶5，所以冰壶在连续相等的三个3 s内的位移之比为5∶3∶1。
2.（2025·江苏无锡高一期中）如图所示，水平地面上固定有两块木板AB、BC，两块木板紧挨在一起，木板AB的长度是BC的3倍。一颗子弹以初速度v0从A端水平射入木板，到达C端时速度恰好为0，经历的时间为t，子弹在木板中的运动可以看成是匀减速运动，则下列说法中正确的是（ ）
A.子弹到B点的速度为
B.子弹到B点的速度为
C.子弹从A到B的时间为
D.子弹从A到B的时间为
解析：D 根据逆向思维法，对于初速度为零的匀加速直线运动，在相等时间内通过的位移之比为1∶3，速度之比为1∶2，所以子弹从A到B的时间等于从B到C的时间，则tAB＝tBC＝，2vB＝vA＝v0，所以vB＝，故选D。
3.（2025·江苏南京高一期末）在跳水比赛中，运动员从入水到下潜至最低点所用的时间为3t，该过程可视为匀减速直线运动，则运动员在第1个时间t内和第3个时间t内的位移大小之比为（ ）
A.5∶1 B.4∶1
C.3∶1 D.2∶1
解析：A 末速度为零的匀减速直线运动可以看成方向相反的初速度为零的匀加速直线运动，由初速度为零的匀加速直线运动规律可知，从开始运动相同时间的位移之比为1∶3∶5∶7∶…∶（2n－1），则运动员在第1个时间t内和第3个时间t内的位移大小之比5∶1，故选A。
4.（2025·河北保定高一期中）如图所示，港珠澳大桥全长55公里，是全球最长的跨海大桥，总投资达到了1 269亿元，这座桥的建设堪称人类工程学的杰作，标志着中国在桥梁建设领域的非凡成就。一辆汽车恰好从大桥桥墩1由静止开始做匀加速直线运动，分别经过桥墩2、3、4、5、6，相邻两桥墩间的距离相等，忽略桥墩粗细，汽车在桥墩1、2之间运动的时间为t1，在桥墩5、6之间运动的时间为t2，则为（ ）
A.＋2 B.＋ C.－2 D.
解析：A 根据初速度为零的匀加速直线运动比例关系可知，经过相同位移所用时间之比为＝＝＋2，故选A。
5.〔多选〕物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第3 s内与第2 s内的位移之差是6 m，则可知（ ）
A.物体运动的加速度为3 m/s2
B.物体在前4 s内的平均速度为15 m/s
C.第2 s末，物体的速度为12 m/s
D.第1 s内，物体的位移为3 m
解析：CD 物体运动的加速度a＝＝ m/s2＝6 m/s2，选项A错误；物体在前4 s内的平均速度＝＝＝ m/s＝12 m/s，选项B错误；第2 s末的速度v2＝at2＝12 m/s，选项C正确；第1 s内的位移x1＝a＝3 m，选项D正确。
6.（2025·吉林延边高一月考）利用电火花计时器探究小车的速度随时间变化的规律。其中交流电源的频率为50 Hz，如图给出了该次实验中，从A点开始，每5个点取一个计数点的纸带，其中A、B、C、D、E、F、G都为计数点。测得各计数点到A点的距离分别为：d1＝1.40 cm，d2＝3.29 cm，d3＝5.69 cm，d4＝8.59 cm，d5＝12.00 cm，d6＝15.90 cm。
（1）如果该纸带A端与小车相连，则小车的运动方向为B→A（选填“A→B”或“B→A”），且小车做匀加速（选填“匀加速”“匀减速”或“变加速”）直线运动，判断的依据是相邻相等时间内的位移差均为0.50 cm。
（2）在打计数点F时，小车运动的瞬时速度为vF＝0.37m/s，小车的加速度大小为a＝0.50m/s2（均保留2位有效数字）。
（3）如果当时该交流电源的电压略偏小，但仍然稳定。而做实验的同学并不知道，那么加速度的测量值与实际值相比不变（选填“偏大”“偏小”或“不变”）。
解析：（1）纸带做加速运动，相等时间内运动的位移越来越大，已知纸带的左端与小车相连，则小车的运动方向由B→A。
根据给出的数据可知，相邻相等时间内的位移差Δx约为0.50 cm，该差值为定值，故小车做匀加速直线运动。
（2）相邻两计数点的时间间隔为T＝5×＝5× s＝0.1 s，根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于该过程平均速度，可知在打计数点F时，小车运动的瞬时速度为
vF＝＝×10－2 m/s≈0.37 m/s。
根据逐差法求出小车的加速度大小为a＝＝×10－2 m/s2≈0.50 m/s2。
（3）如果当时该交流电源的电压略偏小，打点计时器的打点时间间隔不变，利用逐差法求加速度时的测量值不变，故加速度的测量值与实际值相比不变。
7.从光滑斜面上某一位置，每隔0.1 s释放一颗相同的小球，在连续放下几颗以后，对在斜面上运动的小球拍下照片，如图所示，测得AB＝15 cm，BC＝20 cm，求：
（1）小球的加速度大小；
（2）拍摄时B球的速度大小vB；
（3）D球与C球的距离；
（4）A球上面正在运动的球的数量。
答案：（1）5 m/s2 （2）1.75 m/s （3）25 cm （4）2
解析：将同一时刻的多个小球的照片转化为同一小球的频闪照片研究。
（1）根据BC－AB＝aT2，得a＝5 m/s2。
（2）根据vB＝，
得vB＝1.75 m/s。
（3）根据CD－BC＝BC－AB，
得CD＝25 cm。
（4）根据vB＝at，得t＝0.35 s，显然A球已运动了0.25 s，故A球上面正在运动的球还有2颗。
1 / 2专题强化2 匀变速直线运动的推论（二）
——逐差公式及比例式
1.会推导相邻相等时间的位移差公式Δx＝aT2，并会用它解答有关问题。 2.掌握初速度为零的匀加速直线运动比例式的应用。
强化点一 逐差公式
物体做匀加速直线运动，加速度为a，相邻的相等时间T内的位移依次为x1、x2、x3、…
活动1：任意两个连续相等的时间间隔内的位移差有什么关系？
活动2：任意两个连续相等的时间间隔内的位移差与加速度存在什么数量关系？
1.逐差相等公式：Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2
即匀变速直线运动中任意两个连续相等时间内的位移差相等。
2.公式的应用
（1）判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。
（2）求加速度：利用Δx＝aT2，可求得a＝。
3.推论：xm－xn＝（m－n）aT2。
【例1】 （逐差公式用于解决匀变速直线运动问题）一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度vA、末速度vC及加速度a的大小。
尝试解答
1.一个物体做匀加速直线运动。它在第1 s内的位移为2.4 m，它在第3 s内的位移为3.6 m。求：
（1）该物体运动的加速度是多大？
（2）该物体在第5 s内的位移是多大？
【例2】 （逐差公式用于求解纸带的加速度）（2025·广西柳州高一联考）某小组用如图甲所示的装置探究木块沿斜面下滑的运动规律。将木块放在倾斜的木板上，纸带穿过电磁打点计时器限位孔与木块相连，打点计时器所接交流电源频率为50 Hz，接通电源后，由静止释放木块，得到如图乙所示的一条纸带，A、B、C、D、E为选取的计数点，相邻两计数点间还有四个点未画出。
（1）纸带 （选填“左”或“右”）端与木块相连；
（2）根据图乙的数据，打C点时木块的速度大小为 m/s；木块的加速度大小为 m/s2。（以上两空结果均保留两位有效数字）
尝试解答
总结提升
逐差法求纸带的加速度
（1）若共有四段连续相等时间内的位移，可把四段位移看成两大段：s1＝x1＋x2，s2＝x3＋x4，时间间隔Δt＝2T，纸带的加速度a＝＝。
（2）可以把连续的六段位移看成连续的两大段位移s1＝x1＋x2＋x3，s2＝x4＋x5＋x6，时间间隔Δt＝3T，即a＝＝。
强化点二 初速度为零的匀加速直线运动的比例式
1.初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分（设相等的时间间隔为T）
（1）1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比：由v＝at可得v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
（2）1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比：由x＝at2可得
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶4∶9∶…∶n2。
（3）第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比：
由xⅠ＝x1、xⅡ＝x2－x1、xⅢ＝x3－x2、…、xN＝xn－xn－1可得
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶（2n－1）。
2.初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分（设相等的位移为x0）
（1）通过x0、2x0、3x0、…、nx0所用时间之比：
由x＝at2，可得t＝，所以t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶。
（2）通过连续相同的位移所用时间之比：
由tⅠ＝t1、tⅡ＝t2－t1、tⅢ＝t3－t2、…、tN＝tn－tn－1可得tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶（－1）∶（－）∶…∶（－）。
（3）通过位移x0、2x0、3x0、…、nx0的瞬时速度之比：
由v2＝2ax，可得v＝，
所以v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶。
【例3】 （按时间等分的比例式的应用）〔多选〕一个物体做初速度为零的匀加速直线运动，比较它在开始运动后第1 s内、第2 s内、第3 s内的运动，下列说法中正确的是（ ）
A.1 s末、2 s末、3 s末速度之比是1∶2∶3
B.第1 s内、第2 s内、第3 s内各段时间经历的位移大小之比是1∶3∶5
C.第1 s内、第2 s内、第3 s内各段时间的平均速度之比是1∶3∶5
D.第1 s内、第2 s内、第3 s内各段时间中间时刻的瞬时速度之比是1∶2∶3
尝试解答
【例4】 （按位移等分的比例式的应用）（2025·安徽合肥高一期中）合肥轨道交通8号线一期工程是安徽省首条全自动驾驶的地铁线路。列车在一次运行测试中，从a点开始做匀减速直线运动，通过连续四段相等的位移s，运动到e点时速度减为零，列车可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A.列车通过a、b、c、d点时的速度大小之比为4∶3∶2∶1
B.列车通过ae段的平均速度等于通过c点的瞬时速度
C.列车通过ab段和de段的平均速度大小之比为（2－）∶1
D.列车通过ac段和ce段所用时间之比为（－1）∶1
尝试解答
2.（2025·宁夏中卫高一期中）如图所示，在水平面上固定着四个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度v射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动。当穿透第四个木块（即D位置）时速度恰好为零，下列说法正确的是（ ）
A.子弹从O运动到D全过程的平均速度等于在B点的瞬时速度
B.子弹通过每一部分时，其速度变化量vA－vO＝vB－vA＝vC－vB＝vD－vC相同
C.子弹到达各点的速率vO∶vA∶vB∶vC＝2∶∶∶1
D.子弹通过各木块经历的时间tA∶tB∶tC∶tD＝1∶∶∶2
提示：完成课后作业 第二章 专题强化2
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