专题强化3 竖直上抛运动
1.知道什么是竖直上抛运动，理解竖直上抛运动是匀变速直线运动。 2.会分析竖直上抛运动的运动规律，会利用分段法或全程法求解竖直上抛运动的有关问题。 3.知道竖直上抛运动的对称性。
强化点一 竖直上抛运动
1.定义：将物体以某一初速度v0竖直向上抛出，物体只在重力作用下所做的运动就是竖直上抛运动。
2.实质：初速度v0＞0、加速度a＝－g的匀变速直线运动（通常规定初速度v0的方向为正方向，g为重力加速度的大小）。
3.处理方法
（1）分段法：可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动处理。上升阶段：v＝v0－gt，h＝v0t－gt2 ；下落阶段：v＝gt，h＝gt2 。
（2）整体法：将竖直上抛运动视为初速度为v0、加速度为－g 的匀变速直线运动。取整个过程分析，选竖直向上为正方向，则有v＝v0－gt，h＝v0t－gt2。v＞0，上升阶段；v＜0，下落阶段。h＞0，在抛出点上方；h＜0，在抛出点下方。
【例1】 （竖直上抛运动的理解）〔多选〕关于物体做竖直上抛运动，下列说法正确的是（ ）
A.上升过程物体做减速运动，下落过程做加速运动，加速度始终不变
B.物体上升到最高点时速度为零，加速度为零
C.上升过程的加速度大于下落过程的加速度
D.物体以初速度v0竖直向上抛出，落回抛出点时速度的大小与初速度的大小相等，加速度也相等
尝试解答
【例2】 （竖直上抛运动规律的应用）气球下悬挂一重物，以v0＝10 m/s匀速上升，当到达离地面h＝175 m处时悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多少时间落到地面？落地的速度多大？（空气阻力不计，g取10 m/s2）
尝试解答
强化点二 竖直上抛运动的性质
如图所示，小球以v0初速度从O点竖直上抛，最高点为A点。（重力加速度为g，不计空气阻力）
活动1：上升过程中从O点到A点的时间和下降过程从A点到O点的时间分别是多少？
活动2：上升过程经过B点和下降过程经过B点的速度大小关系怎样？
1.竖直上抛运动的对称性
（1）时间对称性，对同一段距离，上升过程和下降过程时间相等，tAB＝tBA，tOC＝tCO。
（2）速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反，vB＝－vB'，vA＝－vA'。
2.竖直上抛运动的多解性
（1）通过某一点可能对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段。
（2）通过某一距离时可能对应三个时刻，即物体上升、下落通过抛出点上方的距离和通过抛出点下方的距离。
【例3】 （竖直上抛运动对称性的应用）一个从地面开始做竖直上抛运动的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是TA，两次经过一个较高点B的时间间隔是TB，则A、B两点之间的距离为（重力加速度为g）（ ）
A.g（－） B.g（－）
C.g（－） D.g（TA－tB）
尝试解答
【例4】 （竖直上抛运动的多解性）〔多选〕有一个足够深的井，在其井口正上方将一个小球以初速度v0＝20 m/s竖直上抛，不计空气阻力，则经过多长时间小球能够到达距离抛出点15 m的地方（重力加速度g取10 m/s2）（ ）
A.1 s B.3 s
C.（2＋）s D.（－2）s
尝试解答
【例5】 （竖直上抛运动与自由落体运动的综合）（2025·内蒙古部分名校高一大联考）一同学在操场上做游戏，使网球甲、乙均置于距水平地面高度为h处，先将网球甲由静止释放，在网球甲第一次落到地面瞬间将网球乙由静止释放，结果网球乙第一次落地时，网球甲第二次落到地面，已知重力加速度大小为g，不计空气阻力和网球与水平地面的作用时间。求：
（1）网球甲第一次弹起的最大高度；
（2）网球甲第一次反弹后瞬间的速度大小。
尝试解答
提示：完成课后作业 第二章 专题强化3
2 / 2专题强化3 竖直上抛运动
学习目标
1.知道什么是竖直上抛运动，理解竖直上抛运动是匀变速直线运动。 2.会分析竖直上抛运动的运动规律，会利用分段法或全程法求解竖直上抛运动的有关问题。 3.知道竖直上抛运动的对称性。
强化点一 竖直上抛运动
1.定义：将物体以某一初速度v0竖直向上抛出，物体只在重力作用下所做的运动就是竖直上抛运动。
2.实质：初速度v0＞0、加速度a＝－g的匀变速直线运动（通常规定初速度v0的方向为正方向，g为重力加速度的大小）。
3.处理方法
（1）分段法：可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动处理。上升阶段：v＝v0－gt，h＝v0t－gt2 ；下落阶段：v＝gt，h＝gt2 。
（2）整体法：将竖直上抛运动视为初速度为v0、加速度为－g 的匀变速直线运动。取整个过程分析，选竖直向上为正方向，则有v＝v0－gt，h＝v0t－gt2。v＞0，上升阶段；v＜0，下落阶段。h＞0，在抛出点上方；h＜0，在抛出点下方。
【例1】 （竖直上抛运动的理解）〔多选〕关于物体做竖直上抛运动，下列说法正确的是（ ）
A.上升过程物体做减速运动，下落过程做加速运动，加速度始终不变
B.物体上升到最高点时速度为零，加速度为零
C.上升过程的加速度大于下落过程的加速度
D.物体以初速度v0竖直向上抛出，落回抛出点时速度的大小与初速度的大小相等，加速度也相等
答案：AD
解析：竖直上抛运动中所受合外力恒为重力，加速度始终为重力加速度，上升过程物体做减速运动，下落过程做加速运动，故A正确，C错误；上升到最高点时合外力不为零，加速度不为零，故B错误；根据对称性可知，物体以初速度v0竖直向上抛出，落回抛出点时的速度与初速度大小相同，方向相反，加速度始终为g，故D正确。
【例2】 （竖直上抛运动规律的应用）气球下悬挂一重物，以v0＝10 m/s匀速上升，当到达离地面h＝175 m处时悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多少时间落到地面？落地的速度多大？（空气阻力不计，g取10 m/s2）
答案：7 s 60 m/s
解析：方法一 分段法
分成上升阶段和下落阶段两过程考虑。
绳子断裂后重物可继续上升的时间t1＝＝＝1 s，
上升的高度h1＝＝＝5 m，
故重物离地面的最大高度为H＝h＋h1＝175 m＋5 m＝180 m，
重物从最高处自由下落，落地时间t2＝＝＝6 s，
落地速度vt＝gt2＝10 m/s2×6 s＝60 m/s，方向竖直向下，
所以从绳子突然断裂到重物落地共需时间t＝t1＋t2＝1 s＋6 s＝7 s。
方法二 全程法
从全程的匀减速直线运动考虑。
从绳子断裂开始计时，经时间t后重物落至抛出点下方，规定初速度方向为正方向，则重物在时间t内的位移 h＝－175 m，由位移公式h＝v0t－gt2，即－175＝10t－×10t2＝10t－5t2，
解得t1＝7 s，t2＝－5 s（不合题意，舍去），
所以重物落地速度为v＝v0－gt1＝10 m/s－10 m/s2×7 s＝－60 m/s，
其负号表示方向竖直向下，与初速度方向相反。
强化点二 竖直上抛运动的性质
如图所示，小球以v0初速度从O点竖直上抛，最高点为A点。（重力加速度为g，不计空气阻力）
活动1：上升过程中从O点到A点的时间和下降过程从A点到O点的时间分别是多少？
活动2：上升过程经过B点和下降过程经过B点的速度大小关系怎样？
提示：活动1：上升阶段：t1＝，下降阶段：t2＝。
活动2：从逆向思维角度思考：都可以看成从A到B的自由落体运动，故两次经过B点的速度大小相等，方向相反。
1.竖直上抛运动的对称性
（1）时间对称性，对同一段距离，上升过程和下降过程时间相等，tAB＝tBA，tOC＝tCO。
（2）速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反，vB＝－vB'，vA＝－vA'。
2.竖直上抛运动的多解性
（1）通过某一点可能对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段。
（2）通过某一距离时可能对应三个时刻，即物体上升、下落通过抛出点上方的距离和通过抛出点下方的距离。
【例3】 （竖直上抛运动对称性的应用）一个从地面开始做竖直上抛运动的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是TA，两次经过一个较高点B的时间间隔是TB，则A、B两点之间的距离为（重力加速度为g）（ ）
A.g（－） B.g（－）
C.g（－） D.g（TA－tB）
答案：A
解析：物体做竖直上抛运动经过同一点，上升时间与下落时间相等，则从竖直上抛运动的最高点到点A的时间tA＝，从竖直上抛运动的最高点到点B的时间tB＝，则A、B两点的距离x＝g－g＝g（－），故A正确。
【例4】 （竖直上抛运动的多解性）〔多选〕有一个足够深的井，在其井口正上方将一个小球以初速度v0＝20 m/s竖直上抛，不计空气阻力，则经过多长时间小球能够到达距离抛出点15 m的地方（重力加速度g取10 m/s2）（ ）
A.1 s B.3 s
C.（2＋）s D.（－2）s
答案：ABC
解析：小球以初速度v0＝20 m/s竖直上抛，若到达距离抛出点上方15 m的地方，有h＝v0t－gt2，代入数据解得t＝1 s或t＝3 s；若到达距离抛出点下方15 m的地方，有－h＝v0t'－gt'2，代入数据解得t＝（2＋）s或t＝（2－）s（舍掉），故选项A、B、C正确，D错误。
【例5】 （竖直上抛运动与自由落体运动的综合）（2025·内蒙古部分名校高一大联考）一同学在操场上做游戏，使网球甲、乙均置于距水平地面高度为h处，先将网球甲由静止释放，在网球甲第一次落到地面瞬间将网球乙由静止释放，结果网球乙第一次落地时，网球甲第二次落到地面，已知重力加速度大小为g，不计空气阻力和网球与水平地面的作用时间。求：
（1）网球甲第一次弹起的最大高度；
答案：
解析：设网球乙下落的时间为t，
则有h＝gt2
网球甲反弹后做竖直上抛运动，从地面上升和下落的时间相等，所以网球甲第二次下落的时间为网球乙下落时间的一半，则网球甲弹起的最大高度
h1＝g（）2
两式联立解得h1＝。
（2）网球甲第一次反弹后瞬间的速度大小。
答案：
解析：由运动学公式有v2＝2g·
解得v＝。
1.排球垫起后竖直向上运动，不计空气阻力，该排球上升过程中（ ）
A.上升到最高点时的速度为零
B.上升到最高点时的加速度为零
C.速度变化量方向竖直向上
D.速度变化越来越慢
解析：A 排球上升到最高点时的速度为零，加速度不为零，加速度为g，故A正确，B错误；排球上升过程中只受重力，所以加速度方向竖直向下，速度变化量的方向竖直向下，故C错误；排球上升，加速度g是恒量，加速度是描述速度变化快慢的物理量，速度变化快慢不变，故D错误。
2.（2025·天津南开区高一期中）关于做自由落体运动和竖直上抛运动的物体，下列说法正确的是（ ）
A.它们的加速度大小相等，方向相反
B.它们在任意相同的时间内速度的变化大小相等，方向相同
C.它们的速度变化率大小不同，方向不同
D.它们在任意相同的时间内位移的大小相等，方向相反
解析：B 做自由落体运动和竖直上抛运动的物体，加速度均为重力加速度，而速度变化率等于加速度，所以它们的速度变化率相同，根据Δv＝gt可知，它们在任意相同的时间内速度的变化大小相等，方向相同，故B正确，A、C错误；自由落体运动向下做匀加速直线运动，竖直上抛运动先向上做匀减速直线运动，速度减为0后反向做匀加速直线运动，它们在任意相同的时间内位移的大小不一定相等，方向不一定相反，故D错误。
3.（2025·浙江丽水高一期中）老师上课时，从桌面将一个钢球竖直上抛，不计空气阻力，钢球落至地面。以向上为正方向，x表示位移，v表示速度，同学们所画图像正确的是（ ）
解析：C 将一个钢球，竖直上抛，不计空气阻力，以向上为正方向，开始时，钢球的位移正向增大，到达最高点后，钢球的位移正向减小，之后落到抛出点下，位移为负，故A、B错误；物体先向上做匀减速运动，速度正向减小，到达最高点后向下做匀加速运动，即负向增加，因加速度恒定为g不变，则图像为直线，故C正确，D错误。
4.某运动员将排球竖直向上垫起，垫起后1.8 s内排球的位移为零，g取10 m/s2，空气阻力忽略不计，排球可视为质点，则排球被垫起时的初速度大小为（ ）
A.9 m/s B.10 m/s
C.18 m/s D.20 m/s
解析：A 排球被垫起后做竖直上抛运动，1.8 s内排球的位移为零，则根据竖直上抛运动的对称性，排球上升时间为0.9 s，以向上为正方向，设排球初速度为v，则有0＝v－gt，代入数据得v＝9 m/s，故B、C、D错误，A正确。
5.（2025·广西桂林高一期中）近年来学校都非常重视足球。在某学校举行的颠球比赛中，小明在颠球过程中脚部几乎不动，足球被颠起高度约为0.8 m，重力加速度大小取g＝10 m/s2，不计空气阻力，估算足球刚被颠起时的速度大小约为（ ）
A.6 m/s B.4 m/s
C.1 m/s D.0.5 m/s
解析：B 足球被颠起高度约为0.8 m，由逆向思维根据速度—位移公式得v2＝2gh，故足球刚被颠起时的速度大小约为v＝4 m/s。故选B。
6.（2025·江西上饶高一期中）如图所示，从高出地面3 m的位置竖直向上抛出一个小球，它上升5 m后回落，最后到达地面，以抛出点为原点建立一维坐标系，方向以向上为正，不计空气阻力，g取10 m/s2，下列说法正确的是（ ）
A.整个过程中，小球的路程为8 m
B.小球初速度为10 m/s
C.从抛出点到落地点小球的位移为－8 m
D.上升过程和下降过程中小球的加速度大小相等，方向相反
解析：B 整个过程中，小球的路程为s＝5 m＋5 m＋3 m＝13 m，故A错误；根据－2gh＝0－，解得小球初速度为v0＝＝ m/s＝10 m/s，故B正确；从抛出点到落地点位移为x＝－3 m，故C错误；上升过程和下降过程中加速度均为重力加速度，大小相等，方向相同，故D错误。
7.〔多选〕（2025·四川成都高一月考）某物体在离地面足够远的高空某位置以20 m/s的初速度竖直上抛，此后对物体的运动情况，不计空气阻力，g取10 m/s2，下列描述正确的是（ ）
A.在前3秒，物体的速度与加速度始终反向
B.在前3秒，物体的位移比路程更大
C.在前3秒，物体的速度改变量大小为30 m/s
D.有三个时刻，物体离抛出点的距离大小为15 m
解析：CD 物体上升到最高点的时间与位移为t＝＝2 s，h＝t＝20 m，则0～2 s加速度与速度反向，2 s～3 s加速度与速度同向，故A错误；由于2 s～3 s物体向下运动，且未回到初始点，则路程大于位移，故B错误；第3 s物体的速度大小为v＝gt'＝10 m/s，规定竖直向上为正方向，在前3秒物体的速度改变量大小为Δv＝＝30 m/s，故C正确；物体上升到最高点的位移为20 m，则物体两次经过初始点上方15 m处，回到初始点后继续向下运动，第三次经过离初始点15 m的位置，则有三个时刻，物体离抛出点的距离大小为15 m，故D正确。
8.（2025·江苏镇江高一期中）在高为h＝25 m的山崖顶上将一小球以v0＝20 m/s的速度竖直向上抛出，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，求：
（1）小球能上升到离地面的最大高度H；
（2）小球从抛出到落回抛出点所经历的时间t；
（3）小球从抛出到落到地面的时间和落地时的速度大小。
答案：（1）45 m （2）4 s （3）5 s 30 m/s
解析：（1）小球竖直向上抛出上升的高度h1＝＝20 m
小球能上升到离地面的最大高度H＝h＋h1＝45 m。
（2）设小球上升过程的时间为t1，则0＝v0－gt1
由对称性得，小球从抛出到落回抛出点所经历的时间t＝2t1
联立解得t＝4 s。
（3）规定竖直向上为正方向，整个过程小球做匀变速直线运动，则－h＝v0t'－gt'2
v＝v0－gt'
解得t'＝5 s，v＝－30 m/s
即小球从抛出到落到地面的时间为5 s，落地时的速度大小为30 m/s。
9.〔多选〕（2025·陕西宝鸡高一期中）为了研究竖直上抛运动的规律，将一物体从地面上方高15 m的位置，以10 m/s初速度竖直向上抛出，若不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，以抛出点为初始位置，则下列说法正确的是（ ）
A.物体在空中运动的时间为2 s
B.物体落地时速度大小为20 m/s
C.物体被抛出的第2.5 s末，物体的位移为8.75 m
D.物块距离地面的最大高度是20 m
解析：BD 运动至最高点的过程中，有h'＝gt2，t＝，解得t＝1 s，h'＝5 m，则离地面的最大高度为H＝h＋h'＝20 m，从最高点到落地的时间满足H＝gt'2，则物体在空中运动的时间为t″＝t＋t'＝3 s，故A错误，D正确；根据速度公式有v＝gt'＝20 m/s，故B正确；物体上升到最高点需用1 s，从最高点运动向下运动1.5 s的距离为h″＝g＝11.25 m，则物体被抛出的第2.5 s末，物体的位移为h1＝h″－h'＝6.25 m，故C错误。
10.（2025·四川绵阳高一期中）矿井中的升降机从井底以6 m/s的速度竖直向上匀速运行，某时刻升降机底板上的一颗螺钉松动脱落，再经4 s升降机底板上升到井口，此时松脱的螺钉刚好落到井底。不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是（ ）
A.螺钉脱落后的运动为自由落体运动
B.螺钉脱落时，升降机底板距井底的距离为80 m
C.该矿井的深度为104 m
D.螺钉脱落后3 s时，螺钉与升降机底板间的距离为45 m
解析：D 螺钉脱落时速度竖直向上，所以螺钉脱落后的运动为竖直上抛运动，故A错误；螺钉从脱落到落到井底，有H＝vt－gt2，代入数据解得脱落时螺钉距离井底H＝－56 m，即螺钉脱落时，升降机底板距离井底的距离为56 m，故B错误；螺钉脱落时，升降机底板距离井口h＝vt＝24 m，该矿井的深度为h＋H＝80 m，故C错误；螺钉脱落后3 s时，取竖直向上为正方向，螺钉的位移为h1＝vt3－g＝－27 m，升降机的位移为h2＝vt3＝18 m，螺钉与升降机底板间的距离为h2＋＝45 m，故D正确。
11.某校一课外活动小组自制了一枚火箭，设火箭发射后始终在垂直于地面的方向上运动。火箭点火后可认为其做匀加速直线运动，经过4 s到达离地面40 m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
（1）燃料恰好用完时火箭的速度大小；
（2）火箭离地面的最大高度；
（3）火箭从发射到落回地面过程的总时间。
答案：（1）20 m/s （2）60 m （3）（6＋2）s
解析：（1）燃料用完前火箭做匀加速直线运动，设燃料恰好用完时火箭的速度为v，
根据＝＝得，v＝2×＝2× m/s＝20 m/s。
（2）燃料耗尽后火箭能够继续上升的高度h1＝＝ m＝20 m
故火箭离地面的最大高度H＝h＋h1＝40 m＋20 m＝60 m。
（3）火箭落回地面的过程做自由落体运动，设下落的时间为t1，则H＝g，解得t1＝＝ s＝2 s
设燃料用完后火箭能够继续上升的时间为t2，
则t2＝＝ s＝2 s
所以火箭从发射到落回地面过程的总时间
t总＝t＋t1＋t2＝（6＋2）s。
12.（2025·广东深圳高一月考）如图所示，在离地面高H处以v0＝10 m/s的速度竖直向上抛出一个可视为质点的小球，地面上有一长L＝5 m的小车，其前端M距离抛出点的正下方的距离为x＝4 m，小球抛出的同时，小车由静止开始向右做匀加速直线运动。已知小球落地时速度大小为20 m/s，忽略空气阻力及小车的高度，重力加速度g取10 m/s2。
（1）求小球从抛出到落到地面的时间t及抛出点离地面的高度H；
（2）为了让小车接住小球，试确定小车加速度a的取值范围。
答案：（1）3 s 15 m （2） m/s2≤a≤2 m/s2
解析：（1）以竖直向上为正方向，上抛和下落全过程，有v＝v0－gt
h＝v0t－gt2
其中v0＝10 m/s、v＝－20 m/s
解得t＝3 s，h＝－15 m
故小球从抛出到落到地面的时间为3 s；抛出点离地面的高度为H＝｜h｜＝15 m。
（2）设小车运动时间为t＝3 s，当小车前端M刚好到达抛出点正下方时，a取最小值，此时
x＝at2
解得a＝ m/s2
当小车后端N刚好到达抛出点正下方时，a取最大值，此时L＋x＝at2
解得a＝2 m/s2
则加速度的范围是 m/s2≤a≤2 m/s2。
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