2026 年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准
数 学
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A A B B D C
8. C 【解析】由 f( x) = x - 2 x 2x = 0,得 a = . 设 y1 = a
x 2的图象与 y = 的图象的交点为
a x x
A(x 21, ) . 由 g(x)= x-
2 = 0,得log x= 2 . y = log x y = 2a 设 2 a 的图象与 的图象的交点为x1 logax x x
B(x2,
2 ) . 因为 y =ax1 的图象与 y2 =logax 的图象关于直线 y=x 对称,y=
2
的图象也关于直
x2 x
线 y=x 对称, 2 64所以点 A 与点 B 关于直线 y=x 对称,故 x2 = ,x1+32x2 =x1+ .当 a=2 时,x1 =1;x1 x1
a∈[2,+ ) ,x ∈(0,1]. y= x+64当 ∞ 时 1 函数 在(0,1]上单调递减,所以 x1 +32x ∈[65,+ ) .x 2 ∞
故选项 C 正确.
二、选择题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分)
题号 9 10 11
答案 BC ABD AD
11. AD 【解析】取圆台 O1O2 的一个轴截面 ABCD,则 AB = 6,CD = 8,
如图(1)所示. 对于选项 A,过点 B 作 CD 的垂线 BG,交 CD 于点
G,连接 O 2 2 2 21O2,则 O1O2 = BG = (3 + 4) - 1 = 48,所以内切球直径
O1O2 = 4 3 ,内切球半径 r = 2 3 ,所以圆台 O1O2 的内切球体积
V= 4π× (2 3 ) 3 = 32 3 π,故选项 A 正确;3
图(1)
对于选项 B,如图(2),在轴截面 ABCD 中,BG⊥DC 于点 G. 因为
∠BCG=60°,CG=1,所以BG= 3 .设OO1 =x,则R2 =x2+32 =42+(x- 3)2,
所以 x= 5 ,R2 = 52. O O S = 4πR2 = 208π所以圆台 1 2 的外接球面积 ,
3 3 3
故选项 B 错误;
图(2)
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C, 500π = 4πR
3
对于选项 因为 ,所以 R = 5. 如图(3)所示,当外接
3 3
球球心点 O 在 O1O2 之间时,圆台 O 2 21O2 的母线 BC = 7 +1 =
50 = 5 2 ,圆台的表面积 S = π × 32 + π × 42 + π (3 + 4) × 5 2 =
25π+35 2 π.
当外接球球心点 O 在 O1O2 的延长线上时,如图(4)所示,圆台 图(3)
O1O2 的母线 BC= 12 +12 = 2 ,圆台的表面积 S = π×32 +π×42 +
π(3+4)× 2 = 25π+7 2 π,故选项 C 错误;
对于选项 D,外接球半径 R = 5,由选项 C 分析可知,圆台的高
O1O2 = 7 或 1.
π
所以圆台的体积 V = ( r2 + r21 2 + r1 r2) h,当 h = 7 时,3
V= 259π; h= 1 ,V= 37π当 时 ,故选项 D 正确.
3 3
图(4)
三、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分)
12. 30 13. 3 14. 8
14. 8 【解析】如图(5)所示,将正四面体 ABCD 补全为正方体.
以点 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),
B(4,4,0), C ( 0, 4, 4 ), D(4,0,4) . 设 M(x,y,z), 则
MA2 +MB2 = x2 +y2 +z2 +(x-4) 2 +(y-4) 2 +z2,MC2 +MD2 = x2 +
(y-4) 2 +( z-4) 2 +(x-4) 2 +y2 +( z-4) 2 . 因为 MA2 +MB2 =
MC2 +MD2,所以 z= 2,即点 M 构成的平面截正四面体所得
的截面 为 正 方 形 PQRS, 边 长 为 2 2 , 故 截 面 面 积 为
2 2 ×2 2 = 8. 图(5)
四、解答题(本大题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13 分)
解:(1)在△ABC 中,因为 sin2B+3sinAcosBsinC-2sin2C = 0,所以由正弦定理和余弦定理
a2 +c2 -b2
得:b2 +3ac· -2c2 = 0. 所以 b2 = 3a2 -c2
. ……………………………………… 2 分
2ac
因为 a= 2 ,c= 2,所以 b2 = 2. 故 a2 +b2 = c2,△ABC 为直角三角形. ………………… 4 分
所以△ABC 的外接圆的半径为 1. …………………………………………………… 6 分
(2)因为 cosA= 2 ,又 A∈(0,π),所以 sinA= 1-cos2A = 5 . ……………………… 7 分
3 3
2 + 2 - 2
因为 cosA=b c a = 2 ,所以 3b2 +3c2 -3a2 = 4bc.又 b2 = 3a2 -c2,且 b= 2,所以 c2 -4c+4= 0.
2bc 3
…………………………………………………………………………………………… 10 分
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1 1 5 2 5
所以 c= 2,S△ABC = bcsinA= ×2×2× = . …………………………………… 13 分2 2 3 3
16. (15 分)
解:(1)取棱 PA 的中点 Q,连接 EQ,BQ,如图(6)所示,
则 QE∥AD,QE= 1 AD.
2
又因为 BC∥AD,BC= 1 AD,
2
所以 QE BC,四边形 QBCE 为平行四边形, 图(6)
所以 EC∥QB. …………………………………………………………………………… 3 分
又因为 QB 平面 PAB,EC 平面 PAB,所以 EC∥平面 PAB. ……………………… 5 分
(2)如图(7)所示,以点 A 为坐标原点,分别以 AB,AD,AP
所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,
则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,2),D(0,2,0).
A→则 C= (1,1,0),A→P= (0,0,2),P→D= (0,2,-2) . … 6 分
取线段 AC 的中点为 F,连接 BF,由题意可知:
BF⊥ →平面 PAC,可得 BF= (- 1 , 1 ,0 ) ,则取平面 PAC 的2 2
一个法向量为 m= 2B→F= ( -1,1,0) . ……………… 8 分 图(7)
假设在棱 PD 上存在点 E, 3使得平面 PAC 与平面 EAC 的夹角的余弦值为 ,
3
→ →
设 PE=λPD(0≤λ≤1),则 A→E=A→P+P→E= (0,2λ,2-2λ) . …………………………… 9 分
设 n= (x,y,z)为平面 EAC 的一个法向量,
{n·A
→E= 2λy+(2-2λ) z= 0,
则 取 y= 1-λ,
n·A→C= x+y= 0.
{x=λ-1,得 所以 n= (λ-1,1-λ,-λ) . ………………………………………………… 11 分z= -λ.
设平面 PAC 与平面 EAC 的夹角为 θ,
m·n 1-λ+1-λ
则 cosθ= = = 3 .
|m | · |n | 2 · (λ-1) 2 +(1-λ) 2 +λ2 3
解得 λ= 2(舍)或 λ= 2 . ……………………………………………………………… 14 分
3
此时点 E 为棱 PD 上靠近点 D 的三等分点. ………………………………………… 15 分
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17. (15 分)
解:(1) 2设事件 Ai 为“第 i 轮比赛甲班团队获胜”,由题意得 P(A i)= ( i = 1,2,3) . 设事3
件 C 表示“当比赛结束时恰好进行了 3 轮比赛,且甲班团队获得冠军”,因为每轮比赛的
结果相互独立,则
3
P(C)= P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)= ( 2 ) = 8 .3 27
8
故甲班团队获得冠军的概率为 . …………………………………………………… 3 分
27
(2)(ⅰ) 1由题意得,事件 Ai 为“第 i 轮比赛乙班团队获胜”,P(Ai) = ( i = 1,2,3),X 的3
所有可能值为 3,5.
3 3
所以 P(X= 3)= P(A1A2A3∪A A 1 2 A3)= P(A1A2A3) +P(A A A )= ( 2 ) + ( 1 1 2 3 ) = 1 .3 3 3
…………………………………………………………………………………………… 5 分
P(X= 5)= 1-P(X= 3)= 2 .
3
所以 X 的分布列为
X 3 5
P 1 2
3 3 ……………… 7 分
所以 E(X)= 3× 1 +5× 2 = 13. ………………………………………………………… 8 分
3 3 3
(ⅱ)设事件 E 表示“比赛轮数不限制,甲班团队获得冠军” . 设比赛过程中,甲班团队与
乙班团队累积得分的分差为 Y,P(Y = k)表示 Y = k 时最终甲班团队获得冠军的概率,其
中 k∈{-3,-2,-1,0,1,2,3} . 由题意知 P(Y= 3)= 1,P(Y= -3)= 0,P(Y= 0)= P(E) .
…………………………………………………………………………………………… 10 分
根据全概率公式有
P(Y= k)= 2 P(Y= k+1) + 1 P(Y= k-1),k∈{ -2,-1,0,1,2} . ……………………… 11 分
3 3
所以 P(Y= k+1) -P(Y= k)= 1 [P(Y= k) -P(Y= k-1)],迭代得
2
所以 P(Y= 3) -P(Y= 2)= 1 [P(Y= 2) -P(Y= 1)] = 1 [P(Y= 1) -P(Y= 0)]
2 4
= 1 [P(Y= 0) -P(Y= -1)] = 1 [P(Y= -1) -P(Y= -2)]
8 16
= 1 [P(Y= -2) -P(Y= -3)] = 1 P(Y= -2) .
32 32
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所以 P(Y= 3) -P(Y= 2)= 1 P(Y= -2),
32
P(Y= 2) -P(Y= 1)= 1 P(Y= -2),P(Y= 1) -P(Y= 0)= 1 P(Y= -2),
16 8
P(Y= 0) -P(Y= -1)= 1 P(Y= -2),P(Y= -1) -P(Y= -2)= 1 P(Y= -2) .
4 2
累加得 P(Y= 3) -P(Y= -2)= ( 1 + 1 + 1 + 1 + 1 )·P(Y= -2)= 31P(Y= -2) . … 13 分
32 16 8 4 2 32
所以 P(Y= -2)= 32P(Y= 3)= 32.
63 63
故 P(Y= 0)= 1 P(Y= -2) + 1 P(Y= -2) +P(Y= -2)= 7 P(Y= -2)= 7 ×32 = 8 .
4 2 4 4 63 9
即 P(E)= 8 .
9
8
故若比赛轮数不限制,甲班团队获得冠军的概率为 . ……………………………… 15 分
9
18. (17 分)
解:(1)因为△ABF1 的周长为|AB |+|AF1 | + |BF1 | = |AF2 | + |AF1 | + |BF2 | + |BF1 | =2a+2a=4a=8,
所以 a= 2. ……………………………………………………………………………… 2 分
又 e= c = c = 1 ,所以 c= 1.
a 2 2
所以 b2 =a2 -c2 = 3,
x2E +y
2
所以椭圆 的方程为 = 1. ……………………………………………………… 4 分
4 3
(2)(ⅰ)由(1)知,F2(1,0),由题意知,直线 l 与坐标轴不垂直.
设直线 l:x=my+1(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4) .
2 2
将 x=my+1 x y代入 + = 1,整理得(3m2 +4)y2 +6my-9 = 0. ………………………… 5 分
4 3
则 Δ>0,y1 +y2 = -
6m 9
3m2
,y1y2 = - .+4 3m2 +4
y
y = 1
+y2 = - 3m所以 M 2 ,xM =myM+1 =
4
2 .2 3m +4 3m +4
4 2
所以 M ( 2 ,- 3m ) ( 4m 3m+ 2 + ,同理可得 N 2 ,+ 2 + ) . …………………………… 6 分3m 4 3m 4 4m 3 4m 3
4 - 4m
2
xM-x 2 2 2N = 3m +4 4m +3 = 4m -4所以 - . ………………………………………………… 7 分yM yN - 3m - 3m 7m
3m2 +4 4m2 +3
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MN x- 4 = 4m
2 -4 3m 2
所以直线 的方程为 +2 (y 2 ) ,即 x= 4(m -1)y+ 4 ,3m +4 7m 3m +4 7m 7
4
所以直线 MN 过定点 ( ,07 ) . ………………………………………………………… 9 分
(ⅱ)连接 AD,设 H 为线段 AD 的中点,直
线 NR,MR 分别与 AD 相交于点 S,T,连接
NH,MH,RH,NA,MD,如图(8)所示.
因为 M,N,H 分别为 AB,CD,AD 的中点,
所以 MH∥BD,NH∥AC.
则 S△NAR =S△HAR,S△MDR =S△HDR .
所以 S△NAS =S△RSH,S△MDT =S△RTH .
故 S△MNR =S四边形MNAD . ……………… 12 分 图(8)
2
由(ⅰ)知, |AB | = 1+m2 | y -y | = (1+m2)[(y +y 2 12(1
+m )
1 2 1 2) -4y1y2] = 2 ,3m +4
+ 2
同理可得 |CD | = 12(1 m )2 , ………………………………………………………… 14 分3+4m
S =S = 1 |ND | × |AM | = 1 |AB | × |CD | = 18(1
+m2) 2
所以 △MNR 四边形MNAD 2 8 (3m2 +4)(3+4m2)
≥ 18(1
+m2) 2 = 722 2 2 , ………………………………………………… 16 分(3m +4+3+4m2 )
49
当且仅当 3m2 +4 = 4m2 +3 时,即 m= ±1 时,等号成立.
72
所以△MNR 的面积的最小值为 . …………………………………………………… 17 分
49
19. (17 分)
解:(1)对于 x1∈[2,26],有 f(x1)= log3(x1 +1)∈[1,3] . ………………………… 1 分
如果存在 x2∈[2,26],使得 log3(x1 +1) +log3(x2 +1)= 3.
则必有 log3(x2 +1)= 3-log3(x1 +1)∈[0,2],
令 x1 = 26,则 x2 = 0 [2,26],
所以 f(x)不是“3 阶自和函数” . ……………………………………………………… 3 分
(2)函数 f(x)= 4+ 在区间[0,2]上的值域为[1,2] .x 2
因为 f(x)= 4 是 g(x)= x2 -2ax+a2 -+ 1 在区间[0,2]上的“2 阶和函数” .x 2
所以对任意 x1∈[0,2],总存在唯一的 x2∈[0,2],使得 f(x1) +g(x2)= 2 成立,
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所以 g(x2)= 2-f(x1)∈[0,1], ………………………………………………………… 4 分
所以 g(x)= x2-2ax+a2-1 在[0,2]上的值域必定包含区间[0,1],且当 g(x)= m,m∈[0,1]时,
方程的解在[0,2]上是唯一的. ………………………………………………………… 5 分
又因为函数 g(x)= x2 -2ax+a2 -1 的图象开口向上,对称轴为 x=a,
g(0)= a2 -1≤0,
当 a≤0 时,g(x)在[0,2]上单调递增,则必有{ 解得-1≤a≤0.g(2)= a2 -4a+3≥1,
…………………………………………………………………………………………… 6 分
g(2)= a2 -4a+3≤0,
当 a≥2 时,g(x)在[0,2]上单调递减,则必有{ 解得 2≤a≤3.g(0)= a2 -1≥1,
…………………………………………………………………………………………… 7 分
当 0
ìg(a)= -1≤0,
则必有íg(0)= a2 -1<0, 解之得:0
g(2)= a2 -4a+3≥1,
当 1 ìg(a)= -1≤0,
则必有íg(2)= a2 -4a+3<0,解之得: 2 ≤a<2. ……………………………………… 8 分
g(0)= a2 -1≥1,
综上所述,a 的取值范围为[ -1,2- 2 ]∪[ 2 ,3] . …………………………………… 9 分
(3)对 x1∈[a,a+1],有 f(x )= 2
x1
1 ∈[2a,2a
+1] .
如果存在 x2∈[a,a+1], 2
x
使得 1 +2x2 = 2, 2x则必有 2 = 2-2x1∈[2-2a+1,2-2a],
因为 f(x)= 2x 为区间[a,a+1]上的“2 阶自和函数”,
所以 2a = 2-2a+1,即 2a+2a+1 = 2,解得 a= 1-log23. …………………………………… 10 分
所以当 b>1 时,函数 φ(x)= (x-a-log 2 223)lnx+(b-1)(x -2x)= (x-1)lnx+(b-1)(x -2x),
所以函数 φ(x)的定义域为(0,+∞ ),且 φ′(x)= lnx+1-
1 +2(b-1)(x-1),φ′(1)= 0.
x
…………………………………………………………………………………………… 11 分
设 h(x)= φ′(x)= lnx+1- 1 +2(b-1)(x-1),
x
则 h′(x)= 1 + 12 +2(b-1),x x
因为 x>0,b>1,所以 h′(x) >0.
所以 h(x)在(0,+∞ )上单调递增,即 φ′(x)在(0,+∞ )上单调递增,而 φ′(1)= 0.
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所以当 01 时,φ′(x) >0,φ(x)单调递增.
而 φ(1)= 1-b<0,当 x>0 且 x→0 时,φ(x) >0,φ(2)= ln2>0.
所以 0设 F(x)= φ(x) -φ(2-x),00,
所以 φ(x1) >φ(2-x1),又 φ(x1)= φ(x2)= 0,
所以 φ(2-x1) <0,所以 φ(x2) >φ(2-x1) .
因为 x2 >1,2-x1 >1 且 φ(x)在(1,+∞ )上单调递增,
所以 x2 >2-x1,即 x1 +x2 >2. …………………………………………………………… 13 分
1 x-1
设 t(x)= lnx+ -1,则 t′(x)=
x x2
,
所以当 0当 x>1 时,t′(x) >0,t(x)单调递增.
所以 t(x)≥t(1)= 0,则 lnx≥1- 1 .
x
3
因为 x2 -
-
2x- (x+ 1 -3 ) = (x 1) ,x x
所以当 01 时,x2 -2x>x+ 1 -3. ……………………… 14 分
x x
ì0 =φ(x1) <(x -1) (1- 11 ) +(b-1) (x 1 x 1 + -3 ) , 1 x1
所以í
0 =φ(x2) >(x2 -1) (1- 1 ) +(b-1) (x + 12 -3 , x2 x )2
{bx
2
1 +(1-3b)x1 +b>0, ①
整理得
bx 22 +(1-3b)x2 +b<0, ②
由①-②得,(x1 -x2)[b(x1 +x2) +1-3b] >0, ………………………………………… 16 分
因为 x1 1
2 所以 b(x1 +x2) +1-3b<0,所以 x1 +x2 <3- .b
综上得证. ……………………………………………………………………………… 17 分
注:解答题有其他解法酌情给分.
2026 年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学) 第 8 页(共 8 页)2026 年邵阳市高三第一次联考试题卷
数 学
本试卷共 4 页, 19 个小题。 满分 150 分。 考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、 班级、 考号填写在答题卡上。 将条形码横贴在
答题卡上“条形码粘贴区”。
2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信
息点涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案。 答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新答案; 不准使
用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答无效。
4. 保持答题卡的整洁。 考试结束后, 只交答题卡, 试题卷自行保存。
一、 选择题(本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有
一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 A={x | -1A. ( -1, 3) B. [ -1, 3] C. {1, 2} D. {0, 1, 2}
2. 已知在复平面内, △OAB 为等边三角形, 点 O 为坐标原点, 点 A 对应的复数为 1+ 3 i,
点 B 在第二象限, 则点 B 对应的复数的虚部为
A. - 3 i B. 3 i C. 3 D. - 3
3. 设甲: 数列{ an}满足 2an+1 =an+an+2(n∈N ), 乙: 数列{ an}是等差数列, 则甲是乙的
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知非零向量 a, b 满足 a = 2 b , 2a+b = a-b , 则向量 a 在向量 b 上的投影
向量为
A. -2b B. 2b C. -3b D. 3b
5. 已知直线 l: 3x+4y-2 = 0 与圆 C: x2 +y2 -2x-2y-2 = 0 相交于 A, B 两点, 则劣弧 AB 的
长为
A. 8π B. 4π C. 2π D. 2π
3 3 3
6. 3已知实数 x, y 满足(2024x+1) 2025 +2024x= - , ( -2026y-2) 2025 -2026y= 10, 则
7 7
A. 2024x= 2026y-1 B. 2024x= 2026y+1
C. 2024x= 2026y-3 D. 2024x= 2026y+3
2026 年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学) 第 1 页(共 4 页)
(
7. X~N(2, 3), a, b P(x≤3a+2)= P(x≥4b-1), b +a
+3
已知随机变量 正实数 满足 则 的
4a b
最小值为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 2 2设函数 f(x)= x- 和 g(x)= x- 的零点分别为 x , x , 其中 a>1. 当 a∈[2, +∞ )时,
ax log x 1 2a
则 x1 +32x2 的取值范围为
A. [16 2 , +∞ ) B. [16, +∞ ) C. [65, +∞ ) D. [65 2 , +∞ )
二、 选择题(本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符
合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
2 2
9. x y已知双曲线 E: 2 - 2 = 1(a>0, b>0)
7
的离心率为 , 左、 右焦点分别为 F ( - 7 , 0),
a b 2 1
F2( 7 , 0), 过 F2 的直线与 E 的右支相交于 P, Q 两点, 则下列结论错误的是
2 2
A. E x y的方程为 - = 1
4 3
B. PQ ≤3
C. E 的渐近线方程为 x± 3 y= 0
D. 当 F1F2 = 2 OP 时, △PF1F2 的面积为 3
10. 已知函数 f(x)= Asin(wx+φ) (w>0, φ < π ) 的部分图象如图(一)所示, 则下列说法2
正确的是
A. f(x)= 2sin (2x- π3 )
B. 若 f(α)= 2 , π 7则 sin (4α- =3 6 ) 9
C. 把函数 y = f( x) π的图象向左平移 个单位后得到函数
6
y=g(x)的图象, 则 y=g(x)为偶函数
D. 若函数 f( x) 的导函数为 h( x), 则 h( x) 的图象关于
(5π 图(一)点 , 0 ) 对称12
11. 已知圆台 O1O2 的上、 下底面的面积分别为 9π 和 16π, 则下列结论正确的是
A. 若圆台 O1O2 存在内切球, 则内切球的体积为 32 3 π
B. 若圆台 O1O2 的母线与下底面所成的角为 60°, 则圆台 O O
56π
1 2 的外接球的表面积为 3
C. O 500π若圆台 1O2 的外接球的体积为 , 则圆台 O1O2 的表面积为 25π+35 2 π3
D. 若圆台 O1O
500π 259π 37π
2 的外接球的体积为 , 则圆台 O1O2 的体积为 或3 3 3
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三、 填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 设等比数列{ an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1 = 2, a4 = 16, 则 S4 = .
13. 已知多项式(ax-2) (1+x) 5 = a0 +a1x+a2x2 +a3x3 +a 44x +a x55 +a x66 , 若 a1 +a3 +a5 = 16,
则 a= .
14. 已知正四面体 ABCD 的棱长为 4 2 , 用满足 MA2 +MB2 =MC2 +MD2 的动点 M 构成的平
面截正四面体 ABCD, 则所得截面的面积为 .
四、 解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)
15. (13 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin2B+3sinAcosBsinC-2sin2C=0.
(1)若 a= 2 , c= 2, 求△ABC 的外接圆的半径;
(2)若 cosA= 2 , b= 2, 求△ABC 的面积.
3
16. (15 分)如图 ( 二), 在四棱锥 P - ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, AB ⊥ AD,
AD∥BC, AD=AP= 2, AB=BC= 1, PA⊥平面 ABC, E 为棱 PD 上的点.
(1)当 E 为棱 PD 的中点时, 证明: EC∥平面 PAB;
(2) 3在棱 PD 上是否存在点 E, 使得平面 PAC 与平面 EAC 的夹角的余弦值为 若存
3
在, 请确定点 E 的位置; 若不存在, 请说明理由.
图(二)
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17. (15 分)国家近年来对机器人的研究, 尤其是在人形机器人和具身智能领域方面, 出
台了一系列的政策, 旨在推动技术创新、 产业升级和规模化应用. 某学校为响应国家
号召, 培养学生的创新能力, 举办机器人比赛, 经过初赛, 甲班团队和乙班团队进入
了决赛阶段. 决赛阶段规定: 对每一轮比赛, 获胜方记 1 分, 另一方记 0 分, 无平
局; 当两团队累积得分的分差为 3 分时, 比赛结束, 累积得分高的团队获冠军. 若每
2
轮比赛中, 甲班团队获胜的概率为 , 且每轮比赛的结果相互独立.
3
(1)若比赛结束时恰好进行了 3 轮比赛, 求甲班团队获得冠军的概率;
(2)(ⅰ)若比赛最多进行 5 轮, 求比赛结束时比赛轮数 X 的分布列及数学期望 E(X);
(ⅱ)若比赛轮数不限制, 求甲班团队获得冠军的概率.
2 2
18. (17 分) x y 1已知椭圆 E: 2 + = 1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F , F , 离心率 e = ,a b2 1 2 2
过 F2 的直线 l 交 E 于 A, B 两点, △ABF1 的周长为 8.
(1)求 E 的方程;
(2)过点 F2 且与 l 垂直的直线与 E 相交于 C, D 两点, A, C 在 x 轴的上方, M, N 分
别为线段 AB, 线段 CD 的中点, 直线 AC 与直线 BD 相交于点 R.
(ⅰ)直线 MN 是否过定点 若过定点, 请求出定点坐标; 若不过定点, 请说明
理由;
(ⅱ)求△MNR 的面积的最小值.
19. (17 分)若函数 f(x), g(x)对任意 x1 ∈D, 总存在唯一的 x2 ∈D, 使 f(x1 ) +g(x2 ) = k
成立, 则称 f( x)是 g( x)在区间 D 上的“ k 阶和函数” . 特别地, 当 f( x) = g( x) 时,
称 f(x)为区间 D 上的“k 阶自和函数” .
(1)判断函数 f(x)= log3(x+1)是否为区间[2, 26]上的“3 阶自和函数”;
(2)若函数 f( x) = 4 是 g( x) = x2 - 2ax +a2 -+ 1 在区间[ 0, 2] 上的“ 2 阶和函数”,x 2
求实数 a 的取值范围;
(3)若函数 f( x) = 2x 为区间 [ a, a + 1] 上的 “ 2 阶自和函数”, 当 b > 1 时, 函数
φ(x)= (x-a-log23)lnx+(b-1)(x2 -2x)有两个零点 x1, x2, 证明: 21
1 2 .b
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