第二十八章《锐角三角函数》单元测试（含答案）九年级数学下册人教版

第二十八章《锐角三角函数》单元测试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A，则tan B的值为（　　）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，若，则∠C的度数是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．105°
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AB＝c，∠A＝α，则AD的为（　　）
A．c cos2α B．c sin2α
C．c sinα tanα D．c sinα cosα
5．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳面AC和AD的长均为2m，∠CAD的度数为140°，则此时“天幕”的宽度CD是（　　）
A．4sin70°m B．4cos70°m C．2sin20°m D．2cos20°m
6．某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为45°．（AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则需测量的建筑物的高是（　　）
A．24米 B．18米
C．米 D．米
7．小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒CD与竖直放置的档案盒的夹角∠DCB＝37°，DF＝71cm，档案盒长CD＝35cm．小宇同学用学过的数学知识计算出了档案盒的厚度，它是（　　）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
8．定义：如果一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形叫作“妙角三角形”．若等腰△ABC是“妙角三角形”，且腰长为1，则其底角的余弦值为（　　）
A． B．
C．或 D．或
9．如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，AB＝18cm，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为30°时，杯中水的最大深度为（　　）
A．9 B．15 C．6 D．9
10．如图，一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏东60°方向，向正东航行40海里后到达B处，此时测得小岛P位于南偏西75°方向，则小岛P离观测点A的距离是（　　）
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，，延长AC到点D，使得，连结BD，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段AB和CD相交于点O，则∠AOC的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．46°
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．计算：2sin45°﹣2cos60°＝　 　 ．
14．如果α是锐角，，那么cos（90°﹣α）＝ 　 　 ．
15．沿一斜坡向上走3米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度i＝　 　 ．
16．在直角坐标平面内有一点A（2，4），求坐标原点O与点A的连线与x轴正半轴的夹角α的正弦值＝　 　 ．
17．构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算tan22.5°时，构造出如图所示的图形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°．根据此图可求得tan22.5°的结果 　 　 ．
18．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝1，点M是AD边上一点，连接CM，以CM为边向右作等边△CMN，连接BN，则BN的最小值为 　 　 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分）
19．（8分）计算：
（1）．
（2）．
20．（8分）在△ABC中，∠C＝90°，b+c＝24，∠A﹣∠B＝30°，解这个直角三角形．
21．（8分）如图，在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，BC＝a（a为常数且a≠0），延长CD到点A，使AD＝BD．
（1）求∠A的度数及tanA的值；
（2）作DE⊥AB，求DE的长．
22．（8分）国庆假期，小明和小蓝怀着对革命历史的崇敬，从某红色景区入口A．开启红色之旅．因参观的景点不同，两人决定各自沿不同路线参观，再到达位于入口A正东方向的景点C处汇合．如图为路线平面示意图，小明从入口A出发，沿北偏东15°方向走4km到达景点B，参观24分钟，接着沿东南方向到达景点C、小蓝从入口A出发，沿北偏东60°方向到达景点D，参观15分钟后，沿南偏西30°方向到达景点C．（参考数据：，，
（1）求入口A与景点C之间的距离；（结果精确到0.1）
（2）若小明步行的速度为4km/h，小蓝步行的速度为6km/h，且两人同时出发，请计算并说明小明和小蓝谁先到达景点C？（结果精确到0.1）
23．（10分）如图，AB为圆O的直径，C、D为圆O上不同于A、B的两点，过点C作圆O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E．
（1）求证：∠ABD＝2∠CAB；
（2）若，且，求BF的长．
24．（10分）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为27°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为53°（A、B、P、Q四点在同一平面）
（1）求路段BQ的长；
（2）当下引桥坡度i＝1：3时，如果测速路段AB限速30km/h，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段AB，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：tan53°，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，
25．（10分）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
（2）某公园有一秋千如图2所示，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA′释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h，当α＝46°，β＝28°，h＝0.8米时，请求出该秋千OA的长度（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，结果精确到0.1米）．
26．（10分）【特例猜想】如图1，在Rt△ABC中，以AB为直径作圆O，设其半径为r，三边长分别为a，b，c，由锐角三角函数定义可得：，，经变形可得：，因此．
（1）【推广证明】进一步研究发现，不仅在直角三角形中成立，在任意的三角形中都成立．请你利用图2证明．
（2）【实际应用】如图3，在△ABC中，∠B为钝角，r为△ABC的外接圆半径．若，BC＝5，AC＝10，求△ABC的面积．
参考答案
一、选择题
1．C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA，
∴设AC为12k，AB为13k，
∴BC5k，
∴tanB，
故选：C．
2．C
【解答】解：由条件可知，（tanB﹣1）2＝0，
∴，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°．
故选：C．
3．D
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴sinB，
故选：D．
4．A
【解答】解：由图可得，
AC＝AB cosα，AD＝AC cosα，
∴AD＝AB cos2α，
即AD＝c cos2α，
故选：A．
5．A
【解答】解：设CD与AB交于点M，
∵△ACD是轴对称图形，对称轴是AB所在的直线，AC＝AD＝2m，∠CAD＝140°，
∴CM＝MD，∠CAM＝∠DAM＝70°，
∴AM⊥CD，CD＝2MD，
∴∠AMD＝90°，
∴MD＝AD sin∠MAD＝2sin70°m，
∴CD＝2MD＝4sin70°m，
故选：A．
6．D
【解答】解：在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，如图，设过点A的水平线于CD交于点E，
由题意知：四边形ABDE是矩形DE＝AB＝12米，AE＝BD，
在Rt△BCD中，，
在Rt△ACE中，，
∴，
∴，
∴，
解得（米），
故选：D．
7．C
【解答】解：由题意，在 Rt△CBD中，∠DCB＝37°，CD＝35cm，，
∴BD＝CD sin∠DCB＝35sin37°≈35×0.6＝21（cm），
∴BF＝DF﹣BD＝71﹣21＝50（cm），
∴档案盒的厚度为 50÷10＝5（cm），
故选：C．
8．D
【解答】解：设等腰△ABC的底角为x，
当顶角为2x时，有2x+x+x＝180°，解得：x＝45°；
此时，底角的余弦值为；
当顶角为时，有，解得：x＝72°；
如图所示：作AF⊥BC，CE平分∠ACB，
∵x＝72°，
∴∠CAB36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∠CAB＝36°，
∵CE平分∠ACB，
∴，
∴∠BEC＝180°﹣∠BCE﹣∠B＝72°，∠ACE＝∠EAC，
∴BC＝CE，AE＝CE，
∴△ACB∽△CBE，
设BC＝CE＝AE＝2y，则BE＝1﹣2y，
∴1：2y＝2y：（1﹣2y），
解得：（负值舍去），
∴，
∴；
综上所述：底角的余弦值为或．
故选：D．
9．D
【解答】解：过点A作AG⊥BH，垂足为G．如图．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°．
∵∠CBH＝30°，
∴∠ABG＝180°﹣∠ABC﹣∠CBH＝60°．
在Rt△AGB中，
∵sin∠ABG，
∴AG＝AB sin∠ABG
＝18 sin60°
＝18
＝9（cm）．
故选：D．
10．B
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AP，交AP的延长线于H，
则∠AHB＝90°，
由题意可知：∠BAH＝90°﹣60°＝30°，AB＝40海里，
∴海里，∠ABH＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ABP＝90°﹣75°＝15°，
∴∠PBH＝60°﹣15°＝45°，
∴∠HPB＝45°
∴PH＝BH＝20海里，
∵，
∴海里，
∴海里，
故选：B．
11．D
【解答】解：如图，过点B作BF⊥AC，交AC于点F，
由条件可知，
设BF＝3x，则AB＝5x，
∴AB＝AC＝5x，，
∴CF＝AC﹣AF＝x，
∴，
∵，
∴CD＝2x，
∴FD＝CF+CD＝3x，
∴FD＝BF，
由条件可知∠FDB＝45°，
∵过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，即BD⊥DE，
∴∠BDE＝90°，
∴∠CDE＝∠BDE﹣∠FDB＝45°，
过点E作EG⊥CD，交CD于点G，
∴∠GED＝∠CDE＝45°，
∴GD＝GE，
设GD＝GE＝y，
∴CG＝CD﹣GD＝2x﹣y，
∵∠CGE＝∠CFB＝90°，∠GCE＝∠FCB，
∴△CGE∽△CFB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴CE，
∴，
故选：D．
12．B
【解答】解：如图，取格点E，连接AD，
设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：BD，AD2，
∵∠ADE＝∠BDE＝45°，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，tan∠DAB，
在Rt△CDE中，tan∠CDE，
∴∠DAB＝∠CDE，
∵∠AOC＝∠DAB+∠ADC，
∴∠AOC＝∠CDE+∠ADC＝∠ADE＝45°，
故选：B．
二、填空题
13．．
【解答】解：2sin45°﹣2cos60°
，
故答案为：．
14．．
【解答】解：由条件可知α＝30°，
∴，
故答案为：．
15．．
【解答】解：由题意可得：
32＝12+L2，
9＝1+L2，
L2＝8，
（米），
坡度，
故答案为：．
16．．
【解答】解：如图，过A作AH⊥x轴于H，
∵A（2，4），
∴AH＝4，OH＝2，
∴OA2，
∴sinα，
故答案为：．
17．．
【解答】解：设AC＝BC＝1，则AB＝BD，
∴tan22.5°，
故答案为：．
18．．
【解答】解：由等边三角形可知∠MCN＝60°，CM＝CN，
∴CD＝AB＝1，BC＝AD＝2，∠ADC＝90°，
如图，以CD为边向右作等边△CDE，连接EN，
则∠MCN＝∠DCE＝60°，CE＝CD＝1，
∴∠MCD＝∠NCE＝60°﹣∠DCN，
又∵CM＝CN，
∴△MCD≌△NCE（SAS），
∴∠NEC＝∠MDC＝90°，
∴点N在射线EN上运动，
如图，过B作BN′⊥EN于N′，由垂线段最短可知，此时BN最小，最小值为BN′的长，
延长BC交NE延长线于F，
∴CE∥BN′，
∴∠FBN′＝∠ECF＝90°﹣∠DCE＝30°，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
19．解：（1）原式
；
（2）原式
．
20．解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A﹣∠B＝30°，
∴∠A＝60°，∠B＝30°，
∴c＝2b，
∵b+c＝24，
∴3b＝24，
∴b＝8，
∴c＝16，
∴a＝8
21．解：（1）∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD．
∵∠BDC＝∠A+∠ABD．＝30°，
∴∠A＝15°．
在Rt△BCD中，
∵∠BDC＝30°，BC＝a，
∴BD＝AD＝2a，CDa．
∴AC＝AD+CD＝2aa．
∴tanA2．
（2）在Rt△ABC中，
∵AC＝2aa，BC＝a，
∴AB2a（1）a＝（）a．
∵AD＝BD，DE⊥AB，
∴AEAB（）a．
由（1）知，tanA＝2，
∵tanA，
∴ED＝tanA AE
＝（2） （）a
a．
22．解：（1）根据题意可得∠ABC＝ABE+∠CBE＝∠FAB+∠MBC＝15°+45°＝60°，∠BCA＝∠MBC＝45°，AB＝4km，
如图，过点A作AH⊥BC，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，过点D作DG⊥AC交AC的延长线于点G，
则∠CDG＝30°，∠DAG＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴，
解得：，
∴，
根据（1）可得，
∴小明步行时间，
小蓝步行时间，
2.8h＞2.5h，
∴小蓝先到．
23．解：（1）连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠1，
∴2∠CAB＝∠2＝∠CAB+∠1，
∵OC是⊙O的半径，CF切⊙O于C，
∴OC⊥CF，
∵DB⊥CF，
∴OC∥DB，
∴∠ABD＝∠2，
∴∠ABD＝2∠CAB；
（2）∵∠ACD，∠ABD为所对圆周角，
∴∠ACD＝∠ABD，
∴．
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴，
∴，
∴，
∴OB＝OC＝3，
∵，
∴设EF＝4x，BE＝3x，则BF＝5x，
∵BE⊥CF，OC⊥CF，
∴OC∥BE，
∴△BEF～△OCF，
∴，
∴，
3x（3+5x）＝3×5x，
9x+15x2＝15x，
﹣6x+15x2＝0，
∴，
∴BF＝5x＝2．
24．解：（1）∵在坡角点B处时，电子眼的俯角为53°，
∴∠QPB＝90°﹣53°＝37°，
∵∠PQB＝90°，
∴∠PBQ＝53°，
∵tan∠PBQ＝tan53°，
∴BQ12（米），
答：路段BQ的长约为12米；
（2）如图，过点A作AC⊥BQ于点C，AD⊥PQ于点D，
则四边形ACQD是矩形，
∴AD＝CQ，DQ＝AC，
∵引桥坡度i＝1：3，
∴，
设AC＝x米，则BC＝3x米，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：ABx（米），
∴PD＝PQ﹣DQ＝（16﹣x）米，
∵在面点A处，此时电子眼的俯角为27°，
∴∠APD＝90°﹣27°＝63°，
∵∠ADP＝90°，
∴∠PAD＝27°，
∵tan∠PAD＝tan27°，
∴AD（32﹣2x）（米），
∵CQ＝BC+BQ＝（3x+12）米，
∴3x+12＝32﹣2x，
解得：x＝4，
∴ABx≈12.8（米），
∴该车的平均速度为v6.4（米/秒）＝23.04km/h，
∵23.04km/h＜30km/h，
∴小汽车没有超速．
25．解：（1）作A′B⊥OA于点B，则∠A′BO＝90°，A′B＝10尺，AB＝5﹣1＝4尺，
设OA长x尺，则OA′＝x尺，
∴OB＝（x﹣4）尺，
∴102+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝14.5．
答：秋千绳索OA的长度为14.5尺；
（2）由题意得：∠A′PO＝∠A″QO＝90°，
设秋千OA的长度为xm，
∴OP＝x cos46°≈0.69x（m），
OQ＝x cos28°≈0.88x（m），
∵PQ＝0.8，
∴0.88x﹣0.69x＝0.8，
解得：x≈4.2．
答：秋千OA的长度约为4.2米．
26．解：（1）结论成立．理由如下：
如图1，连接CO并延长，交⊙O于点D，连接BD，
在Rt△BCD中，，
∴．
∵∠A＝∠D，
∴sinA＝sinD，
∴．
（2）过点B作BE⊥AC，
由（1）得，
∴．
∴．
∴，
∵AC＝10，
∴，
∵CE2+BE2＝CB2，
∴（10）2+（AB）2＝52，
解得：或，
∵∠B为钝角，
∴AC＝10为最长边，
∴不符合题意，舍去，
∴，
∴，
∴．