第二十六章《 反比例函数》章节测试 （含答案）九年级数学下册人教版
文档属性
| 名称 | 第二十六章《 反比例函数》章节测试 （含答案）九年级数学下册人教版 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 591.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-30 00:00:00 | ||
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文档简介
第二十六章《 反比例函数》章节测试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．下面几组量不成反比例的是（ ）
A．路程一定，时间和速度
B．长方形面积一定，长和宽
C．圆周长一定，圆的直径和圆周率
D．比的前项一定，比的后项和比值
2．若反比例函数y图象在各个象限内y随着x的增大而增大，则m满足（ ）
A．m＜﹣2 B．m＞﹣2 C．m＜2 D．m＞2
3．已知直线y＝ax（a≠0）与双曲线的一个交点坐标为（2，6），则它们的另一个交点坐标是（ ）
A．（﹣2，6） B．（﹣6，﹣2） C．（﹣2，﹣6） D．（6，2）
4．如图，反比例函数y的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．若一个反比例函数的图象经过A（3，﹣5），B（m+1，﹣3）两点，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5
6．如图，点A为反比例函数y图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于B，点C为x轴上的一个动点，△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
7．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时的电流I（单位：A）、电阻R（单位：Ω）与电压U（单位：V）的关系式：U＝IR，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V
C．当I≤10A时，R≥3.6Ω D．当R＝6Ω时，I＝4A
8．已知函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列选项中正确的是（ ）
A．y3＜y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1＜y3
C．y3＜0＜y1＜y2 D．y1＜y2＜0＜y3
9．如图所示，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当时，x的取值范围为（ ）
A．0＜x＜2或x＞6 B．2＜x＜6
C．x＞6 D．x＜0或2＜x＜6
10．如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离x（cm），观察弹簧测力计的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下表：
x（cm） …… 10 15 20 25 30 ……
y（N） …… 45 30 22.5 18 15 ……
下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧测力计的示数y（N）与支点O的距离x（cm）之间关系的图象如图
B．y与x的函数关系式为
C．当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
11．如图，过反比例函数的图象上点A，作x轴的垂线AB，垂足为B，C是x轴上一点（点C在点B右侧）以AB，BC为邻边作矩形ABCD，连接AC与BD交于点E，若点E在反比例函数的图象上，且S矩形ABCD＝10，则k的值为（ ）
A．10 B． C． D．5
12．如图，点A、B在双曲线y1（x＞0）上，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D，与双曲线y2（x＜0）交于点E，连接OA、OB，若S△AOC＝20，AB＝3BC，AD＝DE，则k2的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣11 C．﹣12 D．﹣13
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知y＝（m2+2m）x|m|﹣3是关于x的反比例函数，则（m﹣2）2023＝ ．
14．反比例函数的图象在第 象限．
15．一个用电器的电阻是可调节的，其调节范围为110～220Ω．已知电压为220V，则这个用电器功率的范围是 W．
16．在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数a（a≠0），直线y＝ax+a﹣2都经过平面内一个定点A．反比例函数的图象与直线y＝ax+a﹣2交于点A和另外一点P（m，n）．当n＞﹣2时，m的取值范围为 ．
17．已知点A（a，b）是反比例函数y图象上的任意一点，连接AO并延长交反比例函数图象于点C．现有以下结论：①点（﹣a，﹣b）一定在反比例函数y的图象上；②过点A作AE⊥x轴于E，S△AOEk；③分别过点A，C作AC的垂线交反比例函数y图象于点B，D，则四边形ABCD是平行四边形；④若点B，D在反比例函数y的图象上，且CD＝AB，则四边形ABCD为平行四边形．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
18．如图，在反比例函数y（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…，Pn等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，Sn，则S1+S2+S3+…+S2025＝ ．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）已知y＝y1+y2，y1是x的正比例函数，y2是x的反比例函数．且当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣2时，．求y关于x的函数关系式．
20．（8分）已知A＝（）．
（1）化简A；
（2）若点P（a，a+2）在反比例函数的图象上，求A的值．
21．（8分）如图，取一根长100cm的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起．一个物体挂在距离点O的左侧25cm处，重量G＝10N．在点O的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点O的距离是x（cm），弹簧秤的示数是y（N）．（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，即G d＝y x）
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，求弹簧秤的示数y的最小值．
22．（8分）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y（x＞0）交于点A和C，与x轴交于点B和D，直尺的宽度为2cm，AB＝3cm，OB＝2cm．
（1）求反比例函数解析式；
（2）连接OA、OC，求△OAC的面积．
23．（10分）如图，一次函数图象与y轴相交于B点，与反比例函数图象相交于点A（m，3）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）C是线段AB上一点，点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图象于点D，连接BD．设点C的横坐标为a，求当a为何值时，△BCD的面积最大，这个最大值是多少？
24．（10分）已知，如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点P（2，3），点D是正比例函数图象上的一点，过点D分别作x轴与y轴的垂线，垂足分别为点C和点Q，DC、DQ分别交反比例函数的图象于点F和点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图象于点E．
（1）当点D的纵坐标为9时，求点E的坐标．
（2）当点D在线段OP的延长线上运动时，试猜想AE与DF的数量关系，并证明你的猜想．
25．（10分）如图已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A（m，3）．
（1）m的值为 ，k的值为 ；
（2）对于反比例函数，当y＜﹣1时，写出x的取值范围 ；
（3）以OA为边，在直线OA的下方作正方形OABC，请通过计算判断点B是否落在反比例函数上．
26．（12分）图1是2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台，曲线的设计灵感来自敦煌“飞天”飘带，又名“雪飞天”，它是世界上首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆．图2是赛道剖面图的一部分，将其放在平面直角坐标系中，其中线段AB表示距离水平面（x轴）高度为20m的平台（点A在y轴上），滑道BC可以看作是反比例函数图象的一部分，点B到y轴的距离是4m，点C到水平面的距离为5m，滑道CD可以看作是二次函数图象的一部分，最高点到y轴的距离是25m，到水平面的距离是9m．
（1）求滑道BC的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）求滑道CD的函数解析式及自变量x的取值范围；
（3）在小明沿滑道从点B滑到点D处的过程中，当他距地面8m时，所滑过的水平距离为 （直接写出所有可能的结果）．
参考答案
一、选择题
1．C
【解答】解：A、路程＝速度×时间，路程一定，时间和速度成反比例关系，故此选项不符合题意；
B、长方形面积一定，长和宽成反比例关系，故此选项不符合题意；
C、圆的周长C＝2πr，周长一定，圆周率一定，不成反比例函数，故此选项符合题意；
D、比的前项一定，比的后项和比值成反比例关系，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．A
【解答】解：∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而增大，
∴m+2＜0，
m＜﹣2．
故选：A．
3．C
【解答】解：∵直线y＝ax（a≠0）与双曲线的图象均关于原点对称，
∴它们的另一个交点坐标与（2，6）关于原点对称，
∴它们的另一个交点坐标为：（﹣2，﹣6）．
故选：C．
4．D
【解答】解：∵k＝4，可根据k＞0，反比例函数图象在第一、三象限；
∴在每个象限内，y随x的增大而减小．
故选：D．
5．A
【解答】解：根据双曲线上的点的横纵坐标之积相等得：3×（﹣5）＝（m+1）×（﹣3），
解得m＝4，
故选：A．
6．D
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴S△ABO＝S△ABC＝3，即：|k|＝3，
∴k＝6或k＝﹣6，
∵在第二象限，
∴k＝﹣6，
故选：D．
7．C
【解答】解：设I，
∵图象过（4，9），
∴U＝36，
∴I，故选项A不正确，不符合题意；
当I≤10A时，R≥3.6Ω，选项C正确，符合题意；
当R＝6Ω时，I＝6A，选项D不正确，不符合题意；
蓄电池的电压不一定是18V，故选项B不正确，不符合题意；
故选：C．
8．C
【解答】解：当k＜0时，
∴该反比例函数的图象在第二、四象限，
∵函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜x2＜0＜x3，
∴点点A1（x1，y1），A2（x2，y2）在第二象限，点A3（x3，y3）在第四象限，
∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，
又∵该反比例函数在每一象限内，y随x的增大而增大，
∴y2＞y1＞0＞y3．
当k＞0时，
∴该反比例函数的图象在第一、三象限，
∵函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜x2＜0＜x3，
∴点点A1（x1，y1），A2（x2，y2）在第三象限，点A3（x3，y3）在第一象限，
∴y1＜0，y2＜0，y3＞0，
又∵该反比例函数在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴y2＜y1＜0＜y3．
故选：C．
9．A
【解答】解：由图象可知，当k1x+b时，x的取值范围为0＜x＜2或x＜6，
故选：A．
10．C
【解答】解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数．
所以设y（k≠0），
把x＝10，y＝45代入求得k＝450，
∴y，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为y（x＞0），
把y＝12.5代入y，得x＝36，
∴当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是36cm，
随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小．
故选：C．
11．D
【解答】解：设，
由条件可知，
∴BC＝OC﹣OB＝c﹣a，
∵四边形形ABCD是矩形，AC与BD交于点E，
∴E为AC的中点，
∴，
S矩形ABCD＝10，
∴AB BC＝10，
∴，
由条件可知，
∴c＝3a，
∴，
∴k＝5，
故选：D．
12．C
【解答】解：过点E作EK⊥y轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G，H，过点B作x轴的垂线，垂足为F，连接OE，HF，BH，AF，
由条件可知，
∵BF∥y轴，AH∥x轴，AG∥y轴，
∴S△OAH＝S△AHF＝S△OBF＝S△BFH，
由条件可知△AHF，△BHF在FH上的高相等，
∴AB∥FH，
∴四边形DHFB为平行四边形，
∴BF＝DH，
∵AH∥x轴，
∴∠DAH＝∠BCF，
∵∠AHD＝∠CFB＝90°，
∴△AHD≌△CFB（AAS），
∴AD＝BC，
在△EKD和△AHD中，
，
∴△EKD≌△AHD（AAS），
∴S△EKD＝S△AHD，AD＝ED，
∵AB＝3BC，
∴ED：AD：AB：BC＝1：1：3：1，
∴，
∴，
∵AG∥y轴，
∴，
∴，
∴S△ADH＝S△AOD﹣S△AHO＝5﹣4＝1，
∴S△EKD＝S△AHD＝1，
∴，
∵双曲线经过第二象限，
∴k2＝﹣12，
故选：C．
二、填空题
13．0．
【解答】解：因为y＝（m2+2m）x|m|﹣3是关于x的反比例函数，
所以，
解得，
所以m＝2，
所以（m﹣2）2023＝（2﹣2）2023＝0．
故答案为：0．
14．一、三．
【解答】解：反比例函数y中，
∵2＞0，
∴该函数的图象在第一、三象限．
故答案为：一、三．
15．220～440．
【解答】解：根据物理中电学知识可知，当电压为220V时，
∵2202＞0，
∴P随R的增大而减小，
当R＝110时，P＝440；当R＝220时，P＝220，
∴用电器功率的范围是220～440W，
故答案为：220～440．
16．在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数a（a≠0），直线y＝ax+a﹣2都经过平面内一个m＞0或m＜﹣1．
【解答】解：∵y＝ax+a﹣2＝a（x+1）﹣2，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣2，
∴直线经过平面内一个定点A（﹣1，﹣2），
由条件可知b＝﹣1×（﹣2）＝2；
即，
若点P（m，n）在第一象限，当n＞﹣2时，m＞0，
若点P（m，n）在第三象限，当n＞﹣2时，m＜﹣1，
综上，当n＞﹣2时，m＞0或m＜﹣1，
故答案为：m＞0或m＜﹣1．
17．①③．
【解答】解：①∵点A（a，b）在反比例函数y图象上，
∴k＝ab，
将点（﹣a，﹣b）代入函数解析式y得，k＝ab，
∴点（﹣a，﹣b）在反比例函数y图象上，故①正确，符合题意；
②当k＜0时，k＜0，
∵S△AOE＞0，
∴S△AOEk不成立，故②错误，不符合题意；
③由反比例函数的对称性得，OA＝OC，
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴AB∥CD，∠OAB＝∠OCD＝90°，
∴∠ABO＝∠CDO，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确，符合题意；
④∵反比例函数图象一支上到点A的距离为定值（不为零）的点有两个，
∴当点B，D在反比例函数y的图象上且CD＝AB时，四边形ABCD不一定为平行四边形，故④错误，不符合题意；
故答案为：①③．
18．．
【解答】解：由条件可知阴影矩形的一边长都为1，如图：
由题意得：P1D⊥y轴，P1C⊥x轴，P2025A⊥y轴，交P1C于点B，
将面积为S2，S3， ，S2025的矩形向左平移到S1下方，则有：
，
当x＝2026时，y，即OA，
∴S矩形OABC＝OA OC，
根据反比例函数k值的几何意义得：，
S阴影＝S矩形DABP1＝S矩形OCP1D﹣S矩形OABC＝1，
故答案为：．
三、解答题
19．解：∵y1是x的正比例函数，y2是x的反比例函数，y＝y1+y2，
∴设y1＝kx，，则，
∵x＝1时，y＝﹣1；x＝﹣2时，，
∴，
解得，
∴y关于x的函数关系式是．
20．解：（1）A＝（）
＝a+1+（a+2）（a﹣1）
＝a+1+a2+2a﹣a﹣2
＝a2+2a﹣1；
（2）点p（a，a+2）在反比例函数y的图象上，
∴a（a+2）＝3
即a2+2a﹣3＝0，
（a﹣1）（a+3）＝0，
∴a＝1或a＝﹣3．
当a＝1时，A＝2，
当a＝﹣3时，A＝2，
∴A的值为2．
21．解：（1）由题意设，把x＝25，y＝10代入，得k＝25×10＝250，
∴y关于x的函数解析式为．
（2）k＝250＞0，x表示弹簧秤与中点O的距离，最大值是50cm，
∵x＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴把xmax＝50代入，得ymin＝5，
∴弹簧秤的示数y的最小值为5N．
22．解：（1）由题意可知A（2，3），D（4，0），
将A点坐标代入中，得：，
∴k＝6，
∴双曲线的解析式为；
（2）∵OB＝2cm，直尺的宽度为2cm，
∴D（4，0），
把x＝4代入，得，
∴，
∵，，
∴S△OAC＝S△AOB+S梯形ABCD﹣S△COD＝S梯形ABDC．
23．解：（1）由条件可知，
解得m＝8，
点A（8，3），
反比例函数图象过点A（8，3），
k＝8×3＝24，
反比例函数的表达式为；
（2）∵点C的横坐标为a，CD∥y轴交反比例函数的图象于点D，
∴，，
∴，
则△BCD的面积为
，
，
当a＝1时，△BCD的面积最大，这个最大值是．
24．解：（1）设正比例函数与反比例函数的解析式分别为y＝k1x，y，把P（2，3）分别代入得k1，k2＝6，
∴正比例函数与反比例函数的解析式分别为yx，y，
又∵点D的纵坐标为9，
∴对于yx，令y＝9，得9x，解得x＝6，
∴D点坐标为（6，9），
∵DC⊥x轴，DQ⊥y轴，
∴A点的纵坐标为9，点F的横坐标为6，
∵点A与点F在反比例y的图象上，
∴把y＝9代入y得x，把x＝6代入y得y＝1，
∴A点坐标为（，9），F点坐标为（6，1），
又∵AB⊥x轴，
∴点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为，
而点E在直线yx上，把x代入yx得y＝1，
∴E点坐标为（，1）；
（2）结论：AE＝DF．理由如下：
设D点坐标为（a，a），
则A点的纵坐标为a，点F的横坐标为a，
把ya代入y得x，把x＝a代入y得y，
∴A点坐标为（，a），F点坐标为（a，），
∴DFa；
又∵点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为，
而点E在直线yx上，把x代入yx得y，
∴E点坐标为（，）
∴AEa，
∴AE＝DF．
25．解：（1）∵点A（m，3）在一次函数图象上，
∴3m，解得m＝2，
∴A（2，3），
∵点A（2，3）在反比例函数的图象上，
∴k＝6．
故答案为：2，6；
（2）对于反比例函数，当y＜﹣1时，
即1，
∴x＜﹣6，
∴x的取值范围为x＜﹣6，
故答案为：x＜﹣6．
（3）如图，作AM⊥y轴，垂足为M，BN⊥AM交MA的延长线于点N，
在△OMA和△ANB中，
，
∴△OMA≌△ANB（AAS），
∴OM＝AN＝3，AM＝NB＝2，
∴B（5，1），
在反比例函数y中，当x＝5时，y1，
∴点B（5，1）不在反比例函数图象上．
26．解：（1）由题意得，B（4，20），
设滑道BC的函数解析式为y（k≠0），
∴k＝4×20＝80．
∴滑道BC的函数解析式为y．
又∵点C到水平面的距离为5m，
∴令y5，则x＝16．
∴C（16，5）．
∴自变量x的取值范围为4≤x≤16．
（2）由题意得，滑道CD的顶点为（25，9），
∴可设滑道CD的函数解析式为y＝a（x﹣25）2+9．
又∵C（16，5），
∴5＝a（16﹣25）2+9．
∴a．
∴滑道CD的函数解析式为y（x﹣25）2+9．
∴令y＝0，则：．
∴x＝38.5或x＝11.5．
由于点D在点C右侧（x＞16），
∴D（38.5，0）．
∴自变量x的取值范围是16≤x≤38.5．
（3）由题意，分两种情形讨论．
①当滑在BC段（4≤x≤16）：
令y＝8，代入得，，
∴x＝10．
∴水平距离为10﹣4＝6（m）．
②滑在CD段（16≤x≤38.5）：
令y＝8，代入得，
∴x＝29.5或x＝20.5，均满足16≤x≤38.5．
∴此时水平距离分别为：29.5﹣4＝25.5（m），20.5﹣4＝16.5（m）．
综上，所滑过的水平距离为6m或16.5m或25.5m．
故答案为：6m或16.5m或25.5m．
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．下面几组量不成反比例的是（ ）
A．路程一定，时间和速度
B．长方形面积一定，长和宽
C．圆周长一定，圆的直径和圆周率
D．比的前项一定，比的后项和比值
2．若反比例函数y图象在各个象限内y随着x的增大而增大，则m满足（ ）
A．m＜﹣2 B．m＞﹣2 C．m＜2 D．m＞2
3．已知直线y＝ax（a≠0）与双曲线的一个交点坐标为（2，6），则它们的另一个交点坐标是（ ）
A．（﹣2，6） B．（﹣6，﹣2） C．（﹣2，﹣6） D．（6，2）
4．如图，反比例函数y的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．若一个反比例函数的图象经过A（3，﹣5），B（m+1，﹣3）两点，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5
6．如图，点A为反比例函数y图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于B，点C为x轴上的一个动点，△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
7．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时的电流I（单位：A）、电阻R（单位：Ω）与电压U（单位：V）的关系式：U＝IR，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V
C．当I≤10A时，R≥3.6Ω D．当R＝6Ω时，I＝4A
8．已知函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列选项中正确的是（ ）
A．y3＜y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1＜y3
C．y3＜0＜y1＜y2 D．y1＜y2＜0＜y3
9．如图所示，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当时，x的取值范围为（ ）
A．0＜x＜2或x＞6 B．2＜x＜6
C．x＞6 D．x＜0或2＜x＜6
10．如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离x（cm），观察弹簧测力计的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下表：
x（cm） …… 10 15 20 25 30 ……
y（N） …… 45 30 22.5 18 15 ……
下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧测力计的示数y（N）与支点O的距离x（cm）之间关系的图象如图
B．y与x的函数关系式为
C．当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
11．如图，过反比例函数的图象上点A，作x轴的垂线AB，垂足为B，C是x轴上一点（点C在点B右侧）以AB，BC为邻边作矩形ABCD，连接AC与BD交于点E，若点E在反比例函数的图象上，且S矩形ABCD＝10，则k的值为（ ）
A．10 B． C． D．5
12．如图，点A、B在双曲线y1（x＞0）上，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D，与双曲线y2（x＜0）交于点E，连接OA、OB，若S△AOC＝20，AB＝3BC，AD＝DE，则k2的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣11 C．﹣12 D．﹣13
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知y＝（m2+2m）x|m|﹣3是关于x的反比例函数，则（m﹣2）2023＝ ．
14．反比例函数的图象在第 象限．
15．一个用电器的电阻是可调节的，其调节范围为110～220Ω．已知电压为220V，则这个用电器功率的范围是 W．
16．在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数a（a≠0），直线y＝ax+a﹣2都经过平面内一个定点A．反比例函数的图象与直线y＝ax+a﹣2交于点A和另外一点P（m，n）．当n＞﹣2时，m的取值范围为 ．
17．已知点A（a，b）是反比例函数y图象上的任意一点，连接AO并延长交反比例函数图象于点C．现有以下结论：①点（﹣a，﹣b）一定在反比例函数y的图象上；②过点A作AE⊥x轴于E，S△AOEk；③分别过点A，C作AC的垂线交反比例函数y图象于点B，D，则四边形ABCD是平行四边形；④若点B，D在反比例函数y的图象上，且CD＝AB，则四边形ABCD为平行四边形．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
18．如图，在反比例函数y（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…，Pn等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，Sn，则S1+S2+S3+…+S2025＝ ．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）已知y＝y1+y2，y1是x的正比例函数，y2是x的反比例函数．且当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣2时，．求y关于x的函数关系式．
20．（8分）已知A＝（）．
（1）化简A；
（2）若点P（a，a+2）在反比例函数的图象上，求A的值．
21．（8分）如图，取一根长100cm的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起．一个物体挂在距离点O的左侧25cm处，重量G＝10N．在点O的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点O的距离是x（cm），弹簧秤的示数是y（N）．（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，即G d＝y x）
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，求弹簧秤的示数y的最小值．
22．（8分）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y（x＞0）交于点A和C，与x轴交于点B和D，直尺的宽度为2cm，AB＝3cm，OB＝2cm．
（1）求反比例函数解析式；
（2）连接OA、OC，求△OAC的面积．
23．（10分）如图，一次函数图象与y轴相交于B点，与反比例函数图象相交于点A（m，3）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）C是线段AB上一点，点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图象于点D，连接BD．设点C的横坐标为a，求当a为何值时，△BCD的面积最大，这个最大值是多少？
24．（10分）已知，如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点P（2，3），点D是正比例函数图象上的一点，过点D分别作x轴与y轴的垂线，垂足分别为点C和点Q，DC、DQ分别交反比例函数的图象于点F和点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图象于点E．
（1）当点D的纵坐标为9时，求点E的坐标．
（2）当点D在线段OP的延长线上运动时，试猜想AE与DF的数量关系，并证明你的猜想．
25．（10分）如图已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A（m，3）．
（1）m的值为 ，k的值为 ；
（2）对于反比例函数，当y＜﹣1时，写出x的取值范围 ；
（3）以OA为边，在直线OA的下方作正方形OABC，请通过计算判断点B是否落在反比例函数上．
26．（12分）图1是2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台，曲线的设计灵感来自敦煌“飞天”飘带，又名“雪飞天”，它是世界上首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆．图2是赛道剖面图的一部分，将其放在平面直角坐标系中，其中线段AB表示距离水平面（x轴）高度为20m的平台（点A在y轴上），滑道BC可以看作是反比例函数图象的一部分，点B到y轴的距离是4m，点C到水平面的距离为5m，滑道CD可以看作是二次函数图象的一部分，最高点到y轴的距离是25m，到水平面的距离是9m．
（1）求滑道BC的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）求滑道CD的函数解析式及自变量x的取值范围；
（3）在小明沿滑道从点B滑到点D处的过程中，当他距地面8m时，所滑过的水平距离为 （直接写出所有可能的结果）．
参考答案
一、选择题
1．C
【解答】解：A、路程＝速度×时间，路程一定，时间和速度成反比例关系，故此选项不符合题意；
B、长方形面积一定，长和宽成反比例关系，故此选项不符合题意；
C、圆的周长C＝2πr，周长一定，圆周率一定，不成反比例函数，故此选项符合题意；
D、比的前项一定，比的后项和比值成反比例关系，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．A
【解答】解：∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而增大，
∴m+2＜0，
m＜﹣2．
故选：A．
3．C
【解答】解：∵直线y＝ax（a≠0）与双曲线的图象均关于原点对称，
∴它们的另一个交点坐标与（2，6）关于原点对称，
∴它们的另一个交点坐标为：（﹣2，﹣6）．
故选：C．
4．D
【解答】解：∵k＝4，可根据k＞0，反比例函数图象在第一、三象限；
∴在每个象限内，y随x的增大而减小．
故选：D．
5．A
【解答】解：根据双曲线上的点的横纵坐标之积相等得：3×（﹣5）＝（m+1）×（﹣3），
解得m＝4，
故选：A．
6．D
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴S△ABO＝S△ABC＝3，即：|k|＝3，
∴k＝6或k＝﹣6，
∵在第二象限，
∴k＝﹣6，
故选：D．
7．C
【解答】解：设I，
∵图象过（4，9），
∴U＝36，
∴I，故选项A不正确，不符合题意；
当I≤10A时，R≥3.6Ω，选项C正确，符合题意；
当R＝6Ω时，I＝6A，选项D不正确，不符合题意；
蓄电池的电压不一定是18V，故选项B不正确，不符合题意；
故选：C．
8．C
【解答】解：当k＜0时，
∴该反比例函数的图象在第二、四象限，
∵函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜x2＜0＜x3，
∴点点A1（x1，y1），A2（x2，y2）在第二象限，点A3（x3，y3）在第四象限，
∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，
又∵该反比例函数在每一象限内，y随x的增大而增大，
∴y2＞y1＞0＞y3．
当k＞0时，
∴该反比例函数的图象在第一、三象限，
∵函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜x2＜0＜x3，
∴点点A1（x1，y1），A2（x2，y2）在第三象限，点A3（x3，y3）在第一象限，
∴y1＜0，y2＜0，y3＞0，
又∵该反比例函数在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴y2＜y1＜0＜y3．
故选：C．
9．A
【解答】解：由图象可知，当k1x+b时，x的取值范围为0＜x＜2或x＜6，
故选：A．
10．C
【解答】解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数．
所以设y（k≠0），
把x＝10，y＝45代入求得k＝450，
∴y，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为y（x＞0），
把y＝12.5代入y，得x＝36，
∴当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是36cm，
随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小．
故选：C．
11．D
【解答】解：设，
由条件可知，
∴BC＝OC﹣OB＝c﹣a，
∵四边形形ABCD是矩形，AC与BD交于点E，
∴E为AC的中点，
∴，
S矩形ABCD＝10，
∴AB BC＝10，
∴，
由条件可知，
∴c＝3a，
∴，
∴k＝5，
故选：D．
12．C
【解答】解：过点E作EK⊥y轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G，H，过点B作x轴的垂线，垂足为F，连接OE，HF，BH，AF，
由条件可知，
∵BF∥y轴，AH∥x轴，AG∥y轴，
∴S△OAH＝S△AHF＝S△OBF＝S△BFH，
由条件可知△AHF，△BHF在FH上的高相等，
∴AB∥FH，
∴四边形DHFB为平行四边形，
∴BF＝DH，
∵AH∥x轴，
∴∠DAH＝∠BCF，
∵∠AHD＝∠CFB＝90°，
∴△AHD≌△CFB（AAS），
∴AD＝BC，
在△EKD和△AHD中，
，
∴△EKD≌△AHD（AAS），
∴S△EKD＝S△AHD，AD＝ED，
∵AB＝3BC，
∴ED：AD：AB：BC＝1：1：3：1，
∴，
∴，
∵AG∥y轴，
∴，
∴，
∴S△ADH＝S△AOD﹣S△AHO＝5﹣4＝1，
∴S△EKD＝S△AHD＝1，
∴，
∵双曲线经过第二象限，
∴k2＝﹣12，
故选：C．
二、填空题
13．0．
【解答】解：因为y＝（m2+2m）x|m|﹣3是关于x的反比例函数，
所以，
解得，
所以m＝2，
所以（m﹣2）2023＝（2﹣2）2023＝0．
故答案为：0．
14．一、三．
【解答】解：反比例函数y中，
∵2＞0，
∴该函数的图象在第一、三象限．
故答案为：一、三．
15．220～440．
【解答】解：根据物理中电学知识可知，当电压为220V时，
∵2202＞0，
∴P随R的增大而减小，
当R＝110时，P＝440；当R＝220时，P＝220，
∴用电器功率的范围是220～440W，
故答案为：220～440．
16．在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数a（a≠0），直线y＝ax+a﹣2都经过平面内一个m＞0或m＜﹣1．
【解答】解：∵y＝ax+a﹣2＝a（x+1）﹣2，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣2，
∴直线经过平面内一个定点A（﹣1，﹣2），
由条件可知b＝﹣1×（﹣2）＝2；
即，
若点P（m，n）在第一象限，当n＞﹣2时，m＞0，
若点P（m，n）在第三象限，当n＞﹣2时，m＜﹣1，
综上，当n＞﹣2时，m＞0或m＜﹣1，
故答案为：m＞0或m＜﹣1．
17．①③．
【解答】解：①∵点A（a，b）在反比例函数y图象上，
∴k＝ab，
将点（﹣a，﹣b）代入函数解析式y得，k＝ab，
∴点（﹣a，﹣b）在反比例函数y图象上，故①正确，符合题意；
②当k＜0时，k＜0，
∵S△AOE＞0，
∴S△AOEk不成立，故②错误，不符合题意；
③由反比例函数的对称性得，OA＝OC，
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴AB∥CD，∠OAB＝∠OCD＝90°，
∴∠ABO＝∠CDO，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确，符合题意；
④∵反比例函数图象一支上到点A的距离为定值（不为零）的点有两个，
∴当点B，D在反比例函数y的图象上且CD＝AB时，四边形ABCD不一定为平行四边形，故④错误，不符合题意；
故答案为：①③．
18．．
【解答】解：由条件可知阴影矩形的一边长都为1，如图：
由题意得：P1D⊥y轴，P1C⊥x轴，P2025A⊥y轴，交P1C于点B，
将面积为S2，S3， ，S2025的矩形向左平移到S1下方，则有：
，
当x＝2026时，y，即OA，
∴S矩形OABC＝OA OC，
根据反比例函数k值的几何意义得：，
S阴影＝S矩形DABP1＝S矩形OCP1D﹣S矩形OABC＝1，
故答案为：．
三、解答题
19．解：∵y1是x的正比例函数，y2是x的反比例函数，y＝y1+y2，
∴设y1＝kx，，则，
∵x＝1时，y＝﹣1；x＝﹣2时，，
∴，
解得，
∴y关于x的函数关系式是．
20．解：（1）A＝（）
＝a+1+（a+2）（a﹣1）
＝a+1+a2+2a﹣a﹣2
＝a2+2a﹣1；
（2）点p（a，a+2）在反比例函数y的图象上，
∴a（a+2）＝3
即a2+2a﹣3＝0，
（a﹣1）（a+3）＝0，
∴a＝1或a＝﹣3．
当a＝1时，A＝2，
当a＝﹣3时，A＝2，
∴A的值为2．
21．解：（1）由题意设，把x＝25，y＝10代入，得k＝25×10＝250，
∴y关于x的函数解析式为．
（2）k＝250＞0，x表示弹簧秤与中点O的距离，最大值是50cm，
∵x＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴把xmax＝50代入，得ymin＝5，
∴弹簧秤的示数y的最小值为5N．
22．解：（1）由题意可知A（2，3），D（4，0），
将A点坐标代入中，得：，
∴k＝6，
∴双曲线的解析式为；
（2）∵OB＝2cm，直尺的宽度为2cm，
∴D（4，0），
把x＝4代入，得，
∴，
∵，，
∴S△OAC＝S△AOB+S梯形ABCD﹣S△COD＝S梯形ABDC．
23．解：（1）由条件可知，
解得m＝8，
点A（8，3），
反比例函数图象过点A（8，3），
k＝8×3＝24，
反比例函数的表达式为；
（2）∵点C的横坐标为a，CD∥y轴交反比例函数的图象于点D，
∴，，
∴，
则△BCD的面积为
，
，
当a＝1时，△BCD的面积最大，这个最大值是．
24．解：（1）设正比例函数与反比例函数的解析式分别为y＝k1x，y，把P（2，3）分别代入得k1，k2＝6，
∴正比例函数与反比例函数的解析式分别为yx，y，
又∵点D的纵坐标为9，
∴对于yx，令y＝9，得9x，解得x＝6，
∴D点坐标为（6，9），
∵DC⊥x轴，DQ⊥y轴，
∴A点的纵坐标为9，点F的横坐标为6，
∵点A与点F在反比例y的图象上，
∴把y＝9代入y得x，把x＝6代入y得y＝1，
∴A点坐标为（，9），F点坐标为（6，1），
又∵AB⊥x轴，
∴点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为，
而点E在直线yx上，把x代入yx得y＝1，
∴E点坐标为（，1）；
（2）结论：AE＝DF．理由如下：
设D点坐标为（a，a），
则A点的纵坐标为a，点F的横坐标为a，
把ya代入y得x，把x＝a代入y得y，
∴A点坐标为（，a），F点坐标为（a，），
∴DFa；
又∵点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为，
而点E在直线yx上，把x代入yx得y，
∴E点坐标为（，）
∴AEa，
∴AE＝DF．
25．解：（1）∵点A（m，3）在一次函数图象上，
∴3m，解得m＝2，
∴A（2，3），
∵点A（2，3）在反比例函数的图象上，
∴k＝6．
故答案为：2，6；
（2）对于反比例函数，当y＜﹣1时，
即1，
∴x＜﹣6，
∴x的取值范围为x＜﹣6，
故答案为：x＜﹣6．
（3）如图，作AM⊥y轴，垂足为M，BN⊥AM交MA的延长线于点N，
在△OMA和△ANB中，
，
∴△OMA≌△ANB（AAS），
∴OM＝AN＝3，AM＝NB＝2，
∴B（5，1），
在反比例函数y中，当x＝5时，y1，
∴点B（5，1）不在反比例函数图象上．
26．解：（1）由题意得，B（4，20），
设滑道BC的函数解析式为y（k≠0），
∴k＝4×20＝80．
∴滑道BC的函数解析式为y．
又∵点C到水平面的距离为5m，
∴令y5，则x＝16．
∴C（16，5）．
∴自变量x的取值范围为4≤x≤16．
（2）由题意得，滑道CD的顶点为（25，9），
∴可设滑道CD的函数解析式为y＝a（x﹣25）2+9．
又∵C（16，5），
∴5＝a（16﹣25）2+9．
∴a．
∴滑道CD的函数解析式为y（x﹣25）2+9．
∴令y＝0，则：．
∴x＝38.5或x＝11.5．
由于点D在点C右侧（x＞16），
∴D（38.5，0）．
∴自变量x的取值范围是16≤x≤38.5．
（3）由题意，分两种情形讨论．
①当滑在BC段（4≤x≤16）：
令y＝8，代入得，，
∴x＝10．
∴水平距离为10﹣4＝6（m）．
②滑在CD段（16≤x≤38.5）：
令y＝8，代入得，
∴x＝29.5或x＝20.5，均满足16≤x≤38.5．
∴此时水平距离分别为：29.5﹣4＝25.5（m），20.5﹣4＝16.5（m）．
综上，所滑过的水平距离为6m或16.5m或25.5m．
故答案为：6m或16.5m或25.5m．