第二十六章《反比例函数》单元检测 （含答案）九年级数学下册人教版

第二十六章《反比例函数》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，在反比例函数（，k为常数）的图象上，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．在反比例函数的图象上，有一系列点，，，，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，，，，，作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
5．已知P为函数的图象上一点，且点P到原点的距离为2，则符合条件的点P的个数为（ ）
A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个
6．定义运算“※”为：，如：，则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．设函数 ，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，和的值正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．
8．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（ ）
A．8 B．12 C．15 D．
9．如图，正方形在平面直角坐标系中的点和点的坐标为、，点在双曲线上.若正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在该双曲线上，则的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．反比例函数的图像如图所示，若二次函数图像的对称轴为直线，与轴交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图是台阶状的折线示意图，每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为，若反比例函数的图象与该折线有公共点，则k的整数值有 个．
12．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则 ．
13．如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为 ．
14．已知点都在反比例函数（a为常数）的图象上，且，则的大小关系为 ．（用“”连接）
15．如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，过点的直线轴，分别交反比例函数和的图象于点，，且，．

（1）的值为 ；
（2）若直线与直线交于点，当点，，中其中两点关于第三点对称时，的值为 ．
16．在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把点称为点P的“和差点”．若直线上有两个点A和B，它们的和差点和均在反比例函数上，则的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点，都在该反比例函数图象上；
①当，且点和点关于原点成中心对称，求点的坐标；
②当，时，求的取值范围．
18．（6分）设函数，，当时，函数的最小值是a，函数的最大值是．
(1)求k的值．
(2)若点在函数的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围．
(3)一次函数与函数的图象在第一象限的交点为点A，且与x轴交于点B，点C在函数位于第一象限的图象上，若，直接写出点C的横坐标．
19．（8分）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5．
(1)求k和m的值；
(2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积；
(3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形．
20．（8分）如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动且托盘上放置了一个空牛奶盒．已知，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下
表中的实验数据．
实验次数 第次 第次 第次 第次 第次
总质量（牛奶盒+水）
的距离
(1)你认为表中哪次数据是明显错误的；
(2)你认为与满足怎样的函数关系___________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），求出关于的函数表达式；
(3)某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量．
21．（10分）综合与实践
问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中是线段，为双曲线在第一象限内的一部分．
问题解决：
(1)求线段和双曲线所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围．
(2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加集中．
(3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间段．（默认为在时间段内能讲完）
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过点，点的坐标为．
(1)的值为 ；
(2)若将菱形沿轴正方向平移个单位．
①当菱形的顶点落在反比例函数的图像上时，求的值；
②在平移过程中，若反比例函数的图像与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围．
23．（12分）如图1，已知反比例函数，点A，B在x轴正半轴上（点A在点B的左侧），过点A，B分别作．轴，轴，交反比例函数图象于点D，C，连接．
(1)填空：_______；
(2)求证：；
(3)如图2，直线交于点F，交延长线于点G．点在线段上．
①若点E是的中点．证明：四边形为平行四边形．并求出此时的值；
②如图3，连接．试判断的形状，并说明理由．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为，点B的横坐标为5，一次函数与x轴交于点C．
(1)求a，b，k的值；
(2)如图1，点D是第二象限内反比例函数上一动点，连接．当时，求点D的坐标；
(3)如图2，在（2）问的条件下，点E，F均为x轴上的动点，且点E在点F的左侧，．求的最小值；
(4)如图3，点G是x轴上一点，点H是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．A
解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，
∴点A与点B的坐标关于原点对称，
∵点B的坐标为，
∴点A的坐标为．
故选：A．
2．D
解：延长交于点E，
设，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，，
∵反比例函数经过、两点，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故选：D．
3．B
解：当，反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且时，时，
∵，且，
∴当时，，则；
当时，，则，
∴，则，
∴；
当，反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时，
∵，且，
∴当时，，则，
当时，，则，
∴，则；
∴；
综上，，
故选：．
4．A
解：点、、、、、在反比例函数的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，
又点的横坐标为2，
，，坐标为．
由题图象知，，，
，
，
，
，2，3，，
，
．
故选：．
5．B
解：设，则根据题意，得
，
解得．
∴符合条件的点有2个．
故选：B．
6．C
解：当时，函数解析式为，
当时，函数解析式为，
图象大致为
故选：C．
7．A
解：，
∴在每个象限内，随的增大而减小，
，
当时最大，
即，
，
，
，
∴在每个象限内，随的增大而增大，
，
当时最小，
即，
，
，
解得：，
，
故选：A．
8．C
解：∵四边形是长方形，，，
∴，，，
∴轴，轴，
∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，即，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
∴，
∴的面积为．
故选：C．
9．B
过点作轴的垂线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的垂线交于.
，，，.
又，，， 点坐标为
将点坐标为代入，可得=4.
与同理，可得到，， 点坐标为，正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点坐标为
将点坐标为代入，可得=2. 故选B.
10．C
解：反比例函数的图像过第二象限，
，
当时，，
，
抛物线的开口向下，对称轴为，
抛物线的对称轴为直线，
，
依据题意得，
，
，
即，
故选：C．
二．填空题
11．4
解：∵每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为，
∴、、、、、，
如图，当反比例函数图象过点B开始与台阶有交点，直到反比例函数图象过点C为止，
，
∴k取3，4，5，6，
∴k的整数值有4个，
故答案为：4．
12．
解：如图所示，过点作于点，
∵正比例函数和反比例函数交于、两点，
两点的坐标关于原点对称，即，
∵，，，
，
，
∴，
∴
∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，
故答案为：．
13．6
解：点、在反比例函数的图象上，
设，，
又点、在反比例函数的图象上，轴，
，，
由题意得，，，
，，
与的距离为5，
，
，
解得：．
故答案为：6．
14．
解：，
反比例函数是常数）的图象在一、三象限，
如图所示，当时，，
即
故答案为：．
15． 2或或
解：（1）过点的直线轴，分别交反比例函数和的图象于点，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
而，
．
（2）当点，关于点对称，即点为线段的中点，
，，
，
，
代入得，，
解得：，
当点，关于点对称，即点为线段的中点，
，
，
，
代入得，，
解得：，
当点，关于点对称，即点为线段的中点，
，
，
，
代入得，，
解得：，
综上所述，的值为2或或．
故答案为：；2或或．
16．
解：设点A的坐标为：，点B的坐标为：，则，，
∵和均在反比例函数上，
∴，，
解得：、，、，
当时，；
当时，，
∴点A的坐标为：或，点B的坐标为：或，
设一次函数与x的轴相交于点C，
当时，，即，
∴点C的坐标为：，
∴，
如图所示：，
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：∵反比例函数，点，都在该反比例函数图象上，
∴，解得，
∴；
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：点，都在该反比例函数图象上，点和点关于原点中心对称，
∴，
∵，则，解得，
∴，
将代入得解得，
∴；
②∵，则，
∵，
∴，点在第三象限，
∴，
∴．
18．（1）解：∵，
∴在每一象限内，随x的增大而减小，随x的增大而减小，
∴当时，最小值为，
当时，最大值为，
由①，②得：．
（2）∵到y轴的距离大于3，
∴或，
∵，
∴或；
（3）解，得，，
∴．
解，得，
∴，
∴
∴
①当点C在A点的右侧
设，过A，C分别关于x轴作垂线交于点M、N，
∵，
∴，
∴，
∴，（舍去），
②当点C在A点的左侧，
设，过A，C分别关于x轴作垂线交于点M、N，
∵，
∴，
∴（舍），，
所以点C的横坐标为3或．
19．（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得反比例函数解析式为,
点代入得
解得，
∴,
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，
∴，
令得，
∴，
∴,
∴．
（3）证明：∵轴，
∴，
∵,
∴
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
20．（1）解：天平要达到平衡，总质量越小越大，与第，次相比，第次总质量小，反而小，
第次数据是明显错误的；
（2）与满足的函数关系为反比例函数，
故答案为：反比例函数；
设关于的函数表达式为，
则，
∵当时，，
∴，
∴关于的函数表达式为；
（3）设空牛奶盒的质量为，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
答：这个空牛奶盒的质量为．
21．（1）解：设线段的函数表达式为，
将，代入，得，
解得，
∴线段的函数表达式为．
设曲线的函数表达式为，将代入，得，
∴曲线的函数表达式为．
（2）把代入，得，
把代入，得．
∵，
∴学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中．
（3）解：当，解得，
当，解得，
结合图象，要求学生的注意力指标数不得低于40，则x的取值范围是，
∴安排在第5分钟至第25分钟．
22．（1）解：如图所示：过点D作x轴的垂线，垂足为F，
∵点D的坐标为，
∴，
∴，
∴菱形，
∴，则
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
（2）①将菱形沿x轴正方向平移m个单位，
则平移后，
∵菱形的顶点B落在反比例函数的图象上，
∴，
②如图，
将菱形沿x轴正方向平移m个单位，
使得点D落在函数的图象处，
过点作x轴的垂线，垂足为，
∵，
∴，
∴点的纵坐标为，
∵落在函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．（1）解：；
故答案为：1；
（2）证明：点C，D在反比例上，
，
，
，
（3）解：①设点．
是线段的中点，
．
点C在反比例上，
．
．
解得．
点A在点B的左侧，
．
点，点．
设直线的解析式为，
．
解得：．
直线的解析式为．
，
．
轴，轴，
．
四边形为平行四边形．
由（2）得：，点，点，
．
②是直角三角形，理由如下：
设点，
则点．
．
，
．
．
．
同理，设点，
则点．
，．
．
．
设直线交x轴于点H，连接．
令，则．
点．
点，
轴．
．
．
，
．
，
．
．
，
．
是直角三角形．
24．（1）解：一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为，
，即，
点B的横坐标为5，
，即点B的坐标为，
，
解得，
综上，，，；
（2）解：由（1）知，一次函数为，
当时，，解得，
点C的坐标为，即，
点A的坐标为，点B的坐标为，
，
点D是第二象限内反比例函数上一动点，
设点D的坐标为，
，
，
解得，
点D的坐标为；
（3）解：将点D向右平移一个单位，得到 ，连接，，
，
，且，
四边形为平行四边形，
，
，
为定长，要的值最小，即的值最小，
当三点共线时，的最小值为，
的最小值为；
（4）解：存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，
点D的坐标为，点C的坐标为，
，
①当为边时；
以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，
，，
或，
②当为边，为对角线时；连接交于点，
以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，
，
；
③当为边，为对角线时；
以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，
，
设，
，，
，解得，
，
；
综上所述，或或或．