第28章《锐角三角函数》单元测试（含答案）九年级数学下册人教版

第28章《锐角三角函数》单元测试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．已知∠α为锐角，且cosα，那么∠α＝（　　）
A．60° B．90° C．30° D．45°
2．在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB，则cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值（　　）
A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定
4．已知α为锐角，，则α等于（　　）
A．30° B．50° C．60° D．80°
5．在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，且BD⊥CE，那么tan∠ABC的值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
6．如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物C，小明在公路上的点A处测得建筑物C在北偏东60°的方向上；小明向东走20米到达点B处，测得建筑物C在北偏东30°方向上．则建筑物C到公路l的距离为（　　）
A．10米 B．米 C．15米 D．米
7．一辆卡车沿倾斜角为30°的斜坡向上行驶100m，则卡车水平方向所经过的距离为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA的值是（　　）
A． B． C． D．2
9．若△ABC中，锐角A、B满足，则△ABC是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
10．图1是一款折叠日历，图2是其侧面示意图，若AB＝AC＝a，BD＝CD＝b，∠BAC＝20°，∠BDC＝100°，则点A，D之间的距离为（　　）
A．asin10°﹣bcos50° B．acos10°﹣bsin50°
C．asin10°﹣bsin50° D．acos10°﹣bcos50°
11．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面120m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行73m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（　　）
A．41m B．42m C．43m D．77m
12．如图，⊙O的半径为2，弦CD垂直直径AB于点E，且E是OA的中点，点P从点E出发（点P与点E不重合），沿E→D→B的路线运动，设AP＝x，sin∠APC＝y，那么y与x之间的关系图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3，则cosA＝　 　 ．
14．计算：　 　 ．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°．如果tanB＝2，AB＝5，那么AC＝　 　 ．
16．若m为正整数，且满足m＜tan60°＜m+1，则m＝　 　 ．
17．定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝60°，β＝45°时，，则sin15°的值为　 　 ．
18．定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是 　 　 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
19．（8分）计算：
（1）cos230° tan60°﹣4sin30°+tan45°；
（2）．
20．（8分）根据下列条件，解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，b．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，连接BE，BE＝5，sin∠CBE．
（1）求BC的长；
（2）求tanA的值．
22．（8分）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i＝1：3，米，CD⊥BD．（点A，B，C，D在同一竖直平面内）．
（1）求平台BN的高度；
（2）求建筑物的高度（即CD的长）．
23．（10分）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°；停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
（1）求AB的长；
（2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．
24．（10分）如图，甲、乙两艘海上巡逻艇同时从A岛出发，甲先沿北偏东60°方向航行140海里到B岛领取物资（领取物资的时间忽略不计），再沿东南方向航行到E岛与乙巡逻艇汇合，E岛恰好在A岛的正东方向．乙巡逻艇从A岛出发后，先沿南偏东53°方向航行到岸边的C处，再沿海岸线水平向右航行70海里到D处加油，加油完毕后，再沿东北方向航行至E岛．
（1）请求出AE的长度；（结果保留根号）
（2）若甲、乙巡逻艇的航行速度都为50海里/小时，且甲、乙巡逻艇恰好同时到达E岛，请问乙巡逻艇在D处加油花了多少小时？（计算结果精确到0.01）
（参考数据：，
25．（10分）如图1是一款多功能折叠椅的实物图，图2是其打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度）．支架AB，CD相交于点O，支架AB可绕点A旋转，支架CD可绕点O旋转，同时支架CD的端点C可在椅面AQ上左右滑动．AN为桌面EF的支撑臂．HG．HM为桌面EF的托杆，点G，M分别固定在桌面和支撑臂上，两托杆可以绕连接点H转动．现折叠椅为完全打开状态，已知AO：BO＝1：2，AQ与地面BD平行，AN⊥AQ，AQ＝EF＝32cm，NE＝CQ＝5cm，AB＝66cm，AN＝27cm．
（1）求两支架底端B，D之间的距离；
（2）已知将折叠椅完全打开成桌子时，桌面的倾斜角（桌面与水平方向的夹角）为15°，支架AB与椅面AQ的夹角为32°，求此时桌面左上角顶点F到地面的距离．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
26．（10分）如图（1），已知△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，tan∠B，tan∠F，且A、B、D、E共线，点B、点E在线段AD上．在射线AB上平移△DEF，平移后得到△D′E′F′，直线E′F′与交BC于点G．
（1）如图（2），当E′在线段AB上时，设x，y，求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）．
（2）当AB＝2BE时，设以A、C、E′、G为顶点构成的四边形面积为S，求的值．
参考答案
一、选择题
1．C
【解答】解：∵∠α为锐角，且cosα，
∴∠α＝30°．
故选：C．
2．A
【解答】解：
∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，sinB，
∴cosA，
故选：A．
3．C
【解答】解：∵把△ABC的三边都放大2倍后，所得的三角形与△ABC是相似三角形，
∴∠A的大小不变，
∴sinA的值不变，
故选：C．
4．D
【解答】解：∵，
∴α﹣20°＝60°，
解得：α＝80°，
故选：D．
5．A
【解答】解：连接DE，过点E作BC的垂线，垂足为F，
∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，
∴点D，E分别为AC和AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
令DE＝2x，则BC＝4x，
又∵四边形DEBC是等腰梯形，
∴BF．
由对称性可知，∠GBC＝∠GCB，
∴△GBC是等腰直角三角形，
∴∠ECF＝45°．
又∵EF⊥BC，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF＝FC＝3x．
在Rt△EBF中，
tan∠ABC．
故选：A．
6．B
【解答】解：过点C作CP⊥AB，∠PAC＝90°﹣30°＝60°，∠PCB＝30°，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵AB＝AP﹣BP＝20米，
∴（米），
∴米．
故选：B．
7．D
【解答】解：如图：过点B作BC⊥AC，垂足为C，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝100m，
∴AC＝AB cos30°＝10050（m），
∴卡车水平方向所经过的距离为50m，
故选：D．
8．C
【解答】解：如图，连接格点BD、CD．
在Rt△ABD中，
tanA．
故选：C．
9．D
【解答】解：根据题意得sinA0，cosB0，
∴sinA，cosB，
∴锐角A＝60°，锐角B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
故选：D．
10．D
【解答】解：连接BC，连接AD并延长交BC于点E，
∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝10°，∠BDE＝∠CDE∠BDC＝50°，
在Rt△BDE中，BD＝b，
∴DE＝BD cos50°＝bcos50°，
在Rt△ABE中，AB＝a，
∴AE＝AB cos10°＝acos10°，
∴AD＝AE﹣DE＝acos10°﹣bcos50°，
∴点A，D之间的距离为acos10°﹣bcos50°，
故选：D．
11．C
【解答】解：延长BA交MN于点C，可知BC⊥MN，
由题意可知BC＝120m，MN＝73m，∠CNB＝45°，
∴，
∴MC＝MN+CN＝73+120＝193m．
∵∠AMC＝22°，
∴AC＝MC tan22°≈193×0.40＝77.2，
∴AB＝BC﹣AC＝120﹣77.2＝42.8≈43（m）．
则潮汐塔AB的高度为（结果精确到1m）为43（m），
故选：C．
12．C
【解答】解：当点P在线段ED时，y＝sin∠APC，
∴当0＜x≤2时，函数图形是反比例函数，
当点P在上时，∠APC是定值，y是定值，
故选：C．
二、填空题
13．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，得
AB为斜边．
由tanA3，得
BC＝3AC．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理，得
ABAC．
cosA，
故答案为：．
14．．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
15．2．
【解答】解：如图，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
设BC＝x，则AC＝2x（x＞0）
由勾股定理，得（2x）2+x2＝52，
即（2BC）2+BC2＝52，
∴4x2+x2＝25，
∴x2＝5，
∵x＞0，x，
∴，
∴．
故答案为：．
16．1．
【解答】解：，，
∵m为正整数，且满足m＜tan60°＜m+1，，
∴m＝1．
故答案为：1．
17．．
【解答】解：sin15°＝sin（60°﹣45°）
＝sin60° cos45°﹣cos60° sin45°
，
故答案为：．
18．．
【解答】解：如图所示：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，
∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝BD＝1/2AB，
∴△DAC是等腰三角形，
∴∠A＝∠DCA，
∵DE＝CE，
∴∠EDC＝∠DCA，
∴∠EDC＝∠DCA＝∠A，
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠AED＝∠EDC+∠DCA＝2∠A，
∵∠ADE＝90°，
∴△ADE是直角三角形，
∴∠A+∠AED＝90°，
∴∠A+2∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
设DE＝a，则AE＝2a，
由勾股定理得：AD，
∴secA．
三、解答题
19．解：（1）原式
；
（2）原式．
20．解：（1）∠A＝30°，c16，b＝atanB＝8．
（2）∠B＝45°，a＝btanAtan45°，c2．
21．解：（1）在Rt△BCE中，
sin∠CBE．
∵sin∠CBE，BE＝5，
∴CE＝2，
则BC．
（2）∵点D为AB的中点，且DE⊥AB，
∴AE＝BE＝5，
∴AC＝AE+EC＝5+2＝7，
∴tanA．
22．解：（1）如图，过点B作BE⊥AM于E，
∵斜坡AB的坡度为1：3，
∴，
∴AE＝3BE，
在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2，即（10）2＝BE2+（3BE）2，
解得：BE＝10，
答：平台BN的高度为10米；
（2）如图，延长CD交AM于F，
则CF⊥AM，
∴四边形BEFD为矩形，
∴DF＝BE＝10米，BD＝EF，
设CD＝x米，则CF＝（x+10）米，
在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，
∵tan∠CAF，
∴，
∴AF（x+10）米，
在Rt△CBD中，∠CBD＝60°，
则BDx米，
由（1）可知：AE＝3BE＝30米，
∴（x+10）x＝30，
解得：x＝1515，
答：建筑物的高度为（1515）米．
23．解：（1）由题意得：∠BCA＝90°，
∵AC＝3m，∠CAB＝60°，
在Rt△ABC中，由cos∠A，
得：cos60°，
∴AB＝6m；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC3（m），
在Rt△BCD中，sin∠CDB，
∴sin37°0.6，
∴BD＝5m，
由题意得，BC+AB＝BE+BD，
∴BE＝BC+AB﹣BD＝36﹣56﹣2（m），
∴CE＝BC﹣BE＝3（6﹣2）＝56≈2.7（m），
答：物体上升的高度约为2.7m．
24．解：（1）过点B作BH⊥AE于点H，
由题意∠BAE＝30°，∠BEA＝45°，AB＝140海里，
∴在Rt△AHB中，BHAB＝70（海里），
AH＝AB cos∠BAE＝70（海里），
∵在Rt△EHB中，∠BEA＝45°，
∴BH＝HE＝70（海里），
∴（海里），
∴海里，
答：AE 的长度为（70+70）海里；
（2）过点C作CM⊥AE于点M，过点D作DN⊥AE于点N设CM＝x，
∵CD∥AE，
∴∠CMN＝∠CND＝∠CDN＝90°，
∴四边形CMND为矩形，
∴DN＝CM＝x海里，MN＝CD＝70海里，
∵在Rt△END中，∠AED＝45°，
∴DN＝NE＝x海里，（海里），
∵在Rt△AMC中，∠EAC＝37°，
∴，
∴x＝30（海里），
∴DEx＝30（海里），
∴sin∠EAC，
∴AC＝50（海里），
∴甲巡逻艇的总路程为（海里），
∴甲巡逻艇到达E处所用时间为（小时），
∵乙巡逻艇的总路程为（海里），
∴乙加油的时间：
（小时），
答：乙巡逻艇在D处加油花了0.17小时．
25．解：（1）∵AQ＝32cm，CQ＝5cm，
∴AC＝AQ﹣CQ＝32﹣5＝27（cm），
∵AQ∥BD，
∴∠CAO＝∠B，∠ACO＝∠D，
∴△ACO∽△BDO，
∴，
∴BD＝2AC＝2×27＝54（cm），
答：两支架底端B，D之间的距离为54cm；
（2）如图，过点A作AP⊥BD，交BD于点P，分别过点N作NK⊥AN，过点F作FK⊥NK交于点K，
∵∠QAO＝32°，AB＝66cm，AQ∥BD，
∴∠PBA＝32°，
∴在Rt△APB中，AP＝AB sin32°≈66×0.53＝34.98（cm），
∵∠FNK＝15°，FN＝AC＝27cm，
∴在Rt△FNK中，FK＝FN sin15°≈27×0.26＝7.02（cm），
∴桌面左上角顶点F到地面的距离为FK+AN+AP＝7.02+27+34.98＝69（cm），
答：桌面左上角顶点F到地面的距离为69cm．
26．解：（1）如图，作GH⊥AB，KE′⊥AB．．
易知AC∥BH∥D′F∥E′K，
∴∠BHE′＝∠D′FE′，．
设BE′＝4m，
∵E′K＝BE′ tan∠ABC4m＝3m，BH＝BE′÷tan∠BHE′＝BE′÷tan∠D′FE′＝4mm，
∴．
∴S△BGE′ S△BE′K S△BE′KS△BE′K．
由E′K∥AC可得△ABC∽△E′BK，则，
∴yx2 S△BE′K÷（S△BE′K）x2．
（2）为方便表示，图中画出的△DEF即为移动后的位置．
当AB＝2BE时，有两种情况：
①如图，作GH⊥AB，H为垂足．易得AC∥GH∥DF，
∴∠EGH＝∠F，
设BE′＝2n，则AB＝4n，AC＝AB tanB＝3n，S△ABCAC AB＝6n2，
∵EH＝GH tan∠FGH，BH＝GH÷tan∠GBH＝GH÷tan∠ABCGH，
∴EH+BHGHGHGH＝BE＝2n，
∴GHn．
∵S△CBE S△ABC＝3n2，S△AEGAE GH（AB+BE） GHn2，
∴S＝S△ABC+S△CBE+S△AEGn2，
∴n2÷（6n2）．
②由（1）可知x＝2，4，
∴．
综合①②可得的值为或．