2025~2026学年山东省济南市槐荫区九年级数学第一学期期末考试试题(含答案)

2025~2026 学年度第一学期期末质量检测九年级数学（2026.01）
本试题分试卷和答题卡两部分。第 I 卷满分为 40 分；第 II 卷满分为 110 分。本试题共 8 页，满分为 150 分。考试时间为 120 分钟。
答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置。考试结束后，将试卷、答题卡一并交回。本考试不允许使用计算器。
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
注意事项：
第 I 卷为选择题，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答案写在试卷上无效。
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.计算：2sin30 的值是（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 2
2.反比例函数y=的图象一定经过的点是（ ）
A. (2,4) B. ( 8,1) C. ( 1,8) D. ( 4,2)
3.如图，点 A、B、C 在⊙O上，若∠A=32 ，则∠O=（ ）
A. 16 B. 64 C. 48 D. 32
4.如图，△ABO∽△CDO，则∠B的度数为（ ）
A. 30 B. 35 C. 40 D. 45
5.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校计划用总长为 5 米的篱笆（虚线部分），两面靠墙（足够长），围出一块面积为 6 平方米的矩形苗圃作为实践基地（如图所示）。设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ）
A. 5x2=6 B. 5(1+x2)=6 C. x(5 x)=6 D. 5(1+x)2 =6
6.已知( 3,y1)，( 1,y2)，(2,y3)都在双曲线y=上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A. y17.已知二次函数y=kx2 2x 1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A. k> 1 B. k≥ 1且k≠0 C. k<1且k≠0 D. k> 1且k≠0
8.如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(5,2)，则AC的长为（ ）
A. 5 B. 3 C. 6 D.
9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ）
①abc<0；②3a+c=0；③9a 3b+c=0；④am2 a+bm+b>0（m为任意实数）
1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
10.如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于点G，延长BG交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于点N，下列结论：①DE=CN；②=；③S△DEC=3S△BNH；④∠BGN=45 ；⑤GN+EG=BG；其中正确结论的个数有( )
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
注意事项：
所有答案必须用 0.5 毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等。
不按以上要求作答，答案无效。
二、填空题（本大题共 6 个小题。每小题 4 分，共 24 分。把答案填在答题卡的横线上。）
11. 二次函数y=(x 1)2+2的顶点坐标是__________。
12.若=，则的值为__________。
13.如图所示，D是△ABC的边AC上的点，且∠ABD=∠C，AB=6，AD=3，则AC的长为__________。
14.如图，在半径为 10 的⊙O中，AB=16，OC⊥AB于点C，则OC等于________。
15.如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点C与x轴平行，且直线分别与反比例函数y=(x>0)和y=(x<0)的图象交于点P、Q，若△POQ的面积为 8，则k=__________。
16.如图，在正方形ABCD中，AB=4，以AD的中点O为圆心，1 为半径作半圆交边AD于点E、F，动点P在半圆上，若∠BPQ=90 且BP=2PQ，则当CQ最小时，△BCQ的面积为__________。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 86 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分 6 分）计算：cos30 +2tan45 tan60 ·sin245
18.（本小题满分 6 分）解方程：x2 2x 1=0
19.（本小题满分 6 分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠AEB=∠AFD。求证：BE=DF。
20.（本小题满分 8 分）图 1 是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE=9cm，BC=38cm，∠ABC=24 。(sin24 ≈0.41，cos24 ≈0.91，tan24 ≈0.45)
(1) 如图 2，∠BCE=__________度；
(2) 如图 2，求点C到靠背AB的距离；(精确到 0.1cm)
(3) 如图 3，靠背AB绕点B旋转至A1B与小桌板支架CB重合，已知杯托凹陷深度为 0.7cm，求乘客水杯 (恰好放进托，空隙忽略不计) 的最大高度。
21.（本小题满分 8 分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N。
(1) 求证：△ABM∽△EFA；
(2) 若AB=6，BM=2，求AE的长。
22.（本小题满分 8 分）如图，已知AB是⊙O的直径，AF平分∠EAC，且∠E=90 ，弧AG=弧BG，连接AG。
(1) 求证：EC是⊙O的切线；
(2) 若AG=2，AF=2，求线段AE的长。
23.（本小题满分 10 分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件利润 40 元，为了扩大销售尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。若设每件衬衫降价x元，解答下列问题：
(1) 当每件衬衫降价 5 元，则每件利润__________元，平均每天可售出__________件；
(2) 若商场想平均每天盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？
(3) 当每件衬衫降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
24.（本小题满分 10 分）如图，反比例函数y=(x<0)与一次函数y=mx+b相交于点A( 1,4)和点B(n,1)，且一次函数与x轴、y轴分别交于点C、点D。
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；
(2) 设P是x轴上一点，当△AOP和△AOB面积相等时，求点P的坐标；
(3) 点Q在反比例函数图象上 (不与点A、B重合)，连接AQ，直线AQ与y轴交于点E，当△ADE与△BCO相似时，请直接写出点Q的坐标。
25.（本小题满分 12 分）【阅读材料】
材料 1：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2 4ac≥0)的两个根x1、x2有如下的关系：x1+x2= ，x1·x2=。
材料 2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决。
下面介绍两种基本构造方法：
方法 1：利用根的定义构造。例如，如果实数m、n满足m2 m 1=0、n2 n 1=0，且m≠n
，则可将m、n看作是方程x2 x 1=0的两个不相等的实数根。
方法 2：利用根与系数的关系逆向构造。例如，如果实数a、b满足a+b=3、ab=2，则可以将a、b看作是方程x2 3x+2=0的两实数根。
根据上述材料解决下面问题：
(1) 已知一元二次方程5x2 10x+1=0的两根x1、x2，则x1+x2= ，x1·x2= ；
(2) 已知实数m、n满足3m2 m 2=0，3n2 n 2=0，且m≠n，求+的值；
(3) 已知实数a、b、t满足a+b=t 5，ab=，且t<5，求t的最大值。
26.（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A( 1,0)，B(6,0)两点，与y轴交于点C。
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q，当取得最大值时，求点P的坐标；
(3) 在 (2) 中取得最大值的条件下，将抛物线y=x2+bx+c沿射线BC方向平移2个单位长度得到抛物线y1，点M为点P的对应点，点N为抛物线y1上的一动点。若∠NAB=∠OPM 45 ，求点N的坐标。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.计算：2sin30 的值是（ A ）
A. 1 B. C. 2 D. 2
2.反比例函数y=的图象一定经过的点是（ A ）
A. (2,4) B. ( 8,1) C. ( 1,8) D. ( 4,2)
3.如图，点 A、B、C 在⊙O上，若∠A=32 ，则∠O=（ B ）
A. 16 B. 64 C. 48 D. 32
4.如图，△ABO∽△CDO，则∠B的度数为（ C ）
A. 30 B. 35 C. 40 D. 45
5.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校计划用总长为 5 米的篱笆（虚线部分），两面靠墙（足够长），围出一块面积为 6 平方米的矩形苗圃作为实践基地（如图所示）。设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ C ）
A. 5x2=6 B. 5(1+x2)=6 C. x(5 x)=6 D. 5(1+x)2 =6
6.已知( 3,y1)，( 1,y2)，(2,y3)都在双曲线y=上，则y1、y2、y3的大小关系是（ B ）
A. y17.已知二次函数y=kx2 2x 1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ B ）
A. k> 1 B. k≥ 1且k≠0 C. k<1且k≠0 D. k> 1且k≠0
8.如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(5,2)，则AC的长为（ D ）
A. 5 B. 3 C. 6 D.
9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ C ）
①abc<0；②3a+c=0；③9a 3b+c=0；④am2 a+bm+b>0（m为任意实数）
1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
10.如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于点G，延长BG交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于点N，下列结论：①DE=CN；②=；③S△DEC=3S△BNH；④∠BGN=45 ；⑤GN+EG=BG；其中正确结论的个数有( D )
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
注意事项：
所有答案必须用 0.5 毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等。
不按以上要求作答，答案无效。
二、填空题（本大题共 6 个小题。每小题 4 分，共 24 分。把答案填在答题卡的横线上。）
11. 二次函数y=(x 1)2+2的顶点坐标是____(1,2)______。
12.若=，则的值为__________。
13.如图所示，D是△ABC的边AC上的点，且∠ABD=∠C，AB=6，AD=3，则AC的长为____12______。
14.如图，在半径为 10 的⊙O中，AB=16，OC⊥AB于点C，则OC等于____6____。
15.如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点C与x轴平行，且直线分别与反比例函数y=(x>0)和y=(x<0)的图象交于点P、Q，若△POQ的面积为 8，则k=_____－10_____。
16.如图，在正方形ABCD中，AB=4，以AD的中点O为圆心，1 为半径作半圆交边AD于点E、F，动点P在半圆上，若∠BPQ=90 且BP=2PQ，则当CQ最小时，△BCQ的面积为____6－______。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 86 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分 6 分）计算：cos30 +2tan45 tan60 ·sin245
=+2－×
=2
18.（本小题满分 6 分）解方程：x2 2x 1=0
解：（x－1）2=2
x－1=±
x1=+1，x2=1－
19.（本小题满分 6 分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠AEB=∠AFD。求证：BE=DF。
证明：在菱形ABCD 中， AB=AD .∠B=∠D
在△ABE 和△ADF 中
∴△ABE≌△ADF ( AAS )
∴BE=DF
20.（本小题满分 8 分）图 1 是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE=9cm，BC=38cm，∠ABC=24 。(sin24 ≈0.41，cos24 ≈0.91，tan24 ≈0.45)
(1) 如图 2，∠BCE=__________度；
(2) 如图 2，求点C到靠背AB的距离；(精确到 0.1cm)
(3) 如图 3，靠背AB绕点B旋转至A1B与小桌板支架CB重合，已知杯托凹陷深度为 0.7cm，求乘客水杯 (恰好放进托，空隙忽略不计) 的最大高度。
(1)114
(2）作CG⊥AB 交于 G
在 Rt△BCG 中，BC =38cm. ∠ABC=24°
∴CG=BC·sin24°≈38×0.41≈15.6cm
∴点 C 到靠背 AB 距离为15.6cm.
（3）作EH⊥CD交 AB于 H
由（1）知：∠HCE=66°
在Rt△CEH中，CE=9cm，∠CHE=90°－66°=24°
EH=≈=20cm
∴h =20+0.7=20.7cm
∴乘客水杯最大高度为20.7on
21.（本小题满分 8 分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N。
(1) 求证：△ABM∽△EFA；
(2) 若AB=6，BM=2，求AE的长。
证明：在正方形ABCD 中，∠BAD =90°=∠B
∵EF⊥AM
∴∠AFE =∠B =90°
∴∠BAM+∠FAE=∠FAE+∠E =90°
∴∠BAM=∠E
∴△ABM△EFA
(2)在 Rt△ABM,AB=6 ,BM=1
∴AM ==2
∵F为 AM中点
∴AF=AM=
由（1）知△ABM△EFA
∴=
∴=
∴AE =10.
22.（本小题满分 8 分）如图，已知AB是⊙O的直径，AF平分∠EAC，且∠E=90 ，弧AG=弧BG，连接AG。
(1) 求证：EC是⊙O的切线；
(2) 若AG=2，AF=2，求线段AE的长。
（1）证明：连接OF
在在O中， OA = OF
∴∠OAF =rOFA =a.
∵AF 平分 ∠EAC
∴∠EAF =∠OAF =α
∴∠EAF =∠OFA
∴AE∥OF
∵∠E=90°
∴∠OFC=∠E=90°
∵OF ⊥ EC
∴EC 为⊙O 切线
(2）连接 OC
∵弧AG=弧BG
∴OG⊥AB
在Rt△AOG 中，OA =OC
∴OA=OG= OB =2
∴AB=4
∵∠EAF =∠FAB
∵AB为直径
∴∠AFB =∠E =90°
∴△AEF△AFB
∴=
∵AF=2
∴=
∴AE=3
23.（本小题满分 10 分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件利润 40 元，为了扩大销售尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。若设每件衬衫降价x元，解答下列问题：
(1) 当每件衬衫降价 5 元，则每件利润__________元，平均每天可售出__________件；
(2) 若商场想平均每天盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？
(3) 当每件衬衫降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（1）35 30
(2).(40-x )(20+2x)=1200
∴x2-30x+200=0
∴x1=10，x2=20
∵尽快减少库存
∴x =20
(3)．记利润为w .
w=(40-5)(20+2x)
=-2x2+60x+800
=-2（x-15)2+1250
∵-2<0．
∴当 x =15时． ymax =1250
24.（本小题满分 10 分）如图，反比例函数y=(x<0)与一次函数y=mx+b相交于点A( 1,4)和点B(n,1)，且一次函数与x轴、y轴分别交于点C、点D。
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；
(2) 设P是x轴上一点，当△AOP和△AOB面积相等时，求点P的坐标；
(3) 点Q在反比例函数图象上 (不与点A、B重合)，连接AQ，直线AQ与y轴交于点E，当△ADE与△BCO相似时，请直接写出点Q的坐标。
（1）将A( 1,4)代入y=
得k=－4
将B(n,1)代入y=
n=－4
将A( 1,4)和B(－4,1)代入y=mx+b
得
解得
∴反比例函数表达式为y=，一次函数表达式为y=x+5
.∵AB :y=x+5
∴D(0.5) A (-1,4) B (-4,1)
∴S△AOB = S△AOP =S△ODB-S△ODA=×5×（4－1）=
∴S△AOP=×PO×yA=×OP×4=
∴OP=
∴P（－，0）或（，0）
（3）Q（－，）
25.（本小题满分 12 分）【阅读材料】
材料 1：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2 4ac≥0)的两个根x1、x2有如下的关系：x1+x2= ，x1·x2=。
材料 2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决。
下面介绍两种基本构造方法：
方法 1：利用根的定义构造。例如，如果实数m、n满足m2 m 1=0、n2 n 1=0，且m≠n
，则可将m、n看作是方程x2 x 1=0的两个不相等的实数根。
方法 2：利用根与系数的关系逆向构造。例如，如果实数a、b满足a+b=3、ab=2，则可以将a、b看作是方程x2 3x+2=0的两实数根。
根据上述材料解决下面问题：
(1) 已知一元二次方程5x2 10x+1=0的两根x1、x2，则x1+x2= ，x1·x2= ；
(2) 已知实数m、n满足3m2 m 2=0，3n2 n 2=0，且m≠n，求+的值；
(3) 已知实数a、b、t满足a+b=t 5，ab=，且t<5，求t的最大值。
（1）＞
（2）∵3m2 m 2=0，3n2 n 2=0且m≠n
∴m、n可以看成方程3x2 x 2=0得解
∴m+n=，mn=－
∴+==－
(3)1
26.（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A( 1,0)，B(6,0)两点，与y轴交于点C。
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q，当取得最大值时，求点P的坐标；
(3) 在 (2) 中取得最大值的条件下，将抛物线y=x2+bx+c沿射线BC方向平移2个单位长度得到抛物线y1，点M为点P的对应点，点N为抛物线y1上的一动点。若∠NAB=∠OPM 45 ，求点N的坐标。
A( 1,0)，B(6,0)代入y=x2+bx+c
得
解得
∴y=x2－7x－8
（2）p（3，－12）
（3）N（2，－12）或（，14+2）