广东省华附、省实、广雅、深中2026届高三四校联考期末数学试题(2)（PDF版，无答案）

华附、省实、广雅、深中 2026届高三四校联考
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 A= x| x ≤2 , B= x∣3x-1<1 ，则 A∩ B=
A. -2,2 B. -2,1 C. -2,1 D. 1,2
2.已知数列 an 是公差不为零的等差数列,若 s , t , p∈N+ ,则“2at= as+ ap”是“2t= s+ p”的
A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从 2025年到该地旅游的游客
中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的游客比例，如下图
所示，则估计 2025年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的
A. 45% B. 30% C. 13.5% D. 13%
4.有 2位老师和 3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有
A. 48种 B. 12种 C. 36种 D. 24种
5.任意一个复数 z= a+ bi a,b∈R 都可以表示成三角形式，即 a+ bi= r(cosθ+ isinθ) θ∈R,r≥0 .法国
数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是:设两个复数 z1= r1 cosθ1+ isinθ1 , z2= r2 cosθ2+ isinθ2 ，则 z1z2=
r1r2 cos θ1+θ2 + isin θ
1
1+θ2 ，已知复数 z= 2 -
3 i，则 z20262 =
A. - 12 -
3
2 i B. -
1
2 +
3
2 i C.
1
2 D. - 1
6.设动直线 l : mx- y- 2m+ 3= 0 m∈R 交圆 C : x-4 2 + y-5 2 = 12于 A , B两点 (点 C为圆心)，当
∠ACB最小时其余弦值为
A. 1 B. 12 4 C.
1
3 D.
1
6
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7.已知函数 f x = ex- 2m , g x = x2-mx，g x 在点 m,0 处的切线与曲线 y= f x 也相切，则实数m
的值为
A. 1 B. - 1 C. - 2 D. 2
lnn -1 n8.已知数列 an 满足 an= n -

n ，则关于 an 说法正确的是
A. 无最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 有最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
n
9. 1已知二项式 ax2+ x (其中 a∈ R , n≤ 8 , n∈N+)的展开式中存在常数项,则下列说法正确的是
A. n的所有取值组成的集合中有且仅有 3个元素
B. 若当 n取最大值时常数项为 30 ,则 a=± 2
C. n f x = ax2+ 1
n
若当 取最小值时函数 x 的图象在点 1, f 1
1
处的切线与 x轴平行,则 a= 2
D. 若二项展开式中的所有项的系数和为 0 ,则 a=-1
y2 2
10. O x 3已知 为坐标原点，椭圆C1 : 2 + 2 = 1 a>b>0 的长轴长为 4，离心率为 ，过抛物线C
2
a b 2 2
: y = 4x
的焦点 F作直线 l交抛物线于 A , B两点，连接 AO , BO并分别延长交椭圆C1于M , N两点，则下列结论
正确的是
y2
A. 椭圆C1的方程为 4 + x
2= 1

B. 若 AF= 2FB，则 AB = 4
C. 若直线OM ,ON 1的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1k2=- 4
D. OM 2+ ON 2= 5
11.在棱长为 a的正四面体 ABCD中，P ,Q分别为棱 AB和CD(包括端点)的动点，直线 PQ与平面 ABC、平
面 ABD所成角分别为 α , β，则
A. 点Q到平面 ABC和平面 ABD的距离之和是定值
B. sinα- sinβ的正负由点Q位置确定，与点 P位置无关
C. sinα+ sinβ 4 3的最大值为 3
D. O CQ= 3 3πa
2
正四面体顶点在球 的球面上，当 4 CD时，则过点Q截球O的截面面积最小值为 16
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12.已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn，且 S1，2S2，3S3成等差数列，则数列 an 的公比为 .
13.已知函数 f x = 3sinx+cosx cosx- 12 ，若 f x 在区间

-
π
6 ,m

上的值域为
-
1 ,1 2 ，则实数m的
取围是 .
π
14.已知函数 f x π π 1 π 的定义域为 0, 2 ，且满足 f 6 = e 6 ，f x ≥ 1- tanx f x ，则 f 3 的最小值为
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在△ABC中，a , b , c π分别为角 A , B ,C的对边，已知 a= 6，2acos 3 -C = b+ c.
(1)求角 A的大小；
(2)若D为 BC的中点，且 AD= 3 3，求△ABC的面积.
16.如图，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形 A1ACC1 , AC= 2AA1= 2A1C1= 4 , B为底面圆周上异于 A ,C的任
一点.

(1)若劣弧 BC中点为 E(如图 1)，过点 E作出平面 α⊥平面 BCC1，请说明平面 α的作法，并证明平行；α
⊥平面 BCC1 ;
(2)现定义:和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交点所
形成的线段叫做两条异面直线的公垂线段,两条异面直线的公垂线段的长度,叫做这两条异面直的距离.

当 B为半圆弧 AC的中点 (如图 2)所示,设平面 A1AB∩平面C1CB= l ,Q∈ l ,求异面直线CQ与 A1l距离
的最大值.
A O1 C1 A O1 1 C1 1
A O C A2 O C2
B E B
图1 图2
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17. (15分)某商场为庆祝元旦，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有 5个除颜色外其他都相同的小球，其
中 3个黑球和 2个红球.
取球结果 2个红球 2个黑球 红、黑球各 1个
奖金 300元 200元 100元
(1)消费每满 2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取 2个小球，按照表格领取奖
金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望;
(2)若该商场对消费不足 2000元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一位抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖
箱里仍然是 3个黑球和 2个红球,每位抽幸运奖顾客从中随机抽取 1个小球,若取出黑球,则放回小盒中,
无奖励；若取出红球，则将球放回后再往盒子中加 1个黑球，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在
前一位抽奖后的箱中继续抽奖.该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖.
设“第 i个抽幸运奖顾客获得第 1份幸运礼品”记为事件 A1，设“第 j个抽幸运奖顾客获得第 2份幸运礼
品”记为事件 B j.
(i)求 P A1B3 和 P A2∣B3 ;
(ii)求第 k k≥2 位抽幸运奖顾客恰好获得第 2份幸运礼品的概率 P k .
18.已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在 x轴上，离心率等于 2，右焦点 F到其渐近线的距离等于 3 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)经过点 F的直线 l与双曲线C交于 A、B两点，以 AB为直径的圆记作⊙M .
(i)求证:⊙M恒过某个定点,并求出此定点的坐标;
(ii)是否存在某个定圆与⊙M相切,若存在,请求出此定圆的方程,若不存在,请说明理由.
19.已知函数 f x = x+1 ln x+1 - asinx a∈R .
(1)讨论函数 f x 在区间 0,π 内的零点个数;
(2)若 a∈ 0,1 ，使得 f x-1 + ax2≤ 1 bebx2 对 x∈ 1,+∞ 恒成立，求实数 b的取值范围；
(3)若方程 f x-1 = x+1 lnx- 2ax a>0 1 有两个不相等的实根 x1 , x2，求证: x1 x2< a2
.
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