2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册期末考试解答题压轴题训练（一）（含答案）

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2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册期末考试解答题压轴题训练（一）
1．已知：，点E、F分别在、上，N为与之间一点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，平分，的平分线与的反向延长线交于点N，若，求的度数：
(3)如图3，平分，平分，，请直接写出的值为________．
2．探索归纳：
(1)如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则________；
(2)如图，已知中，，剪去后形成四边形，则________；
(3)如图，根据上面的求解过程，猜想与的数量关系，并证明；
(4)若没有剪掉，而是把它折成如图的形状，请猜想与的数量关系，并说明理由．
3．如图，已知，，且，满足．

(1)求，两点的坐标．
(2)如图，连接，若，于点，，关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论．
(3)如图，在（）的条件下，若是线段上的一个动点，是延长线上的一点，且，连接交轴于点，过点作轴于点，当点在线段上运动时，线段是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
4．在平面直角坐标系中，已知点在轴的负半轴上，点在y轴的正半轴上．
(1)如图1，过点B作，且，连接，点C在第一象限，若实数a、b满足：，请直接写出点A、B、C的坐标；
(2)如图2，在x轴上一点，于点N，连接，求证：平分；
5．如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足．
(1)填空：______ ，______ ；
(2)如图，若的坐标为，且于点，交于点，求点的坐标；
(3)如图，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
6．如图，都是等边三角形，与交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数；
7．如图，在中，，为延长线上一点，为上一点，．
(1)求证：；
(2)若是的中线，交于点，求证：．
8．已知是等边三角形，点是所在直线左侧的一动点，且在边的上方．
(1)如图1，平分，连接．求证：；
(2)如图2，若，点是延长线上一点，连接交于点．
①求的度数；
②若点为的中点，，探究线段之间的数量关系．
9．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个小正方形和长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式．
利用上述公式解决问题：
(1)①若，，则______，
②若，求的值；
(2)如图②，在线段上取一点D，分别以，为边作正方形、，连接、、．若的长为10，的面积为11，求阴影部分的面积和．
10．问题呈现：借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常见方法，图1，图2是用边长为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，图3是用边长为a，b的四个长方形拼成的一个大正方形．利用图形可以推导出a，b的关系式为：
(1)图1：；图2：___________；图3：___________．（直接填空）
(2)解决问题：若，，求a，b．
(3)拓展延伸：如图4，以的直角边，为边作正方形和正方形．若的面积为6，，求正方形的边长．
11．仔细阅读下面例题，回答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，则，
∴解得．
∴另一个因式为，m的值为．
仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
(2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值．
12．先阅读材料，再解答问题：
材料：若，求的值．
解：，即：，
∴，，∴
根据你的观察，用本材料中的方法解决下列问题：
(1)若，求的值
(2)已知，，求的值．
13．问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为，的两个正方形和长、宽分别为，的两个长方形拼成的一个大正方形．
(1)利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1： ________；图2：________．（用字母，表示）
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题．
(2)在（1）的条件下若，，分别求、的值．
(3)已知，求的值．
拓展运用：
(4)如图3，点是线段上一点，以，为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积（用，表示）．
14．请阅读如下材料，并解决问题：
材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：
，，则和都是“和谐分式”．
材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设，
将等式右边通分，得，依据题意，得，
解得，所以．
(1)①分式是_____________________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）
②已知，则_________， _________．
(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值．
(3)如果，请用含有和的式子表示．
15．形如（不为零，且两个解分别为， （）的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，，．
再如为十字分式方程，可化为，，．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______．
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，），求的最大值．
16．在抗击疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同．
(1)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？
(2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值．
参考答案
1．【解】（1）证明：过M向左作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：设直线、交于点G，
∵平分，，
∴，
设
∵，
由（1）得，，
∴，
由（1）得，，
∴，即
过F作，则，，
∴，
∴；
（3）解：设，
∵平分，
∴，
过点T向右作，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
2．【解】（1）解：如图所示：
∴
∵为直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示：
在中，由外角性质可知：
；
∵
∴
故答案为：
（3）解：由()、()中思路，由三角形外角性质可知：
，；
∴
，
∴与的关系是：，
故答案为：；
（4）．
理由：连接．
∵是由折叠得到的，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴与的关系为：．
3．【解】（1）解：∵，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：结论：；
证明：∵，，，
∴，
，，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
∴，
，，
，
，
∴；
（3）解：是定值，定值为4．
理由：由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
过P作轴于G，

在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点在线段上运动时，的值都是8，
在与中，
，
∴，
∴．
4．【解】（1）解：∵，
∴、，
∴，，
∴，，
如图，过C作轴于D，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：如图，过点O作，过O点作，设与交于点G，
∵，，
∴，
∵于点N，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴平分．
5．【解】（1）解：，
，
，
解得，，
故答案为：，；
（2）解：直线交轴于点，交轴于点，
点，点，
，
∴，
∵，
，
，
在和中，
，
；
，
的坐标为，
，
，
的坐标为；
（3）解：的值不发生改变；理由如下：
如图，，，为的中点，连接 ，
，，，
，
∴， ，
，
，
即，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
，
．
6．【解】（1）证明：∵，是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）设交于，过点作于，于，
由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，
又，
．
7．【解】（1）证明：，
，
，，
，
，
，
；
（2）证明：如下图所示，
作交的延长线于点，
则，，
，，
，
是的中线，
，
在和中，，
，
，
，
在和中，，
，
．
8．【解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①在上截取，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
②在上取点，使，连接，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴， ，
∴，
由①知，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
9．【解】（1）解：①；
② 类比①可得，
；
（2）解：设正方形边长为m，正方形的边长为n，
由题意可知，，，即，
两个正方形的面积之和为，
空白面积为，
∴阴影部分的面积和为．
10．【解】（1）解：图2中大正方形的面积为，两个阴影正方形的面积分别为，，两个空白长方形的面积为，
∴，即，
图3中大正方形的边长为，
∴面积为(，
∴中间正方形的边长为，
∴面积为(，4个空白长方形的面积为，
∴，
故答案为：；；
（2）解：∵
∴，
∵，，
∴，
即，
解得：，
当时，
，
解得：；
当时，
，
解得：；
（3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
由题意得，
即，，
∴，
即（负值舍去）
∵
∴
解得：，
即正方形的边长为4．
11．【解】（1）（1）解：设另一个因式为，得，则，
∴
解得
∴另一个因式为，的值为．
故答案为：另一个因式为，的值为．
（2）（2）解：设另一个因式为，得
∴，
∴，，，
∴，，．
故答案为：，．
12．【解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，；
即：；
（2）解：∵，
∴，
把代入得：，
整理得：，
∵
，
∴，，
∴，，
∴，
则．
13．【解】（1）解：图1：大正方形的面积可以表示为：，
还可以表示为，
．
图2：左下角的正方形的面积可以表示为：，
还可以表示为：，
．
故答案为：，．
（2），
又，，
．
，
又，
．
．
（3）设，，
则，
，
．
．
（4）设，，则，，
．
14．【解】（1）解：①由，
可知原式无法表示为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，是非和谐分式．
故答案为：非和谐分式；
②已知，
右边通分：
，
对比分子可得，
解得，
故，．
故答案为：，．
（2）解：，
为整数，若分式为整数，则为整数，即是的因数，
，
解得，
故的值为，，，．
（3）解：化简变形：
，
，
，
，即；
化简变形：
，
，即，
故，
即，
可得．
15．【解】（1）解：可化为，
∴，．
（2）解∶∵十字分式方程的两个解分别为，，
∴，，
．
（3）解：关于的十字分式方程可化为，
即，
∴，，
∴，，
∴，
∴的最大值为8．
16．【解】（1）解：（元）．
设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元．
（2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z，
依题意得：，
∴，
∴，即．
同理，，
∴．
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