北师大版2025—2026学年八年级上册数学期末重点汇编综合训练（含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版2025—2026学年八年级上册数学期末重点汇编综合训练（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 969.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-31 00:00:00 | ||
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文档简介
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北师大版2025—2026学年八年级上册数学期末重点汇编综合训练
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．成都市某风景区在“十一”黄金周期间，每天接待的旅游人数统计如表．
日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
人数（万） 2 2.5 2.9 2.8 2.5 2 2
从表中看出旅游人数的中位数是（ ）
A．2 B．2.5 C．2.8 D．2.9
4．的三边为a，b，c，不能判断为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价值多少？若设有个人，该物品价值元，则列出的方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，则等于（ ）
A．65 B．45 C．55 D．35
7．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蜜蜂如果要从圆柱内部点A飞到与之相对的点B，那么它飞行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，∠A=，∠C=，BD平分∠ABC，DE∥BC，则∠BDE的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．在直角坐标系中，点关于原点对称的点N的坐标是，则 ；
12．直线与x轴交于点，与y轴交于点，则关于x的方程的解为 ．
13．在平面直角坐标系中，点O为原点，直线交x轴于点，交y轴上半轴于点B．若的面积为4，则B点的坐标为 ．
14．已知在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点A到x轴和y轴的距离相等，则的值为 ．
15．如图，长方体的高为9cm，底面是边长为6cm的正方形，一只蚂蚁从顶点A开始，爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为 cm．
16．如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为 ．
第II卷
北师大版2025—2026学年八年级上册数学期末重点汇编综合训练
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程组：
(1) (2)
18．计算：
(1)
(2)．
19．（1）已知的平方根是，的立方根为．求的算术平方根．
（2）已知，，求：①的值；②的值．
20．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是，B点坐标是，C点坐标是．
(1)作关于y轴对称的图形，A、B、C的对应点分别为D、E、F，并写出点E的坐标；
(2)求的面积；
(3)在y轴上找一点P，使的值最小，并求出的最小值．
21．为优化校园图书节活动设计，学校在图书节结束后，随机抽取120名学生和20名教师对活动进行满意度评分（满分100分），并将数据整理如下：
A：120名学生所评分数的频数分布直方图（数据分成4组）：
①：频数15；②：频数30；③：频数45；④：频数30
B：20名教师所评分数为：76，78，80，82，84，85，85，86，87，88，88，88，90，91，92，93，94，95，95，97
C：学生和教师评分数据的平均数、中位数、众数部分信息如下表：
分类 平均数 中位数 众数
学生评分 p q 88
教师评分 87．4 88 m
(1)求教师评分数据的众数m的值，并判断学生评分的中位数q位于第几组（填写组号①、②、③、④）；
(2)根据频数分布直方图，计算学生评分的平均数p（结果保留一位小数）；
(3)校方规定，满意度评定分为三个等级：低于70分为“不满意”，70分至85分为“一般”，高于85分为“满意”．根据上述师生评分数据，分别判断学生对本次图书节、教师对本次图书节的满意度评定等级，并说明理由．
22．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
23．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件）
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
(1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
(2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
24．数学中，数与形相辅相成，坐标系正是连结两者的桥梁，以平面直角坐标系为背景，借助几何图形运动，在“形”中理解“数”，在“数”中把握“形”，体会运动与不变的数学思想．
(1)在等腰中，，，点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点．
①如图（1），已知点的横坐标为，则点的坐标为______；
②如图（2），若，，，当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求的长；
(2)如图（3），若点在轴的负半轴上运动，点在轴的正半轴上运动时，分别以，为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点．问当点，运动时，和满足什么样的数量关系，并说明理由．
25．如图，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在x轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点（且点P在第一象限）．
(1)求点D坐标：
(2)若，请求出点P的坐标；
(3)点M为直线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
参考答案
一、选择题
1—10：BDBDC BCBBB
二、填空题
11．
12．
13．
14．0
15．15
16．
三、解答题
17．【解】（1）解：
由，得：，
将代入，得：，
解得，
故该方程组的解为；
（2）解：
由，得：，
将代入，得：，
解得，
故该方程组的解为．
18．【解】（1）解：
．
（2）解：
．
19．【解】解：（1）∵的平方根是，
∴，
即，得，
∵的立方根为，
∴，
即，得，
∴，
∵的算术平方根为，
故的算术平方根为．
（2）∵，，
∴，
，
①，
②，
故答案为：①22；②8．
20．【解】（1）解：关于轴的对称图形，如图所示，；
（2）解：
；
（3）解：如图，连接交轴于点，则的值最小，最小值是的长，
由勾股定理得，，
∴的最小值为．
21．【解】（1）解：教师评分数据中出现次数最多的数是88，因此众数．
学生评分共120人，中位数q应为第60名与第61名的平均分所在的组．
频数累积：①：15人（累计15）
②：30人（累计45）
③：45人（累计90）
④：30人（累计120）
第60、61人都在第③组（），因此中位数q位于第③组．
（2）解：各组组中值为65，75，85，95，
学生评分的平均数．
（3）学生对图书节的评分的平均数，属于70分至85分区间，虽众数为88分，属“满意”等级，但平均数更能反映全体学生的整体评分水平，所以学生整体满意度为“一般”．
教师对图书节的评分平均数，所以整体评定为“满意”．
答：学生对图书节满意度为“一般”，教师对图书节满意度为“满意”．
22．【解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．【解】（1）解：设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件，
根据题意得：，
解得
答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件．
（2）解：设第二次购进甲种布料m件，则乙种布料件，根据题意得：
，
随m的增大而增大，
，
当时，W有最大值，
此时件
答：第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元．
24．【解】（1）解：①如图，过点C作轴于点F，
∵轴于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵点的横坐标为，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
故答案为：；
②设点的坐标为，
∵，，点恰为中点，
∴，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
代入，，
得，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的长为；
（2）解：，理由如下：
如图，过点C作轴于点E，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
25．【解】（1）解：与x轴交于点，
，
解得，
直线为，
点C在x轴上点A的右边，，
，
直线与正比例函数的图象平行，
设直线的解析式为，
直线经过点C，
，
解得，
直线解析式为，
直线与直线相交于点D，
联立与，则，
解得，
当时，，
即点D坐标为；
（2）解：如图，连接，
设点P的坐标为，
点D坐标为，，
， ，
，
，
解得，
点P的坐标为；
（3）解：如图，连接，
①当点在点左侧时，
当时，，
，即，
点，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
过点作于点，
，，
，
，
，
，
解得，
当时，有，解得，
；
②当点在点右侧时，
，
垂直平分，
记交轴于点，连接，
有，
，
，，，
，即点与点重合，
时，，
．
综上所述，点M的坐标为或．
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北师大版2025—2026学年八年级上册数学期末重点汇编综合训练
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．成都市某风景区在“十一”黄金周期间，每天接待的旅游人数统计如表．
日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
人数（万） 2 2.5 2.9 2.8 2.5 2 2
从表中看出旅游人数的中位数是（ ）
A．2 B．2.5 C．2.8 D．2.9
4．的三边为a，b，c，不能判断为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价值多少？若设有个人，该物品价值元，则列出的方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，则等于（ ）
A．65 B．45 C．55 D．35
7．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蜜蜂如果要从圆柱内部点A飞到与之相对的点B，那么它飞行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，∠A=，∠C=，BD平分∠ABC，DE∥BC，则∠BDE的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．在直角坐标系中，点关于原点对称的点N的坐标是，则 ；
12．直线与x轴交于点，与y轴交于点，则关于x的方程的解为 ．
13．在平面直角坐标系中，点O为原点，直线交x轴于点，交y轴上半轴于点B．若的面积为4，则B点的坐标为 ．
14．已知在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点A到x轴和y轴的距离相等，则的值为 ．
15．如图，长方体的高为9cm，底面是边长为6cm的正方形，一只蚂蚁从顶点A开始，爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为 cm．
16．如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为 ．
第II卷
北师大版2025—2026学年八年级上册数学期末重点汇编综合训练
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程组：
(1) (2)
18．计算：
(1)
(2)．
19．（1）已知的平方根是，的立方根为．求的算术平方根．
（2）已知，，求：①的值；②的值．
20．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是，B点坐标是，C点坐标是．
(1)作关于y轴对称的图形，A、B、C的对应点分别为D、E、F，并写出点E的坐标；
(2)求的面积；
(3)在y轴上找一点P，使的值最小，并求出的最小值．
21．为优化校园图书节活动设计，学校在图书节结束后，随机抽取120名学生和20名教师对活动进行满意度评分（满分100分），并将数据整理如下：
A：120名学生所评分数的频数分布直方图（数据分成4组）：
①：频数15；②：频数30；③：频数45；④：频数30
B：20名教师所评分数为：76，78，80，82，84，85，85，86，87，88，88，88，90，91，92，93，94，95，95，97
C：学生和教师评分数据的平均数、中位数、众数部分信息如下表：
分类 平均数 中位数 众数
学生评分 p q 88
教师评分 87．4 88 m
(1)求教师评分数据的众数m的值，并判断学生评分的中位数q位于第几组（填写组号①、②、③、④）；
(2)根据频数分布直方图，计算学生评分的平均数p（结果保留一位小数）；
(3)校方规定，满意度评定分为三个等级：低于70分为“不满意”，70分至85分为“一般”，高于85分为“满意”．根据上述师生评分数据，分别判断学生对本次图书节、教师对本次图书节的满意度评定等级，并说明理由．
22．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
23．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件）
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
(1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
(2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
24．数学中，数与形相辅相成，坐标系正是连结两者的桥梁，以平面直角坐标系为背景，借助几何图形运动，在“形”中理解“数”，在“数”中把握“形”，体会运动与不变的数学思想．
(1)在等腰中，，，点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点．
①如图（1），已知点的横坐标为，则点的坐标为______；
②如图（2），若，，，当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求的长；
(2)如图（3），若点在轴的负半轴上运动，点在轴的正半轴上运动时，分别以，为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点．问当点，运动时，和满足什么样的数量关系，并说明理由．
25．如图，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在x轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点（且点P在第一象限）．
(1)求点D坐标：
(2)若，请求出点P的坐标；
(3)点M为直线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
参考答案
一、选择题
1—10：BDBDC BCBBB
二、填空题
11．
12．
13．
14．0
15．15
16．
三、解答题
17．【解】（1）解：
由，得：，
将代入，得：，
解得，
故该方程组的解为；
（2）解：
由，得：，
将代入，得：，
解得，
故该方程组的解为．
18．【解】（1）解：
．
（2）解：
．
19．【解】解：（1）∵的平方根是，
∴，
即，得，
∵的立方根为，
∴，
即，得，
∴，
∵的算术平方根为，
故的算术平方根为．
（2）∵，，
∴，
，
①，
②，
故答案为：①22；②8．
20．【解】（1）解：关于轴的对称图形，如图所示，；
（2）解：
；
（3）解：如图，连接交轴于点，则的值最小，最小值是的长，
由勾股定理得，，
∴的最小值为．
21．【解】（1）解：教师评分数据中出现次数最多的数是88，因此众数．
学生评分共120人，中位数q应为第60名与第61名的平均分所在的组．
频数累积：①：15人（累计15）
②：30人（累计45）
③：45人（累计90）
④：30人（累计120）
第60、61人都在第③组（），因此中位数q位于第③组．
（2）解：各组组中值为65，75，85，95，
学生评分的平均数．
（3）学生对图书节的评分的平均数，属于70分至85分区间，虽众数为88分，属“满意”等级，但平均数更能反映全体学生的整体评分水平，所以学生整体满意度为“一般”．
教师对图书节的评分平均数，所以整体评定为“满意”．
答：学生对图书节满意度为“一般”，教师对图书节满意度为“满意”．
22．【解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．【解】（1）解：设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件，
根据题意得：，
解得
答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件．
（2）解：设第二次购进甲种布料m件，则乙种布料件，根据题意得：
，
随m的增大而增大，
，
当时，W有最大值，
此时件
答：第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元．
24．【解】（1）解：①如图，过点C作轴于点F，
∵轴于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵点的横坐标为，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
故答案为：；
②设点的坐标为，
∵，，点恰为中点，
∴，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
代入，，
得，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的长为；
（2）解：，理由如下：
如图，过点C作轴于点E，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
25．【解】（1）解：与x轴交于点，
，
解得，
直线为，
点C在x轴上点A的右边，，
，
直线与正比例函数的图象平行，
设直线的解析式为，
直线经过点C，
，
解得，
直线解析式为，
直线与直线相交于点D，
联立与，则，
解得，
当时，，
即点D坐标为；
（2）解：如图，连接，
设点P的坐标为，
点D坐标为，，
， ，
，
，
解得，
点P的坐标为；
（3）解：如图，连接，
①当点在点左侧时，
当时，，
，即，
点，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
过点作于点，
，，
，
，
，
，
解得，
当时，有，解得，
；
②当点在点右侧时，
，
垂直平分，
记交轴于点，连接，
有，
，
，，，
，即点与点重合，
时，，
．
综上所述，点M的坐标为或．
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