2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册期末考试高频考点训练（一）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册期末考试高频考点训练（一）（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-31 00:00:00 | ||
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文档简介
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2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册期末考试高频考点训练（一）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．在实数，，，3.14中，无理数是（ ）
A． B． C． D．3.14
2．下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1 B．
C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3
3．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．若点在直线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．某校运动会前夕，要选60名身高基本相同的女同学组成表演方阵，在这个问题中，最值得关注的是该校所有女生身高的（ ）
A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
6．当时，一次函数的图象大致是（ ）
A．B． C． D．
7．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
8．若点在y轴上，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．关于函数，已知点，是该函数图象上的任意两点，且与同号，则图象必经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限
10．在如图所示的方格纸上（小正方形的边长均为1），都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，且它们的斜边长分别为2，4，6，…．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．若是方程的一个解，则 ．
12．的整数部分是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点，，则点B的坐标为
14．一次函数中两个变量x，y的部分对应值如表所示：
x … 0 …
y … 9 7 5 3 1 …
那么关于x的方程的解是 ．
15．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，则点的坐标是 ．
16．如图，在中，，按以下步骤作图.①分别以点A和B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点. 若，，则的长为 ．
第II卷
2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册期末考试高频考点训练（一）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：
(1)
(2)
18．如图，的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知，，．
(1)若，的顶点在第四象限内，且不与重合，请画出的图形，并求出点的坐标是_____．
(2)求边上的高的长．
19．如图，在等腰中，，点是斜边上一点，作等腰，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
(1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8000元，销售1辆型汽车可获利5000元，问：购进型、型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？
21．年月日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号、、星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）．
七年级：；
八年级：．
七、八年级抽取的学生的成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级
(1)上述表中， ， ，并补全七年级的箱线图；
(2)求八年级所抽取学生的平均成绩；
(3)若该校八年级有名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过分的人数；
(4)你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计图进行说明．
22．如图，在三角形中，分别是边上的点，连接．点在线段上，连接，已知，．
(1)求证：；
(2)若，平分，，求的度数．
23．我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法中正确的序号是 ；
①正比例函数的图象上存在无数对“对偶点”；
②一次函数一定不是“对偶函数”．
(2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和．
24．已知，，点在上，点在上，点为一动点．
(1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：．
(2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有．
①当，时，求的度数；
②当平分，，交于点时，若，求的值．
(3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示）
25．如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D．过B作于点E，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
已知：直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点．
(1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角、：
①直接写出________，________；
②点E的坐标________；
(2)如图3，当时，在第二象限构造等腰直角，，求的周长．
(3)如图4，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1—10：BCDAD BBCAA
二、填空题
11．7
12．3
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．【解】（1）解：原式；
（2）解：原方程组可化为，
，得，解得；
把代入①，得，解得；
∴方程组的解为．
18．【解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标是；
（2）解：，
设边上的高为，则，
解得，
∴边上的高为．
19．【解】（1）证明：∵在等腰中，，
，，
是等腰三角形，且，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）知，
，，
在等腰中，，
，
，即，
，
，
．
∵，
∴（舍负）．
20．【解】（1）解：设每辆型汽车的进价是万元，每辆型汽车的进价是万元．
根据题意得：
解得．
答：每辆型汽车的进价是25万元，每辆型汽车的进价是10万元；
（2）解：设该公司购进辆型汽车，全部售出后获得的总利润为元．
则该公司购进辆型汽车，根据题意得：
，即，
，
随的增大而减小，
又均为正整数，
的最小值为2，
此时（辆）．
当时，取得最大值，最大值为（元），
答：购进2辆型汽车，15辆型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元．
21．【解】（1）解：共有个数据，
中位数为第个数据和第个数据的平均数，
八年级所抽取学生的中位数；
出现的次数最多，
八年级所抽取学生的众数；
七年级所抽取学生的中位数；
补全七年级的箱线图如下：
故答案为：，；
（2）解：（分），
八年级所抽取学生的平均成绩为分；
（3）解：八年级随机抽取的名学生中分以上的有人，
（人），
估计该校此次活动中八年级学生成绩超过分的人数为人；
（4）解：八年级的学生成绩更好，
理由如下：因为两个年级成绩的中位数相同，而八年级的平均数和众数高于七年级，
所以八年级的学生成绩更好．
22．【解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
．
23．【解】（1）解：，且，，
，，
，，
①若点与点是函数的图象上的两点，
满足，，这样的点有无数对．
∴正比例函数的图象上存在无数对“对偶点”．
故①正确；
②由题意可得，，
则点与点且是一对“对偶点”，
函数的图象如下图：
函数中不存在“对偶点”，一定不是“对偶函数”，故②正确；
故答案为：①②．
（2）解：由题意可得，，点与点且是一对
“对偶点”，由于是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”．
从而有，两式相减可得，同理可得．
两个一次函数为，，由于，都是常数，且，
两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示
求得其面积之和．
24．【解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）①如图，过点作，
∴．
由题意可知：，
故可设，则．
∴，，．
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，解得：，
∴，．
∵，
∴，
∴．
②如图，过点作．
由题意可设，则．
∵，平分，
∴，．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
由（1）可知，
∴，
∴，
即，解得：，
∴．
（3）过点作，过点作．
设，，
同理（2）可得：，，
∴，
∵的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，
∴，，
由（2）得，
∴.
∵的角平分线和的角平分线相交于点。
同理可得：
∴，
∴，
∴
25．【解】（1）解：①当时，直线的解析式为，
当时，，即，
当时，则有，解得，即，
∴，．
②过点E作轴，垂足为F，
∵等腰直角、，
∴，，
∵，
∴在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：当时，直线的解析式为，
当时，，即，
当时，则有，解得，即，
∴，．
∴，
∵等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当k的取值变化，的面积是定值， ，理由如下：
过N点作轴，垂足为K，
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在 和 中，
∴，
∴，
∴，
∴当k的取值变化时，的面积是定值， ．
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2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册期末考试高频考点训练（一）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．在实数，，，3.14中，无理数是（ ）
A． B． C． D．3.14
2．下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1 B．
C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3
3．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．若点在直线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．某校运动会前夕，要选60名身高基本相同的女同学组成表演方阵，在这个问题中，最值得关注的是该校所有女生身高的（ ）
A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
6．当时，一次函数的图象大致是（ ）
A．B． C． D．
7．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
8．若点在y轴上，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．关于函数，已知点，是该函数图象上的任意两点，且与同号，则图象必经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限
10．在如图所示的方格纸上（小正方形的边长均为1），都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，且它们的斜边长分别为2，4，6，…．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．若是方程的一个解，则 ．
12．的整数部分是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点，，则点B的坐标为
14．一次函数中两个变量x，y的部分对应值如表所示：
x … 0 …
y … 9 7 5 3 1 …
那么关于x的方程的解是 ．
15．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，则点的坐标是 ．
16．如图，在中，，按以下步骤作图.①分别以点A和B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点. 若，，则的长为 ．
第II卷
2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册期末考试高频考点训练（一）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：
(1)
(2)
18．如图，的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知，，．
(1)若，的顶点在第四象限内，且不与重合，请画出的图形，并求出点的坐标是_____．
(2)求边上的高的长．
19．如图，在等腰中，，点是斜边上一点，作等腰，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
(1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8000元，销售1辆型汽车可获利5000元，问：购进型、型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？
21．年月日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号、、星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）．
七年级：；
八年级：．
七、八年级抽取的学生的成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级
(1)上述表中， ， ，并补全七年级的箱线图；
(2)求八年级所抽取学生的平均成绩；
(3)若该校八年级有名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过分的人数；
(4)你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计图进行说明．
22．如图，在三角形中，分别是边上的点，连接．点在线段上，连接，已知，．
(1)求证：；
(2)若，平分，，求的度数．
23．我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法中正确的序号是 ；
①正比例函数的图象上存在无数对“对偶点”；
②一次函数一定不是“对偶函数”．
(2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和．
24．已知，，点在上，点在上，点为一动点．
(1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：．
(2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有．
①当，时，求的度数；
②当平分，，交于点时，若，求的值．
(3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示）
25．如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D．过B作于点E，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
已知：直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点．
(1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角、：
①直接写出________，________；
②点E的坐标________；
(2)如图3，当时，在第二象限构造等腰直角，，求的周长．
(3)如图4，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1—10：BCDAD BBCAA
二、填空题
11．7
12．3
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．【解】（1）解：原式；
（2）解：原方程组可化为，
，得，解得；
把代入①，得，解得；
∴方程组的解为．
18．【解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标是；
（2）解：，
设边上的高为，则，
解得，
∴边上的高为．
19．【解】（1）证明：∵在等腰中，，
，，
是等腰三角形，且，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）知，
，，
在等腰中，，
，
，即，
，
，
．
∵，
∴（舍负）．
20．【解】（1）解：设每辆型汽车的进价是万元，每辆型汽车的进价是万元．
根据题意得：
解得．
答：每辆型汽车的进价是25万元，每辆型汽车的进价是10万元；
（2）解：设该公司购进辆型汽车，全部售出后获得的总利润为元．
则该公司购进辆型汽车，根据题意得：
，即，
，
随的增大而减小，
又均为正整数，
的最小值为2，
此时（辆）．
当时，取得最大值，最大值为（元），
答：购进2辆型汽车，15辆型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元．
21．【解】（1）解：共有个数据，
中位数为第个数据和第个数据的平均数，
八年级所抽取学生的中位数；
出现的次数最多，
八年级所抽取学生的众数；
七年级所抽取学生的中位数；
补全七年级的箱线图如下：
故答案为：，；
（2）解：（分），
八年级所抽取学生的平均成绩为分；
（3）解：八年级随机抽取的名学生中分以上的有人，
（人），
估计该校此次活动中八年级学生成绩超过分的人数为人；
（4）解：八年级的学生成绩更好，
理由如下：因为两个年级成绩的中位数相同，而八年级的平均数和众数高于七年级，
所以八年级的学生成绩更好．
22．【解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
．
23．【解】（1）解：，且，，
，，
，，
①若点与点是函数的图象上的两点，
满足，，这样的点有无数对．
∴正比例函数的图象上存在无数对“对偶点”．
故①正确；
②由题意可得，，
则点与点且是一对“对偶点”，
函数的图象如下图：
函数中不存在“对偶点”，一定不是“对偶函数”，故②正确；
故答案为：①②．
（2）解：由题意可得，，点与点且是一对
“对偶点”，由于是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”．
从而有，两式相减可得，同理可得．
两个一次函数为，，由于，都是常数，且，
两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示
求得其面积之和．
24．【解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）①如图，过点作，
∴．
由题意可知：，
故可设，则．
∴，，．
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，解得：，
∴，．
∵，
∴，
∴．
②如图，过点作．
由题意可设，则．
∵，平分，
∴，．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
由（1）可知，
∴，
∴，
即，解得：，
∴．
（3）过点作，过点作．
设，，
同理（2）可得：，，
∴，
∵的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，
∴，，
由（2）得，
∴.
∵的角平分线和的角平分线相交于点。
同理可得：
∴，
∴，
∴
25．【解】（1）解：①当时，直线的解析式为，
当时，，即，
当时，则有，解得，即，
∴，．
②过点E作轴，垂足为F，
∵等腰直角、，
∴，，
∵，
∴在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：当时，直线的解析式为，
当时，，即，
当时，则有，解得，即，
∴，．
∴，
∵等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当k的取值变化，的面积是定值， ，理由如下：
过N点作轴，垂足为K，
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在 和 中，
∴，
∴，
∴，
∴当k的取值变化时，的面积是定值， ．
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