2026学年九年级中考数学一轮专题复习十：二次函数中直角三角形存在性问题综合训练（含答案）

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2026学年九年级中考数学一轮专题复习十：二次函数中直角三角形存在性问题综合训练
1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，为抛物线上的一动点（不与点重合）．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当是直角三角形时（），求点的坐标．
2．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
(1)求线段的长；
(2)若点是直线上方一点，当的面积最大时求点坐标，且面积的最大值是多少？
(3)若点是抛物线对称轴上一点，在点运动过程中使得是直角三角形，求点的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P在第一象限的抛物线上，当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件和结论下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是以为斜边的直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
4．如图，在直角坐标系中，抛物线的顶点为，经过原点，且与x轴交于另一点A．
(1)求这个二次函数的解析式，并把它化成一般式；
(2)若在第一象限内的抛物线上有一点B，使的面积等于6，求点B的坐标；
(3)在（2）的条件下，在此抛物线上是否存在点P，使为以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图：已知抛物线与直线相交于点和点，点坐标为，点横坐标为．
(1)求抛物线的函数解析式和点坐标；
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)求直线函数解析式；
(4)若点是轴上方抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，直接写出点坐标．
6．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)写出点A，B，C的坐标；
(2)点P为第一象限内抛物线上一动点，求面积的最大值；
(3)若M为抛物线的对称轴上的一个动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
7．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当时，直接写出y的取值范围；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
(4)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，直接写出点M的坐标．
8．如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点E是对称轴上的一个动点．点P在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在第一象限内，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积．
(3)在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
(3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标．
11．如图，已知抛物线与一条直线相交于两点，与轴交于点，其顶点为．
(1)求抛物线及直线的函数表达式；
(2)点P为对称轴上一动点，求当最小时点P坐标，并求出最小值．
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式
(2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值．
(3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使为直角三角形，求点的坐标．
13．已知，如图所示，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．
(1)抛物线的对称轴是____________．
(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
(3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标．
14．如图，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)为抛物线对称轴上一点，当是以为直角边的直角三角形时，求点的坐标．
15．如图，已知抛物线与轴交于两点（点A在点B的左边），与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为线段上一点（不与B，C重合），轴，且交抛物线于点M，交轴于点N，当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得为直角三角形，求点Q的坐标．
参考答案
一、选择题
1．【解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设，
，，
，，，
①当为斜边时，如图，，不合题意，舍去；
②当为斜边时，如图：
，
化简变形得：，
解得（舍去）或；
；
③当为斜边时，如图：
，
变形得：，
解得（舍去）或，
；
综上所述，的坐标为或．
2．【解】（1）解：在中，当时，，则，
∴；
当时，，解得或，则，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，
则，
∴，
∴直线的解析式为；
如图所示，过点P作轴交于点E，连接，
设，则，
∴，
∴
，
∵，
∴当，即时，的面积有最大值，最大值为6，
∴，
∴此时点P的坐标为；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
设，
∴，，
当点C为直角顶点时，则，
∴，
解得，
∴；
当点B为直角顶点时，则，
∴，
解得，
∴；
当点Q为直角顶点时，则，
∴，
解得
∴或；
综上所述，点Q的坐标为或或或．
3．【解】（1）解：把，，代入，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：作轴交于E．
设．
设直线的解析式为
将点A和点C的坐标代入，得
解得：
∴直线的解析式为，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴当时，的面积最大，
此时，
∴点P坐标为；
（3）解：∵，，抛物线的对称轴为直线，
∴可设点Q的坐标为，
∴，
，
，
要使是以为斜边的直角三角形，只需，
∴，
整理，得，
解得或，
∴点Q的坐标为或．
4．【解】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过原点，
∴，
解得，
∴
∴这个二次函数的解析式为：；
（2）解：假设存在点B，过点B作轴于点D，
∵的面积等于6，
∴，
当，
，
解得：或3，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴点B的坐标为：；
（3）解：∵点B的坐标为：，
∴，
∴，
分以下两种情况讨论：
当时，过作轴于，
∴，
∴，
∴，
设P点横坐标为：x，则纵坐标为：，则，，
即，
解得或（舍去），
∴在抛物线上存在一点；
当时，则，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
∴设直线的解析式为，
将代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，
解得，，
将代入，得，
∴在抛物线上存在一点；
综上所述：抛物线上是否存在点P，使为以为直角边的直角三角形，点P的坐标为或．
5．【解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，解得：，
∴抛物线的函数解析式为，
∵点横坐标为，且在抛物线上，
∴，
∴点坐标为；
（2）解：由（）得，抛物线的函数解析式为，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（3）解：由（）得点坐标为，
∵点坐标为，
设直线函数解析式为，
∴，解得：，
∴直线函数解析式为；
（4）解：设，则，
如图，当，，
∴，
解得：（舍去）或，
此时点坐标为；
如图，当，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
此时点坐标为；
综上可得：点坐标为或．
6．【解】（1）解：令，则或5，令，则，
故点、、的坐标分别为：、、；
（2）解：设点，其中，过点作轴交于，交直线于点，
设直线：，将、代入其中，
，解得：，
，
，
，
，
，抛物线开口向下，其最大值在顶点处取得，
，代入上式得：最大值为，
面积的最大值；；
（3）解：设点，而点、的坐标分别为：、，
则，，，
①当为斜边时，则，解得：；
②当为斜边时，同理可得：；
③当为斜边时，同理可得：或；
综上点的坐标为：或或或．
7．【解】（1）解：由题意知，将，代入中，
得，解得：，
∴抛物线的解析式为，
将抛物线的一般解析式转化为顶点式为，
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）解：由（1）可知，
则抛物线开口向下，且当时，y取得最大值为4，
当时，，
当时，，
故当时，．
（3）解：存在，
如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，
当时，有，
解得：，，
∴点B的坐标为，
∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为，
将、代入中，
得：，解得：，
∴直线的解析式为，
∵当时，，
∴当周长最小时，点P的坐标为．
（4）解：如图，设点M的坐标为，
由勾股定理得，，
，
，
此时分三种情况考虑：
①当时，有，即，
解得：，
∴点M的坐标为，
②当时，有，即，
解得：，，
∴点M的坐标为或，
③当时，有，即，
解得：，
∴点M的坐标为，
综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或．
8．【解】（1）解：∵抛物线经过，，
∴，解得，
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵点A与关于直线对称，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入可得，解得：，
∴直线的解析式为，
设点P坐标为，
如图，过点P作轴交于点D，则点D的坐标为，
∴，
∴，
对于二次函数，其中，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值，
∵对称轴为，
∴当时，有最大值为，
将代入得：，
即当点P坐标为时，的面积最大，最大面积为．
（3）解：设，，
①当点P在x轴上方时，，
过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，解得，（舍），，（舍），
∴，；
②当点P在x轴下方时，或，
如图，过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，解得，（舍），（舍），，
∴，，
综上所述，点P的坐标为，，，．
9．【解】（1）解：将、代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴点A的坐标为；
（3）解：设点P的坐标为，
∵，，
∴，，，
∵是以为直角边的直角三角形，
∴分以下两种情况讨论：
当为斜边时，则，
∴，
解得，
∴；
当为斜边时，则，
∴，
解得，
∴．
综上所述，存在符合条件的P点，，．
10．【解】（1）解：将，代入，
得：，
解得，
则抛物线解析式为；
（2）解：能．
将代入中，
得：，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴，，
当时，，
即，
整理得，
解得，（舍去），
此时点坐标为；
当时，，
即，
整理得，
解得，（舍去），
此时点坐标为；
综上所述，当点的坐标为或时，直线能否把分成面积之比为的两部分；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，如图，
设，
∵，，
∴，，，
当时，为直角三角形，，
即，
解得，此时点的坐标为；
当时，为直角三角形，，
即，
解得，此时点的坐标为；
当时，为直角三角形，，
即，
解得，，此时点的坐标为或；
综上所述，满足条件的点的坐标为，，，．
11．【解】（1）解：∵抛物线与一条直线相交于两点，
∴，
解得
∴抛物线的函数表达式为．
设直线的函数表达式为，
将、分别代入中可得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
（2）解：设抛物线与x轴的另一个交点为B，
在中，当时，，
当时，，解得或，
∴，
∴，
∴；
如图所示，连接，
由抛物线的对称性可得，
∴，
∴当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；
同理可得直线解析式为，
∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，
在中，当时，，
∴的最小值为，此时点P的坐标为；
（3）解：由（2）可知对称轴为直线，
设点，
∵，，，
∴，，
．
当是斜边时，则，解得；
当是斜边时，可得：或2；
当是斜边时，可得：．
∴点的坐标为或或或．
12．【解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，，两点关于对称轴对称，且，
∴，
则得，
展开得：，
∴，
∴，
即抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F，
在中，令，得，
即，
设直线的解析式为，
把B、C两点的坐标分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，其中，则可得点F的坐标为，
∴，
∵
，
，
当时，取得最大值，
则，
∴此时点P的坐标为；
（3）解：①当时；
此时点M与点C的纵坐标相同，
∴；
②当时，如图，
设，其中，
∴，，
∵，
∴由勾股定理得：，
即，
解得：，
故，
综上，点M的坐标为或．
13．【解】（1），，
，
∴直线．
（2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示．
当时，有，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将代入中，得：，
解得，
直线的解析式为．
抛物线的对称轴为直线．
当时，，
当的值最小时，点的坐标为．
（3）解：设点的坐标为，
则，
分三种情况考虑：
①当时，有，
即，
解得：，
点的坐标为或；
②当时，有，
即，
解得：，
点的坐标为；
③当时，有，
即，
解得：，
点的坐标为．
综上所述：当是直角三角形时，
点的坐标为或．
14．【解】（1）解：把，代入，得：
解得
抛物线的函数表达式为．
（2）解：抛物线的对称轴为直线．
设点的坐标为，则，，．
当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，，
即，解得，
此时点的坐标为；
当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，，
即，解得，
此时点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
15．【解】（1）解：由题意，设抛物线
∵图象过点，
∴，解得
∴抛物线的解析式为，即．
（2）解：设直线的解析式为，
∵图象过
∴，解得，
∴．
设，则
∴
∴
∵
∴当时，最大，
∵当时，，
∴．
（3）解：由（2）知：，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴设，
∵，
∴，
当为直角三角形时，分3种情况：
①当时，则，即：，
解得，
∴；
②当时，则，即：，
解得，
∴；
②当时，则，即：，
解得，
∴；
综上：点坐标为或或或．
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