2026学年九年级中考数学一轮专题复习十一：二次函数中相似三角形存在性问题综合训练（含答案）

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2026学年九年级中考数学一轮专题复习十一：二次函数中相似三角形存在性问题综合训练
1．如图，抛物线分别与轴和轴交于点和点，且．
(1)将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到抛物线，求，的值；
(2)连接，点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，交该抛物线于点．当以，，为顶点的三角形与相似时，求所有满足条件的点的坐标．
2．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点．
①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式；
②如果与相似，求平移的距离．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是抛物线上对称轴右侧的点．
①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标；
②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标．
4．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点，是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在直线下方时，求面积的最大值．
(3)直线与线段相交于点，当与相似时，直接写出点的横坐标___________．
5．如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接、．求的面积最大值及此时点的坐标；
(3)点为轴上一动点．
①若的垂直平分线交于点，交抛物线于、两点，且点在第三象限，当线段时，求点的坐标；
②若点是直线上一点，当与相似时，请直接写出点的坐标．
6．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，是坐标原点，已知点的坐标是，．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标．
7．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且其顶点为点，连接，，．
①求证：；
②若点是轴上一点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
8．如图，抛物线（）与轴交于点．和点，与轴交于点，点是第二象限内抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设对称轴交线段于点，点在对称轴上，且在点的下方，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标．若不存在，请说明理由．
9．如图（1），直线与轴、轴分别交于点和点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
(1)求该抛物线的解析式与点的坐标；
(2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值；
(3)连接，点在轴上，是否存在使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（图（2）、图（3）供画图探究）
10．如图，对称轴为直线的抛物线的顶点为，与轴相交于点，过点作的垂线交轴于点，交抛物线的对称轴于点，且与抛物线的另一个交点为．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)分别求点，的坐标；
(3)在对称轴上找一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标．
11．如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
(1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标；
(2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标；
(3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
12．如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标；
(2)点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标；
(3)如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，已知抛物线与轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为上方抛物线上的动点，过点P作，垂足为点D，连接，当与相似时，求点P的坐标．
15．直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点．
(1)写出点A、B、C、D的坐标；
(2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；
(3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解答题
1．【解】（1）解：由题意可知．
抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，
得到新的抛物线为．
，．
（2）解：将代入，得．
．
．
，，
是直角三角形．
设，
①当时，，
．
．
解得（舍去）或，
．
②如图，连接，当时，过点作轴于点．
，，
．
．
，即，
．
．
，
解得（舍去）或．
．
综上所述，点的坐标为或．
2．【解】（1）解：将点代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为，
∴对称轴为直线，
当时，，
∴顶点；
（2）解：①对于抛物线，令，得，
，
∵，
则轴，且，
过作，交延长线于点，
，
，
，
由题可知点向上平移到点，
则轴，即，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
∴点向上平移 4 个单位到点，即抛物线向上平移 4 个单位，
∴平移之后的抛物线的表达式为；
②解：设抛物线向上平移了个单位，
∴，
令，得或 6 ，
∴，
设直线的表达式为，
代入可得，解得：，
故直线的表达式为，
设直线的表达式为，
代入可得，解得：，
故直线的表达式为，
联立，
解得，
即，
，
∵，轴，轴，
∴，
∴分两种情况讨论：
当时，
则，即，
解得；
当时，
则，即，
解得；
综上，平移的距离为5或个单位．
3．【解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：①令，解得，，
∴，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴，
过P作轴，交于Q，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得（不符合题意舍去），，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵点在对称轴上，且与相似，
∴当时，
或，
设，
则或，
解方程，得，，
∴，
∴，
解，得，，
∴，
∴，
当时，
过P作于H，
则，
又，
∴，
又与相似，
∴与相似，，
∴或，
同理可求或，
综上：或．
4．【解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点，
∴设抛物线解析式为，
把代入得，，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设直线与轴交于点，如图，
设，直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，的最大值为；
（3）解：由（）得抛物线解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当与相似时，分两种情况，
当时，即，如图，
∴，
由题意可得，，，
∴，
∴，
由，，同理可得直线解析式为，
设，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，
解得：或；
∴点的横坐标为或；
当时，即，如图，
∴，
由，，同理可得直线解析式为，
∴直线解析式为，
联立，
解得：或；
∴点的横坐标为或；
综上可得：点的横坐标为或或或，
故答案为：或或或．
5．【解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴是直线，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：对于，当时，，
解得，，
∵点在点左侧，
∴，
设直线的解析式为，
将、代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
如图，连接、，过点作轴交直线于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∴．
∵，
∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为；
（3）①过作轴于，如图：
在中令得，令得，，
∴，，，且对称轴，
∴，直线解析式为，
∵，
∴，
∵轴，由对称性可得，对称轴，
∴，即横坐标为，
∴，
∵垂直平分，
∴
∴
②∵，，，
∴，
当与相似时，是直角三角形，且两直角边比为，分三种情况：
为直角顶点，如图3：
∵，
∴若时，则可得，同理，
若，则，可得，同理，
为直角顶点，如图：
，
若，则，，同理可得，
若，则，，同理可得，
为直角顶点，过、作直线的垂线，垂足分别是、，如图：
∵，，
∴，
∴，
∴，且，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，
综上所述，当与相似时，的坐标为：或或或或或
6．【解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，
令，得，
∴点的坐标为．
∴．
∵，
∴，
即点A的坐标为．
∵点，
∴，
解得．
∴抛物线的函数表达式是，即．
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）解：如图1，过点作轴于点，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴．
∴．
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴．
设直线的解析式为，把代入得：，解得，
∴直线的解析式为．
设点的坐标为，
∵轴，
∴．
把代入得：，解得，
∴．
∴
．
∴当时，有最大值，且最大值为．
∴的最大值为，此时点P的坐标为．
（3）解：如图2，
设点的坐标为，
∵，，
∴为的锐角三角形．
也是锐角三角形．
∴点在点的上方．
∴．
∴．
∵，，，
①当时，
∴，即，解得，
即点．
②当时，
∴，即，解得，
即点．
综上所述，符合条件的点的坐标为或．
7．【解】（1）解：二次函数的图象经过点和，
，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）当时，，解得或，
点在点的左侧，
点的坐标为，点的坐标为，
当时，，
点的坐标为；
，
顶点的坐标为，
①由两点间距离得，，
，
，，
，
是直角三角形，
；
②当点在轴正半轴上时，设点坐标为，
以点，，为顶点的三角形与相似，
或，
或，
或，
解得或，此时点的坐标为或；
当点在轴负半轴上时，同理可得点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
8．【解】（1）解：将点和点代入可得：
，解得：，
故抛物线的表达式为．
解：存在；
∵抛物线的表达式为，
∴当时，，即
∵，
∴，即为等腰直角三角形，
∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，
∴为等腰直角三角形，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的表达式为，
∵抛物线解析式为，
∴该抛物线的对称轴为：直线，
当时，，即点，
∵，
故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意；
当为直角时，则，
当时，解得：或（舍去），
∴点．
9．【解】（1）解：将点，代入得，
，解得：，
∴，
∴，
∴顶点P的坐标为；
（2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，
设点，则点，
∴，
∴
，
∴当时，的面积有最大值，
此时，点E的坐标为；
（3）解：存在，理由如下，
连接，设，
当时，，
解得，，
∴，
∵，，
∴
∴，，
同理，，
①当时，，如图，
∴，
解得，所以点N的坐标为，
②当时，，如图，
∴，
解得，所以点N的坐标为，
综上所述，点N的坐标为或．
10．【解】（1）解：由题意得；，
解得，
抛物线对应的函数解析式为：；
（2）解：由，得：，，
如图，过点作轴于，
则，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
设直线对应的函数解析式为，则，
，
直线对应的函数解析式为，
当时，，
点的坐标为，
解方程组，
得，，
∴；
（3）解：①如图，当时，，
此时点的坐标，
∴，，
∴，
如图，当时，，
∴，由知，
∵，
∴，
∴，
∴点的纵坐标为，
∴．
综上所述：当点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似．
11．【解】（1）解：直线，令，得，令，得，
所以，，代入得，
，解得：，
∴，
∴，
∴顶点P的坐标为：；
（2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，
设点，则点，
∴，
∴
，
∴当时，的面积有最大值，
此时，点E的坐标为；
（3）解：存在，理由如下，
连接，设，
当时，，
解得，，
∴，
∵，，，
∴，且非等腰三角形，
若为顶点的三角形与相似，
，则点在点的左侧，
，
①当时，，
∴，
解得，所以点N的坐标为，
②当时，，
∴，
解得，所以点N的坐标为，
综上所述，点N的坐标为或．
12．【解】（1）解：由题意得：，则，
则抛物线的表达式为：．
（2）解：存在，
理由：由抛物线的表达式知，点，则为等腰直角三角形，直线的表达式为：，
当以C，D，E为顶点的三角形与相似时，则为等腰直角三角形，
当为直角时，则此时C、D关于抛物线的对称轴对称，则点，
当时，，即点，则，符合题意；
当为直角时，则此时点D为抛物线的顶点，
当时，，即点，
则，符合题意；
综上，点或．
13．【解】（1）解：把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
抛物线的解析式是；
把二次函数的解析整理，可得：，
抛物线的顶点的坐标为；
（2）解：如下图所示，点、是线段的三等分点，
过点作，，
则，
，
，
，
点、的横坐标分别是、，
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
当时，可得：，
点的坐标是，点的坐标是，
点和点在直线上，
直线与轴的交点坐标是，
即点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
解得：，
直线与轴的交点坐标是，
即点的坐标是，
综上所述，点的坐标是或；
（3）解：点的坐标或，
设点的坐标是，
如下图所示，作，延长交于点，过点作，
点的坐标是，点的坐标是，
，，，
，
，，
，
，
，
，
点的坐标是，
，
，
在和中，，
，
，
点的坐标是，
即点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点，的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
把点的坐标代入，
可得：，
整理得：，
解得：，(与点重合，舍去)，
当时，，
则，
点的坐标是；
如下图所示，作，作，
则，
当时，，
点的坐标是，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
点的横坐标是，
把代入，
可得：，
点的坐标是，
综上所述，点的坐标或．
14．【解】（1）解：∵抛物线 与轴交于点，，
∴
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵点，，
∴，
在抛物线中，当时，，
∴
∴
∴
∵
∴
当与相似时，则或，
①若，则
∴
∵
∴点 的纵坐标为2，
∴点为上方抛物线上的动点，
∴，
解得：（ 不合题意，舍去），，
∴此时点的坐标为；
②若，则，
∴
过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，如图：
∵，
∴
∴
∴
∴
∵，轴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
即
∴
∴
∴
设直线的解析式为过点，，
∴
∴直线的解析式为：；
令，
解得：（不合题意，舍去），，
把代入得：，
∴此时点的坐标为，
综上所述，符合条件的点的坐标为或．
15．【解】（1）解：在中，当时，，即，
当时，，解得，即，
∴，，
由旋转的性质可得：，，
∴，；
（2）解：设抛物线的解析式为，
将，，代入解析式可得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点；
（3）解：如图，过点作轴于，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点Q在直线上，
∴设点，
∵以点A、B、Q为顶点的三角形与相似，
∴当时，，
∴，
即，
解得：，
∴，；
当时，，
∴，
即，
解得：，
∴，，
综上所述，符合要求的点的坐标分别为，，，．
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