(一) 配速法巧解摆线问题
1.摆线
摆线是指一个圆在一条定直线上滚动时,圆周上一个定点的轨迹,又称圆滚线、旋轮线。
当圆滚动的方向与圆心匀速移动的方向一致时,圆滚动一周,动圆上定点描画出摆线的一拱。每一拱的拱高为2a(即圆的直径),拱宽为2πa(即圆的周长)。
2.配速法
(1)定义:若带电粒子在叠加场中所受合力不为零,则粒子的速度会改变,洛伦兹力也会随着变化,合力也会跟着变化,则粒子做一般曲线运动,轨迹常为摆线。我们可以把初速度分解成两个分速度,使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力,或重力和静电力的合力)平衡,另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动,这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动,这种方法叫配速法。
(2)适用条件:①在叠加场中;②合力不为零。
(3)规律:把初速度分解成两个分速度,使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力、或重力和静电力的合力)平衡,使粒子在这个方向上做匀速直线运动。
①初速度为零时,速度分解为两个等大、反向的速度;
②初速度不为零时,按矢量分解法则分解。
3.常见的“配速法”的应用
常见情况 处理方法
初速度为0,有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v2,v1=v2
初速度为0,不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v2,v1=v2
初速度为0,有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v2,v1=v2
初速度为v0,有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2
[典题例析]
(2025年1月·八省联考陕晋宁青卷)如图,cd边界与x轴垂直,在其右方竖直平面内,第一、二象限存在垂直纸面向外的匀强磁场,第三、四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁场区域覆盖有竖直向上的外加匀强电场。在xOy平面内,某质量为m、电荷量为q、带正电的绝缘小球从P点与cd边界成30°角以速度v0射入,小球到坐标原点O时恰好以速度v0竖直向下运动,此时去掉外加的匀强电场。已知重力加速度大小为g,磁感应强度大小均为。求:
(1)电场强度的大小和P点距y轴的距离;
(2)小球第一次到达最低点时速度的大小;
(3)小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时所用时间。
规范解答:
[应用体验]
1.(2025·湖南高考)如图所示,直流电源的电动势为E0、内阻为r0,滑动变阻器R的最大阻值为2r0,平行板电容器两极板水平放置,板间距离为d,板长为d,平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S,当滑片处于滑动变阻器中点时,质量为m的带正电粒子以初速度v0水平向右从电容器左侧中点a进入电容器,恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场,随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器,忽略粒子重力和空气阻力。
(1)求粒子所带电荷量q;
(2)求磁感应强度B的大小;
(3)若粒子离开b点时,在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场,电场强度大小为,求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离xm。
2.(2024·甘肃高考)质谱仪是科学研究中的重要仪器,其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器,加速电压为U;Ⅱ为速度选择器,匀强电场的电场强度大小为E1、方向沿纸面向下,匀强磁场的磁感应强度大小为B1、方向垂直纸面向里;Ⅲ为偏转分离器,匀强磁场的磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子(不计重力),加速后进入速度选择器做直线运动,再由O点进入分离器做圆周运动,最后打到照相底片的P点处,运动轨迹如图中虚线所示。
(1)粒子带正电还是负电 求粒子的比荷。
(2)求O点到P点的距离。
(3)若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为E2(E2略大于E1),方向不变,粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的O'点上。求粒子打在O'点的速度大小。
(二) 立体空间的运动问题
带电粒子在立体空间中的运动问题,往往通过降维思想进行简化,常见示例及解题策略如下表:
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动,每个轴方向都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动
一维加一面,如旋进运动 旋进运动:将粒子的运动分解为沿轴方向的匀速直线运动(或匀变速直线运动)和垂直该轴所在面内的圆周运动
运动所在平面切换,粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来,转换视图角度,把立体图转化为平面图,分析粒子在每个面的运动
[典例] (2024·湖南高考)如图,有一内半径为2r、长为L的圆筒,左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点,取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向沿x轴正方向;筒外x≥0区域有一匀强电场,场强大小为E,方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子,电子初速度方向均在xOy平面内,且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e,设电子始终未与筒壁碰撞,不计电子之间的相互作用及电子的重力。
(1)若所有电子均能经过O进入电场,求磁感应强度B的最小值;
(2)取(1)问中最小的磁感应强度B,若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ,求tan θ的绝对值;
(3)取(1)问中最小的磁感应强度B,求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
规范解答:
[应用体验]
(2025·陕晋宁青高考)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷,一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统,结构简化如图(a)所示,圆筒足够长。在O点有一电子源,向空间中各个方向发射速度大小为v0的电子,某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场,筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示,当磁感应强度大小调至B0时,恰好没有电子落到筒壁上,不计电子间相互作用及其重力的影响。求:(R、v0、B0均为已知量)
(1)电子的比荷;
(2)当磁感应强度大小调至B0时,筒壁上落有电子的区域面积S。
专题拔高
(一) 配速法巧解摆线问题
[典题例析]
解析:(1)依题意,小球从P点运动到坐标原点O,速率没有改变,即动能变化量为零,由动能定理可知合外力做功为零,则电场力与重力等大反向,可得qE=mg,解得E=
小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,轨迹如图1所示,
根据qv0B=m,解得r=
由几何关系可得xP=r+rcos 30°
解得xP=。
(2)把小球在坐标原点的速度v0分解为沿x轴正方向的v0和与x
轴负方向成45°的v0,如图2所示,
沿x轴正方向的分速度v0对应的洛伦兹力F洛=qv0B=mg,恰好与小球重力平衡,小球沿x轴正方向做匀速直线运动,与x轴负方向成45°的分速度v0对应的洛伦兹力提供小球做匀速圆周运动的向心力,可知小球第一次到达最低点时速度的大小为v=v0+v0=v0。
(3)由第(2)问分析可知,与x轴负方向成45°的分速度v0在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图3所示,
根据q·v0B=m,又T=
由几何关系可得小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时圆弧轨迹对应的圆心角为135°,则所用时间为t=T,联立解得t=。
答案:(1) (2)v0 (3)
[应用体验]
1.解析:(1)粒子在电容器中做类平抛运动,水平方向做匀速直线运动,有d=v0t
竖直方向做匀变速直线运动,有=t,vy=at=t
由闭合回路欧姆定律可得U=E0
联立可得vy=v0,q=。
(2)粒子进入磁场时速度方向与竖直方向的夹角θ满足tan θ=
解得θ=60°
粒子进入磁场时速度大小v==v0
粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有
qvB=m
由几何关系可得R==,联立可得B=。
(3)根据配速法将粒子进入磁场时的速度分解为竖直向上的v1和斜向右下的v2,其中qv1B=qE,v2=
解得v1=v0,v2=2v0
v2与竖直方向的夹角α满足sin α=
解得α=30°
可知粒子同时做竖直向上的匀速直线运动和速度大小为v2的匀速圆周运动
做匀速圆周运动的半径r==d
根据几何关系知最远距离xm=r+rcos α=。
答案:(1) (2) (3)
2.解析:(1)由于粒子在偏转分离器Ⅲ中向上偏转,根据左手定则可知,粒子带正电;
设粒子的质量为m、电荷量为q,粒子进入速度选择器时的速度为v0,
在速度选择器中粒子做匀速直线运动,由平衡条件得qv0B1=qE1
在加速电场中,由动能定理得qU=m
联立解得粒子的比荷为=。
(2)粒子在偏转分离器Ⅲ中做圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有qv0B2=m
可得O点到P点的距离为OP=2r=。
(3)粒子进入Ⅱ瞬间,粒子受到向上的洛伦兹力F洛=qv0B1
受到向下的电场力F=qE2
由于E2>E1,且qv0B1=qE1
所以通过配速法,如图所示
其中满足qE2=q(v0+v1)B1
则粒子在速度选择器中水平向右以速度v0+v1做匀速运动的同时,在纸面内以v1沿逆时针方向做匀速圆周运动,当速度v1转向到水平向右时,满足垂直打在速度选择器右挡板的O'点的要求,故此时粒子打在O'点的速度大小为v'=v0+v1+v1=。
答案:(1)带正电 (2) (3)
(二) 立体空间的运动问题
[典例] 解析:(1)电子在匀强磁场中运动时,将其的运动分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动,设电子入射时沿y轴的分速度大小为vy,由电子在x轴方向做匀速直线运动得L=v0t
在yOz平面内,设电子做匀速圆周运动的半径为R,周期为T,由牛顿第二定律知Bevy=m
可得R=,且T==
由题意可知所有电子均能经过O进入电场,则有
t=nT
联立得B=
当n=1时,B有最小值,可得Bmin=。
(2)将电子的速度分解,
如图所示
有tan θ=
当tan θ有最大值时,vy最大,R最大,此时R=r,
又B=,R=
联立可得vym=,tan θ=。
(3)当vy最大时,电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移ym,根据匀变速直线运动中速度与位移的关系式有ym=
由牛顿第二定律知a=
又vym=,联立得ym=。
答案:(1) (2) (3)
[应用体验]
解析:(1)当磁场的磁感应强度为B0时,电子刚好不会落到筒壁上,则电子以速度v0垂直轴线方向射出,在磁场中做匀速圆周运动,轨迹恰好与圆筒壁相切,轨迹半径为R0=
根据洛伦兹力提供向心力可得eB0v0=,解得=。
(2)磁感应强度调整为后,将电子速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解,分别为vx和vy,电子将在垂直轴线方向上做匀速圆周运动,在平行轴线方向上做匀速直线运动,电子击中筒壁距离电子源最远的点时,其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切,则轨迹半径仍为R0=
根据洛伦兹力提供向心力可得evx=
解得vx=
由射出到相切,经过半个周期,用时
t==×==
根据速度的合成与分解可知vy==v0
电子沿平行轴线方向运动距离y=vyt=R
结合对称性,筒壁上落有电子的区域面积
S=2×2πRy=2π2R2。
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2
(一) 配速法巧解摆线问题
(二) 立体空间的运动问题
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(一) 配速法巧解摆线问题
1.摆线
摆线是指一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称圆滚线、旋轮线。
当圆滚动的方向与圆心匀速移动的方向一致时，圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的一拱。每一拱的拱高为2a(即圆的直径)，拱宽为2πa(即圆的周长)。
2.配速法
(1)定义：若带电粒子在叠加场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，轨迹常为摆线。我们可以把初速度分解成两个分速度，使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。
(2)适用条件：①在叠加场中；②合力不为零。
(3)规律：把初速度分解成两个分速度，使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力、或重力和静电力的合力)平衡，使粒子在这个方向上做匀速直线运动。
①初速度为零时，速度分解为两个等大、反向的速度；
②初速度不为零时，按矢量分解法则分解。
3.常见的“配速法”的应用
常见情况 处理方法
初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v2，v1=v2
常见情况 处理方法
初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v2，v1=v2
常见情况 处理方法
初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v2，v1=v2
常见情况 处理方法
初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2
(2025年1月·八省联考陕晋宁青卷)如图，cd边界与x
轴垂直，在其右方竖直平面内，第一、二象限存在垂直
纸面向外的匀强磁场，第三、四象限存在垂直纸面向里
的匀强磁场，磁场区域覆盖有竖直向上的外加匀强电场。
在xOy平面内，某质量为m、电荷量为q、带正电的绝缘
小球从P点与cd边界成30°角以速度v0射入，小球到坐标原点O时恰好以速度v0竖直向下运动，此时去掉外加的匀强电场。已知重力加速度大小为g，磁感应强度大小均为。求：
典题例析
(1)电场强度的大小和P点距y轴的距离；
[答案]
[解析] 依题意，小球从P点运动到坐标原点O，速率没有改变，即动能变化量为零，由动能定理可知合外力做功为零，则电场力与重力等大反向，可得qE=mg，解得E=
小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图1所示，
根据qv0B=m，解得r=
由几何关系可得xP=r+rcos 30°
解得xP=。
(2)小球第一次到达最低点时速度的大小；
[答案] v0
[解析] 把小球在坐标原点的速度v0分解为沿x轴正方向的v0和与x轴负方向成45°的v0，如图2所示，
沿x轴正方向的分速度v0对应的洛伦兹力F洛=qv0B=mg，恰好与小球重力平衡，小球沿x轴正方向做匀速直线运动，与x轴负方向成45°的分速度v0对应的洛伦兹力提供小球做匀速圆周运动的向心力，可知小球第一次到达最低点时速度的大小为v=v0+v0=v0。
(3)小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时所用时间。
[答案]
[解析] 由第(2)问分析可知，与x轴负方向成45°的
分速度v0在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图3所示，
根据q·v0B=m，又T=
由几何关系可得小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时圆弧轨迹对应的圆心角为135°，则所用时间为t=T，联立解得t=。
1.(2025·湖南高考)如图所示，直流电源的电动
势为E0、内阻为r0，滑动变阻器R的最大阻值
为2r0，平行板电容器两极板水平放置，板间
距离为d，板长为d，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m的带正电粒子以初速度v0水平向右从电容器左侧中点a进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。
应用体验
(1)求粒子所带电荷量q；
答案：
解析：粒子在电容器中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，有d=v0t
竖直方向做匀变速直线运动，有
=t，vy=at=t
由闭合回路欧姆定律可得U=E0
联立可得vy=v0，q=。
(2)求磁感应强度B的大小；
答案：
解析：粒子进入磁场时速度方向与竖直方向的夹角θ满足tan θ=
解得θ=60°
粒子进入磁场时速度大小v==v0
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qvB=m
由几何关系可得R==
联立可得B=。
(3)若粒子离开b点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，电场强度大小为，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离xm。
答案：
解析：根据配速法将粒子进入磁场时的速度分解为竖直向上的v1和斜向右下的v2，其中qv1B=qE，v2=
解得v1=v0，v2=2v0
v2与竖直方向的夹角α满足sin α=
解得α=30°
可知粒子同时做竖直向上的匀速直线运动和速度大小为v2的匀速圆周运动
做匀速圆周运动的半径r==d
根据几何关系知最远距离
xm=r+rcos α=。
2.(2024·甘肃高考)质谱仪是科学研究中的重要仪器，
其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U；
Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为E1、
方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为B1、
方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的
磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子(不计重力)，加速后进入速度选择器做直线运动，再由O点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P点处，运动轨迹如图中虚线所示。
(1)粒子带正电还是负电 求粒子的比荷。
答案：带正电
解析：由于粒子在偏转分离器Ⅲ中向上偏转，根据左手定则可知，粒子带正电；
设粒子的质量为m、电荷量为q，粒子进入速度选择器时的速度为v0，
在速度选择器中粒子做匀速直线运动，由平衡条件得qv0B1=qE1
在加速电场中，由动能定理得qU=m
联立解得粒子的比荷为=。
(2)求O点到P点的距离。
答案：
解析：粒子在偏转分离器Ⅲ中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qv0B2=m
可得O点到P点的距离为OP=2r=。
(3)若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为E2(E2略大于E1)，方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的O'点上。求粒子打在O'点的速度大小。
答案：
解析：粒子进入Ⅱ瞬间，粒子受到向上的洛伦兹力F洛=qv0B1
受到向下的电场力F=qE2
由于E2>E1，且qv0B1=qE1
所以通过配速法，如图所示
其中满足qE2=q(v0+v1)B1
则粒子在速度选择器中水平向右以速度v0+v1做匀速运动的同时，在纸面内以v1沿逆时针方向做匀速圆周运动，当速度v1转向到水平向右时，满足垂直打在速度选择器右挡板的O'点的要求，故此时粒子打在O'点的速度大小为v'=v0+v1+v1=。
(二) 立体空间的运动问题
带电粒子在立体空间中的运动问题，往往通过降维思想进行简化，常见示例及解题策略如下表：
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动
一维加一面，如旋进运动 旋进运动：将粒子的运动分解为沿轴方向的匀速直线运动(或匀变速直线运动)和垂直该轴所在面内的圆周运动
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动
[典例] (2024·湖南高考)如图，有一内半径为2r、
长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小
孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立
xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。
(1)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值；
[答案]
[解析] 电子在匀强磁场中运动时，将其的运动分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为vy，由电子在x轴方向做匀速直线运动得L=v0t
在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知Bevy=m
可得R=
且T==
由题意可知所有电子均能经过O进入电场，则有t=nT
联立得B=
当n=1时，B有最小值，可得Bmin=。
(2)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值；
[答案]
[解析] 将电子的速度分解，
如图所示
有tan θ=
当tan θ有最大值时，vy最大，R最大，此时R=r，
又B=，R=
联立可得vym=，tan θ=。
(3)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
[答案]
[解析] 当vy最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移ym，根据匀变速直线运动中速度与位移的关系式有ym=
由牛顿第二定律知a=
又vym=，联立得ym=。
(2025·陕晋宁青高考)电子比荷是描述电子性质
的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可
测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构
成的圆柱体系统，结构简化如图(a)所示，圆筒足够
长。在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为v0的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示，当磁感应强度大小调至B0时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求：(R、v0、B0均为已知量)
应用体验
(1)电子的比荷；
答案：
解析：当磁场的磁感应强度为B0时，电子刚好不会落到筒壁上，则电子以速度v0垂直轴线方向射出，在磁场中做匀速圆周运动，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径为R0=
根据洛伦兹力提供向心力可得eB0v0=
解得=。
(2)当磁感应强度大小调至B0时，筒壁上落有电子的区域面积S。
答案：2π2R2
解析：磁感应强度调整为后，将电子速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解，分别为vx和vy，电子将在垂直轴线方向上做匀速圆周运动，在平行轴线方向上做匀速直线运动，电子击中筒壁距离电子源最远的点时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹半径仍为R0=
根据洛伦兹力提供向心力可得evx=
解得vx=
由射出到相切，经过半个周期，用时
t==×==
根据速度的合成与分解可知vy==v0
电子沿平行轴线方向运动距离y=vyt=R
结合对称性，筒壁上落有电子的区域面积S=2×2πRy=2π2R2。
