微专题(二十三) 振动和波的三类问题
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(1)做简谐运动的质点在通过平衡位置时,位移最小,动能最大。
(2)简谐运动的图像并非振动质点的运动轨迹。
(3)机械波是“质点振动”这种形式在介质中的传播,质点并没有迁移。
(4)机械波在传播过程中,各质点的起振方向都相同。
(5)两列波只有在频率相同、相位差保持不变的情况下才能发生干涉。
类型(一) 振动问题
[考题感悟]
1.(2024·甘肃高考)如图为某单摆的振动图像,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是 ( )
A.摆长为1.6 m,起始时刻速度最大
B.摆长为2.5 m,起始时刻速度为零
C.摆长为1.6 m,A、C点的速度相同
D.摆长为2.5 m,A、B点的速度相同
2.(2025·四川高考)如图所示,甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上,从左至右摆长依次增加,小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度,由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时,小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点,同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则 ( )
A.小球甲第一次回到释放位置时,小球丙加速度为零
B.小球丁第一次回到平衡位置时,小球乙动能为零
C.小球甲、乙的振动周期之比为3∶4
D.小球丙、丁的摆长之比为1∶2
3.(2025·湖北高考)(多选)质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接,小球a由不可伸长的细线悬挂在O点,系统处于静止状态,如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g,忽略空气阻力,弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后 ( )
A.小球a可能会运动
B.若小球b做简谐运动,则其振幅为
C.当且仅当l≤时,小球b才能始终做简谐运动
D.当且仅当l≤时,小球b才能始终做简谐运动
[思维建模]
1.对简谐运动的四点说明
(1)特点:对称性、周期性。
(2)表达式:x=Asin。
(3)单摆的回复力:摆球重力沿与摆线垂直方向的分力(如图所示),
F=mgsin θ=-x=-kx。
①当摆球在最高点时,F向==0,FT=mgcos θ。
②当摆球在最低点时,F向=,F向最大,FT=mg+m。
(4)受迫振动的频率等于驱动力的频率,当驱动力的频率与系统的固有频率相等时,会发生共振现象。
2.简谐运动图像问题的两种分析方法
(1)图像运动结合法
要把x t图像与质点的实际振动过程联系起来,图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等),图像上的一段曲线对应振动的一个过程,关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向。
(2)直观结论法
①由振动图像可以判定质点在任意时刻的回复力方向和加速度方向,二者都指向时间轴。
②可以知道质点在任意时刻的速度方向。该点的斜率为正值时速度方向为正,该点的斜率为负值时速度方向为负。
[达标评价]
1.(2025·江西鹰潭一模)(多选)如图所示为水平面内振动的弹簧振子,O是平衡位置,C是最大位移处,不计小球与轴的摩擦,振幅为A,振动周期为T,则下列说法正确的是 ( )
A.若B是OC的中点,则从O到B的时间等于从B到C的时间的一半
B.从小球运动到O点开始计时,t=时小球距O点的距离为A
C.从O到C的过程中,加速度不断减小
D.从O到C的过程中,速度与位移的方向相同
2.(2025·贵州黔东南模拟预测)为了提升汽车行驶过程中的平顺性和稳定性,在汽车车身和底座间装有弹簧和减震器来减缓震动。图甲为某汽车正匀速通过某路口的连续等间距的减速带,图乙为该车车身的振幅A和车速v的关系图像,图像最高点对应的速度为v1。已知两相邻减速带间的距离为1 m,该车车身的固有频率为10 Hz,该车经过该减速带过程中,下列说法正确的是 ( )
A.该车经过减速带时车身上下振动的频率随车速增大而减小
B.该车经过减速带时车身上下振动的频率恒为10 Hz
C.图乙中v1=10 m/s
D.不同车辆经过该减速带时v1一定相同
类型(二) 波动问题
[考题感悟]
1.(2025·黑吉辽蒙高考)平衡位置在同一水平面上的两个振动完全相同的点波源,在均匀介质中产生两列波。若波峰用实线表示,波谷用虚线表示,P点位于其最大正位移处,曲线ab上的所有点均为振动减弱点,则下列图中可能满足以上描述的是 ( )
2.(2025·山东高考)(多选)均匀介质中分别沿x轴负向和正向传播的甲、乙两列简谐横波,振幅均为2 cm,波速均为1 m/s,M、N为介质中的质点。t=0时刻的波形图如图所示,质点M、N的位移均为1 cm。下列说法正确的是 ( )
A.甲波的周期为6 s
B.乙波的波长为6 m
C.t=6 s时,质点M向y轴正方向运动
D.t=6 s时,质点N向y轴负方向运动
[思维建模]
1.波的传播方向与质点振动方向的互判方法
方法 方法解读 图像演示
“上下坡”法 沿波的传播方向,“上坡”时质点向下振动,“下坡”时质点向上振动
“同侧”法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平移”法 将波形沿传播方向进行微小的平移,再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
2.波的多解问题的两类形成原因
(1)波的周期性造成多解
①时间的周期性:时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间的周期性:波的传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)传播方向的双向性造成多解
①波的传播方向不确定。
②质点的振动方向不确定。
[达标评价]
1.如图甲所示,水滴滴在平静的水面上,会形成水波向四周传播(可视为简谐波)。可利用两个能够等间隔滴水的装置S1、S2来研究波的叠加现象,图乙所示为以S1、S2为波源的两水波在某时刻叠加的简化示意图,已知S1、S2的振幅均为A,该时刻它们形成的波峰和波谷分别由实线和虚线表示。则下列说法正确的是 ( )
A.两列波在相遇区域发生稳定干涉
B.b处质点此刻的位移大小为2A
C.若想观察到稳定的干涉现象,可将S2滴水间隔调小
D.只要将S1的滴水间隔调至和S2的相等,c处质点就做振幅为2A的简谐运动
2.(多选)某健身者挥舞健身绳锻炼臂力,挥舞后形成一列沿x轴传播的简谐横波,如图所示,实线为t1=0时的波形图,虚线为t2=2 s时的波形图。已知波的周期T>1 s,下列说法正确的是 ( )
A.这列波的波速可能为 m/s
B.这列波的波速可能为 m/s
C.这列波10 s内传播的距离可能为35 m
D.这列波10 s内传播的距离可能为45 m
类型(三) 振动图像与波的图像的综合
[考题感悟]
1.(2024·重庆高考)(多选)一列沿x轴传播的简谐波,在某时刻的波形图如图甲所示,一平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示,若该波的波长大于3 m。则 ( )
A.最小波长为 m
B.频率为 Hz
C.最大波速为 m/s
D.从该时刻开始2 s内该质点运动的路程为cm
2.(2025·陕晋宁青高考)(多选)一列简谐横波在介质中沿直线传播,其波长大于1 m,a、b为介质中平衡位置相距2 m的两质点,其振动图像如图所示。则t=0时的波形图可能为 ( )
[思维建模]
1.振动图像与波的图像综合问题的分析思路
一分 分清振动图像与波的图像。此问题最简单,只要看清横坐标即可,横坐标为x则是波的图像,横坐标为t则是振动图像
一看 看清横、纵坐标的单位。尤其要注意单位前的数量级
二找 找准波的图像对应的时刻
找准振动图像对应的质点
2.振动图像与波的图像的转换问题“三注意”
(1)明确振动图像是描述波的图像上的哪点的振动。
(2)明确波的传播方向。
(3)明确波的图像是描述哪一时刻的图像。
[达标评价]
1.(2025·成都三模)在2024年巴黎奥运会中,中国艺术体操队夺得团体全能项目金牌。如图所示为艺术体操运动员舞动的彩带在某时刻形成的波形(波形在竖直平面内且可视为正弦波),以该时刻为计时起点,竖直向上为正方向,彩带上P质点的振动图像可能正确的是 ( )
2.一简谐波沿x轴正方向传播,周期为T,波长为λ。若在x=0处质点的振动图像如图所示,则t=时刻波的图像为 ( )
微专题(二十三) 振动和波的三类问题
类型(一)
[考题感悟]
1.选C 根据题图可知,该单摆的振动周期为T=0.8π s,由单摆的周期公式T=2π,得摆长为l==1.6 m。x t图像的斜率表示速度,故起始时刻速度为零,且A、C点的速度相同,A、B点的速度大小相同、方向不同,C正确。
2.选C 根据单摆周期公式T=2π,可知T丁>T丙>T乙>T甲,结合题意可得2T甲==T丙=,可得T甲∶T乙=3∶4,T丙∶T丁=1∶2,则小球丙、丁的摆长之比L丙∶L丁=1∶4,故C正确,D错误;由于T丙=2T甲,小球甲第一次回到释放位置时,即经过T甲时间,小球丙到达另一侧最高点,此时小球丙速度为零,位移最大,根据a=-可知,此时小球丙加速度不为零,故A错误;根据上述分析可得T乙=T丁,小球丁第一次回到平衡位置时所用时间为=,可知此时小球乙经过平衡位置,速度最大,动能最大,故B错误。
3.选AD 若小球b做简谐运动,则小球b的振幅为l,B错误;当小球a向上运动时小球b不做简谐运动,所以小球b始终做简谐运动的临界条件是弹簧压缩时的最大弹力等于小球a的重力,则此时对小球a有kx0=mg,对小球b有kx0+mg=ma,由简谐运动的对称性可知,将小球b向下拉到最低点释放时的加速度大小也为a,则有kl=ma,解得l=,即当且仅当l≤时,小球b才能始终做简谐运动,A、D正确,C错误。
[达标评价]
1.选ABD 若B是OC的中点,可得从O到B的方程为=Asin t,可得t=,解得t=,从B到C的时间为t'=-=,可得t=,则从O到B的时间是从B到C时间的一半,故A正确;把t=代入方程x=Asint,解得x=A,故B正确;从O到C的过程中,回复力增大,则加速度增大,故C错误;从O到C的过程中,速度和位移方向均向右,故速度与位移的方向相同,故D正确。
2.选C 该汽车以速度v通过减速带时,车身上下振动的周期为T=,则车身上下振动的频率为f==,故A、B错误。当车身振动频率等于车身的固有频率时,车身振幅最大,由f=知,v1=f固L=10×1 m/s=10 m/s,故C正确。不同车辆车身的固有频率不一定相同,则不同车辆经过该减速带时v1不一定相同,故D错误。
类型(二)
[考题感悟]
1.选C P点位于其最大正位移处,可知此时P点位于两列波的波峰与波峰相交处,故B、D错误;根据干涉规律可知,相邻波峰与波峰、波谷与波谷连线上的点都是振动加强点,故A选项图像中的曲线ab上的点存在振动加强点,不符合题意。故选C。
2.选BD 由题图得,甲波的波长λ甲=4 m,甲波的周期为T甲== s=4 s,故A错误;对乙波分析,由题图可知,位于波谷的质点与质点N之间满足λ乙+λ乙=6 m-4 m,解得λ乙=6 m,故B正确;t=6 s时即经过T甲+,结合同侧法可知质点M向y轴负方向运动,故C错误;根据λ乙=vT乙,可得T乙=6 s,根据同侧法可知t=0时质点N向y轴负方向运动,t=6 s时即经过时间T乙,质点N仍向y轴负方向运动,故D正确。
[达标评价]
1.选B 在同一介质中,不同的机械波的波速相等,由题图乙可知两列波的波长不同,根据v=λf可知两列波的频率不同,两列波无法发生稳定的干涉现象,故A项错误;由题图乙可知,b处的质点此时刻处于两列波的波谷与波谷相遇的状态,由波的叠加知识可知,此时刻b处质点的位移大小为2A,故B项正确;由以上分析可知,为观察到稳定的干涉图样,可将题图乙中S2的频率调小,即将S2滴水间隔调大,故C项错误;将两装置的滴水间隔调至相等,此时两列波的频率相同,会产生稳定的干涉现象,但是c处的质点不一定处于振动加强点,即c处的质点不一定做振幅为2A的简谐运动,故D项错误。
2.选AC 若这列波沿x轴负方向传播,则Δt=+nT=2 s(n=0,1,2,3,…),可得T= s(n=0,1,2,3,…),因为波的周期T>1 s,可得n=0或n=1,所以这列波的周期可能为8 s、 s,因为这列波的波长为λ=4 m,这列波的波速为v== m/s(n=0或n=1),所以这列波的波速可能为 m/s、 m/s,根据Δx=vΔt,这列波10 s内传播的距离可能为5 m、25 m。若这列波沿x轴正方向传播,则Δt=+nT=2 s(n=0,1,2,3,…),可得T= s(n=0,1,2,3,…),因为波的周期T>1 s,可得n=0或n=1,所以这列波的周期可能为 s、 s,因为这列波的波长为λ=4 m,这列波的波速为v== m/s(n=0或n=1),所以这列波的波速可能为 m/s、 m/s,根据Δx=vΔt,这列波10 s内传播的距离可能为15 m、35 m。故选A、C。
类型(三)
[考题感悟]
1.选BD 根据题图乙写出平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点的振动方程y=Asin(ωt+φ),代入点0,和(2,0),解得φ=,ω=,可得T=2.4 s,f= Hz,故B正确;
在题图甲中标出位移为 cm的质点,如图所示,若波沿x轴正方向传播,则为Q点,若波沿x轴负方向传播,则为P点,则波长可能满足λ=3 m,即λ=18 m,或λ'=3 m,即λ'=9 m,故A错误;根据v=,可得v= m/s,v'= m/s,故C错误;根据题图乙计算该质点在2 s内运动的路程为s=1+1+1+1-cm=4-cm,故D正确。
2.选AD 根据题图可知,当波的传播方向为a到b时,xab=λ+nλ(n=0,1,2,…),由于λ>1 m,解得n=0或1,即xab=λ或λ;当波的传播方向为b到a时,xab=λ+nλ(n=0,1,2,…),由于λ>1 m,解得n=0或1,即xab=λ或λ;由题图可知t=0时,a处于平衡位置,b处于波谷位置,结合选项图可知A、D符合题意,故选A、D。
[达标评价]
1.选A 由题图可知,此时刻质点P在平衡位置之上、最高点之下,向平衡位置运动,结合选项图可知,A可能正确。
2.选A 由x=0处质点的振动图像可知,在t=时此质点回到平衡位置,且此后该质点的位移为负,即沿y轴负方向运动,而波沿x轴正方向传播,由“同侧法”可知此时波形图上该质点的振动方向和图线的传播方向在图线的同一侧,故选A。
8 / 8(共68张PPT)
振动和波的三类问题
微专题(二十三)
融通关联知识
(1)做简谐运动的质点在通过平衡位置时，位移最小，动能最大。
(2)简谐运动的图像并非振动质点的运动轨迹。
(3)机械波是“质点振动”这种形式在介质中的传播，质点并没有迁移。
(4)机械波在传播过程中，各质点的起振方向都相同。
(5)两列波只有在频率相同、相位差保持不变的情况下才能发生干涉。
澄清易错微点
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类型(三) 振动图像与波的图像的综合
1
2
3
类型(一) 振动问题
类型(二) 波动问题
CONTENTS
4
专题验收评价
类型(一) 振动问题
1.(2024·甘肃高考)如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是 ( )
A.摆长为1.6 m，起始时刻速度最大
B.摆长为2.5 m.，起始时刻速度为零
C.摆长为1.6 m，A、C点的速度相同
D.摆长为2.5 m，A、B点的速度相同
考题感悟
√
解析：根据题图可知，该单摆的振动周期为T=0.8π s，由单摆的周期公式T=2π，得摆长为l==1.6 m。x t图像的斜率表示速度，故起始时刻速度为零，且A、C点的速度相同，A、B点的速度大小相同、方向不同，C正确。
2.(2025·四川高考)如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则 ( )
A.小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B.小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零
C.小球甲、乙的振动周期之比为3∶4
D.小球丙、丁的摆长之比为1∶2
√
解析：根据单摆周期公式T=2π，可知T丁>T丙>T乙>T甲，结合题意可得2T甲==T丙=，可得T甲∶T乙=3∶4，T丙∶T丁=1∶2，则小球丙、丁的摆长之比L丙∶L丁=1∶4，故C正确，D错误；由于T丙=2T甲，小球甲第一次回到释放位置时，即经过T甲时间，小球丙到达另一侧最高点，此时小球丙速度为零，位移最大，根据a=-可知，此时小球丙加速度不为零，故A错误；根据上述分析可得T乙=T丁，小球丁第一次回到平衡位置时所用时间为=，可知此时小球乙经过平衡位置，速度最大，动能最大，故B错误。
3.(2025·湖北高考)(多选)质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后 ( )
A.小球a可能会运动
B.若小球b做简谐运动，则其振幅为
C.当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动
D.当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动
√
√
解析：若小球b做简谐运动，则小球b的振幅为l，B错误；当小球a向上运动时小球b不做简谐运动，所以小球b始终做简谐运动的临界条件是弹簧压缩时的最大弹力等于小球a的重力，则此时对小球a有kx0=
mg，对小球b有kx0+mg=ma，由简谐运动的对称性可知，将小球b向下拉到最低点释放时的加速度大小也为a，则有kl=ma，解得l=，即当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动，A、D正确，C错误。
1.对简谐运动的四点说明
(1)特点：对称性、周期性。
(2)表达式：x=Asin。
思维建模
(3)单摆的回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力(如图所示)，
F=mgsin θ=-x=-kx。
①当摆球在最高点时，F向==0，FT=mgcos θ。
②当摆球在最低点时，F向=，F向最大，FT=
mg+m。
(4)受迫振动的频率等于驱动力的频率，当驱动力的频率与系统的固有频率相等时，会发生共振现象。
2.简谐运动图像问题的两种分析方法
(1)图像运动结合法
要把x t图像与质点的实际振动过程联系起来，图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图像上的一段曲线对应振动的一个过程，关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向。
(2)直观结论法
①由振动图像可以判定质点在任意时刻的回复力方向和加速度方向，二者都指向时间轴。
②可以知道质点在任意时刻的速度方向。该点的斜率为正值时速度方向为正，该点的斜率为负值时速度方向为负。
1.(2025·江西鹰潭一模)(多选)如图所示为水平面内振动
的弹簧振子，O是平衡位置，C是最大位移处，不计小球与轴的摩擦，振幅为A，振动周期为T，则下列说法正确的是 ( )
A.若B是OC的中点，则从O到B的时间等于从B到C的时间的一半
B.从小球运动到O点开始计时，t=时小球距O点的距离为A
C.从O到C的过程中，加速度不断减小
D.从O到C的过程中，速度与位移的方向相同
达标评价
√
√
√
解析：若B是OC的中点，可得从O到B的方程为=Asin t，可得t=，解得t=，从B到C的时间为t'=-=，可得t=，则从O到B的时间是从B到C时间的一半，故A正确；把t=代入方程x=Asint，解得x=A，故B正确；从O到C的过程中，回复力增大，则加速度增大，故C错误；从O到C的过程中，速度和位移方向均向右，故速度与位移的方向相同，故D正确。
2.(2025·贵州黔东南模拟预测)为了提升汽车行驶过程中的平顺性和稳定性，在汽车车身和底座间装有弹簧和减震器来减缓震动。图甲为某汽车正匀速通过某路口的连续等间距的减速带，图乙为该车车身的振幅A和车速v的关系图像，图像最高点对应的速度为v1。已知两相邻减速带间的距离为1 m，该车车身的固有频率为10 Hz，该车经过该减速带过程中，下列说法正确的是 ( )
A.该车经过减速带时车身上下振动的频率随车速增大而减小
B.该车经过减速带时车身上下振动的频率恒为10 Hz
C.图乙中v1=10 m/s
D.不同车辆经过该减速带时v1一定相同
解析：该汽车以速度v通过减速带时，车身上下振动的周期为T=，则车身上下振动的频率为f==，故A、B错误。当车身振动频率等于车身的固有频率时，车身振幅最大，由f=知，v1=f固L=10×1 m/s=10 m/s，故C正确。不同车辆车身的固有频率不一定相同，则不同车辆经过该减速带时v1不一定相同，故D错误。
√
类型(二) 波动问题
1.(2025·黑吉辽蒙高考)平衡位置在同一水平面上的两个振动完全相同的点波源，在均匀介质中产生两列波。若波峰用实线表示，波谷用虚线表示，P点位于其最大正位移处，曲线ab上的所有点均为振动减弱点，则下列图中可能满足以上描述的是 ( )
考题感悟
√
解析：P点位于其最大正位移处，可知此时P点位于两列波的波峰与波峰相交处，故B、D错误；根据干涉规律可知，相邻波峰与波峰、波谷与波谷连线上的点都是振动加强点，故A选项图像中的曲线ab上的点存在振动加强点，不符合题意。故选C。
2.(2025·山东高考)(多选)均匀介质中分别沿x轴负向和正向传播的甲、乙两列简谐横波，振幅均为2 cm，波速均为1 m/s，M、N为介质中的质点。t=0时刻的波形图如图所示，质点M、N的位移均为1 cm。下列说法正确的是 ( )
A.甲波的周期为6 s
B.乙波的波长为6 m
C.t=6 s时，质点M向y轴正方向运动
D.t=6 s时，质点N向y轴负方向运动
√
√
解析：由题图得，甲波的波长λ甲=4 m，甲波的周期为T甲== s=4 s，故A错误；对乙波分析，由题图可知，位于波谷的质点与质点N之间满足λ乙+λ乙=6 m-4 m，解得λ乙=6 m，故B正确；t=6 s时即经过T甲+，结合同侧法可知质点M向y轴负方向运动，故C错误；根据λ乙=vT乙，可得T乙=6 s，根据同侧法可知t=0时质点N向y轴负方向运动，t=6 s时即经过时间T乙，质点N仍向y轴负方向运动，故D正确。
1.波的传播方向与质点振动方向的互判方法
思维建模
方法 方法解读 图像演示
“上下坡”法 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
方法 方法解读 图像演示
“同侧”法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平移”法 将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
2.波的多解问题的两类形成原因
(1)波的周期性造成多解
①时间的周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间的周期性：波的传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)传播方向的双向性造成多解
①波的传播方向不确定。
②质点的振动方向不确定。
1.如图甲所示，水滴滴在平静的水面上，会形成水波向四周传播(可视为简谐波)。可利用两个能够等间隔滴水的装置S1、S2来研究波的叠加现象，图乙所示为以S1、S2为波源的两水波在某时刻叠加的简化示意图，已知S1、S2的振幅均为A，该时刻它们形成的波峰和波谷分别由实线和虚线表示。则下列说法正确的是 ( )
达标评价
A.两列波在相遇区域发生稳定干涉
B.b处质点此刻的位移大小为2A
C.若想观察到稳定的干涉现象，可将S2滴水间隔调小
D.只要将S1的滴水间隔调至和S2的相等，c处质点就做振幅为2A的简谐运动
解析：在同一介质中，不同的机械波的波速相等，由题图乙可知两列波的波长不同，根据v=λf可知两列波的频率不同，两列波无法发生稳定的干涉现象，故A项错误；
√
由题图乙可知，b处的质点此时刻处于两列波的波谷与波谷相遇的状态，由波的叠加知识可知，此时刻b处质点的位移大小为2A，故B项正确；由以上分析可知，为观察到稳定的干涉图样，可将题图乙中S2的频率调小，即将S2滴水间隔调大，故C项错误；将两装置的滴水间隔调至相等，此时两列波的频率相同，会产生稳定的干涉现象，但是c处的质点不一定处于振动加强点，即c处的质点不一定做振幅为2A的简谐运动，故D项错误。
2.(多选)某健身者挥舞健身绳锻炼臂力，挥舞后形成一列沿x轴传播的简谐横波，如图所示，实线为t1=0时的波形图，虚线为t2=2 s时的波形图。已知波的周期T>1 s，下列说法正确的是 ( )
A.这列波的波速可能为 m/s
B.这列波的波速可能为 m/s
C.这列波10 s内传播的距离可能为35 m
D.这列波10 s内传播的距离可能为45 m
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解析：若这列波沿x轴负方向传播，则Δt=+nT=2 s(n=0，1，2，3，…)，可得T= s(n=0，1，2，3，…)，因为波的周期T>1 s，可得n=0或n=1，所以这列波的周期可能为8 s、 s，因为这列波的波长为λ=4 m，这列波的波速为v== m/s(n=0或n=1)，所以这列波的波速可能为 m/s、 m/s，根据Δx=vΔt，这列波10 s内传播的距离可能为5 m、25 m。
若这列波沿x轴正方向传播，则Δt=+nT=2 s(n=0，1，2，3，…)，可得T= s(n=0，1，2，3，…)，因为波的周期T>1 s，可得n=0或n=1，所以这列波的周期可能为 s、 s，因为这列波的波长为λ=4 m，这列波的波速为v== m/s(n=0或n=1)，所以这列波的波速可能为 m/s、 m/s，根据Δx=vΔt，这列波10 s内传播的距离可能为15 m、35 m。故选A、C。
类型(三) 振动图像与波的图像的综合
1.(2024·重庆高考)(多选)一列沿x轴传播的简谐波，在某时刻的波形图如图甲所示，一平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示，若该波的波长大于3 m。则 ( )
考题感悟
A.最小波长为 m
B.频率为 Hz
C.最大波速为 m/s
D.从该时刻开始2 s内该质点运动的路程为cm
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解析：根据题图乙写出平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点的振动方程y=Asin(ωt+φ)，代入点和(2，0)，解得φ=，ω=，可得T=2.4 s，f= Hz，故B正确；在题图甲中标出位移为 cm的质点，如图所示，
若波沿x轴正方向传播，则为Q点，若波沿x轴负方向传播，则为P点，则波长可能满足λ=3 m，即λ=18 m，或λ'=3 m，即λ'=9 m，故A错误；根据v=，可得v= m/s，v'= m/s，故C错误；根据题图乙计算该质点在2 s内运动的路程为s=cm=cm，故D正确。
2.(2025·陕晋宁青高考)(多选)一列简谐横波在介质中
沿直线传播，其波长大于1 m，a、b为介质中平衡位置
相距2 m的两质点，其振动图像如图所示。则t=0时的波
形图可能为 ( )
√
√
解析：根据题图可知，当波的传播方向为a到b时，xab=λ+nλ(n=0，1，2，…)，由于λ>1 m，解得n=0或1，即xab=λ或λ；当波的传播方向为b到a时，xab=λ+nλ(n=0，1，2，…)，由于λ>1 m，解得n=0或1，即xab=λ或λ；由题图可知t=0时，a处于平衡位置，b处于波谷位置，结合选项图可知A、D符合题意，故选A、D。
1.振动图像与波的图像综合问题的分析思路
思维建模
一分 分清振动图像与波的图像。此问题最简单，只要看清横坐标即可，横坐标为x则是波的图像，横坐标为t则是振动图像
一看 看清横、纵坐标的单位。尤其要注意单位前的数量级
二找 找准波的图像对应的时刻
找准振动图像对应的质点
2.振动图像与波的图像的转换问题“三注意”
(1)明确振动图像是描述波的图像上的哪点的振动。
(2)明确波的传播方向。
(3)明确波的图像是描述哪一时刻的图像。
1.(2025·成都三模)在2024年巴黎奥运会中，中国艺术体操队夺得团体全能项目金牌。如图所示为艺术体操运动员舞动的彩带在某时刻形成的波形(波形在竖直平面内且可视为正弦波)，以该时刻为计时起点，竖直向上为正方向，彩带上P质点的振动图像可能正确的是( )
达标评价
解析：由题图可知，此时刻质点P在平衡位置之上、最高点之下，向平衡位置运动，结合选项图可知，A可能正确。
√
2.一简谐波沿x轴正方向传播，周期为T，波长为λ。
若在x=0处质点的振动图像如图所示，则t=时刻波的
图像为( )
√
解析：由x=0处质点的振动图像可知，在t=时此质点回到平衡位置，且此后该质点的位移为负，即沿y轴负方向运动，而波沿x轴正方向传播，由“同侧法”可知此时波形图上该质点的振动方向和图线的传播方向在图线的同一侧，故选A。
专题验收评价
测评内容：微专题(二十三)
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1.如图所示，某同学演示波动实验，将一根长
而软的弹簧静置在光滑水平面上，弹簧上系有
一个标记物，在左端沿弹簧轴线方向周期性地
推、拉弹簧，形成疏密相间的机械波。下列表述正确的是 ( )
A.弹簧上形成的波是横波
B.推、拉弹簧的周期越小，波长越长
C.标记物振动的速度就是机械波传播的速度
D.标记物由静止开始振动的现象表明机械波能传递能量
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解析：弹簧上形成的波的振动方向与传播方向平行，是纵波，故A错误；同一介质中，波的传播速度不变，推、拉弹簧的周期越小，波的周期越小，由公式λ=vT可知，波长越短，故B错误；标记物振动的速度反映的是标记物在平衡位置附近往复运动的快慢，机械波的传播速度反映的是波在介质中向前传播的快慢，二者不是同一个速度，故C错误；标记物由静止开始振动，说明它获得了能量，这是因为机械波将能量传递给标记物，则标记物由静止开始振动的现象表明机械波能传递能量，故D正确。
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2.(2025·广东深圳二模)如图甲所示，上海中心大厦内部的“上海慧眼”阻尼器重达一千吨，有效抵御了大风对建筑的影响。该阻尼器沿水平方向做阻尼振动，振动图像如图乙所示。关于阻尼器的说法正确的是 ( )
A.振动周期越来越小
B.t=4 s时的动能为零
C.t=8 s时沿x轴负方向运动
D.t=10 s时加速度沿x轴负方向
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解析：由题图乙可知，振动周期不变，故A错误；t=4 s时正好经过平衡位置，速度最大，动能最大，故B错误；t=8 s时x t图像的切线斜率为正，则沿x轴正方向运动，故C错误；由题图乙可知，t=10 s时位移达到正向最大，则加速度最大，方向沿x轴负方向，故D正确。
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3.(多选)贾湖骨笛是河南博物院镇馆之宝之一，被誉为“中华第一笛”。其中一支骨笛可以发出A5、B5、C6、D6、E6等音。已知A5音和D6音所对应的频率分别为880 Hz和1 175 Hz，则 ( )
A.在空气中传播时，A5音的波长大于D6音的
B.在空气中传播时，A5音的波速小于D6音的
C.由空气进入水中，A5音和D6音的频率都变大
D.由空气进入水中，A5音的波长改变量大于D6音的
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解析：声音在相同介质中的传播速度相同，在空气中传播时，A5音和D6音的传播速度相同，B错误；由λ=vT=可知，A5音的波长大于D6音的波长，A正确；波的频率与波源有关，与介质无关，由空气进入水中，A5音和D6音的频率不变，C错误；空气中λ=，在水中λ'=，则可得波长的改变量为Δλ=，由以上分析可知，在水中传播时，A5音和D6音的传播速度相同，可知由空气进入水中，A5音的波长改变量大于D6音的，D正确。
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4.(2025·河北秦皇岛二模)如图所示，P、Q位置各有一个振源，某时刻两振源同时开始起振，t=0时刻图中的a、e两点刚好起振，已知该波的传播速度为v=0.8 m/s。下列说法正确的是 ( )
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A.再经过0.50 s两列波相遇在1.0 m处
B.两波相遇后，1.0 m处的c点的位移始终为0
C.两波相遇后，0.8 m处的b点为振动减弱点
D.两波相遇后，b点和d点的振动情况始终相同
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解析：设再经过Δt时间两列波相遇，则有2vΔt=xae，解得Δt=0.75 s，此过程每列波传播的距离Δx=vΔt=0.8×0.75 m=0.6 m，故两列波的相遇点在x=1.0 m，即再经过0.75 s两列波在1.0 m处相遇，A错误；
由于c点距两振源的距离相等，两振源的振动步调相反，故c点为振动减弱点，c点的位移始终为0，B正确；b点到两振源的波程差为0.4 m，为半个波长的一倍，而两振源的振动步调相反，故b点为振动加强点，C错误；由于b、d两点的距离为半个波长，故b、d两点的振动情况始终相反，D错误。
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5.(2025·陕西西安模拟)(多选)在均匀介质中，一简谐横波沿x轴正方向传播，质点M、N的平衡位置均在x轴负半轴上，且质点M、N平衡位置间的距离为4.2 m，质点M离坐标原点较近。若质点M、N的振动图像分别如图中虚线、实线所示，则 ( )
A.质点N的振动方程为y=4cost(cm)
B.波长可能为2.4 m
C.波速可能为0.28 m/s
D.0~10 s内质点N通过的路程为40 cm
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解析：由题图可知振动周期T=4 s，质点的振幅为4 cm，t=0时，质点N处于负向最大位移处，则质点N的振动方程为y=Asin=-4cos t，故A错误；由题意可知质点N更靠近波源，则质点M、N平衡位置间的距离为nλ+λ=4.2 m(n=0，1，2，…)，解得λ= m(n=0，1，2，…)，当n=1时λ=2.4 m，故B正确；周期T=4 s，波速v== m/s(n=0，1，2，…)，当n=3时，v=0.28 m/s，故C正确；振幅A=4 cm，0~10 s内质点N通过的路程为s=×4A=40 cm，故D正确。
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6.如图所示，均匀介质中矩形区域内有一位置未知的波源。t=0时刻，波源开始振动产生简谐横波，并以相同波速分别向左、右两侧传播，P、Q分别为矩形区域左、右两边界上振动质点的平衡位置。t=1.5 s和t=2.5 s时矩形区域外波形分别如图中实线和虚线所示，则 ( )
A.波速为2.5 m/s
B.波源的平衡位置距离P点1.5 m
C.t=1.0 s时，波源处于平衡位置且向下运动
D.t=5.5 s时，平衡位置在P、Q处的两质点位移相同
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解析：由题图可知λ=4 m，设该波的周期为T，则T=2.5 s-1.5 s，可得T=2 s，则波速为v==2 m/s，故A错误；设波源的平衡位置与P点间的距离为x0，根据题图左侧t=1.5 s时的波形有=1.5 s，解得x0=1 m，故B错误；根据题图左侧实线波形结合同侧法可知波源的起振方向向下，由于t=1.0 s=T，可知此时波源处于平衡位置且向上运动，故C错误；
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由于x0=1 m，可知波源的平衡位置与Q点间的距离为x1=3 m，故波传到P、Q两点的时间分别为t0==0.5 s，t1==1.5 s，故t=5.5 s时，平衡位置在P、Q处的两质点已经振动的时间分别为t0'=5.5 s-0.5 s=T，t1'=5.5 s-1.5 s=2T，由于波源起振方向向下，故t=5.5 s时，P处质点处于平衡位置向上振动，Q处质点处于平衡位置向下振动，故此时平衡位置在P、Q处的两质点位移相同，故D正确。
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7.(12分)如图(a)所示，均匀介质中存在垂直水平面(xOy面)振动的两个波源A和B，波源A、B的振动频率相同，其中A的振幅为1 cm，A、B在x轴上坐标为xA=0，xB=25 m。A开始振动7 s后，B以与A相同的起振方向开始振动，记此时为t=0时刻。t=9 s时两列波同时到达A、B连线上的M点，M点横坐标xM未知，M点的振动图像如图(b)。求：
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(1)A、B在介质中形成的机械波的周期T和波速v；(5分)
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答案：2 s 1 m/s
解析：由题图(b)可知T=2 s；
A先振动t0=7 s后B开始振动，B振动t=9 s后两波同时到达M点，设波速为v，则v(t0+t)+vt=xB
解得v=1 m/s。
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(2)从t=0至t=30 s，质点N(xM，12 m)运动的路程s。(7分)
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答案：94 cm
解析：两列波的波长λ=vT=2 m
xAM=v(t0+t)=16 m，xBM=vt=9 m
由几何关系有xAN=20 m，xBN=15 m，
波源A的振动形式在t=13 s时传播到N点，
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波源B的振动形式在t=15 s时传播到N点，
N从t=13 s时开始振动，13~15 s，s1=4 cm，
因A、B波源振动反相，且Δx=xAN-xBN=λ，故质点N为振动加强点，15~30 s，s2=90 cm
从t=0至t=30 s，质点N运动的路程为s=s1+s2=94 cm。
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8.(12分)(2025·广东深圳模拟)平静的湖面上漂浮着如图甲所示的浮子，
现有距离不超过3 m的A、B两个浮子。一条大鱼在两浮子连线的延长
线上某位置翻起频率稳定的波浪。当水波传播到A浮子时的波形图如
图乙所示，从该时刻开始的A、B浮子的振动图像如图丙所示，求：
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(1)该水波的波长λ、振动周期T及图示时刻P点的运动方向；(4分)
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答案：1 m 0.8 s 向下(或沿y轴负方向)运动
解析：由题图乙可知波长λ=1 m
由题图丙可知周期T=0.8 s
由于A的起振方向向上，故波沿着x轴负方向传播，P点正在向下(或沿y轴负方向)运动。
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(2)该水波传播速度的大小；(2分)
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答案：1.25 m/s
解析：水波传播速度大小v==1.25 m/s。
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(3)A、B两浮子间的可能距离。(6分)
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答案：0.25 m、1.25 m、2.25 m
解析：由于A浮子振动时B浮子已经在波峰，故B浮子先振动，
从B传到A经历的时间为t=+nT(n为自然数)
n=0时t0=0.2 s，AB距离为s0=vt0=0.25 m
n=1时t1=1.0 s，AB距离为s1=vt1=1.25 m
n=2时t2=1.8 s，AB距离为s2=vt2=2.25 m
故A、B两浮子间的可能距离为0.25 m、1.25 m、2.25 m。
