2.2　函数的单调性和最值--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）

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2027通用版高考数学第一轮
2.2　函数的单调性和最值
考点1　函数的单调性
五年高考
1.★(2021全国甲文,4,5分)下列函数中是增函数的为 (　　)
A. f(x)=-x　　　B. f(x)=
C. f(x)=x2　　　D. f(x)=
2.★★(2023新课标Ⅰ,4,5分)设函数f(x)=2 x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-2]　　　B.[-2,0)　　　C.(0,2]　　　D.[2,+∞)
3.★★(2021北京,3,5分)设函数f(x)的定义域为[0,1],则“f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的 (　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.★★(2024新课标Ⅰ,6,5分)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,0]　　　B.[-1,0]
C.[-1,1]　　　D.[0,+∞)
三年模拟
1.★(2026届福建连城一中月考,3)下列函数f(x)中,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),均有(x1-x2)·(f(x1)-f(x2))>0”的是 (　　)
A. f(x)=　　　B. f(x)=x2-4x+4
C. f(x)=2x　　　D. f(x)=lox
2.★★(2026届黑龙江新时代教育联合体期中,6)若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(3-a)A.
3.★★(2025届陕西西安模拟,3)若函数f(x)=在(1,+∞)上单调,则a的取值范围是 (　　)
A.[-2,+∞)　　　B.[-1,+∞)
C.(-∞,-2]　　　D.(-∞,-1]
4.★★★(2026届江苏南京一中月考,6)若函数f(x)=在(-1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 (　　)
A.[-3,9]　　　B.[-3,+∞)
C.[0,9]　　　D.(-∞,9]
5.★★★(2025届江苏扬州开学考,5)已知函数f(x)在[1,+∞)上单调递减且对任意x∈R满足f(x)=f(2-x),则不等式f(2x-3)>f(x)的解集是 (　　)
A.∪(3,+∞)　　　B.
C.　　　D.(3,+∞)
6.★★★(2026届山东济南摸底考,7)已知函数f(x)=+x,满足f(3a+2)+f(a)<1,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-1)　　　B.(-1,+∞)
C.
7.★★★(多选)(2026届福建百校联合测评,11)已知定义在R上的函数f(x)满足对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时, f(x)<0, f(2)=-4,则 (　　)
A.f(0)=0
B.f(x)+f(-x)=0
C.f(x)在R上单调递增
D.f(x2-2x)-f(2-x)>4的解集为(0,1)
8.★★(2026届北京大学附中开学考,18)能说明“若f(x)+g(x)是R上的增函数,则f(x),g(x)至少一个是R上的增函数”为假命题的函数f(x)=　　　　,g(x)=　　　　.
9.★★★★(2026届安徽五校第一次联考,14)已知f(x)的定义域为(0,+∞),且f(2)=2,对于任意正数x,y,都有f(xy)+1=f(x)+f(y),若当x>1时, f(x)>1,则不等式f(2x-1)≤4的解集为　　　　.
考点2　函数的最值(值域)
五年高考
1.★★★(2021全国乙文,8,5分)下列函数中最小值为4的是 (　　)
A.y=x2+2x+4　　　B.y=|sin x|+
C.y=2x+22-x　　　D.y=ln x+
2.★★★★(2022北京,14,5分)设函数f(x)=若f(x)存在最小值,则a的一个取值为　　　　;a的最大值为　　　　.
三年模拟
1.★★(2025届山东威海模拟,5)已知函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,1)　　　B.(-1,+∞)
C.[-1,1)　　　D.(1,+∞)
2.★★★(2025届黑龙江牡丹江一中开学考,7)记实数x1,x2,…,xn的最小数为min{x1,x2,…,xn},若f(x)=min{x+1,x2-2x+1,-x+8},则函数f(x)的最大值为 (　　)
A.4　　　B.　　　C.1　　　D.5
3.★★★(2025届山西晋中部分校质检,8)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),若对于任意的x,y∈(0,+∞),都有f(x)+f(y)=f(xy)+2,当x>1时,都有f(x)>2,且f(3)=3,则函数f(x)在区间[1,27]上的最大值为 (　　)
A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5
4.★★★(2026届江苏启东中学素质测试,8)设函数f(x)=max{x2+2x+4,|x-4|},其中max{a,b}表示a,b中的最大者,若f(x)在区间[m,n]上的最大值为7,最小值为4,则区间长度n-m的最大值和最小值分别为 (　　)
A.3,1　　　B.4,1　　　C.5,2　　　D.7,2
5.★★★(新定义理解)(2025届江苏如东开学考,13)对于实数a,b,定义新运算:ab=设函数f(x)=|x2-2x|(|x|-1),当x∈(1,3)时,函数f(x)的值域为　　　　.
6.★★★★(2026届广东深圳模拟,14)若函数f(x)=x4+4x3+ax(a∈R)的图象存在对称轴,则f(x)的最小值为　　　　.
7.★★★(新定义理解)(2026届重庆十一中质检,16)函数f(x)=ax2+(其中a>0,b>0)的图象形如“三叉戟”,因而得名三叉戟函数.已知三叉戟函数f(x)=ax2+的图象经过点(1,2),且满足f(-1)=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若 x∈(0,+∞), f(x)+f-2m≥0恒成立,求实数m的取值范围.
2.2　函数的单调性和最值
考点1　函数的单调性
五年高考
1.★(2021全国甲文,4,5分)下列函数中是增函数的为 (　　)
A. f(x)=-x　　　B. f(x)=
C. f(x)=x2　　　D. f(x)=
答案　D　
2.★★(2023新课标Ⅰ,4,5分)设函数f(x)=2 x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-2]　　　B.[-2,0)　　　C.(0,2]　　　D.[2,+∞)
答案　D　
3.★★(2021北京,3,5分)设函数f(x)的定义域为[0,1],则“f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的 (　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A　
4.★★(2024新课标Ⅰ,6,5分)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,0]　　　B.[-1,0]
C.[-1,1]　　　D.[0,+∞)
答案　B　
三年模拟
1.★(2026届福建连城一中月考,3)下列函数f(x)中,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),均有(x1-x2)·(f(x1)-f(x2))>0”的是 (　　)
A. f(x)=　　　B. f(x)=x2-4x+4
C. f(x)=2x　　　D. f(x)=lox
答案　C　
2.★★(2026届黑龙江新时代教育联合体期中,6)若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(3-a)A.
答案　B　
3.★★(2025届陕西西安模拟,3)若函数f(x)=在(1,+∞)上单调,则a的取值范围是 (　　)
A.[-2,+∞)　　　B.[-1,+∞)
C.(-∞,-2]　　　D.(-∞,-1]
答案　A　
4.★★★(2026届江苏南京一中月考,6)若函数f(x)=在(-1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 (　　)
A.[-3,9]　　　B.[-3,+∞)
C.[0,9]　　　D.(-∞,9]
答案　A　
5.★★★(2025届江苏扬州开学考,5)已知函数f(x)在[1,+∞)上单调递减且对任意x∈R满足f(x)=f(2-x),则不等式f(2x-3)>f(x)的解集是 (　　)
A.∪(3,+∞)　　　B.
C.　　　D.(3,+∞)
答案　B　
6.★★★(2026届山东济南摸底考,7)已知函数f(x)=+x,满足f(3a+2)+f(a)<1,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-1)　　　B.(-1,+∞)
C.
答案　C　
7.★★★(多选)(2026届福建百校联合测评,11)已知定义在R上的函数f(x)满足对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时, f(x)<0, f(2)=-4,则 (　　)
A.f(0)=0
B.f(x)+f(-x)=0
C.f(x)在R上单调递增
D.f(x2-2x)-f(2-x)>4的解集为(0,1)
答案　ABD　
8.★★(2026届北京大学附中开学考,18)能说明“若f(x)+g(x)是R上的增函数,则f(x),g(x)至少一个是R上的增函数”为假命题的函数f(x)=　　　　,g(x)=　　　　.
答案　x2+2x;-x2+x(答案不唯一)
9.★★★★(2026届安徽五校第一次联考,14)已知f(x)的定义域为(0,+∞),且f(2)=2,对于任意正数x,y,都有f(xy)+1=f(x)+f(y),若当x>1时, f(x)>1,则不等式f(2x-1)≤4的解集为　　　　.
答案　
考点2　函数的最值(值域)
五年高考
1.★★★(2021全国乙文,8,5分)下列函数中最小值为4的是 (　　)
A.y=x2+2x+4　　　B.y=|sin x|+
C.y=2x+22-x　　　D.y=ln x+
答案　C　
2.★★★★(2022北京,14,5分)设函数f(x)=若f(x)存在最小值,则a的一个取值为　　　　;a的最大值为　　　　.
答案　([0,1]中任意一个实数都可以,答案不唯一);1
三年模拟
1.★★(2025届山东威海模拟,5)已知函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,1)　　　B.(-1,+∞)
C.[-1,1)　　　D.(1,+∞)
答案　C　
2.★★★(2025届黑龙江牡丹江一中开学考,7)记实数x1,x2,…,xn的最小数为min{x1,x2,…,xn},若f(x)=min{x+1,x2-2x+1,-x+8},则函数f(x)的最大值为 (　　)
A.4　　　B.　　　C.1　　　D.5
答案　B　
3.★★★(2025届山西晋中部分校质检,8)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),若对于任意的x,y∈(0,+∞),都有f(x)+f(y)=f(xy)+2,当x>1时,都有f(x)>2,且f(3)=3,则函数f(x)在区间[1,27]上的最大值为 (　　)
A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5
答案　D　
4.★★★(2026届江苏启东中学素质测试,8)设函数f(x)=max{x2+2x+4,|x-4|},其中max{a,b}表示a,b中的最大者,若f(x)在区间[m,n]上的最大值为7,最小值为4,则区间长度n-m的最大值和最小值分别为 (　　)
A.3,1　　　B.4,1　　　C.5,2　　　D.7,2
答案　B　
5.★★★(新定义理解)(2025届江苏如东开学考,13)对于实数a,b,定义新运算:ab=设函数f(x)=|x2-2x|(|x|-1),当x∈(1,3)时,函数f(x)的值域为　　　　.
答案　(0,2)
6.★★★★(2026届广东深圳模拟,14)若函数f(x)=x4+4x3+ax(a∈R)的图象存在对称轴,则f(x)的最小值为　　　　.
答案　-4
7.★★★(新定义理解)(2026届重庆十一中质检,16)函数f(x)=ax2+(其中a>0,b>0)的图象形如“三叉戟”,因而得名三叉戟函数.已知三叉戟函数f(x)=ax2+的图象经过点(1,2),且满足f(-1)=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若 x∈(0,+∞), f(x)+f-2m≥0恒成立,求实数m的取值范围.
解析　(1)由函数f(x)=ax2+的图象经过点(1,2),得f(1)=a+b=2,
由f(-1)=0,得a-b=0,解得a=b=1,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2+.
(2) x∈(0,+∞),不等式f(x)+f-2m≥0 2m≤x2++x恒成立,
令g(x)=x2+-2,而当x>0时,x+≥2,当且仅当x=1时取等号,
因此g(x)≥22+2-2=4,当且仅当x=1时取等号,则2m≤4,解得m≤2,
所以实数m的取值范围是(-∞,2].
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