3.1　导数的概念及运算--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）

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2027通用版高考数学第一轮
第三章　导数及其应用
3.1　导数的概念及运算
考点1　导数的概念及运算
三年模拟
1.★(2026届湘豫名校联盟摸底,6)已知f(x)在R上可导,则f'(1)= (　　)
A.　　　 B.
C.　　　D.
2.★★(2026届安徽五校第一次联考,4)下列求导运算正确的是 (　　)
A.(ln 2)'=
B.(3x+log3x)'=(3x+x)ln 3
C.(ex)'=
D.
3.★★(2026届江西多校联考,4)已知函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)=-f'(-1)x3+2x2-2,则f(2)= (　　)
A.20　　　B.18　　　
C.16　　　D.14
4.★★(2025届安徽肥东第一中学联考,2)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=2xf'+sin x,则f'= (　　)
A.-　　　
C.
5.★★(2026届广东湛江八校联考,7)某跳水运动员在10米高的跳台起跳后,其速度v(单位:米/秒)与时间t(单位:秒)之间的函数关系式为v(t)=-9.8t+4.7,则该运动员(身高忽略不计)在t=1秒时离水面的高度为 (　　)
A.9.6米　　　B.9.7米　　　C.9.8米　　　D.9.9米
6.★★★(2026届山西晋中开学考,8)已知f'(x)为函数f(x)=x2+2cos 2x的导函数,则f'(x)的大致图象是 (　　)
7.★★★(2025届江西南昌模拟,7)我们知道一个常识:奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况:如果函数f(x)的图象有对称中心,那么其导函数f'(x)的图象会有对称轴;如果函数f(x)的图象有对称轴,那么其导函数f'(x)的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数f(x)=ln的对称性,下列选项正确的是 (　　)
A.f(x)的图象有对称中心
B.f(x)的图象有对称中心
C.f(x)的图象有对称轴x=-
D.f(x)的图象有对称轴x=
8.★★★(创新考法·估计三角函数值)(2025届陕西咸阳三模,8)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当f(x)在x=0处的n(n∈N*)阶导数都存在时, f(x)=f(0)+f'(0)x+xn+….该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算sin 2的值为(精确到小数点后两位) (　　)
注:f″(x)表示f(x)的2阶导数,即为f'(x)的导数, f(n)(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数,即为f(n-1)(x)(n≥3)的导数.n!表示n的阶乘,即n!=1×2×3×…×n.
A.0.85　　　B.0.88　　　C.0.91　　　D.0.95
考点2　曲线的切线
五年高考
1.★★(2023全国甲文,8,5分)曲线y=处的切线方程为 (　　)
A.y=x
C.y=
2.★★(2024全国甲理,6,5分)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　)
A.
3.★★★(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 (　　)
A.ebC.04.★★(2021全国甲理,13,5分)曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为　　　　　　　　.
5.★★★(2025全国一卷,12,5分)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=　　　　.
6.★★★(2024新课标Ⅰ,13,5分)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　.
7.★★★(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　　　　,　　　　.
8.★★★(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　.
9.★★★(2021新高考Ⅱ,16,5分)已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1, f(x1))和点B(x2, f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则的取值范围是　　　　.
三年模拟
1.★★(2026届安徽质量检测,4)已知函数f(x)=-x2+3x,则曲线f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为 (　　)
A.x+y-3=0　　　B.x-y+1=0
C.x+y-2=0　　　D.x-y-1=0
2.★★(2026届河北示范高中联盟月考,3)若直线y=kx+b是曲线y=2x-ln(x+1)+3的切线,则k的取值范围是 (　　)
A.(1,2]　　　B.(-∞,2)　　　
C.(-∞,1)　　　D.(1,2)
3.★★(2025届陕西安康考前最后一卷,5)已知函数f(x)=excos x的图象在x=x0处的切线平行于x轴,则该切线的方程为 (　　)
A.y=1　　　B.y=
C.y=
4.★★(2025届江苏南通高品质高中模拟预测,5)若曲线y=x4的一条切线l1与直线l2:4x-y-20=0平行,则l1与l2之间的距离为 (　　)
A.　　　
C.5　　　D.10
5.★★★(2025届河南部分学校模拟,5)已知曲线f(x)=(x+k)ln(x+k)的一条切线的方程为y=x,则k= (　　)
A.0　　　B.1　　　C.-1　　　D.e
6.★★★(2026届广东广州花都调研,7)已知f(x)为奇函数,当x<-1时, f(x)=ln,则曲线f(x)在点(3, f(3))处的切线方程是 (　　)
A.x+4y-4ln 2-3=0　　　B.x+2y+2ln 2-3=0
C.x-4y+4ln 2-3=0　　　D.x-2y-2ln 2-3=0
7.★★★(2026届江西阶段检测,7)在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),P为曲线y=2-ln x上一动点,则AP的最小值为 (　　)
A.
8.★★★(2026届河北沧州质量检测,7)已知函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　)
A.
9.★★★(2026届河南安阳调研,7)过点P(0,1)作曲线y=x2-2x+5的两条切线,切点分别为M,N,则直线MN的方程为 (　　)
A.2x+y-9=0　　　B.2x-y+9=0
C.2x+y-1=0　　　D.2x-y+1=0
10.★★★(2025届陕西安康模拟预测,7)已知曲线f(x)=ln x+x2-ax与倾斜角为45°且横截距为a的直线l相切,则a= (　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
11.★★★(2026届山东九五高中协作体质量检测,8)若不等式ex-2≥ax+b≥ln x恒成立,则实数a的取值范围是 (　　)
A.
C.[1,2]　　　D.[1,e]
12.★★★(2026届山东青岛五十八中调研,8)已知函数f(x)=若在点P可以作曲线y=f(x)的两条切线,则点P的坐标可以为 (　　)
A.(1,1)　　　B.(1,2)　　　C.(-1,1)　　　D.(2,2)
13.★★★★(创新风向·多想少算)(2025届江苏南京东山高级中学二模,8)已知y=(x-a)2+(xln x-a+3)2(a∈R),则y的最小值为 (　　)
A.2　　　B.1　　　C.
14.★(2026届湖南益阳教学质量检测,12)曲线y=在点(1,0)处的切线方程为　　　　.
15.★★(2026届河北石家庄一中摸底,12)已知函数y=f(x)的图象在点M(1, f(1))处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f'(1)=　　　　.
16.★★(2026届山西长治质量监测,12)曲线y=x2+在点(1,4)处的切线的倾斜角为　　　　.
17.★★★(2026届湖北武汉华中师大一附中月考,12)若曲线y=x+2在点(1,3)处的切线也是曲线y=ln x+x+2a的切线,则a=　　　　.
18.★★★★★(2026届广东深圳中学摸底,19)已知函数f(x)=aex,g(x)=ln x+b(a,b∈R).
(1)当b=1时, f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(2)证明:当a=e-1,b<1时,曲线y=f(x)与y=g(x)总存在两条公切线;
(3)若直线l1,l2是曲线y=f(x)与y=g(x)的两条公切线,且l1,l2的斜率之积为1,求a,b的关系式.
第三章　导数及其应用
3.1　导数的概念及运算
考点1　导数的概念及运算
三年模拟
1.★(2026届湘豫名校联盟摸底,6)已知f(x)在R上可导,则f'(1)= (　　)
A.　　　 B.
C.　　　D.
答案　B　
2.★★(2026届安徽五校第一次联考,4)下列求导运算正确的是 (　　)
A.(ln 2)'=
B.(3x+log3x)'=(3x+x)ln 3
C.(ex)'=
D.
答案　D　
3.★★(2026届江西多校联考,4)已知函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)=-f'(-1)x3+2x2-2,则f(2)= (　　)
A.20　　　B.18　　　
C.16　　　D.14
答案　D　
4.★★(2025届安徽肥东第一中学联考,2)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=2xf'+sin x,则f'= (　　)
A.-　　　
C.
答案　A　
5.★★(2026届广东湛江八校联考,7)某跳水运动员在10米高的跳台起跳后,其速度v(单位:米/秒)与时间t(单位:秒)之间的函数关系式为v(t)=-9.8t+4.7,则该运动员(身高忽略不计)在t=1秒时离水面的高度为 (　　)
A.9.6米　　　B.9.7米　　　C.9.8米　　　D.9.9米
答案　C　
6.★★★(2026届山西晋中开学考,8)已知f'(x)为函数f(x)=x2+2cos 2x的导函数,则f'(x)的大致图象是 (　　)
答案　B　
7.★★★(2025届江西南昌模拟,7)我们知道一个常识:奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况:如果函数f(x)的图象有对称中心,那么其导函数f'(x)的图象会有对称轴;如果函数f(x)的图象有对称轴,那么其导函数f'(x)的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数f(x)=ln的对称性,下列选项正确的是 (　　)
A.f(x)的图象有对称中心
B.f(x)的图象有对称中心
C.f(x)的图象有对称轴x=-
D.f(x)的图象有对称轴x=
答案　B　
8.★★★(创新考法·估计三角函数值)(2025届陕西咸阳三模,8)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当f(x)在x=0处的n(n∈N*)阶导数都存在时, f(x)=f(0)+f'(0)x+xn+….该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算sin 2的值为(精确到小数点后两位) (　　)
注:f″(x)表示f(x)的2阶导数,即为f'(x)的导数, f(n)(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数,即为f(n-1)(x)(n≥3)的导数.n!表示n的阶乘,即n!=1×2×3×…×n.
A.0.85　　　B.0.88　　　C.0.91　　　D.0.95
答案　C　
考点2　曲线的切线
五年高考
1.★★(2023全国甲文,8,5分)曲线y=处的切线方程为 (　　)
A.y=x
C.y=
答案　C　
2.★★(2024全国甲理,6,5分)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　)
A.
答案　A　
3.★★★(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 (　　)
A.ebC.0答案　D　
4.★★(2021全国甲理,13,5分)曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为　　　　　　　　.
答案　y=5x+2
5.★★★(2025全国一卷,12,5分)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=　　　　.
答案　4
6.★★★(2024新课标Ⅰ,13,5分)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　.
答案　ln 2
7.★★★(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　　　　,　　　　.
答案　y=x;y=-x(不分先后)
8.★★★(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　.
答案　(-∞,-4)∪(0,+∞)
9.★★★(2021新高考Ⅱ,16,5分)已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1, f(x1))和点B(x2, f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则的取值范围是　　　　.
答案　(0,1)
三年模拟
1.★★(2026届安徽质量检测,4)已知函数f(x)=-x2+3x,则曲线f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为 (　　)
A.x+y-3=0　　　B.x-y+1=0
C.x+y-2=0　　　D.x-y-1=0
答案　B　
2.★★(2026届河北示范高中联盟月考,3)若直线y=kx+b是曲线y=2x-ln(x+1)+3的切线,则k的取值范围是 (　　)
A.(1,2]　　　B.(-∞,2)　　　
C.(-∞,1)　　　D.(1,2)
答案　B　
3.★★(2025届陕西安康考前最后一卷,5)已知函数f(x)=excos x的图象在x=x0处的切线平行于x轴,则该切线的方程为 (　　)
A.y=1　　　B.y=
C.y=
答案　D　
4.★★(2025届江苏南通高品质高中模拟预测,5)若曲线y=x4的一条切线l1与直线l2:4x-y-20=0平行,则l1与l2之间的距离为 (　　)
A.　　　
C.5　　　D.10
答案　A　
5.★★★(2025届河南部分学校模拟,5)已知曲线f(x)=(x+k)ln(x+k)的一条切线的方程为y=x,则k= (　　)
A.0　　　B.1　　　C.-1　　　D.e
答案　B　
6.★★★(2026届广东广州花都调研,7)已知f(x)为奇函数,当x<-1时, f(x)=ln,则曲线f(x)在点(3, f(3))处的切线方程是 (　　)
A.x+4y-4ln 2-3=0　　　B.x+2y+2ln 2-3=0
C.x-4y+4ln 2-3=0　　　D.x-2y-2ln 2-3=0
答案　A　
7.★★★(2026届江西阶段检测,7)在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),P为曲线y=2-ln x上一动点,则AP的最小值为 (　　)
A.
答案　D　
8.★★★(2026届河北沧州质量检测,7)已知函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　)
A.
答案　D　
9.★★★(2026届河南安阳调研,7)过点P(0,1)作曲线y=x2-2x+5的两条切线,切点分别为M,N,则直线MN的方程为 (　　)
A.2x+y-9=0　　　B.2x-y+9=0
C.2x+y-1=0　　　D.2x-y+1=0
答案　A　
10.★★★(2025届陕西安康模拟预测,7)已知曲线f(x)=ln x+x2-ax与倾斜角为45°且横截距为a的直线l相切,则a= (　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
答案　B　
11.★★★(2026届山东九五高中协作体质量检测,8)若不等式ex-2≥ax+b≥ln x恒成立,则实数a的取值范围是 (　　)
A.
C.[1,2]　　　D.[1,e]
答案　D　
12.★★★(2026届山东青岛五十八中调研,8)已知函数f(x)=若在点P可以作曲线y=f(x)的两条切线,则点P的坐标可以为 (　　)
A.(1,1)　　　B.(1,2)　　　C.(-1,1)　　　D.(2,2)
答案　B　
13.★★★★(创新风向·多想少算)(2025届江苏南京东山高级中学二模,8)已知y=(x-a)2+(xln x-a+3)2(a∈R),则y的最小值为 (　　)
A.2　　　B.1　　　C.
答案　A　
14.★(2026届湖南益阳教学质量检测,12)曲线y=在点(1,0)处的切线方程为　　　　.
答案　y=x-1
15.★★(2026届河北石家庄一中摸底,12)已知函数y=f(x)的图象在点M(1, f(1))处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f'(1)=　　　　.
答案　3
16.★★(2026届山西长治质量监测,12)曲线y=x2+在点(1,4)处的切线的倾斜角为　　　　.
答案　135°
17.★★★(2026届湖北武汉华中师大一附中月考,12)若曲线y=x+2在点(1,3)处的切线也是曲线y=ln x+x+2a的切线,则a=　　　　.
答案　1
18.★★★★★(2026届广东深圳中学摸底,19)已知函数f(x)=aex,g(x)=ln x+b(a,b∈R).
(1)当b=1时, f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(2)证明:当a=e-1,b<1时,曲线y=f(x)与y=g(x)总存在两条公切线;
(3)若直线l1,l2是曲线y=f(x)与y=g(x)的两条公切线,且l1,l2的斜率之积为1,求a,b的关系式.
解析　(1)当b=1时,由f(x)≥g(x)得aex≥ln x+1,即a≥.
设F(x)=,则F'(x)=,
设p(x)=-ln x-1,
则p'(x)=-<0,
∴p(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴当x∈(0,1)时,p(x)>p(1)=0,此时F'(x)>0,
当x∈(1,+∞)时,p(x)∴F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
∴F(x)max=F(1)=,∴a≥,
即a的取值范围为.
(2)证明:设直线l是曲线f(x),g(x)的公切线,分别与曲线f(x),g(x)相切于点(x1,a),(x2,ln x2+b),
∵f'(x)=aex,g'(x)=,
则f'(x1)=a,g'(x2)=,
∴切线方程为y-a(x-x1),
y-ln x2-b=(x-x2),
即y=a(1-x1),y=x+ln x2+b-1.
∴a(1-x1)=ln x2+b-1,
∵a=e-1,∴,∴x1-1=-ln x2,
∴ln x2+b-1=a(1-x1)=,
∴b=-ln x2+1,
令h(x)=-ln x+1,
则h'(x)=,
设q(x)=1-ln x-x,
则q'(x)=-<0,
∴q(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴当x∈(0,1)时,q(x)>q(1)=0,此时h'(x)>0,
当x∈(1,+∞)时,q(x)∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
∴h(x)max=h(1)=1,
当x→0时,h(x)=ln x+1→-∞,当x→+∞时,h(x)→-∞,又b<1,
∴h(x)的图象与直线y=b有两个不同的交点,
∴方程b=-ln x2+1总有两个不相等的实数根,即直线l有两条,
∴当a=e-1,b<1时,曲线y=f(x)与曲线y=g(x)总存在两条公切线.
(3)同(2)得
由①得x2=,
代入②得(1-x1)a=-ln a-x1+b-1,
∴(1-x1)a+ln a+x1-b+1=0,
设两条公切线l1,l2与曲线y=f(x)分别相切于点(s,aes),(t,aet),
则l1,l2的斜率分别为k1=aes,k2=aet,
由k1k2=1得a2es+t=1,
由题意知,a>0,
两边同取自然对数得2ln a+s+t=0,
即s+t=-2ln a,
又
将s=-t-2ln a代入③得
(1+t+2ln a)ae-t-2ln a+ln a-t-2ln a-b+1=0,
即(1+t+2ln a)-t-ln a-b+1=0,
∴1+t+2ln a+(1-t)aet-(ln a+b)aet=0,⑤
⑤-④得ln a+b-(ln a+b)aet=0,
∴(ln a+b)(1-aet)=0对任意t恒成立,
∴ln a+b=0.
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