3.2 导数与函数的单调性、极值和最值--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.2 导数与函数的单调性、极值和最值--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 381.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-31 00:00:00 | ||
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文档简介
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2027通用版高考数学第一轮
3.2 导数与函数的单调性、极值和最值
考点1 导数与函数的单调性
五年高考
1.★★★(2023新课标Ⅱ,6,5分)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为 ( )
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2
2.★★★★(2022全国甲文,12,5分)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则 ( )
A.a>0>b B.a>b>0
C.b>a>0 D.b>0>a
3.★★★★★(2022新高考Ⅰ,7,5分)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则 ( )
A.aC.c4.★★★(2023新课标Ⅰ,19,12分)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:当a>0时, f(x)>2ln a+.
5.★★★★(2023全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=ax-,x∈.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)+sin x<0,求a的取值范围.
6.★★★★(2023全国乙文,20,12分)已知函数f(x)=ln(1+x).
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在(0,+∞)单调递增,求a的取值范围.
三年模拟
1.★★(2026届辽宁名校联盟联考,5)已知连续函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)在[-2,2]上的图象如图,则 ( )
A.f(x)在[-1,0]上单调递减
B.f(x)在[0,1]上单调递减
C.f(x)在[-1,2]上单调递增
D.f(x)在[-2,0]上单调递增
2.★★★(2026届河北摸底联考,7)已知函数f(x)=ln x-,则f(2), f(4), f(8)的大小关系为(参考数据:≈1.41,ln 2≈0.69) ( )
A. f(8)C. f(2)3.★★★(2026届江苏苏州调研,5)“a>2”是“函数f(x)=ax-tan x在上单调递增”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.★★★(2025届河北秦皇岛模拟预测,6)已知函数f(x)=在R上单调递减,则a的取值范围是 ( )
A.
C.[1,) D.
5.★★★(2026届湖北新八校协作体月考,7)已知a=1416,b=1515,c=1614,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.b>c>a B.b>a>c
C.a>c>b D.a>b>c
6.★★★(2025届重庆八中开学考,7)已知函数f(x)=2ln x-ax2-2x在x∈上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为 ( )
A.
C.(-∞,4) D.(-∞,4]
7.★★★(2026届广东深圳外国语学校开学考,7)已知函数f(x)=ln(1+ex)-x,a=f,b=f,c=f,则 ( )
A.a8.★★★★(2026届安徽江淮十校第一次联考,7)已知α=2ln 64,β=3ln 9,γ=7ln 5,则 ( )
A.γ>α>β B.γ>β>α C.β>γ>α D.β>α>γ
9.★★★★(2026届福建厦门双十中学阶段练习,8)若a=,b=,c=,则 ( )
A.a10.★★(2026届江苏扬州七校联考,12)函数f(x)=2x-xln 2的单调递增区间是 .
11.★★★(2025届浙江新阵地教育联盟第二次联考,17)已知a>0,函数f(x)=.
(1)若a=2,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(2,+∞)上不单调,求a的取值范围.
12.★★★★(2025届北京丰台二模,20)已知函数f(x)=(x3+2x2)eax+b(a,b∈R)的图象在点(-1, f(-1))处的切线方程为y=1.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)≤-x2-2x,求x的取值范围.
13.★★★★(2026届山东烟台期中,19)已知f(x)=x2+2x-ln x,m∈R.
(1)若曲线f(x)在(1, f(1))处的切线与直线x+2y-1=0垂直,求m的值;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)若m=0,当0考点2 导数与函数的极(最)值
五年高考
1.★★★(2022全国甲,文8,理6,5分)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)= ( )
A.-1 B.- D.1
2.★★★★(多选)(2023新课标Ⅱ,11,5分)若函数f(x)=aln x+(a≠0)既有极大值也有极小值,则 ( )
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
3.★★(2025全国二卷,13,5分)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)= .
4.★★★(2021新高考Ⅰ,15,5分)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为 .
5.★★★★(2022全国乙理,16,5分)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x16.★★★(2024新课标Ⅱ,16,15分)已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.
7.★★★★★(2023全国乙理,21,12分)已知函数f(x)=ln(1+x).
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程.
(2)是否存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称 若存在,求a,b;若不存在,说明理由.
(3)若f(x)在(0,+∞)存在极值点,求a的取值范围.
三年模拟
1.★★(2026届黑龙江齐齐哈尔九校联考,5)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列选项正确的是 ( )
A.f(x)有2个极值点
B.f(x)在x=2处取得极大值
C.f(x)在(-∞,2)上单调递增
D.f(x)有极小值,没有极大值
2.★★★(2026届河南调研(一),8)函数f(x)=ex在(0,+∞)上的极值为 ( )
A.e B.1
C.-
3.★★★(2026届江苏南通海安实验中学月考,6)在同一平面直角坐标系内,函数y=f(x)及其导函数y=f'(x)的图象如图所示,已知两图象有且仅有一个公共点,其坐标为(0,1),则 ( )
A.函数y=f(x)·ex的最大值为1
B.函数y=f(x)·ex的最小值为1
C.函数y=的最大值为1
D.函数y=的最小值为1
4.★★★(2026届河北沧州盐山中学调研(一),6)若函数f(x)=ln x-m(x-1)2恰有两个极值点,则实数m的取值范围为 ( )
A.∪(0,+∞)
B.(-∞,-2)∪(0,+∞)
C.(-∞,-2)
D.
5.★★★(2025届江苏泰州中学调研,8)若函数f(x)=-ax2+4x-2ln x有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-1,0) B.(-∞,1)
C.(0,2) D.(2,+∞)
6.★★(2026届福建泉州质量监测,13)若函数f(x)=x(x-a)2在x=1处取得极小值,则a= .
7.★★★(2025届安徽名校联盟联考,13)若函数f(x)=在x=2处取得极小值,则f(x)的极大值为 .
8.★★★(2025届河北唐山月考,14)已知函数f(x)=4sin x+2sin 2x,则f(x)的最大值是 .
9.★★★★(2026届安徽皖江名校联盟开学考,17)已知函数f(x)=.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数g(x)=af(x)+ln x-x有三个极值点,求实数a的取值范围.
10.★★★★(2025届黑龙江哈尔滨六中二模,17)已知函数f(x)=ln x-2kx,x∈(0,e],其中e为自然对数的底数.
(1)若x=2为f(x)的极值点,求f(x)的单调区间和最大值.
(2)是否存在实数k,使得f(x)的最大值为-2 若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
3.2 导数与函数的单调性、极值和最值
考点1 导数与函数的单调性
五年高考
1.★★★(2023新课标Ⅱ,6,5分)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为 ( )
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2
答案 C
2.★★★★(2022全国甲文,12,5分)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则 ( )
A.a>0>b B.a>b>0
C.b>a>0 D.b>0>a
答案 A
3.★★★★★(2022新高考Ⅰ,7,5分)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则 ( )
A.aC.c答案 C
4.★★★(2023新课标Ⅰ,19,12分)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:当a>0时, f(x)>2ln a+.
解析 (1)由已知得函数f(x)的定义域为R, f'(x)=aex-1.
①当a≤0时, f'(x)<0, f(x)在R上单调递减;
②当a>0时,令f'(x)=0,则x=ln,
当x当x>ln时, f'(x)>0, f(x)单调递增.
综上所述,当a≤0时, f(x)在R上单调递减;
当a>0时, f(x)在上单调递减,在上单调递增.
(2)证明:由(1)知,当a>0时, f(x)在上单调递减,在上单调递增,则f(x)min=f =1+a2+ln a.
要证明f(x)>2ln a+,只需证明1+a2+ln a>2ln a+,即证a2-ln a->0.
令g(x)=x2-ln x-(x>0),
则g'(x)=2x-.
当0当x>时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴g(x)min=g>0,
∴g(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
即a2-ln a->0,∴f(x)>2ln a+.
5.★★★★(2023全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=ax-,x∈.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)+sin x<0,求a的取值范围.
解析 (1)当a=1时, f(x)=x-,x∈,
f'(x)=1-
=<0,
所以函数f(x)在上单调递减.
(2)令g(x)=-sin x
=
=,
则g'(x)=
=,
因为x∈,所以3cos2xsin2x+2sin4x>0,cos3x>0,则g'(x)>0,
所以函数g(x)在上单调递增,
g(0)=0,当x→时,g(x)→+∞,
因为f(x)+sin x<0恒成立,
所以上恒成立,
即直线y=ax在0由图及g'(0)=0可得a≤0,
即a的取值范围为(-∞,0].
6.★★★★(2023全国乙文,20,12分)已知函数f(x)=ln(1+x).
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在(0,+∞)单调递增,求a的取值范围.
解析 (1)当a=-1时, f(x)=ln(x+1),
则f(1)=0,且f'(x)=-ln(x+1)+,
故f'(1)=-ln 2,所以所求切线方程为y=-(x-1)ln 2,即xln 2+y-ln 2=0.
(2)∵f'(x)=,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即≥在(0,+∞)上恒成立,
其等价于x(ax+1)≥(1+x)ln(1+x)在(0,+∞)上恒成立,
令g(x)=(ax+1)x-(1+x)ln(1+x),
则g'(x)=2ax-ln(1+x),
令h(x)=g'(x),则h'(x)=2a-,
令H(x)=h'(x),则H'(x)=>0,
故h'(x)在(0,+∞)上单调递增,
因此h'(x)>h'(0)=2a-1在(0,+∞)上恒成立.
①当2a-1≥0,即a≥时,h'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
此时g'(x)在(0,+∞)上单调递增,又g'(0)=0,∴g'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,
因此g(x)>g(0)=0,即(ax+1)x≥(1+x)·ln(1+x)在(0,+∞)上恒成立,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当2a-1<0,即a<时,必存在x0∈(0,+∞),使h'(x0)=0,
因此,当x∈(0,x0)时,h'(x)<0,所以g'(x)在(0,x0)上单调递减,
又g'(0)=0,从而有当x∈(0,x0)时,g'(x)<0恒成立,
此时g(x)在(0,x0)上单调递减,又g(0)=0,故有g(x)<0在(0,x0)上恒成立,从而有f'(x)<0在(0,x0)上恒成立,与y=f(x)在(0,+∞)上单调递增不符,从而2a-1<0不合题意.
综上所述,a≥.
三年模拟
1.★★(2026届辽宁名校联盟联考,5)已知连续函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)在[-2,2]上的图象如图,则 ( )
A.f(x)在[-1,0]上单调递减
B.f(x)在[0,1]上单调递减
C.f(x)在[-1,2]上单调递增
D.f(x)在[-2,0]上单调递增
答案 A
2.★★★(2026届河北摸底联考,7)已知函数f(x)=ln x-,则f(2), f(4), f(8)的大小关系为(参考数据:≈1.41,ln 2≈0.69) ( )
A. f(8)C. f(2)答案 A
3.★★★(2026届江苏苏州调研,5)“a>2”是“函数f(x)=ax-tan x在上单调递增”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
4.★★★(2025届河北秦皇岛模拟预测,6)已知函数f(x)=在R上单调递减,则a的取值范围是 ( )
A.
C.[1,) D.
答案 C
5.★★★(2026届湖北新八校协作体月考,7)已知a=1416,b=1515,c=1614,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.b>c>a B.b>a>c
C.a>c>b D.a>b>c
答案 D
6.★★★(2025届重庆八中开学考,7)已知函数f(x)=2ln x-ax2-2x在x∈上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为 ( )
A.
C.(-∞,4) D.(-∞,4]
答案 C
7.★★★(2026届广东深圳外国语学校开学考,7)已知函数f(x)=ln(1+ex)-x,a=f,b=f,c=f,则 ( )
A.a答案 A
8.★★★★(2026届安徽江淮十校第一次联考,7)已知α=2ln 64,β=3ln 9,γ=7ln 5,则 ( )
A.γ>α>β B.γ>β>α C.β>γ>α D.β>α>γ
答案 A
9.★★★★(2026届福建厦门双十中学阶段练习,8)若a=,b=,c=,则 ( )
A.a答案 A
10.★★(2026届江苏扬州七校联考,12)函数f(x)=2x-xln 2的单调递增区间是 .
答案 (0,+∞)(或[0,+∞))
11.★★★(2025届浙江新阵地教育联盟第二次联考,17)已知a>0,函数f(x)=.
(1)若a=2,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(2,+∞)上不单调,求a的取值范围.
解析 (1)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),
f'(x)=ex·
=ex·,
令f'(x)>0 x<0或x>,
令f'(x)<0 0∴f(x)的单调递增区间为(-∞,0),,单调递减区间为(0,1),.
(2)f'(x)=ex·
=ex·(x≠1),
设g(x)=ax2-(a+1)x+2-a(a>0),
注意到g(2)=a>0,要使f(x)在(2,+∞)上不单调,
只需满足
解得0即实数a的取值范围为.
12.★★★★(2025届北京丰台二模,20)已知函数f(x)=(x3+2x2)eax+b(a,b∈R)的图象在点(-1, f(-1))处的切线方程为y=1.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)≤-x2-2x,求x的取值范围.
解析 (1)因为f(x)=(x3+2x2)eax+b,
所以f'(x)=(ax3+2ax2+3x2+4x)eax+b=[ax3+(2a+3)x2+4x]eax+b.
由题意得
解得
(2)由(1)得f(x)=(x3+2x2)ex+1,
f'(x)=(x3+5x2+4x)ex+1.
令f'(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4.
当x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如表所示:
x (-∞, -4) -4 (-4, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, +∞)
f'(x) - 0 + 0 - 0 +
f(x) ↘ -32e-3 ↗ 1 ↘ 0 ↗
所以f(x)的单调递增区间为(-4,-1),(0,+∞),单调递减区间为(-∞,-4),(-1,0).
(3)设g(x)=f(x)-(-x2-2x)=(x3+2x2)·ex+1+x2+2x=(x2+2x)(xex+1+1).
令h(x)=xex+1+1,则h'(x)=(x+1)ex+1.
当x>-1时,h'(x)>0,h(x)在(-1,+∞)上单调递增,h(x)>h(-1)=0,
当x<-1时,h'(x)<0,h(x)在(-∞,-1)上单调递减,h(x)>h(-1)=0,
所以h(x)=xex+1+1≥0恒成立.
由题意,g(x)≤0等价于或h(x)=0,
解得或x=-1.
综上,x的取值范围是[-2,0].
13.★★★★(2026届山东烟台期中,19)已知f(x)=x2+2x-ln x,m∈R.
(1)若曲线f(x)在(1, f(1))处的切线与直线x+2y-1=0垂直,求m的值;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)若m=0,当0解析 f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=mx+2-.
(1)因为曲线f(x)=x2+2x-ln x在(1, f(1))处的切线与直线x+2y-1=0垂直,所以f'(1)=m+2-1=2,所以m=1.
(2)令g(x)=mx2+2x-1,
当m>0时,g(x)=mx2+2x-1的图象是开口向上的抛物线,且Δ=4+4m>0,
mx2+2x-1=0的两根分别为x1=,x2=,则x1因为g(x)=mx2+2x-1的图象过点(0,-1),所以x1<0所以当0时, f'(x)>0.
所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.
当m=0时, f'(x)=2-,所以当0时, f'(x)>0,
所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.
当m<0时,g(x)=mx2+2x-1的图象是开口向下的抛物线,且Δ=4+4m,
若-10,
mx2+2x-1=0的两根分别为x1=,x2=,则x1>x2,
因为g(x)=mx2+2x-1的图象过点(0,-1),所以0所以当0当时, f'(x)>0,
所以f(x)在,上单调递减,
在上单调递增.
若m≤-1,Δ=4+4m≤0, f'(x)≤0恒成立, f(x)在(0,+∞)上单调递减.
综上,当m>0时, f(x)在上单调递减,在上单调递增,
当m=0时, f(x)在上单调递减,在上单调递增,
当-1当m≤-1时, f(x)在(0,+∞)上单调递减.
(3)m=0时, f(x)=2x-ln x,
因为0所以2a-ln a=2b-ln b,即f(a)=f(b).
由(2)知, f(x)在上单调递减,在上单调递增,
所以当a=b=时,a+b=1,
当a≠b时,01,即b>1-a.因为0所以只需证f(b)>f(1-a),又因为f(a)=f(b),所以只需证f(a)>f(1-a),0令F(x)=f(x)-f(1-x),x∈,
所以F'(x)=f'(x)+f'(1-x)=2-,
因为x∈,所以(x-x2)∈,所以>4,所以F'(x)<0,
所以F(x)在上单调递减,
又F=0,所以F(x)>0,
所以F(a)>0,即f(a)>f(1-a),即a+b>1.
综上,a+b≥1,因为a+b-t≥0,所以t≤1.
考点2 导数与函数的极(最)值
五年高考
1.★★★(2022全国甲,文8,理6,5分)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)= ( )
A.-1 B.- D.1
答案 B
2.★★★★(多选)(2023新课标Ⅱ,11,5分)若函数f(x)=aln x+(a≠0)既有极大值也有极小值,则 ( )
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
答案 BCD
3.★★(2025全国二卷,13,5分)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)= .
答案 -4
4.★★★(2021新高考Ⅰ,15,5分)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为 .
答案 1
5.★★★★(2022全国乙理,16,5分)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1答案
6.★★★(2024新课标Ⅱ,16,15分)已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.
解析 (1)当a=1时, f(x)=ex-x-1,
f'(x)=ex-1,则切线斜率为k=f'(1)=e-1,
又∵f(1)=e-1-1=e-2,
∴切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1),
整理得y=(e-1)x-1.
(2)∵f(x)=ex-ax-a3,∴f'(x)=ex-a.
①当a≤0时, f'(x)>0恒成立, f(x)单调递增,
无极值,不符合题意,故a≤0时不成立.
②当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln a,
当x∈(-∞,ln a)时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈(ln a,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增.
∴x=ln a时f(x)有极小值,
极小值为f(ln a)=eln a-aln a-a3=a-aln a-a3.
又∵极小值小于0,∴a-aln a-a3<0,
又∵a>0,∴1-ln a-a2<0,
设g(a)=1-ln a-a2,a∈(0,+∞),
∵g'(a)=--2a<0,∴g(a)单调递减,
又∵g(1)=0,∴a∈(1,+∞)时,g(a)<0,
即极小值f(ln a)<0,∴a>1.
综上所述,a的取值范围为(1,+∞).
7.★★★★★(2023全国乙理,21,12分)已知函数f(x)=ln(1+x).
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程.
(2)是否存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称 若存在,求a,b;若不存在,说明理由.
(3)若f(x)在(0,+∞)存在极值点,求a的取值范围.
解析 (1)当a=-1时, f(x)=ln(x+1),则f(1)=0,且f'(x)=-ln(x+1)+,
故f'(1)=-ln 2,所以所求切线方程为y=-(x-1)ln 2,即xln 2+y-ln 2=0.
(2)存在.f=(x+a)ln,其定义域为(-∞,-1)∪(0,+∞).
要使函数f的图象关于直线x=b对称,则由x≠0且x≠-1知b=-,此时f=(x+a)ln对称,则f,即
,
即,
∴a+t-,解得a=.
(3)f'(x)=-ln(x+1)+,
要使f(x)在(0,+∞)存在极值点,则方程ln(x+1)-=0有正根,
记g(x)=ln(x+1)-,x>0,
则g'(x)=-·(ax+2a-1).
①当a≤0时,g'(x)>0,故g(x)在(0,+∞)单调递增,
g(x)>g(0)=0,不符合题意,舍去;
②当a≥时,g'(x)<0,故g(x)在(0,+∞)单调递减,g(x)③当00,得0令g'(x)<0,得x>.
易知x→+∞时,g(x)→-∞,
故只需g(x)max=g+4a-2>0即可,
设h(t)=ln(t-1)+-2,t>2,则h'(t)=>0,故h(t)在(2,+∞)单调递增,
∴h(t)>h(2)=0,故00,
即g>0,符合题意.
综上所述,当a∈时, f(x)在(0,+∞)存在极值点.
三年模拟
1.★★(2026届黑龙江齐齐哈尔九校联考,5)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列选项正确的是 ( )
A.f(x)有2个极值点
B.f(x)在x=2处取得极大值
C.f(x)在(-∞,2)上单调递增
D.f(x)有极小值,没有极大值
答案 D
2.★★★(2026届河南调研(一),8)函数f(x)=ex在(0,+∞)上的极值为 ( )
A.e B.1
C.-
答案 A
3.★★★(2026届江苏南通海安实验中学月考,6)在同一平面直角坐标系内,函数y=f(x)及其导函数y=f'(x)的图象如图所示,已知两图象有且仅有一个公共点,其坐标为(0,1),则 ( )
A.函数y=f(x)·ex的最大值为1
B.函数y=f(x)·ex的最小值为1
C.函数y=的最大值为1
D.函数y=的最小值为1
答案 C
4.★★★(2026届河北沧州盐山中学调研(一),6)若函数f(x)=ln x-m(x-1)2恰有两个极值点,则实数m的取值范围为 ( )
A.∪(0,+∞)
B.(-∞,-2)∪(0,+∞)
C.(-∞,-2)
D.
答案 C
5.★★★(2025届江苏泰州中学调研,8)若函数f(x)=-ax2+4x-2ln x有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-1,0) B.(-∞,1)
C.(0,2) D.(2,+∞)
答案 C
6.★★(2026届福建泉州质量监测,13)若函数f(x)=x(x-a)2在x=1处取得极小值,则a= .
答案 1
7.★★★(2025届安徽名校联盟联考,13)若函数f(x)=在x=2处取得极小值,则f(x)的极大值为 .
答案 e
8.★★★(2025届河北唐山月考,14)已知函数f(x)=4sin x+2sin 2x,则f(x)的最大值是 .
答案 3
9.★★★★(2026届安徽皖江名校联盟开学考,17)已知函数f(x)=.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数g(x)=af(x)+ln x-x有三个极值点,求实数a的取值范围.
解析 (1)函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), f'(x)=,
当x∈(-∞,0)时, f'(x)<0,故f(x)单调递减;
当x∈(0,1)时, f'(x)<0,故f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0,故f(x)单调递增.
综上, f(x)在(-∞,0)和(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
(2)g(x)=af(x)+ln x-x的定义域为(0,+∞).
g'(x)=-1
=,
当a≤0时,令g'(x)=0,得x=1,
此时函数f(x)只有一个极值点,不符合题意;
当a>0时,g'(x)=,由g'(x)=0,得x=1或f(x)=.
又g(x)有三个极值点,故f(x)=有两个不相等且都不为1的正实根,
根据(1)中单调性作出f(x)的大致图象,如图.
由图知>f(1),即>e,解得0故实数a的取值范围是.
10.★★★★(2025届黑龙江哈尔滨六中二模,17)已知函数f(x)=ln x-2kx,x∈(0,e],其中e为自然对数的底数.
(1)若x=2为f(x)的极值点,求f(x)的单调区间和最大值.
(2)是否存在实数k,使得f(x)的最大值为-2 若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
解析 (1)∵f(x)=ln x-2kx,x∈(0,e],
∴f'(x)=-2k,
若x=2为f(x)的极值点,
则f'(2)=-2k=0,解得k=.
则f'(x)=,
当x∈(0,2)时, f'(x)>0,当x∈(2,e]时, f'(x)<0,
∴f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,e],
则f(x)的极大值为f(2)=ln 2-1,即f(x)的最大值为f(2)=ln 2-1.
(2)∵f(x)=ln x-2kx,∴f'(x)=,
①当k≤0时, f(x)在(0,e]上单调递增,
∴f(x)的最大值是f(e)=1-2ke=-2,
解得k=>0,舍去;
②当k>0时,
由f'(x)==0,得x=,
当0<时,
当x∈时, f'(x)>0,函数f(x)在上单调递增,
当x∈时, f'(x)<0,函数f(x)在上单调递减,
∴f(x)max=f=-1-ln(2k)=-2,
∴k=;
当e≤,即0解得k=,舍去.
综上,存在k=,使得f(x)的最大值为-2.
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2027通用版高考数学第一轮
3.2 导数与函数的单调性、极值和最值
考点1 导数与函数的单调性
五年高考
1.★★★(2023新课标Ⅱ,6,5分)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为 ( )
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2
2.★★★★(2022全国甲文,12,5分)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则 ( )
A.a>0>b B.a>b>0
C.b>a>0 D.b>0>a
3.★★★★★(2022新高考Ⅰ,7,5分)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则 ( )
A.a
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:当a>0时, f(x)>2ln a+.
5.★★★★(2023全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=ax-,x∈.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)+sin x<0,求a的取值范围.
6.★★★★(2023全国乙文,20,12分)已知函数f(x)=ln(1+x).
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在(0,+∞)单调递增,求a的取值范围.
三年模拟
1.★★(2026届辽宁名校联盟联考,5)已知连续函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)在[-2,2]上的图象如图,则 ( )
A.f(x)在[-1,0]上单调递减
B.f(x)在[0,1]上单调递减
C.f(x)在[-1,2]上单调递增
D.f(x)在[-2,0]上单调递增
2.★★★(2026届河北摸底联考,7)已知函数f(x)=ln x-,则f(2), f(4), f(8)的大小关系为(参考数据:≈1.41,ln 2≈0.69) ( )
A. f(8)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.★★★(2025届河北秦皇岛模拟预测,6)已知函数f(x)=在R上单调递减,则a的取值范围是 ( )
A.
C.[1,) D.
5.★★★(2026届湖北新八校协作体月考,7)已知a=1416,b=1515,c=1614,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.b>c>a B.b>a>c
C.a>c>b D.a>b>c
6.★★★(2025届重庆八中开学考,7)已知函数f(x)=2ln x-ax2-2x在x∈上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为 ( )
A.
C.(-∞,4) D.(-∞,4]
7.★★★(2026届广东深圳外国语学校开学考,7)已知函数f(x)=ln(1+ex)-x,a=f,b=f,c=f,则 ( )
A.a
A.γ>α>β B.γ>β>α C.β>γ>α D.β>α>γ
9.★★★★(2026届福建厦门双十中学阶段练习,8)若a=,b=,c=,则 ( )
A.a
11.★★★(2025届浙江新阵地教育联盟第二次联考,17)已知a>0,函数f(x)=.
(1)若a=2,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(2,+∞)上不单调,求a的取值范围.
12.★★★★(2025届北京丰台二模,20)已知函数f(x)=(x3+2x2)eax+b(a,b∈R)的图象在点(-1, f(-1))处的切线方程为y=1.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)≤-x2-2x,求x的取值范围.
13.★★★★(2026届山东烟台期中,19)已知f(x)=x2+2x-ln x,m∈R.
(1)若曲线f(x)在(1, f(1))处的切线与直线x+2y-1=0垂直,求m的值;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)若m=0,当0
五年高考
1.★★★(2022全国甲,文8,理6,5分)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)= ( )
A.-1 B.- D.1
2.★★★★(多选)(2023新课标Ⅱ,11,5分)若函数f(x)=aln x+(a≠0)既有极大值也有极小值,则 ( )
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
3.★★(2025全国二卷,13,5分)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)= .
4.★★★(2021新高考Ⅰ,15,5分)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为 .
5.★★★★(2022全国乙理,16,5分)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.
7.★★★★★(2023全国乙理,21,12分)已知函数f(x)=ln(1+x).
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程.
(2)是否存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称 若存在,求a,b;若不存在,说明理由.
(3)若f(x)在(0,+∞)存在极值点,求a的取值范围.
三年模拟
1.★★(2026届黑龙江齐齐哈尔九校联考,5)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列选项正确的是 ( )
A.f(x)有2个极值点
B.f(x)在x=2处取得极大值
C.f(x)在(-∞,2)上单调递增
D.f(x)有极小值,没有极大值
2.★★★(2026届河南调研(一),8)函数f(x)=ex在(0,+∞)上的极值为 ( )
A.e B.1
C.-
3.★★★(2026届江苏南通海安实验中学月考,6)在同一平面直角坐标系内,函数y=f(x)及其导函数y=f'(x)的图象如图所示,已知两图象有且仅有一个公共点,其坐标为(0,1),则 ( )
A.函数y=f(x)·ex的最大值为1
B.函数y=f(x)·ex的最小值为1
C.函数y=的最大值为1
D.函数y=的最小值为1
4.★★★(2026届河北沧州盐山中学调研(一),6)若函数f(x)=ln x-m(x-1)2恰有两个极值点,则实数m的取值范围为 ( )
A.∪(0,+∞)
B.(-∞,-2)∪(0,+∞)
C.(-∞,-2)
D.
5.★★★(2025届江苏泰州中学调研,8)若函数f(x)=-ax2+4x-2ln x有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-1,0) B.(-∞,1)
C.(0,2) D.(2,+∞)
6.★★(2026届福建泉州质量监测,13)若函数f(x)=x(x-a)2在x=1处取得极小值,则a= .
7.★★★(2025届安徽名校联盟联考,13)若函数f(x)=在x=2处取得极小值,则f(x)的极大值为 .
8.★★★(2025届河北唐山月考,14)已知函数f(x)=4sin x+2sin 2x,则f(x)的最大值是 .
9.★★★★(2026届安徽皖江名校联盟开学考,17)已知函数f(x)=.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数g(x)=af(x)+ln x-x有三个极值点,求实数a的取值范围.
10.★★★★(2025届黑龙江哈尔滨六中二模,17)已知函数f(x)=ln x-2kx,x∈(0,e],其中e为自然对数的底数.
(1)若x=2为f(x)的极值点,求f(x)的单调区间和最大值.
(2)是否存在实数k,使得f(x)的最大值为-2 若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
3.2 导数与函数的单调性、极值和最值
考点1 导数与函数的单调性
五年高考
1.★★★(2023新课标Ⅱ,6,5分)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为 ( )
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2
答案 C
2.★★★★(2022全国甲文,12,5分)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则 ( )
A.a>0>b B.a>b>0
C.b>a>0 D.b>0>a
答案 A
3.★★★★★(2022新高考Ⅰ,7,5分)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则 ( )
A.a
4.★★★(2023新课标Ⅰ,19,12分)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:当a>0时, f(x)>2ln a+.
解析 (1)由已知得函数f(x)的定义域为R, f'(x)=aex-1.
①当a≤0时, f'(x)<0, f(x)在R上单调递减;
②当a>0时,令f'(x)=0,则x=ln,
当x
综上所述,当a≤0时, f(x)在R上单调递减;
当a>0时, f(x)在上单调递减,在上单调递增.
(2)证明:由(1)知,当a>0时, f(x)在上单调递减,在上单调递增,则f(x)min=f =1+a2+ln a.
要证明f(x)>2ln a+,只需证明1+a2+ln a>2ln a+,即证a2-ln a->0.
令g(x)=x2-ln x-(x>0),
则g'(x)=2x-.
当0
∴g(x)min=g>0,
∴g(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
即a2-ln a->0,∴f(x)>2ln a+.
5.★★★★(2023全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=ax-,x∈.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)+sin x<0,求a的取值范围.
解析 (1)当a=1时, f(x)=x-,x∈,
f'(x)=1-
=<0,
所以函数f(x)在上单调递减.
(2)令g(x)=-sin x
=
=,
则g'(x)=
=,
因为x∈,所以3cos2xsin2x+2sin4x>0,cos3x>0,则g'(x)>0,
所以函数g(x)在上单调递增,
g(0)=0,当x→时,g(x)→+∞,
因为f(x)+sin x<0恒成立,
所以上恒成立,
即直线y=ax在0
即a的取值范围为(-∞,0].
6.★★★★(2023全国乙文,20,12分)已知函数f(x)=ln(1+x).
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在(0,+∞)单调递增,求a的取值范围.
解析 (1)当a=-1时, f(x)=ln(x+1),
则f(1)=0,且f'(x)=-ln(x+1)+,
故f'(1)=-ln 2,所以所求切线方程为y=-(x-1)ln 2,即xln 2+y-ln 2=0.
(2)∵f'(x)=,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即≥在(0,+∞)上恒成立,
其等价于x(ax+1)≥(1+x)ln(1+x)在(0,+∞)上恒成立,
令g(x)=(ax+1)x-(1+x)ln(1+x),
则g'(x)=2ax-ln(1+x),
令h(x)=g'(x),则h'(x)=2a-,
令H(x)=h'(x),则H'(x)=>0,
故h'(x)在(0,+∞)上单调递增,
因此h'(x)>h'(0)=2a-1在(0,+∞)上恒成立.
①当2a-1≥0,即a≥时,h'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
此时g'(x)在(0,+∞)上单调递增,又g'(0)=0,∴g'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,
因此g(x)>g(0)=0,即(ax+1)x≥(1+x)·ln(1+x)在(0,+∞)上恒成立,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当2a-1<0,即a<时,必存在x0∈(0,+∞),使h'(x0)=0,
因此,当x∈(0,x0)时,h'(x)<0,所以g'(x)在(0,x0)上单调递减,
又g'(0)=0,从而有当x∈(0,x0)时,g'(x)<0恒成立,
此时g(x)在(0,x0)上单调递减,又g(0)=0,故有g(x)<0在(0,x0)上恒成立,从而有f'(x)<0在(0,x0)上恒成立,与y=f(x)在(0,+∞)上单调递增不符,从而2a-1<0不合题意.
综上所述,a≥.
三年模拟
1.★★(2026届辽宁名校联盟联考,5)已知连续函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)在[-2,2]上的图象如图,则 ( )
A.f(x)在[-1,0]上单调递减
B.f(x)在[0,1]上单调递减
C.f(x)在[-1,2]上单调递增
D.f(x)在[-2,0]上单调递增
答案 A
2.★★★(2026届河北摸底联考,7)已知函数f(x)=ln x-,则f(2), f(4), f(8)的大小关系为(参考数据:≈1.41,ln 2≈0.69) ( )
A. f(8)
3.★★★(2026届江苏苏州调研,5)“a>2”是“函数f(x)=ax-tan x在上单调递增”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
4.★★★(2025届河北秦皇岛模拟预测,6)已知函数f(x)=在R上单调递减,则a的取值范围是 ( )
A.
C.[1,) D.
答案 C
5.★★★(2026届湖北新八校协作体月考,7)已知a=1416,b=1515,c=1614,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.b>c>a B.b>a>c
C.a>c>b D.a>b>c
答案 D
6.★★★(2025届重庆八中开学考,7)已知函数f(x)=2ln x-ax2-2x在x∈上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为 ( )
A.
C.(-∞,4) D.(-∞,4]
答案 C
7.★★★(2026届广东深圳外国语学校开学考,7)已知函数f(x)=ln(1+ex)-x,a=f,b=f,c=f,则 ( )
A.a
8.★★★★(2026届安徽江淮十校第一次联考,7)已知α=2ln 64,β=3ln 9,γ=7ln 5,则 ( )
A.γ>α>β B.γ>β>α C.β>γ>α D.β>α>γ
答案 A
9.★★★★(2026届福建厦门双十中学阶段练习,8)若a=,b=,c=,则 ( )
A.a
10.★★(2026届江苏扬州七校联考,12)函数f(x)=2x-xln 2的单调递增区间是 .
答案 (0,+∞)(或[0,+∞))
11.★★★(2025届浙江新阵地教育联盟第二次联考,17)已知a>0,函数f(x)=.
(1)若a=2,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(2,+∞)上不单调,求a的取值范围.
解析 (1)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),
f'(x)=ex·
=ex·,
令f'(x)>0 x<0或x>,
令f'(x)<0 0
(2)f'(x)=ex·
=ex·(x≠1),
设g(x)=ax2-(a+1)x+2-a(a>0),
注意到g(2)=a>0,要使f(x)在(2,+∞)上不单调,
只需满足
解得0
12.★★★★(2025届北京丰台二模,20)已知函数f(x)=(x3+2x2)eax+b(a,b∈R)的图象在点(-1, f(-1))处的切线方程为y=1.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)≤-x2-2x,求x的取值范围.
解析 (1)因为f(x)=(x3+2x2)eax+b,
所以f'(x)=(ax3+2ax2+3x2+4x)eax+b=[ax3+(2a+3)x2+4x]eax+b.
由题意得
解得
(2)由(1)得f(x)=(x3+2x2)ex+1,
f'(x)=(x3+5x2+4x)ex+1.
令f'(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4.
当x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如表所示:
x (-∞, -4) -4 (-4, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, +∞)
f'(x) - 0 + 0 - 0 +
f(x) ↘ -32e-3 ↗ 1 ↘ 0 ↗
所以f(x)的单调递增区间为(-4,-1),(0,+∞),单调递减区间为(-∞,-4),(-1,0).
(3)设g(x)=f(x)-(-x2-2x)=(x3+2x2)·ex+1+x2+2x=(x2+2x)(xex+1+1).
令h(x)=xex+1+1,则h'(x)=(x+1)ex+1.
当x>-1时,h'(x)>0,h(x)在(-1,+∞)上单调递增,h(x)>h(-1)=0,
当x<-1时,h'(x)<0,h(x)在(-∞,-1)上单调递减,h(x)>h(-1)=0,
所以h(x)=xex+1+1≥0恒成立.
由题意,g(x)≤0等价于或h(x)=0,
解得或x=-1.
综上,x的取值范围是[-2,0].
13.★★★★(2026届山东烟台期中,19)已知f(x)=x2+2x-ln x,m∈R.
(1)若曲线f(x)在(1, f(1))处的切线与直线x+2y-1=0垂直,求m的值;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)若m=0,当0
(1)因为曲线f(x)=x2+2x-ln x在(1, f(1))处的切线与直线x+2y-1=0垂直,所以f'(1)=m+2-1=2,所以m=1.
(2)令g(x)=mx2+2x-1,
当m>0时,g(x)=mx2+2x-1的图象是开口向上的抛物线,且Δ=4+4m>0,
mx2+2x-1=0的两根分别为x1=,x2=,则x1
所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.
当m=0时, f'(x)=2-,所以当0
所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.
当m<0时,g(x)=mx2+2x-1的图象是开口向下的抛物线,且Δ=4+4m,
若-1
mx2+2x-1=0的两根分别为x1=,x2=,则x1>x2,
因为g(x)=mx2+2x-1的图象过点(0,-1),所以0
所以f(x)在,上单调递减,
在上单调递增.
若m≤-1,Δ=4+4m≤0, f'(x)≤0恒成立, f(x)在(0,+∞)上单调递减.
综上,当m>0时, f(x)在上单调递减,在上单调递增,
当m=0时, f(x)在上单调递减,在上单调递增,
当-1
(3)m=0时, f(x)=2x-ln x,
因为0
由(2)知, f(x)在上单调递减,在上单调递增,
所以当a=b=时,a+b=1,
当a≠b时,0
所以F'(x)=f'(x)+f'(1-x)=2-,
因为x∈,所以(x-x2)∈,所以>4,所以F'(x)<0,
所以F(x)在上单调递减,
又F=0,所以F(x)>0,
所以F(a)>0,即f(a)>f(1-a),即a+b>1.
综上,a+b≥1,因为a+b-t≥0,所以t≤1.
考点2 导数与函数的极(最)值
五年高考
1.★★★(2022全国甲,文8,理6,5分)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)= ( )
A.-1 B.- D.1
答案 B
2.★★★★(多选)(2023新课标Ⅱ,11,5分)若函数f(x)=aln x+(a≠0)既有极大值也有极小值,则 ( )
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
答案 BCD
3.★★(2025全国二卷,13,5分)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)= .
答案 -4
4.★★★(2021新高考Ⅰ,15,5分)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为 .
答案 1
5.★★★★(2022全国乙理,16,5分)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1
6.★★★(2024新课标Ⅱ,16,15分)已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.
解析 (1)当a=1时, f(x)=ex-x-1,
f'(x)=ex-1,则切线斜率为k=f'(1)=e-1,
又∵f(1)=e-1-1=e-2,
∴切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1),
整理得y=(e-1)x-1.
(2)∵f(x)=ex-ax-a3,∴f'(x)=ex-a.
①当a≤0时, f'(x)>0恒成立, f(x)单调递增,
无极值,不符合题意,故a≤0时不成立.
②当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln a,
当x∈(-∞,ln a)时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈(ln a,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增.
∴x=ln a时f(x)有极小值,
极小值为f(ln a)=eln a-aln a-a3=a-aln a-a3.
又∵极小值小于0,∴a-aln a-a3<0,
又∵a>0,∴1-ln a-a2<0,
设g(a)=1-ln a-a2,a∈(0,+∞),
∵g'(a)=--2a<0,∴g(a)单调递减,
又∵g(1)=0,∴a∈(1,+∞)时,g(a)<0,
即极小值f(ln a)<0,∴a>1.
综上所述,a的取值范围为(1,+∞).
7.★★★★★(2023全国乙理,21,12分)已知函数f(x)=ln(1+x).
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程.
(2)是否存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称 若存在,求a,b;若不存在,说明理由.
(3)若f(x)在(0,+∞)存在极值点,求a的取值范围.
解析 (1)当a=-1时, f(x)=ln(x+1),则f(1)=0,且f'(x)=-ln(x+1)+,
故f'(1)=-ln 2,所以所求切线方程为y=-(x-1)ln 2,即xln 2+y-ln 2=0.
(2)存在.f=(x+a)ln,其定义域为(-∞,-1)∪(0,+∞).
要使函数f的图象关于直线x=b对称,则由x≠0且x≠-1知b=-,此时f=(x+a)ln对称,则f,即
,
即,
∴a+t-,解得a=.
(3)f'(x)=-ln(x+1)+,
要使f(x)在(0,+∞)存在极值点,则方程ln(x+1)-=0有正根,
记g(x)=ln(x+1)-,x>0,
则g'(x)=-·(ax+2a-1).
①当a≤0时,g'(x)>0,故g(x)在(0,+∞)单调递增,
g(x)>g(0)=0,不符合题意,舍去;
②当a≥时,g'(x)<0,故g(x)在(0,+∞)单调递减,g(x)
易知x→+∞时,g(x)→-∞,
故只需g(x)max=g+4a-2>0即可,
设h(t)=ln(t-1)+-2,t>2,则h'(t)=>0,故h(t)在(2,+∞)单调递增,
∴h(t)>h(2)=0,故0
即g>0,符合题意.
综上所述,当a∈时, f(x)在(0,+∞)存在极值点.
三年模拟
1.★★(2026届黑龙江齐齐哈尔九校联考,5)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列选项正确的是 ( )
A.f(x)有2个极值点
B.f(x)在x=2处取得极大值
C.f(x)在(-∞,2)上单调递增
D.f(x)有极小值,没有极大值
答案 D
2.★★★(2026届河南调研(一),8)函数f(x)=ex在(0,+∞)上的极值为 ( )
A.e B.1
C.-
答案 A
3.★★★(2026届江苏南通海安实验中学月考,6)在同一平面直角坐标系内,函数y=f(x)及其导函数y=f'(x)的图象如图所示,已知两图象有且仅有一个公共点,其坐标为(0,1),则 ( )
A.函数y=f(x)·ex的最大值为1
B.函数y=f(x)·ex的最小值为1
C.函数y=的最大值为1
D.函数y=的最小值为1
答案 C
4.★★★(2026届河北沧州盐山中学调研(一),6)若函数f(x)=ln x-m(x-1)2恰有两个极值点,则实数m的取值范围为 ( )
A.∪(0,+∞)
B.(-∞,-2)∪(0,+∞)
C.(-∞,-2)
D.
答案 C
5.★★★(2025届江苏泰州中学调研,8)若函数f(x)=-ax2+4x-2ln x有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-1,0) B.(-∞,1)
C.(0,2) D.(2,+∞)
答案 C
6.★★(2026届福建泉州质量监测,13)若函数f(x)=x(x-a)2在x=1处取得极小值,则a= .
答案 1
7.★★★(2025届安徽名校联盟联考,13)若函数f(x)=在x=2处取得极小值,则f(x)的极大值为 .
答案 e
8.★★★(2025届河北唐山月考,14)已知函数f(x)=4sin x+2sin 2x,则f(x)的最大值是 .
答案 3
9.★★★★(2026届安徽皖江名校联盟开学考,17)已知函数f(x)=.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数g(x)=af(x)+ln x-x有三个极值点,求实数a的取值范围.
解析 (1)函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), f'(x)=,
当x∈(-∞,0)时, f'(x)<0,故f(x)单调递减;
当x∈(0,1)时, f'(x)<0,故f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0,故f(x)单调递增.
综上, f(x)在(-∞,0)和(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
(2)g(x)=af(x)+ln x-x的定义域为(0,+∞).
g'(x)=-1
=,
当a≤0时,令g'(x)=0,得x=1,
此时函数f(x)只有一个极值点,不符合题意;
当a>0时,g'(x)=,由g'(x)=0,得x=1或f(x)=.
又g(x)有三个极值点,故f(x)=有两个不相等且都不为1的正实根,
根据(1)中单调性作出f(x)的大致图象,如图.
由图知>f(1),即>e,解得0
10.★★★★(2025届黑龙江哈尔滨六中二模,17)已知函数f(x)=ln x-2kx,x∈(0,e],其中e为自然对数的底数.
(1)若x=2为f(x)的极值点,求f(x)的单调区间和最大值.
(2)是否存在实数k,使得f(x)的最大值为-2 若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
解析 (1)∵f(x)=ln x-2kx,x∈(0,e],
∴f'(x)=-2k,
若x=2为f(x)的极值点,
则f'(2)=-2k=0,解得k=.
则f'(x)=,
当x∈(0,2)时, f'(x)>0,当x∈(2,e]时, f'(x)<0,
∴f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,e],
则f(x)的极大值为f(2)=ln 2-1,即f(x)的最大值为f(2)=ln 2-1.
(2)∵f(x)=ln x-2kx,∴f'(x)=,
①当k≤0时, f(x)在(0,e]上单调递增,
∴f(x)的最大值是f(e)=1-2ke=-2,
解得k=>0,舍去;
②当k>0时,
由f'(x)==0,得x=,
当0<
当x∈时, f'(x)>0,函数f(x)在上单调递增,
当x∈时, f'(x)<0,函数f(x)在上单调递减,
∴f(x)max=f=-1-ln(2k)=-2,
∴k=;
当e≤,即0
综上,存在k=,使得f(x)的最大值为-2.
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