4.4　解三角形--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
2027通用版高考数学第一轮
4.4　解三角形
考点1　利用正弦、余弦定理解三角形
五年高考
1.★(2025全国二卷,5,5分)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A= (　　)
A.45°　　　B.60°　　　C.120°　　　D.135°
2.★★(2023全国乙文,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcosA=c,且C=,则B= (　　)
A.
3.★★(2021全国甲文,8,5分)在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC= (　　)
A.1　　　B.　　　D.3
★★★(多选)(2025全国一卷,11,6分)已知△ABC的面积为,cos 2A+cos 2B+2sin C=2,
cos Acos Bsin C=,则 (　　)
A.sin C=sin2A+sin2B　　　B.AB=
C.sin A+sin B=　　　D.AC2+BC2=3
5.★★(2021全国乙文,15,5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　.
6.★★★(2024新课标Ⅱ,15,13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+cos A=2.
(1)求A;
(2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.
7.★★★(2024新课标Ⅰ,15,13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为3+,求c.
8.★★★(2021新高考Ⅰ,19,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BD·sin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.
三年模拟
1.★(2025届安徽合肥八中三模,3)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=,c=7,则cos(A+B)= (　　)
A.-
2.★(2026届河北保定质量检测,3)在△ABC中,若AC=,C=,AB=2,则△ABC解的个数为 (　　)
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.不确定
3.★★(2026届辽宁省实验中学二模,5)在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,且该三角形的面积为15,则△ABC的最小边长等于 (　　)
A.3　　　B.6　　　C.9　　　D.12
4.★★(2026届安徽合肥一中月考,4)连接圆形花圃圆周上的三点A,B,C,△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且a=10,4S=b2+c2-100,则该花圃的面积为 (　　)
A.10π　　　B.50π　　　C.125π　　　D.200π
5.★★(2026届河北定州中学开学考,4)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则b= (　　)
A.　　　C.1　　　D.2
6.★★★(2025届广东佛山顺德二模,6)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin A+acos B=0,b2=ac,则 (　　)
A.c=3a　　　B.c=2a　　　C.a=2c　　　D.a=c
7.★★★(2026届河北沧州四校期中联考,7)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin(B-A)=,=b2-a2,则sin C的值为 (　　)
A.
8.★★★(2026届山西太原十二中月考,3)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-ccos B=b-ccos A,且c2=a2+b2-ab,则△ABC的形状为 (　　)
A.钝角三角形　　　B.等腰直角三角形
C.直角三角形　　　D.等边三角形
9.★★★★(2026届广东深圳罗湖翠园中学开学考,8)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C-b-c=0,a=2,△ABC的面积为,则 (　　)
A.b=1　　　B.b=2　　　C.b=3　　　D.b=2
10.★★★★(多选)(2026届安徽蚌埠开学考,11)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=c+2bcos(B+C),则下列结论正确的是 (　　)
A.若B=,则△ABC为直角三角形
B.若a=b,则△ABC为直角三角形
C.若b=3,c=1,则BC边上的中线长为2
D.若△ABC为锐角三角形,则
11.★★(2026届浙江金华十校一模,13)△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足C=,且a2+b2-c2=4,则△ABC的面积为　　　　.
12.★★(2026届山东泰安新泰中学月考,12)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为S=(b2-a2-c2),则角B=　　　　.
13.★★★(2026届重庆入学考,15)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且tan=3.
(1)求tan A;
(2)若2csin A=asin B,证明:△ABC为直角三角形.
14.★★★(2026届湖南长沙长郡中学期中,15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a+2b=2ccos A.
(1)求角C;
(2)若△ABC的面积S=,a+b=5,求边c的大小.
15.★★★(2026届山东青岛二中期中,15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bcos C=ac-2ccos B.
(1)求c;
(2)若D为AB的中点,CD=,∠ACB=60°,求△ABC的面积.
考点2　解三角形及其综合应用
五年高考
1.★★★(2021全国甲理,8,5分)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.三角高程测量法的一个示意图如图所示,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732) (　　)
A.346　　　B.373　　　C.446　　　D.473
2.★★★★(2022全国甲,理16,文16,5分)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　　　.
3.★★★(2023新课标Ⅰ,17,10分)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
4.★★★(2022新高考Ⅱ,18,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=.
(1)求△ABC的面积;
(2)若sin Asin C=,求b.
5.★★★(2024北京,16,13分)在△ABC中,∠A为钝角,a=7,sin 2B=bcos B.
(1)求∠A;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求△ABC的面积.
条件①:b=7;
条件②:cos B=;
条件③:csin A=.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
6.★★★(2021新高考Ⅱ,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形 若存在,求a;若不存在,说明理由.
7.★★★★(2023新课标Ⅱ,17,10分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1.
(1)若∠ADC=,求tan B;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
8.★★★★(2022新高考Ⅰ,18,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)若C=,求B;
(2)求的最小值.
三年模拟
1.★★(2026届山西大学附中模块检测,5)在△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶7,则这个三角形的最大内角为 (　　)
A.30°　　　B.90°　　　C.120°　　　D.60°
2.★★(2026届江西九江质量监测,7)位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船,需要海上加油,位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船,在甲船的北偏东75°方向上,则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是 (　　)
A.20海里
C.40海里　　　D.30海里
3.★★★(2026届江苏常州一中质检,6)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,2cos A-acos B=a,则下列判断正确的是 (　　)
A.
C.
4.★★★(2026届安徽江淮十校第一次联考,8)在△ABC中,BC=4,4=2sin(B+C)+3cos Bcos C,则△ABC的面积为 (　　)
A.1　　　B.　　　C.2　　　D.4
5.★★★★(知识交汇)(2026届重庆联考,8)若点O为△ABC的外心,且满足2=0,则tan C的最大值为 (　　)
A.
6.★★(2026届陕西师大附中开学考,13)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,且(2+b)·(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为　　　　.
7.★★★(2026届吉林一中第一次质检,13)在△ABC中,若cos 2A+cos 2B=2cos 2C,则sin C的取值范围为　　　　.
8.★★★(2026届江苏盐城七校联盟学情检测,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC恰好满足下面四个条件中的三个:①cos A=,②cos B=-,③a=,④b=1.
(1)△ABC满足的是哪三个条件 请列举出来,并说明理由;
(2)求△ABC的面积.
9.★★★(2026届浙江杭州四中月考,16)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=.
(1)证明:c=2b;
(2)当角B最大时,求角A的大小.
10.★★★★(2026届安徽江淮十校第二次联考,18)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsin A=a+c-bcos A.
(1)求角B的大小;
(2)若b=4,求此时△ABC的内切圆半径的最大值;
(3)求的取值范围.
4.4　解三角形
考点1　利用正弦、余弦定理解三角形
五年高考
1.★(2025全国二卷,5,5分)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A= (　　)
A.45°　　　B.60°　　　C.120°　　　D.135°
答案　A　
2.★★(2023全国乙文,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcosA=c,且C=,则B= (　　)
A.
答案　C　
3.★★(2021全国甲文,8,5分)在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC= (　　)
A.1　　　B.　　　D.3
答案　D　
★★★(多选)(2025全国一卷,11,6分)已知△ABC的面积为,cos 2A+cos 2B+2sin C=2,
cos Acos Bsin C=,则 (　　)
A.sin C=sin2A+sin2B　　　B.AB=
C.sin A+sin B=　　　D.AC2+BC2=3
答案　ABC　
5.★★(2021全国乙文,15,5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　.
答案　2
6.★★★(2024新课标Ⅱ,15,13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+cos A=2.
(1)求A;
(2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.
解析　(1)由已知得=1,因为0(2)由,得sin Bsin C=2sin Csin Bcos B,又sin B≠0,且sin C≠0,所以cos B=,则sin B=,则b=×,又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=××,所以c=×,即a+b+c=2+3,所以△ABC的周长为2+3.
7.★★★(2024新课标Ⅰ,15,13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为3+,求c.
解析　(1)由余弦定理的推论得cos C=,又0(2)由(1)得B=,C=.
∵,∴.
令=t,t>0,则b=t,c=t,
∵A=π-B-C=,
∴sin A=sin,
∵S△ABC=×t×t×,∴t=2,因此c=2.
8.★★★(2021新高考Ⅰ,19,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BD·sin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.
解析　(1)证明:由题设得BD=,
在△ABC中,由正弦定理知,即,
代入BD=中,得BD=,
又b2=ac,∴BD=b. (4分)
(2)由AD=2DC得AD=b,DC=,
在△ABD中,cos A=,
在△ABC中,cos A=,化简得3c2-11b2+6a2=0,
又b2=ac, (7分)
所以3c2-11ac+6a2=0,即(c-3a)(3c-2a)=0,
所以c=3a或c=a. (8分)
当c=3a时,b2=ac=3a2,所以b=a,此时a+b当c=a时,b2=ac=a2,所以b=a,
此时a,b,c可以构成三角形, (11分)
故c=a,b=a,所以在△ABC中,cos∠ABC=. (12分)
三年模拟
1.★(2025届安徽合肥八中三模,3)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=,c=7,则cos(A+B)= (　　)
A.-
答案　C　
2.★(2026届河北保定质量检测,3)在△ABC中,若AC=,C=,AB=2,则△ABC解的个数为 (　　)
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.不确定
答案　C　
3.★★(2026届辽宁省实验中学二模,5)在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,且该三角形的面积为15,则△ABC的最小边长等于 (　　)
A.3　　　B.6　　　C.9　　　D.12
答案　B　
4.★★(2026届安徽合肥一中月考,4)连接圆形花圃圆周上的三点A,B,C,△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且a=10,4S=b2+c2-100,则该花圃的面积为 (　　)
A.10π　　　B.50π　　　C.125π　　　D.200π
答案　B　
5.★★(2026届河北定州中学开学考,4)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则b= (　　)
A.　　　C.1　　　D.2
答案　A　
6.★★★(2025届广东佛山顺德二模,6)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin A+acos B=0,b2=ac,则 (　　)
A.c=3a　　　B.c=2a　　　C.a=2c　　　D.a=c
答案　D　
7.★★★(2026届河北沧州四校期中联考,7)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin(B-A)=,=b2-a2,则sin C的值为 (　　)
A.
答案　C　
8.★★★(2026届山西太原十二中月考,3)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-ccos B=b-ccos A,且c2=a2+b2-ab,则△ABC的形状为 (　　)
A.钝角三角形　　　B.等腰直角三角形
C.直角三角形　　　D.等边三角形
答案　D　
9.★★★★(2026届广东深圳罗湖翠园中学开学考,8)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C-b-c=0,a=2,△ABC的面积为,则 (　　)
A.b=1　　　B.b=2　　　C.b=3　　　D.b=2
答案　D　
10.★★★★(多选)(2026届安徽蚌埠开学考,11)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=c+2bcos(B+C),则下列结论正确的是 (　　)
A.若B=,则△ABC为直角三角形
B.若a=b,则△ABC为直角三角形
C.若b=3,c=1,则BC边上的中线长为2
D.若△ABC为锐角三角形,则
答案　ABD　
11.★★(2026届浙江金华十校一模,13)△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足C=,且a2+b2-c2=4,则△ABC的面积为　　　　.
答案　1
12.★★(2026届山东泰安新泰中学月考,12)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为S=(b2-a2-c2),则角B=　　　　.
答案　
13.★★★(2026届重庆入学考,15)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且tan=3.
(1)求tan A;
(2)若2csin A=asin B,证明:△ABC为直角三角形.
解析　(1)tan A=tan.
(2)证明:因为2csin A=asin B,
所以2ac=ab,所以c=b.
由(1)知tan A=,所以cos A=,
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
得a2=b2+b2-2b×b×b2,
所以a2+b2=b2=c2,
所以C为直角,故△ABC为直角三角形.
14.★★★(2026届湖南长沙长郡中学期中,15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a+2b=2ccos A.
(1)求角C;
(2)若△ABC的面积S=,a+b=5,求边c的大小.
解析　(1)由正弦定理得,sin A+2sin B=2sin Ccos A,
则sin A+2sin(A+C)=sin A+2sin Acos C+2cos Asin C=2sin Ccos A,
∴sin A+2sin Acos C=sin A(1+2cos C)=0,
在△ABC中,00,
∴1+2cos C=0,∴cos C=-,
∵0(2)S△ABC=,
∵cos C=-,0则S△ABC=,得ab=4,
又a+b=5,
则由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-ab=25-4=21,∴c=.
15.★★★(2026届山东青岛二中期中,15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bcos C=ac-2ccos B.
(1)求c;
(2)若D为AB的中点,CD=,∠ACB=60°,求△ABC的面积.
解析　(1)由2bcos C=ac-2ccos B及余弦定理的推论得2b·,
化简得a2c=2a2,因为a≠0,所以c=2.
(2)因为D为AB的中点,
所以(),
则(),
即()2=(b2+a2+2abcos∠ACB),
则8=a2+b2+ab①,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos∠ACB,即4=a2+b2-ab②,
①-②得2ab=4,则ab=2,所以S△ABC=·absin∠ACB=×2×.
考点2　解三角形及其综合应用
五年高考
1.★★★(2021全国甲理,8,5分)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.三角高程测量法的一个示意图如图所示,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732) (　　)
A.346　　　B.373　　　C.446　　　D.473
答案　B　
2.★★★★(2022全国甲,理16,文16,5分)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　　　.
答案　-1
3.★★★(2023新课标Ⅰ,17,10分)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
解析　(1)∵A+B+C=π,A+B=3C,∴C=,B=-A,又∵2sin(A-C)=sin B,
∴2sin,
即2sin A,整理得sin A=3cos A,
又∵sin2A+cos2A=1,A∈,∴sin A=. (5分)
(2)由(1)知C=,sin A=,cos A=,
则sin B=sin. (6分)
在△ABC中,由正弦定理得,∴,
∴AC=2,BC=3, (8分)
∴S△ABC=×2×3×=15. (9分)
设AB边上的高为h,则×5h=15,
∴h=6. (10分)
4.★★★(2022新高考Ⅱ,18,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=.
(1)求△ABC的面积;
(2)若sin Asin C=,求b.
解析　(1)由题意得
S1=a2,S2=b2,S3=c2,
∴S1-S2+S3=(a2-b2+c2)=,即a2-b2+c2=2,
由cos B=得a2+c2-b2=2accos B,
故2accos B=2,∴accos B=1, (3分)
又∵sin B=,∴cos B=(舍),∴ac=,
∴S△ABC=××. (6分)
(2)由正弦定理,
又知ac=,sin Asin C=, (9分)
∴,∴,
∴b=×. (12分)
5.★★★(2024北京,16,13分)在△ABC中,∠A为钝角,a=7,sin 2B=bcos B.
(1)求∠A;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求△ABC的面积.
条件①:b=7;
条件②:cos B=;
条件③:csin A=.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
解析　(1)∵sin 2B=bcos B,
∴2sin Bcos B=bcos B,
∵∠A为钝角,∴B≠,∴cos B≠0,
∴2sin B=b.
又∵a=7,∴2sin B=,
∴sin A=,又∵∠A为钝角,∴A=.
(2)若选①,b=7,则a=b=7,又A=,∴B=,∴A+B>π,此时三角形不存在,∴不能选①.
若选②,cos B=,则sin B=,
由,A=,a=7,得
b=×=3,
易得sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=××.
∴S△ABC=×7×3×.
若选③,csin A=,∴c==5.
解法一　由,A=,a=7,得sin C=,又∵0∴S△ABC=×7×5×.
解法二　由A=,a=7,c=5及a2=c2+b2-2bccos A得25+b2+5b=49,得b2+5b-24=0,
∴(b+8)(b-3)=0,∴b=3(负值舍去),
∴S△ABC=×3×5×.
6.★★★(2021新高考Ⅱ,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形 若存在,求a;若不存在,说明理由.
解析　(1)2sin C=3sin A 2c=3a,
又∵c=a+2,
∴2(a+2)=3a,∴a=4,
∴b=a+1=5,c=a+2=6,
∴cos A=,∴sin A=,
∴S△ABC=×5×6×. (6分)
(2)由已知得c>b>a,
若△ABC为钝角三角形,则角C为钝角,
∴cos C=<0 a2+b20,∴a∈(0,3). (9分)
同时还应考虑构成△ABC的条件,
即a+b>c a+(a+1)>a+2 a>1.
综上所述,当a∈(1,3)时,△ABC为钝角三角形.
∴存在正整数a=2,使得△ABC为钝角三角形. (12分)
7.★★★★(2023新课标Ⅱ,17,10分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1.
(1)若∠ADC=,求tan B;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
解析　由题意知S△ABC=,BD=DC,
∴S△ADC=.
(1)∵S△ADC=DA·DC·sin∠ADC=,DA=1,∠ADC=,
∴,∴DC=2,∴BD=2,
易知∠ADB=, (2分)
在△ADB中,由余弦定理得AB2=BD2+DA2-2DA·DB·cos∠ADB,即AB2=22+12-2×1×2×=7,
∴AB=, (3分)
∴cos B=,
∴sin B=, (4分)
∴tan B=. (5分)
(2)如图所示,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE,
易得四边形ABEC为平行四边形【对角线互相平分的四边形是平行四边形】,∴AB=CE,AC=BE,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,AE2=AC2+CE2-2AC·CEcos∠ACE,两式相加得BC2+AE2=2(AB2+AC2)【注意cos∠BAC+cos∠ACE=0】,即BC2+AE2=2(b2+c2)=16,又AE=2AD=2,∴BC2=12,
∴BC=2, (7分)
∵S△ADC=AD·DC·sin∠ADC=,AD=1,DC=,
∴sin∠ADC=1,∴AD⊥BC,∴b=c, (9分)
又b2+c2=8,∴b=c=2. (10分)
8.★★★★(2022新高考Ⅰ,18,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)若C=,求B;
(2)求的最小值.
解析　(1)∵【采分点:出现二倍角公式给1分】, (1分)
即,
∴cos Acos B-sin Asin B=sin B,
即cos(A+B)=sin B,又C=, (3分)
∴sin B=cos(A+B)=-cos C=-cos,
∵0(2)由(1)知,sin B=cos(A+B)=-cos C,
∵sin B>0恒成立,∴C∈,
∵-cos C=sin,
∴C-=π(不合题意,舍去), (5分)
∴A=-2B,∵A>0,∴B∈, (6分)
∴
=, (8分)
令cos2B=t,t∈,
∴-5≥4-5,当且仅当4t=,即t=时,取“=”【扣分点:不写扣1分】. (11分)
∴-5. (12分)
三年模拟
1.★★(2026届山西大学附中模块检测,5)在△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶7,则这个三角形的最大内角为 (　　)
A.30°　　　B.90°　　　C.120°　　　D.60°
答案　C　
2.★★(2026届江西九江质量监测,7)位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船,需要海上加油,位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船,在甲船的北偏东75°方向上,则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是 (　　)
A.20海里
C.40海里　　　D.30海里
答案　B　
3.★★★(2026届江苏常州一中质检,6)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,2cos A-acos B=a,则下列判断正确的是 (　　)
A.
C.
答案　A　
4.★★★(2026届安徽江淮十校第一次联考,8)在△ABC中,BC=4,4=2sin(B+C)+3cos Bcos C,则△ABC的面积为 (　　)
A.1　　　B.　　　C.2　　　D.4
答案　C　
5.★★★★(知识交汇)(2026届重庆联考,8)若点O为△ABC的外心,且满足2=0,则tan C的最大值为 (　　)
A.
答案　C　
6.★★(2026届陕西师大附中开学考,13)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,且(2+b)·(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为　　　　.
答案　
7.★★★(2026届吉林一中第一次质检,13)在△ABC中,若cos 2A+cos 2B=2cos 2C,则sin C的取值范围为　　　　.
答案　
8.★★★(2026届江苏盐城七校联盟学情检测,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC恰好满足下面四个条件中的三个:①cos A=,②cos B=-,③a=,④b=1.
(1)△ABC满足的是哪三个条件 请列举出来,并说明理由;
(2)求△ABC的面积.
解析　(1)△ABC满足的条件是①③④,
若cos A=,因为A∈(0,π),则A=,
若cos B=-,因为B∈(0,π),则B=,
而A+B=π,则条件①和②不可能同时满足,故③和④都满足,
由a>b A>B,∴B为锐角,应有cos B>0,从而条件②不能满足,
故△ABC满足的条件是①③④.
(2)由(1)可得cos A=,a=,b=1,A=.
解法一　由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,
∴1+c2-c=3,即c2-c-2=0,
解得c=2或c=-1(舍去),
∴△ABC的面积为S=×1×2×.
解法二　由,得,∴sin B=,
由(1)知B为锐角,∴B=,故C=.
∴△ABC的面积为S=×1×.
9.★★★(2026届浙江杭州四中月考,16)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=.
(1)证明:c=2b;
(2)当角B最大时,求角A的大小.
解析　(1)证明:已知c=,
则c-ccos A=b+acos C,
由正弦定理得sin C-sin Ccos A=sin B+sin Acos C,
sin C=sin B+sin Acos C+sin Ccos A=sin B+sin(A+C)=2sin B,
由,可得c=2b.
(2)由余弦定理的推论得cos B=≥2,
当且仅当,即c=a=2b时等号成立,此时B取到最大值,为,
此时c>a>b,所以A∈,
由,所以A=.
10.★★★★(2026届安徽江淮十校第二次联考,18)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsin A=a+c-bcos A.
(1)求角B的大小;
(2)若b=4,求此时△ABC的内切圆半径的最大值;
(3)求的取值范围.
解析　(1)由正弦定理得sin Bsin A=sin A+sin C-sin Bcos A
=sin A+sin(A+B)-sin Bcos A
=sin A+sin Acos B+cos Asin B-sin Bcos A
=sin A+sin Acos B,
因为A∈(0,π),所以sin A>0.
两边同除以sin A,整理得sin B-cos B=1,
即=1,
所以sin,
又B∈(0,π),则B-∈,
所以B-,即B=,于是角B的大小为.
(2)由(1)知a2+c2=b2=16,
根据重要不等式≥可知a+c≤4,当且仅当a=c时取“=”.
又根据直角三角形内切圆半径公式知内切圆半径为,
所以≤-2.
于是△ABC的内切圆半径的最大值为2-2,此时△ABC是等腰直角三角形.
(3)在Rt△ABC中,,
因为A∈,所以A+∈.
于是sin∈,
设t=,所以t∈(1,],
又b2=a2+c2=(a+c)2-2ac,
所以(t2-1),
因此(t2-1)-t=(t-1)2-1∈.
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)