5.1　平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）

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2027通用版高考数学第一轮
第五章　平面向量与复数
5.1　平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示
考点1　平面向量的概念及线性运算
五年高考
1.★(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则= (　　)
A.3m-2n　　　B.-2m+3n　　　
C.3m+2n　　　D.2m+3n
2.★(2020新高考Ⅱ,3,5分)若D为△ABC的边AB的中点,则=　 (　　)
A.2
C.2
3.★★(2017课标Ⅱ文,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则　 (　　)
A.a⊥b　　　B.|a|=|b|　　　C.a∥b　　　D.|a|>|b|
4.★★★(创新应用)(2025全国一卷,6,5分)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小,单位:m/s),则该时刻的真风为 (　　)
级数 名称 风速大小(单位:m/s)
2 轻风 1.6~3.3
3 微风 3.4~5.4
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7
图1
A.轻风　　　B.微风　　　C.和风　　　D.劲风
三年模拟
1.★★(2025届安徽A10联盟摸底,2)在△ABC中,,,则= (　　)
A.
C.
2.★★(2026届福建三明一中月考,3)在△OAB所在平面内,点C满足,记=a,=b,则= (　　)
A.a+b　　　B.a+b
C.-a+b　　　D.a-b
3.★★(2026届江苏盐城期中,4)在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,记=a,=b,则= (　　)
A.a-b　　　B.a+b
C.a+b　　　D.a+b
4.★★(2025届浙江9+1高中联盟期中,4)在△ABC中,D是BC上一点,满足,M是AD的中点,若,则λ+μ= (　　)
A.　　　
C.
5.★★(2026届山西吕梁质量检测,7)在平行四边形ABCD中,E是AD的中点,点P在线段BD上.若,则λ+μ= (　　)
A.
6.★★★(2026届辽宁大连育明高中期中,5)已知Sn,Tn分别为等差数列{an},{bn}的前n项和,,设点A是直线BC外一点,点P是直线BC上一点,,则λ的值为 (　　)
A.-
7.★★★(2026届山东泰安开学考,6)如图,飞机飞行中的地面速度(GS)是指飞机相对于地面的实际速度,由飞机相对于周围空气的实际运动速度(TAS)向量加减风速(WS)向量得出,其中风速顺风为正,逆风为负,DA为偏流角.已知某飞机逆风飞行,在某时刻测得风速对应向量为(20,10),地面速度对应的向量为(100,90),则飞机在该时刻的实际飞行速度(单位:km/h)为 (　　)
(参考数据:=2.24,=3.16,=17.46)
A.252.8　　　B.349.2　　　C.425.6　　　D.492.8
8.★★★(数学文化)(2026届湖北襄阳四中开学检测,7)古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界,画出相等的两个阴阳鱼,阳鱼的头部有阴眼,阴鱼的头部有阳眼,表示万物都在互相转化,互相渗透,阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合,相生相克,蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律.由八卦模型图抽象出来的正八边形ABCDEFGH如图,其中心为O,若,则x+y= (　　)
A.
9.★★★(2026届四川成都石室中学月考,12)如图,矩形ABCD中,E是线段DC的中点,F是线段AE的中点,连接BF,若,则λ+μ=　　　　.
10.★★★★(2025届北京一零一中学开学考,13)设D为△ABC内一点,且,则△ACD与△BCD的面积比为　　　　.
考点2　共线向量定理及其应用
三年模拟
1.★(2026届浙江Z20名校联盟第一次联考,3)已知平面向量a=(x-1,x-5),b=(1,2),若a∥b,则x= (　　)
A.-
2.★(2026届江苏部分学校月考,4)已知向量a=(1,2),b=(x,x2),则“x=2”是“a∥b”的 (　　)
A.充分不必要条件　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　D.既不充分也不必要条件
3.★(2025届江西师大附中月考,2)已知平面向量=(-1,2),则与方向相同的单位向量是 (　　)
A.
C.
4.★(2026届浙江学军中学练习,2)已知向量=(5,1),=(m,9),=(8,5).若A,C,D三点共线,则m= (　　)
A.　　　B.-11　　　
C.11　　　D.-
5.★(2026届湖北高中名校联盟第一次联合测评,12)已知向量a,b不共线,且向量λa+b与a+(2λ-1)b的方向相反,则实数λ=　　　　.
6.★★(2026届广东广州天河综合测试,12)已知a=(log2x,1),b=(log25,-1),且a,b共线,则x=　　　　.
7.★★(2026届湖北黄冈部分高中期中,12)设向量e1,e2不共线,若向量λe1+e2与向量2e1-e2平行,则实数λ的值为　　　　.
考点3　平面向量基本定理及坐标表示
三年模拟
1.★★(2026届安徽摸底大联考,3)如图,5×5的方格里,每个方格边的长度为1,则向量a-b= (　　)
A.e1+3e2　　　B.-e1+3e2
C.-3e1+e2　　　D.3e1+e2
2.★★(2026届广东深圳红岭中学调研,4)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为边AB,BC上的点,且AM=MB,CN=2NB,记=a,=b,则= (　　)
A.a+b　　　B.a-b
C.a+b　　　D.-a+b
3.★★(2026届山东名校联盟开学考,6)如图,在矩形ABCD中,E,F分别为CD,CB的中点,G为线段EF上的一点,且,则实数m的值为 (　　)
A.
4.★★★(2026届辽宁名校联盟期中,6)在△ABC中,D为边BC上一点,且满足,设,λ∈(0,1),若存在实数m,n,使,则m+n的取值范围是 (　　)
A.
5.★★★(2026届江苏无锡三校联考,6)在梯形ABCD中,,E为CD的中点,AC,BE交于点F,若,则λ+μ= (　　)
A.
6.★★★(2025届江苏南通期中,7)在 ABCD中,,,+(1-x),x∈R.若AP∥MN,则x= (　　)
A.
7.★★★(2026届山东省实验中学期中,6)已知直角梯形ABCD中,∠A=90°,AB∥CD,且CD=3,AB=2,点P是梯形ABCD内(含边界)任意一点,设(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围为 (　　)
A.
8.★★★(2026届北京清华大学附中开学考,10)已知|=2,|,||=4,且,则λ+μ的取值范围是 (　　)
A.[-,]　　　B.[-2,2]
C.[-4,4]　　　D.[-2,2]
9.★★★★(新视野)(2026届重庆巴蜀中学月考,7)勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的,并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每个顶点为圆心,以该等边三角形的边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形.如图,已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点,且(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为 (　　)
A.-1
10.★★★(2025届河北保定阶段调研,14)如图所示,△ABC中,D,E是线段BC的三等分点,F是线段AC的中点,BF与AD,AE分别交于M,N,则平面向量,表示为　　　　　　　　.
第五章　平面向量与复数
5.1　平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示
考点1　平面向量的概念及线性运算
五年高考
1.★(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则= (　　)
A.3m-2n　　　B.-2m+3n　　　
C.3m+2n　　　D.2m+3n
答案　B　
2.★(2020新高考Ⅱ,3,5分)若D为△ABC的边AB的中点,则=　 (　　)
A.2
C.2
答案　A　
3.★★(2017课标Ⅱ文,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则　 (　　)
A.a⊥b　　　B.|a|=|b|　　　C.a∥b　　　D.|a|>|b|
答案　A　
4.★★★(创新应用)(2025全国一卷,6,5分)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小,单位:m/s),则该时刻的真风为 (　　)
级数 名称 风速大小(单位:m/s)
2 轻风 1.6~3.3
3 微风 3.4~5.4
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7
图1
A.轻风　　　B.微风　　　C.和风　　　D.劲风
答案　A　
三年模拟
1.★★(2025届安徽A10联盟摸底,2)在△ABC中,,,则= (　　)
A.
C.
答案　C　
2.★★(2026届福建三明一中月考,3)在△OAB所在平面内,点C满足,记=a,=b,则= (　　)
A.a+b　　　B.a+b
C.-a+b　　　D.a-b
答案　C　
3.★★(2026届江苏盐城期中,4)在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,记=a,=b,则= (　　)
A.a-b　　　B.a+b
C.a+b　　　D.a+b
答案　D　
4.★★(2025届浙江9+1高中联盟期中,4)在△ABC中,D是BC上一点,满足,M是AD的中点,若,则λ+μ= (　　)
A.　　　
C.
答案　C　
5.★★(2026届山西吕梁质量检测,7)在平行四边形ABCD中,E是AD的中点,点P在线段BD上.若,则λ+μ= (　　)
A.
答案　B　
6.★★★(2026届辽宁大连育明高中期中,5)已知Sn,Tn分别为等差数列{an},{bn}的前n项和,,设点A是直线BC外一点,点P是直线BC上一点,,则λ的值为 (　　)
A.-
答案　C　
7.★★★(2026届山东泰安开学考,6)如图,飞机飞行中的地面速度(GS)是指飞机相对于地面的实际速度,由飞机相对于周围空气的实际运动速度(TAS)向量加减风速(WS)向量得出,其中风速顺风为正,逆风为负,DA为偏流角.已知某飞机逆风飞行,在某时刻测得风速对应向量为(20,10),地面速度对应的向量为(100,90),则飞机在该时刻的实际飞行速度(单位:km/h)为 (　　)
(参考数据:=2.24,=3.16,=17.46)
A.252.8　　　B.349.2　　　C.425.6　　　D.492.8
答案　B　
8.★★★(数学文化)(2026届湖北襄阳四中开学检测,7)古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界,画出相等的两个阴阳鱼,阳鱼的头部有阴眼,阴鱼的头部有阳眼,表示万物都在互相转化,互相渗透,阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合,相生相克,蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律.由八卦模型图抽象出来的正八边形ABCDEFGH如图,其中心为O,若,则x+y= (　　)
A.
答案　A　
9.★★★(2026届四川成都石室中学月考,12)如图,矩形ABCD中,E是线段DC的中点,F是线段AE的中点,连接BF,若,则λ+μ=　　　　.
答案　-
10.★★★★(2025届北京一零一中学开学考,13)设D为△ABC内一点,且,则△ACD与△BCD的面积比为　　　　.
答案　1∶2
考点2　共线向量定理及其应用
三年模拟
1.★(2026届浙江Z20名校联盟第一次联考,3)已知平面向量a=(x-1,x-5),b=(1,2),若a∥b,则x= (　　)
A.-
答案　B　
2.★(2026届江苏部分学校月考,4)已知向量a=(1,2),b=(x,x2),则“x=2”是“a∥b”的 (　　)
A.充分不必要条件　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　D.既不充分也不必要条件
答案　A　
3.★(2025届江西师大附中月考,2)已知平面向量=(-1,2),则与方向相同的单位向量是 (　　)
A.
C.
答案　C　
4.★(2026届浙江学军中学练习,2)已知向量=(5,1),=(m,9),=(8,5).若A,C,D三点共线,则m= (　　)
A.　　　B.-11　　　
C.11　　　D.-
答案　C　
5.★(2026届湖北高中名校联盟第一次联合测评,12)已知向量a,b不共线,且向量λa+b与a+(2λ-1)b的方向相反,则实数λ=　　　　.
答案　-
6.★★(2026届广东广州天河综合测试,12)已知a=(log2x,1),b=(log25,-1),且a,b共线,则x=　　　　.
答案　
7.★★(2026届湖北黄冈部分高中期中,12)设向量e1,e2不共线,若向量λe1+e2与向量2e1-e2平行,则实数λ的值为　　　　.
答案　-2
考点3　平面向量基本定理及坐标表示
三年模拟
1.★★(2026届安徽摸底大联考,3)如图,5×5的方格里,每个方格边的长度为1,则向量a-b= (　　)
A.e1+3e2　　　B.-e1+3e2
C.-3e1+e2　　　D.3e1+e2
答案　B　
2.★★(2026届广东深圳红岭中学调研,4)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为边AB,BC上的点,且AM=MB,CN=2NB,记=a,=b,则= (　　)
A.a+b　　　B.a-b
C.a+b　　　D.-a+b
答案　A　
3.★★(2026届山东名校联盟开学考,6)如图,在矩形ABCD中,E,F分别为CD,CB的中点,G为线段EF上的一点,且,则实数m的值为 (　　)
A.
答案　A　
4.★★★(2026届辽宁名校联盟期中,6)在△ABC中,D为边BC上一点,且满足,设,λ∈(0,1),若存在实数m,n,使,则m+n的取值范围是 (　　)
A.
答案　C　
5.★★★(2026届江苏无锡三校联考,6)在梯形ABCD中,,E为CD的中点,AC,BE交于点F,若,则λ+μ= (　　)
A.
答案　C　
6.★★★(2025届江苏南通期中,7)在 ABCD中,,,+(1-x),x∈R.若AP∥MN,则x= (　　)
A.
答案　C　
7.★★★(2026届山东省实验中学期中,6)已知直角梯形ABCD中,∠A=90°,AB∥CD,且CD=3,AB=2,点P是梯形ABCD内(含边界)任意一点,设(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围为 (　　)
A.
答案　A　
8.★★★(2026届北京清华大学附中开学考,10)已知|=2,|,||=4,且,则λ+μ的取值范围是 (　　)
A.[-,]　　　B.[-2,2]
C.[-4,4]　　　D.[-2,2]
答案　A　
9.★★★★(新视野)(2026届重庆巴蜀中学月考,7)勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的,并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每个顶点为圆心,以该等边三角形的边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形.如图,已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点,且(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为 (　　)
A.-1
答案　C　
10.★★★(2025届河北保定阶段调研,14)如图所示,△ABC中,D,E是线段BC的三等分点,F是线段AC的中点,BF与AD,AE分别交于M,N,则平面向量,表示为　　　　　　　　.
答案　
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