5.2　平面向量的数量积--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）

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2027通用版高考数学第一轮
5.2　平面向量的数量积
考点1　平面向量的数量积
五年高考
1.★★(2022全国乙理,3,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b= (　　)
A.-2　　　B.-1　　　C.1　　　D.2
2.★★★(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分)已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则　 (　　)
A.||
B.||
C.
D.
3.★(2021新高考Ⅱ,15,5分)已知向量a +b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a ·b+b ·c+c ·a=　　　　.
三年模拟
1.★★(2026届广东二调,5)已知向量a在向量b上的投影向量为-b,|b|=2,则a·b= (　　)
A.-3　　　B.-　　　D.3
2.★★(2026届浙江稽阳联谊学校联考,4)在△ABC中,已知AB=3,BC=4,AC=5,那么= (　　)
A.25　　　B.24　　　C.-24　　　D.-25
3.★★(跨学科·物理)(2026届浙南名校联盟联考,4)冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动.在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋,身着防护装备,以球杆击球,球入对方球门,多者为胜.小华同学在练习冰球的过程中,以力F=(sin α,cos α),α∈R作用于冰球,使冰球从点A(1,2)移动到点B(4,6),则力F对冰球所做的功的最大值为 (　　)
(动力做的功W=F·)
A.　　　B.3　　　C.4　　　D.5
4.★★★(2026届黑龙江大庆第一次质检,6)如图,在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点P是边BC上的动点,则·() (　　)
A.为定值16　　　B.为定值32
C.最大值为32　　　D.与P的位置有关
5.★★★★(2026届福建厦门双十中学开学考,7)已知非零向量=0,且|,|,点D是△ABC的边AB上的动点,则的最小值为 (　　)
A.-1　　　B.-
6.★★★★(多选)(2025届山东菏泽期中,10)如图,已知△ABC中,B=,AB=BC=2,M是AC的中点,动点P在以AC为直径的半圆弧上.则 (　　)
A.2
B.的最小值为-2
C.
D.若,则x+y的最大值为1+
7.★★★(跨学科·化学)(2026届福建部分学校联考,14)蒽,是一种含三个环的稠环芳烃,化学式为C14H30,蒽的三个环的中心在一条直线上,蒽是菲的同分异构体,其分子结构图如图1所示(由三个正六边形组成),将蒽的分子结构图中的14个C原子分别记为A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,如图2所示,设AB=2,则=　　　　.
　　
考点2　平面向量数量积的应用
五年高考
1.★(2024新课标Ⅰ,3,5分)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= (　　)
A.-2　　　B.-1　　　C.1　　　D.2
2.★★(2023新课标Ⅰ,3,5分)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则 (　　)
A.λ+μ=1　　　B.λ+μ=-1
C.λμ=1　　　D.λμ=-1
3.★★(2022新高考Ⅱ,4,5分)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t= (　　)
A.-6　　　B.-5　　　C.5　　　D.6
4.★★(2024新课标Ⅱ,3,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= (　　)
A.　　　D.1
5.★★★(2023全国甲理,4,5分)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos= (　　)
A.-
6.★★★★(2025北京,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,|,||=2.设C(3,4),则|2|的取值范围是 (　　)
A.[6,14]　　　B.[6,12]　　　C.[8,14]　　　D.[8,12]
7.★(2025全国二卷,12,5分)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　.
8.★★(2023新课标Ⅱ,13,5分)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|=　　　　.
三年模拟
1.★(2026届广东深圳中学摸底,2)已知向量a与b的夹角为60°,|a|=1,|a+b|=,则|b|= (　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
2.★★(2026届安徽江淮十校第一次联考,3)已知平面向量a=(2,-2),b=(-1,3),则向量a+b在向量b上的投影向量为 (　　)
A.
C.
3.★★(2026届重庆西南大学附中检测,4)已知平面上四个点A,B,C,D,其中任意三个点不共线.若,则直线BD一定经过△ABC的 (　　)
A.垂心　　　B.内心　　　C.重心　　　D.外心
4.★★(2026届湖南长沙长郡中学月考,3)已知单位向量a,b,c,满足a+b=c,则向量a和b的夹角为 (　　)
A.
5.★★(2026届河北唐山摸底,6)非零向量a,b满足|a|=2|b|,a-5b与2a+3b垂直,则a与b的夹角为 (　　)
A.
6.★★(2026届湖南长沙长郡中学月考,4)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=,且a⊥(a-3b),设a,b的夹角为θ,则cos 2θ= (　　)
A.
7.★★(2026届黑龙江齐齐哈尔期中,6)已知向量a=(,),且向量a与b的夹角为,则|a-b|的最小值为 (　　)
A.1　　　B.　　　C.2　　　D.4
8.★★★(2026届福建泉州质量监测,6)一条河两岸平行,河的宽度为1.2 km,一艘船从河岸边的某地出发,向河对岸航行.已知船在静水的速度大小为13 km/h,且船在航行过程中受水流的影响.当船以路程最短的方式航行到对岸时,所需时间为6分钟,则水流速度的大小为 (　　)
A.1.3 km/h　　　B.5 km/h
C.10 km/h　　　D.12 km/h
9.★★(多选)(2026届山东青岛调研,9)已知平面向量a=(1,3),b=(-2,1),则 (　　)
A.|a|=
B.(2a-b)⊥b
C.a在b上的投影向量的模为
D.a与b的夹角为钝角
10.★(2026届河北保定质量检测,12)已知a∈R,m=(6,a),n=(a-1,5),若(m+n)·n=0,则a的值为　　　　.
11.★★★(2026届上海复旦大学附中月考,12)已知平面内的三个非零向量a,b,c满足a⊥b,且|a-b|=|b-c|=|c-a|=2,则当取得最大值时,|c|=　　　　.
5.2　平面向量的数量积
考点1　平面向量的数量积
五年高考
1.★★(2022全国乙理,3,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b= (　　)
A.-2　　　B.-1　　　C.1　　　D.2
答案　C　
★★★(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分)已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则　 (　　)
A.||
B.||
C.
D.
答案　AC　
3.★(2021新高考Ⅱ,15,5分)已知向量a +b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a ·b+b ·c+c ·a=　　　　.
答案　-
三年模拟
1.★★(2026届广东二调,5)已知向量a在向量b上的投影向量为-b,|b|=2,则a·b= (　　)
A.-3　　　B.-　　　D.3
答案　A　
2.★★(2026届浙江稽阳联谊学校联考,4)在△ABC中,已知AB=3,BC=4,AC=5,那么= (　　)
A.25　　　B.24　　　C.-24　　　D.-25
答案　D　
3.★★(跨学科·物理)(2026届浙南名校联盟联考,4)冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动.在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋,身着防护装备,以球杆击球,球入对方球门,多者为胜.小华同学在练习冰球的过程中,以力F=(sin α,cos α),α∈R作用于冰球,使冰球从点A(1,2)移动到点B(4,6),则力F对冰球所做的功的最大值为 (　　)
(动力做的功W=F·)
A.　　　B.3　　　C.4　　　D.5
答案　D　
4.★★★(2026届黑龙江大庆第一次质检,6)如图,在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点P是边BC上的动点,则·() (　　)
A.为定值16　　　B.为定值32
C.最大值为32　　　D.与P的位置有关
答案　B　
5.★★★★(2026届福建厦门双十中学开学考,7)已知非零向量=0,且|,|,点D是△ABC的边AB上的动点,则的最小值为 (　　)
A.-1　　　B.-
答案　D　
6.★★★★(多选)(2025届山东菏泽期中,10)如图,已知△ABC中,B=,AB=BC=2,M是AC的中点,动点P在以AC为直径的半圆弧上.则 (　　)
A.2
B.的最小值为-2
C.
D.若,则x+y的最大值为1+
答案　ABD　
7.★★★(跨学科·化学)(2026届福建部分学校联考,14)蒽,是一种含三个环的稠环芳烃,化学式为C14H30,蒽的三个环的中心在一条直线上,蒽是菲的同分异构体,其分子结构图如图1所示(由三个正六边形组成),将蒽的分子结构图中的14个C原子分别记为A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,如图2所示,设AB=2,则=　　　　.
　　
答案　-18
考点2　平面向量数量积的应用
五年高考
1.★(2024新课标Ⅰ,3,5分)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= (　　)
A.-2　　　B.-1　　　C.1　　　D.2
答案　D　
2.★★(2023新课标Ⅰ,3,5分)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则 (　　)
A.λ+μ=1　　　B.λ+μ=-1
C.λμ=1　　　D.λμ=-1
答案　D　
3.★★(2022新高考Ⅱ,4,5分)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t= (　　)
A.-6　　　B.-5　　　C.5　　　D.6
答案　C　
4.★★(2024新课标Ⅱ,3,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= (　　)
A.　　　D.1
答案　B　
5.★★★(2023全国甲理,4,5分)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos= (　　)
A.-
答案　D　
6.★★★★(2025北京,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,|,||=2.设C(3,4),则|2|的取值范围是 (　　)
A.[6,14]　　　B.[6,12]　　　C.[8,14]　　　D.[8,12]
答案　D　
7.★(2025全国二卷,12,5分)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　.
答案　
8.★★(2023新课标Ⅱ,13,5分)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|=　　　　.
答案　
三年模拟
1.★(2026届广东深圳中学摸底,2)已知向量a与b的夹角为60°,|a|=1,|a+b|=,则|b|= (　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
答案　A　
2.★★(2026届安徽江淮十校第一次联考,3)已知平面向量a=(2,-2),b=(-1,3),则向量a+b在向量b上的投影向量为 (　　)
A.
C.
答案　C　
3.★★(2026届重庆西南大学附中检测,4)已知平面上四个点A,B,C,D,其中任意三个点不共线.若,则直线BD一定经过△ABC的 (　　)
A.垂心　　　B.内心　　　C.重心　　　D.外心
答案　A　
4.★★(2026届湖南长沙长郡中学月考,3)已知单位向量a,b,c,满足a+b=c,则向量a和b的夹角为 (　　)
A.
答案　A　
5.★★(2026届河北唐山摸底,6)非零向量a,b满足|a|=2|b|,a-5b与2a+3b垂直,则a与b的夹角为 (　　)
A.
答案　C　
6.★★(2026届湖南长沙长郡中学月考,4)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=,且a⊥(a-3b),设a,b的夹角为θ,则cos 2θ= (　　)
A.
答案　D　
7.★★(2026届黑龙江齐齐哈尔期中,6)已知向量a=(,),且向量a与b的夹角为,则|a-b|的最小值为 (　　)
A.1　　　B.　　　C.2　　　D.4
答案　C　
8.★★★(2026届福建泉州质量监测,6)一条河两岸平行,河的宽度为1.2 km,一艘船从河岸边的某地出发,向河对岸航行.已知船在静水的速度大小为13 km/h,且船在航行过程中受水流的影响.当船以路程最短的方式航行到对岸时,所需时间为6分钟,则水流速度的大小为 (　　)
A.1.3 km/h　　　B.5 km/h
C.10 km/h　　　D.12 km/h
答案　B　
9.★★(多选)(2026届山东青岛调研,9)已知平面向量a=(1,3),b=(-2,1),则 (　　)
A.|a|=
B.(2a-b)⊥b
C.a在b上的投影向量的模为
D.a与b的夹角为钝角
答案　AC　
10.★(2026届河北保定质量检测,12)已知a∈R,m=(6,a),n=(a-1,5),若(m+n)·n=0,则a的值为　　　　.
答案　-5或-4
11.★★★(2026届上海复旦大学附中月考,12)已知平面内的三个非零向量a,b,c满足a⊥b,且|a-b|=|b-c|=|c-a|=2,则当取得最大值时,|c|=　　　　.
答案　
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