6.2　等差数列--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）

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2027通用版高考数学第一轮
6.2　等差数列
考点1　等差数列及其前n项和
五年高考
1.★★(2024全国甲理,4,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=S10,a5=1,则a1= (　　)
A.
2.★★★(2025全国二卷,7,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=-5,则S6= (　　)
A.-20　　　B.-15　　　C.-10　　　D.-5
3.★★★(2022新高考Ⅱ,3,5分)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为=0.5,=k1,=k2,=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3= (　　)
A.0.75　　　B.0.8　　　C.0.85　　　D.0.9
4.★★★(2021北京,6,4分)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长a1,a2,a3,a4,a5 (单位:cm)成等差数列,对应的宽为b1,b2,b3,b4,b5 (单位:cm),且长与宽之比都相等.已知a1=288,a5=96,b1=192,则b3= (　　)
A.64　　　B.96　　　C.128　　　D.160
5.★★★(2023全国乙理,10,5分)已知等差数列{an}的公差为,集合S={cos an|n∈N*}.若S={a,b},则ab= (　　)
A.-1　　　B.-
6.★★★(2023新课标Ⅰ,7,5分)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则 (　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7.★★(2022全国乙文,13,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=　　　　.
8.★★(2024新课标Ⅱ,12,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=　　　　.
9.★★★(2020新高考Ⅰ,14,5分)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为　　　　.
10.★★★(2023全国乙文,18,12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
11.★★★(2021全国乙理,19,12分)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知=2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
12.★★★(2023新课标Ⅰ,20,12分)设等差数列{an}的公差为d,且d>1,令bn=,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.
三年模拟
1.★(2026届河北衡水第二次调研,2)已知公差为2的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=6a2,则S8= (　　)
A.42　　　B.52　　　C.56　　　D.60
2.★★(2026届广东惠州第一次调研,5)已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=12,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,组成一个新的等差数列{bn},则bn= (　　)
A.4n-2　　　B.3n-1　　　C.3n　　　D.2n+1
3.★★(2025届湖北T8联盟考前模拟(一),4)若数列{an}满足2an+1=an+an+2,其前n项和为Sn,若a5=0,a10+a11=11,则S11= (　　)
A.0　　　B.1　　　C.5　　　D.11
4.★★(2025届广西适应性测试,3)在公差不为0的等差数列{an}中,若a3是ax与ay的等差中项,则的最小值为 (　　)
A.
5.★★(2026届湘豫名校联考摸底,5)在等差数列{an}中,公差d≠0,若ai=5(a2+ak+a6),则k= (　　)
A.8　　　B.12　　　C.16　　　D.18
6.★★(2026届广东部分学校联考,5)一组数据10,13,17,25,47的第80百分位数为n,若6,m,n三个数成等差数列,则m= (　　)
A.21　　　B.23　　　C.
7.★★(2026届湖南郴州教学质量检测,3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a7=18,S5=25,则a10= (　　)
A.19　　　B.29　　　C.30　　　D.31
8.★★★(2025届河北唐山三模,6)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a8+a13=-120,5S7-7S5=70,若Sk=Sk+1,则k= (　　)
A.27　　　B.28　　　C.54　　　D.55
9.★★★(2026届吉林四校联合模拟,4)已知首项为1的数列{an},其前n项积是公差为3的等差数列,则a3= (　　)
A.4　　　B.3　　　C.
10.★★★(2026届福建三校联考,7)已知数列{an}的首项为a1,对于任意的n∈N*都有an+2-an=1,则“{an}为单调递增的数列”是“a1A.必要不充分条件　　　B.充分不必要条件
C.充要条件　　 　D.既不充分也不必要条件
11.★★★(2026届重庆南开中学第三次质量检测,7)已知等差数列{an}的前n项和Sn存在最大值,且a13+3a15<0,a14a15<0,则Sn取得最小正值时n为 (　　)
A.1　　　B.27　　　C.28　　　D.29
12.★★★(多选)(2026届黑龙江大庆教学质量检测,9)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,an=an+1+3,则下列说法正确的是 (　　)
A.a5-a1=-12
B.{an}是递增数列
C.当n>4时,an<0
D.当n=3或4时,Sn取得最大值
13.★★(2026届江苏连云港期中,12)某校报告厅第一排有22个座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,则这个报告厅共有　　　　个座位.
14.★★(2025届湖南怀化二模,12)已知数列{an}中,a1=10,an=an-1-2(n≥2),则数列{an}的前n项和的最大值为　　　　.
15.★★(2026届重庆康德调研,15)已知非零等差数列{an}满足:a10=a9-2a8,a1+a6a7=0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.
16.★★★(2026届山东济南摸底,15)已知正项数列{an}的前n项积为Tn,且满足an=(n∈N*).
(1)求证:数列{Tn}为等差数列;
(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Sn.
17.★★★(2026届江苏南京学情调研,16)对于数列{an},记△an=an+1-an,n∈N*,称数列{△an}为数列{an}的差分数列.
(1)已知an=n2+n+1,证明:{an}的差分数列为等差数列;
(2)已知{an}的差分数列为,a1=1,求{an}的通项公式.
18.★★★(2026届大湾区联考,17)已知数列{an}的前n项和为Sn=2n2+n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n个数,使这(n+2)个数组成一个公差为dn的等差数列,在数列{dn}中是否存在不同的三项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)仍然成等差数列 若存在,求出这样的三项;若不存在,请说明理由.
考点2　等差数列的性质
五年高考
1.★★(2024全国甲文,5,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=1,则a3+a7= (　　)
A.
2.★★(2023全国甲文,5,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5= (　　)
A.25　　　B.22　　　C.20　　　D.15
3.★★★(2020北京,8,4分)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2…),则数列{Tn} (　　)
A.有最大项,有最小项　　　
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项　　　
D.无最大项,无最小项
4.★★★(2021新高考Ⅱ,17,10分)记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2·a4=S4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求使得Sn>an的n的最小值.
5.★★★★(2022浙江,20,15分)已知等差数列{an}的首项a1=-1,公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N*).
(1)若S4-2a2a3+6=0,求Sn;
(2)若对于每个n∈N*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.
三年模拟
1.★(2026届江西上饶鄱阳部分学校联考,3)已知等差数列{an}满足a1+a5+a7+a11=36,则a6= (　　)
A.7　　　B.8　　　C.9　　　D.10
2.★(2026届浙江金华十校一模,2)已知等差数列{an}满足a1=2,a4+a6=20,则a3= (　　)
A.4　　　B.6　　　C.8　　　D.10
3.★★(2026届山东青岛期中,2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5与a7是方程x2-8x+4=0的两根,则S11= (　　)
A.41　　　B.42　　　C.43　　　D.44
4.★★(2026届山东滨州质量检测,5)已知等差数列{an}共有101项,若奇数项的和为102,则偶数项的和为 (　　)
A.100　　　B.105　　　C.110　　　D.115
5.★★(2026届山东烟台期中,4)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=6,S6=6S2,则S2= (　　)
A.　　　C.2　　　D.3
6.★★(2026届山东名校考试联盟摸底,5)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且,则使得为整数的正整数n的个数是 (　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
7.★★(2026届山东济南摸底考,3)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2a7-a9=4,则S9= (　　)
A.12　　　B.24　　　C.36　　　D.48
8.★★(2025届吉林长春二模,6)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=S9=6,则S12的值为 (　　)
A.0　　　B.3　　　C.6　　　D.12
9.★★★(2025届湖北模拟,4)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若,则= (　　)
A.
10.★★★(2025届福建厦门六中模拟,5)记等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,若a3+a18>0,S19<0,则 (　　)
A.S20<0　　 　B.a6+a17<0
C.a11>0　　 　D.∈(-9,-8)
11.★★★(2026届浙江名校协作体开学考,7)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足:S2 025A.2 026项　　　B.2 027项　　　
C.4 048项　　　D.4 049项
12.★★★(多选)(2026届广东阳江月考,10)已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若(S15-S11)(S15-S12)<0,则 (　　)
A.a13+a14<0
B.S11C.当n=14时,Sn取最大值
D.当Sn<0时,n的最小值为27
13.★★★(多选)(2026届吉林松原联考,10)已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,a1<0,a2 025+a2 026>0,a2 025a2 026<0,则 (　　)
A.d>0
B.a2 024+a2 027>0
C.Sn中S2 026最小
D.使Sn>0成立的最小正整数n的值为4 050
14.★★★(多选)(2026届浙江杭州二中月考,10)已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若(S25-S21)(S25-S22)<0,则 (　　)
A.a23+a24<0
B.S21C.当Sn<0时,n的最小值为47
D.S1+S2+…+S2315.★★(2026届福建泉州质量监测,12)若一个等差数列的前3项和为9,前7项和为35,则该数列的第6项为　　　　.
16.★★(2026届上海黄浦一模,10)已知数列{an}是公差为2的等差数列,lg a1,lg ak,lg a7也为等差数列,且k∈{3,4,5},则a1=　　　　.
17.★★(2026届湖北鄂东南教育联盟期中,13)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+a6=2,则S9=　　　　.
18.★★★(2026届湖南名校联盟联考,13)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若,则=　　　　.
6.2　等差数列
考点1　等差数列及其前n项和
五年高考
1.★★(2024全国甲理,4,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=S10,a5=1,则a1= (　　)
A.
答案　B　
2.★★★(2025全国二卷,7,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=-5,则S6= (　　)
A.-20　　　B.-15　　　C.-10　　　D.-5
答案　B　
3.★★★(2022新高考Ⅱ,3,5分)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为=0.5,=k1,=k2,=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3= (　　)
A.0.75　　　B.0.8　　　C.0.85　　　D.0.9
答案　D　
4.★★★(2021北京,6,4分)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长a1,a2,a3,a4,a5 (单位:cm)成等差数列,对应的宽为b1,b2,b3,b4,b5 (单位:cm),且长与宽之比都相等.已知a1=288,a5=96,b1=192,则b3= (　　)
A.64　　　B.96　　　C.128　　　D.160
答案　C　
5.★★★(2023全国乙理,10,5分)已知等差数列{an}的公差为,集合S={cos an|n∈N*}.若S={a,b},则ab= (　　)
A.-1　　　B.-
答案　B　
6.★★★(2023新课标Ⅰ,7,5分)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则 (　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案　C　
7.★★(2022全国乙文,13,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=　　　　.
答案　2
8.★★(2024新课标Ⅱ,12,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=　　　　.
答案　95
9.★★★(2020新高考Ⅰ,14,5分)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为　　　　.
答案　3n2-2n
10.★★★(2023全国乙文,18,12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,
则
∴an=13-2(n-1)=15-2n.
(2)由an=15-2n知,当n≤7,n∈N*时,an>0,当n≥8,n∈N*时,an<0,
∴当n≤7,n∈N*时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn==-n2+14n,
当n≥8,n∈N*时,
Tn=(a1+a2+…+a7)-(a8+a9+…+an)
=2S7-Sn=98-(-n2+14n)=n2-14n+98.
∴Tn=
11.★★★(2021全国乙理,19,12分)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知=2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
解析　(1)证明:由bn=S1·S2·…·Sn可得,
Sn==2知,
当n=1时,=2,即=2,
所以b1=S1=,
当n≥2时,=2,即2bn=2bn-1+1,即bn-bn-1=,故数列{bn}是首项为,公差为的等差数列.
(2)由(1)知,bn=+(n-1)×,
故当n≥2时,Sn=,S1也符合该式,即Sn=(n∈N*),
从而a1=S1=,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,a1不符合该式,
所以an=
12.★★★(2023新课标Ⅰ,20,12分)设等差数列{an}的公差为d,且d>1,令bn=,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.
解析　(1)∵3a2=3a1+a3,∴3(a1+d)=3a1+a1+2d,∴a1=d>1,
∴S3=a1+a2+a3=a1+a1+d+a1+2d=6a1,
又∵bn=,∴b1=,b2=,b3=,∴T3=b1+b2+b3=,∴S3+T3=6a1+=21,解得a1=3或a1=(舍),∴an=3n.
(2)∵{bn}为等差数列,∴2b2=b1+b3,即,即,即-3a1d+2d2=0,∴a1=2d或a1=d.
当a1=2d时,an=(n+1)d,bn=,
∴S99==99×51d,
T99=,
又∵S99-T99=99,∴99×51d-99×50·=99,∴51d-=1,解得d=1或d=-,
又∵d>1,∴a1≠2d.
当a1=d时,an=nd,bn=,
∴S99==50×99d,
T99=,
又∵S99-T99=99,∴50×99d-=99,
∴50d-=1,解得d=或d=-1,
又∵d>1,∴d=.
综上,d=.
三年模拟
1.★(2026届河北衡水第二次调研,2)已知公差为2的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=6a2,则S8= (　　)
A.42　　　B.52　　　C.56　　　D.60
答案　C　
2.★★(2026届广东惠州第一次调研,5)已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=12,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,组成一个新的等差数列{bn},则bn= (　　)
A.4n-2　　　B.3n-1　　　C.3n　　　D.2n+1
答案　B　
3.★★(2025届湖北T8联盟考前模拟(一),4)若数列{an}满足2an+1=an+an+2,其前n项和为Sn,若a5=0,a10+a11=11,则S11= (　　)
A.0　　　B.1　　　C.5　　　D.11
答案　D　
4.★★(2025届广西适应性测试,3)在公差不为0的等差数列{an}中,若a3是ax与ay的等差中项,则的最小值为 (　　)
A.
答案　A　
5.★★(2026届湘豫名校联考摸底,5)在等差数列{an}中,公差d≠0,若ai=5(a2+ak+a6),则k= (　　)
A.8　　　B.12　　　C.16　　　D.18
答案　C　
6.★★(2026届广东部分学校联考,5)一组数据10,13,17,25,47的第80百分位数为n,若6,m,n三个数成等差数列,则m= (　　)
A.21　　　B.23　　　C.
答案　A　
7.★★(2026届湖南郴州教学质量检测,3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a7=18,S5=25,则a10= (　　)
A.19　　　B.29　　　C.30　　　D.31
答案　A　
8.★★★(2025届河北唐山三模,6)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a8+a13=-120,5S7-7S5=70,若Sk=Sk+1,则k= (　　)
A.27　　　B.28　　　C.54　　　D.55
答案　A　
9.★★★(2026届吉林四校联合模拟,4)已知首项为1的数列{an},其前n项积是公差为3的等差数列,则a3= (　　)
A.4　　　B.3　　　C.
答案　C　
10.★★★(2026届福建三校联考,7)已知数列{an}的首项为a1,对于任意的n∈N*都有an+2-an=1,则“{an}为单调递增的数列”是“a1A.必要不充分条件　　　B.充分不必要条件
C.充要条件　　 　D.既不充分也不必要条件
答案　C　
11.★★★(2026届重庆南开中学第三次质量检测,7)已知等差数列{an}的前n项和Sn存在最大值,且a13+3a15<0,a14a15<0,则Sn取得最小正值时n为 (　　)
A.1　　　B.27　　　C.28　　　D.29
答案　B　
12.★★★(多选)(2026届黑龙江大庆教学质量检测,9)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,an=an+1+3,则下列说法正确的是 (　　)
A.a5-a1=-12
B.{an}是递增数列
C.当n>4时,an<0
D.当n=3或4时,Sn取得最大值
答案　ACD　
13.★★(2026届江苏连云港期中,12)某校报告厅第一排有22个座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,则这个报告厅共有　　　　个座位.
答案　820
14.★★(2025届湖南怀化二模,12)已知数列{an}中,a1=10,an=an-1-2(n≥2),则数列{an}的前n项和的最大值为　　　　.
答案　30
15.★★(2026届重庆康德调研,15)已知非零等差数列{an}满足:a10=a9-2a8,a1+a6a7=0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.
解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,则d≠0,
由题意得,a1+9d=a1+8d-2(a1+7d),则a1=-d,又a1+(a1+5d)(a1+6d)=0,将a1=-d代入解得d=2,所以a1=-15,
则an=2n-17.
(2)Sn=
=n2-16n=(n-8)2-64,
所以当n=8时,Sn取得最小值,即(Sn)min=-64.
16.★★★(2026届山东济南摸底,15)已知正项数列{an}的前n项积为Tn,且满足an=(n∈N*).
(1)求证:数列{Tn}为等差数列;
(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Sn.
解析　(1)证明:当n=1时,a1=T1=,又an>0,则Tn>0,所以T1=3,
当n≥2时,an=,又Tn>0,所以Tn-2=Tn-1,即Tn-Tn-1=2,
所以数列{Tn}是首项为3,公差为2的等差数列.
(2)由(1)知数列{Tn}是首项为3,公差为2的等差数列,
则Tn=2n+1,cn=,
则Sn=,
所以数列{cn}的前n项和Sn=.
17.★★★(2026届江苏南京学情调研,16)对于数列{an},记△an=an+1-an,n∈N*,称数列{△an}为数列{an}的差分数列.
(1)已知an=n2+n+1,证明:{an}的差分数列为等差数列;
(2)已知{an}的差分数列为,a1=1,求{an}的通项公式.
解析　(1)证明:△an=(n+1)2+(n+1)+1-(n2+n+1)=2n+2,其中n∈N*,
故△an-△an-1=2,
故{an}的差分数列为等差数列.
(2)由题设有an+1-an=,
故an-an-1=2+(n≥2),
由累加法可得an-a1=2(n-1)+1-,
而a1=1,所以an=2n-,而a1=1也满足该式,故an=2n-.
18.★★★(2026届大湾区联考,17)已知数列{an}的前n项和为Sn=2n2+n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n个数,使这(n+2)个数组成一个公差为dn的等差数列,在数列{dn}中是否存在不同的三项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)仍然成等差数列 若存在,求出这样的三项;若不存在,请说明理由.
解析　(1)当n=1时,a1=S1=3.
由Sn=2n2+n(n∈N*),可得Sn-1=2(n-1)2+n-1(n≥2),
两式相减得an=4n-1(n≥2).
当n=1时,a1=4×1-1=3,符合上式,
所以数列{an}是以3为首项,4为公差的等差数列,故an=4n-1.
(2)由(1)可得an+1=4n+3,
依题意得dn=,
假设在数列{dn}中存在三项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)仍然成等差数列,则dm+dp=2dk,即,
整理得,①
又因为m,k,p成等差数列,则m+p=2k,
代入①式整理得:mp+m+p+1=(k+1)2,
即mp=k2=,化简得(m-p)2=0,即m=p,
而m,k,p成等差数列,故m=k=p,
又因为dm,dk,dp为不同的三项,即m≠k≠p,故假设不成立.
因此,在数列{dn}中不存在不同的三项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)仍然成等差数列.
考点2　等差数列的性质
五年高考
1.★★(2024全国甲文,5,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=1,则a3+a7= (　　)
A.
答案　B　
2.★★(2023全国甲文,5,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5= (　　)
A.25　　　B.22　　　C.20　　　D.15
答案　C　
3.★★★(2020北京,8,4分)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2…),则数列{Tn} (　　)
A.有最大项,有最小项　　　
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项　　　
D.无最大项,无最小项
答案　B　
4.★★★(2021新高考Ⅱ,17,10分)记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2·a4=S4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求使得Sn>an的n的最小值.
解析　(1)解法一　设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则a3=S5 a1+2d=5a1+10d 4a1+8d=0 a1+2d=0 a1=-2d,①
a2·a4=S4 (a1+d)(a1+3d)=4a1+6d,②
将①代入②得-d2=-2d d=0(舍)或d=2,
∴a1=-2d=-4,
∴an=-4+(n-1)×2=2n-6.
解法二　由等差数列的性质可得S5=5a3,则a3=5a3,∴a3=0,
设等差数列的公差为d,
从而有a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d2,
S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=-2d,从而-d2=-2d,由于公差不为零,故d=2,
所以数列{an}的通项公式为an=a3+(n-3)d=2n-6.
(2)由(1)知an=2n-6,a1=2×1-6=-4.
Sn=na1+d=-4n+n(n-1)=n2-5n.
Sn>an n2-5n>2n-6 n2-7n+6>0 (n-1)(n-6)>0,解得n<1或n>6,
又n∈N*,∴n的最小值为7.
5.★★★★(2022浙江,20,15分)已知等差数列{an}的首项a1=-1,公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N*).
(1)若S4-2a2a3+6=0,求Sn;
(2)若对于每个n∈N*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.
解析　(1)易得an=(n-1)d-1,n∈N*,S4=a1+a2+a3+a4=4a1+6d=6d-4.
又S4-2a2a3+6=0,∴6d-4-2(d-1)(2d-1)+6=0,∴d=3或d=0(舍),则an=3n-4,n∈N*,
故Sn=3(1+2+…+n)-4n=,n∈N*.
(2)由(1)知an=(n-1)d-1,n∈N*,
依题意得[cn+(n-1)d-1][15cn+(n+1)·d-1]=(4cn+nd-1)2,
即15+[(16n-14)d-16]cn+(n2-1)d2-2nd+1=16+8(nd-1)cn+n2d2-2nd+1,故+[(14-8n)d+8]cn+d2=0,
故[(14-8n)d+8]2-4d2=[(12-8n)d+8]·[(16-8n)d+8]≥0,故[(3-2n)d+2]·[(2-n)·d+1]≥0对任意正整数n恒成立,n=1时,显然成立;
n=2时,-d+2≥0,则d≤2;
n≥3时,[(2n-3)d-2][(n-2)d-1]>(2n-5)(n-3)≥0.
综上所述,1三年模拟
1.★(2026届江西上饶鄱阳部分学校联考,3)已知等差数列{an}满足a1+a5+a7+a11=36,则a6= (　　)
A.7　　　B.8　　　C.9　　　D.10
答案　C　
2.★(2026届浙江金华十校一模,2)已知等差数列{an}满足a1=2,a4+a6=20,则a3= (　　)
A.4　　　B.6　　　C.8　　　D.10
答案　B　
3.★★(2026届山东青岛期中,2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5与a7是方程x2-8x+4=0的两根,则S11= (　　)
A.41　　　B.42　　　C.43　　　D.44
答案　D　
4.★★(2026届山东滨州质量检测,5)已知等差数列{an}共有101项,若奇数项的和为102,则偶数项的和为 (　　)
A.100　　　B.105　　　C.110　　　D.115
答案　A　
5.★★(2026届山东烟台期中,4)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=6,S6=6S2,则S2= (　　)
A.　　　C.2　　　D.3
答案　C　
6.★★(2026届山东名校考试联盟摸底,5)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且,则使得为整数的正整数n的个数是 (　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
答案　C　
7.★★(2026届山东济南摸底考,3)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2a7-a9=4,则S9= (　　)
A.12　　　B.24　　　C.36　　　D.48
答案　C　
8.★★(2025届吉林长春二模,6)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=S9=6,则S12的值为 (　　)
A.0　　　B.3　　　C.6　　　D.12
答案　A　
9.★★★(2025届湖北模拟,4)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若,则= (　　)
A.
答案　D　
10.★★★(2025届福建厦门六中模拟,5)记等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,若a3+a18>0,S19<0,则 (　　)
A.S20<0　　 　B.a6+a17<0
C.a11>0　　 　D.∈(-9,-8)
答案　C　
11.★★★(2026届浙江名校协作体开学考,7)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足:S2 025A.2 026项　　　B.2 027项　　　
C.4 048项　　　D.4 049项
答案　A　
12.★★★(多选)(2026届广东阳江月考,10)已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若(S15-S11)(S15-S12)<0,则 (　　)
A.a13+a14<0
B.S11C.当n=14时,Sn取最大值
D.当Sn<0时,n的最小值为27
答案　BD　
13.★★★(多选)(2026届吉林松原联考,10)已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,a1<0,a2 025+a2 026>0,a2 025a2 026<0,则 (　　)
A.d>0
B.a2 024+a2 027>0
C.Sn中S2 026最小
D.使Sn>0成立的最小正整数n的值为4 050
答案　ABD　
14.★★★(多选)(2026届浙江杭州二中月考,10)已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若(S25-S21)(S25-S22)<0,则 (　　)
A.a23+a24<0
B.S21C.当Sn<0时,n的最小值为47
D.S1+S2+…+S23答案　BC　
15.★★(2026届福建泉州质量监测,12)若一个等差数列的前3项和为9,前7项和为35,则该数列的第6项为　　　　.
答案　7
16.★★(2026届上海黄浦一模,10)已知数列{an}是公差为2的等差数列,lg a1,lg ak,lg a7也为等差数列,且k∈{3,4,5},则a1=　　　　.
答案　4
17.★★(2026届湖北鄂东南教育联盟期中,13)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+a6=2,则S9=　　　　.
答案　9
18.★★★(2026届湖南名校联盟联考,13)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若,则=　　　　.
答案　
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