6.3　等比数列--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）

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2027通用版高考数学第一轮
6.3　等比数列
考点1　等比数列及其前n项和
五年高考
1.★★(2023全国甲理,5,5分)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5=5S3-4,则S4= (　　)
A.　　　C.15　　　D.40
2.★★★(2022全国乙,文10,理8,5分)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6= (　　)
A.14　　　B.12　　　C.6　　　D.3
3.★★★(多选)(2025全国二卷,9,6分)记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q>0.若S3=7,a3=1,则 (　　)
A.q=　　　C.S5=8　　　D.an+Sn=8
4.★★(2023全国甲文,13,5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为　　　.
5.★★★(2024全国甲文,17,12分)记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知2Sn=3an+1-3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{Sn}的前n项和.
6.★★★(2020新高考Ⅱ,18,12分)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1.
三年模拟
1.★★(2026届湖北荆州起点考,4)已知等比数列{an}中,a1=2,a3=8,则a4= (　　)
A.16　　　B.16或-16
C.32　　　D.32或-32
2.★★★(2026届广东深圳宝安中学、中山一中联考,5)已知数列{an}为等比数列,公比为2,且a1+a2=3.若ak+ak+1+ak+2+…+ak+10=216-25,则正整数k的值是 (　　)
A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.7
3.★★★(2025届重庆一中三模,5)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,且Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则公比q= (　　)
A.-2或1　　　B.2或-1　　　C.1　　　D.-2
4.★★★(2026届湖北部分学校联考,6)如图,等边三角形ABC的边长为4,取△ABC各边的中点D,E,F,作第2个等边三角形DEF,然后取△DEF各边的中点G,H,I,作第3个等边三角形GHI,依此方法一直继续下去,记△ABC为第1个三角形,△DEF为第2个三角形,△GHI为第3个三角形,……,依此类推,则第10个三角形与第5个三角形的面积之和为 (　　)
A.
C.
5.★★★★(2026届湖南名校联盟联考,8)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3an-2.若λan≥3loan+4对任意的正整数n恒成立,则实数λ的最小值为 (　　)
A.3　　　B.
6.★★(多选)(2026届广东江门调研,9)已知等比数列{an}的首项为4,公比为q,前n项和为Sn.若,则 (　　)
A.q=-　　　B.S3=7
C.an+Sn=8　　　D.log2an=n-3
7.★★★(多选)(2026届山西大学附中模块诊断,10)在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1+a4=18,a2+a3=12,则下列说法正确的是 (　　)
A.q=2
B.数列{lg an}是公差为2的等差数列
C.S8=254
D.数列{Sn+2}是等比数列
8.★★★(多选)(2025届河南平许济洛三模,10)已知正方形ABCD的边长为2,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH,取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第3个正方形IJKL,依此方法一直继续下去.若把正方形ABCD的面积记为数列的首项a1,后继各正方形的面积依次为a2,a3,…,an,…,则下列结论正确的为 (　　)
A.a10=
B.前10个正方形的面积之和为
C.数列{log2an}的前100项之和为-4 850
D.若这个作图过程可以一直继续下去,则所有正方形的面积之和将趋近于8
9.★★(2026届河北沧州四校期中联考,13)记Sn为等比数列{an}的前n项和,且{an}的公比为2,若3a3+4=a5,则=　　　　.
10.★★(2026届江苏盐城期中,13)已知{an}为等比数列,其前n项和为Sn,若an+1=2Sn+2,则a4=　　　　.
11.★★(2026届安徽江淮十校第一次联考,12)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a3=,S3=,则公比q=　　　　.
12.★★(2026届湖南益阳教学质量检测,13)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯.”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有　　　　盏灯.
13.★★★(2026届重庆巴蜀中学开学考,13)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S9+8S3=9S6,则{an}的公比为　　　　.
14.★★★(2026届福建百校联考期中,18)已知数列{an}的首项a1=1,an+an+1=4×3n.
(1)求证:{an-3n}是等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn;
(3)令bn=,求数列{bn}中的最大项.
考点2　等比数列的性质
五年高考
1.★★★(2021全国甲理,7,5分)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0,乙:{Sn}是递增数列,则 (　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件　　　
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件　　　
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2.★★★(2021全国甲文,9,5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6= (　　)
A.7　　　B.8　　　C.9　　　D.10
3.★★★(2023新课标Ⅱ,8,5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8= (　　)
A.120　　　B.85　　　C.-85　　　D.-120
4.★★★(2025全国一卷,13,5分)若一个等比数列的各项均为正数,且前4项的和等于4,前8项的和等于68,则这个数列的公比等于　　　　.
5.★★★(2023全国乙理,15,5分)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=　　　　.
三年模拟
1.★(2026届黑龙江大庆教学质量检测,3)已知等比数列{an},a2=2,a4=8,则a6= (　　)
A.14　　　B.32　　　C.16　　　D.54
2.★★(2026届江苏南京学情调研,3)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=2,S4=6,则a5+a6= (　　)
A.8　　　B.10　　　C.14　　　D.18
3.★★(2026届湖北鄂东南教育联盟期中,6)在等比数列{an}中,a4,a16是方程x2+30x+36=0的两个根,则a10= (　　)
A.±6　　　B.6　　　C.36　　　D.-6
4.★★(2026届江苏南京六校联考,7)在等比数列{an}中,a3a4a5=8,a4+a8=20,则a6= (　　)
A.36　　　B.±6　　　C.-6　　　D.6
5.★★(2026届广东深圳外国语学校开学考,5)在等比数列{an}中,a2,a10是函数f(x)=x2+20x+25的两个零点,则a6= (　　)
A.±5　　　B.-5　　　C.5　　　D.±2
6.★★★(2026届河南南阳第三次质量检测,6)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1a4a5=a2a7,S3=7,则S5= (　　)
A.11　　　B.31　　　C.32　　　D.121
7.★★★(2026届四川巴中零诊,7)已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a1a3a5=3,b1+b3+b5=,则sin的值为 (　　)
A.
8.★★★(创新知识交汇)(2026届山东临沂沂水四中质量检测,8)若x1,x2是函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b>0)的导函数的两个不同零点,且x1,x2,2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则a+b= (　　)
A.5　　　B.13　　　C.
9.★★★(2026届江苏昆山震川高级中学阶段测试,7)已知数列{cn}的通项公式为cn=-3·,设数列{cn}的前n项和为Tn,则Tn-(n∈N*)的最大值和最小值为 (　　)
A.,-,0　　　C.,　　　D.0,-
10.★★★(多选)(2026届湖北高中名校联盟第一次联合测评,9)已知等比数列{an}的前n项和Sn=-+t,t∈R,{an}的前n项积为Tn,则 (　　)
A.t=1
B.an=
C.Tn=
D.数列{an+an+1+an+2}是等比数列
11.★★(2025届河北秦皇岛山海关二模,12)已知等比数列{an}的前6项和为126,其中偶数项和是奇数项和的2倍,则a1=　　　　.
12.★★(2025届福建厦门外国语学校阶段检测,12)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若,则=　　　　.
6.3　等比数列
考点1　等比数列及其前n项和
五年高考
1.★★(2023全国甲理,5,5分)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5=5S3-4,则S4= (　　)
A.　　　C.15　　　D.40
答案　C　
2.★★★(2022全国乙,文10,理8,5分)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6= (　　)
A.14　　　B.12　　　C.6　　　D.3
答案　D　
3.★★★(多选)(2025全国二卷,9,6分)记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q>0.若S3=7,a3=1,则 (　　)
A.q=　　　C.S5=8　　　D.an+Sn=8
答案　AD　
4.★★(2023全国甲文,13,5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为　　　.
答案　-
5.★★★(2024全国甲文,17,12分)记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知2Sn=3an+1-3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{Sn}的前n项和.
解析　(1)设等比数列{an}的公比为q,
由条件得
即
两式相减得2a1q=3a1q(q-1).
显然a1q≠0,解得q=,a1=1,
故{an}的通项公式为an=.
(2)由等比数列的前n项和公式得
Sn=.
{Sn}的通项公式是一个等比数列减去一个常数的形式,
所以S1+S2+…+Sn
=
=××
=.
6.★★★(2020新高考Ⅱ,18,12分)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1.
解析　(1)已知数列{an}是公比大于1的等比数列,设公比为q(q>1),依题意有解得a1=2,q=2,或a1=32,q=(舍)【注意:不要忽略公比大于1这一条件】,
所以an=2n,所以数列{an}的通项公式为an=2n. (5分)
(2)a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1
=23-25+27-29+…+(-1)n-1·22n+1
=-(-1)n. (12分)
三年模拟
1.★★(2026届湖北荆州起点考,4)已知等比数列{an}中,a1=2,a3=8,则a4= (　　)
A.16　　　B.16或-16
C.32　　　D.32或-32
答案　B　
2.★★★(2026届广东深圳宝安中学、中山一中联考,5)已知数列{an}为等比数列,公比为2,且a1+a2=3.若ak+ak+1+ak+2+…+ak+10=216-25,则正整数k的值是 (　　)
A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.7
答案　C　
3.★★★(2025届重庆一中三模,5)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,且Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则公比q= (　　)
A.-2或1　　　B.2或-1　　　C.1　　　D.-2
答案　D　
4.★★★(2026届湖北部分学校联考,6)如图,等边三角形ABC的边长为4,取△ABC各边的中点D,E,F,作第2个等边三角形DEF,然后取△DEF各边的中点G,H,I,作第3个等边三角形GHI,依此方法一直继续下去,记△ABC为第1个三角形,△DEF为第2个三角形,△GHI为第3个三角形,……,依此类推,则第10个三角形与第5个三角形的面积之和为 (　　)
A.
C.
答案　D　
5.★★★★(2026届湖南名校联盟联考,8)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3an-2.若λan≥3loan+4对任意的正整数n恒成立,则实数λ的最小值为 (　　)
A.3　　　B.
答案　B　
6.★★(多选)(2026届广东江门调研,9)已知等比数列{an}的首项为4,公比为q,前n项和为Sn.若,则 (　　)
A.q=-　　　B.S3=7
C.an+Sn=8　　　D.log2an=n-3
答案　BC　
7.★★★(多选)(2026届山西大学附中模块诊断,10)在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1+a4=18,a2+a3=12,则下列说法正确的是 (　　)
A.q=2
B.数列{lg an}是公差为2的等差数列
C.S8=254
D.数列{Sn+2}是等比数列
答案　AD　
8.★★★(多选)(2025届河南平许济洛三模,10)已知正方形ABCD的边长为2,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH,取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第3个正方形IJKL,依此方法一直继续下去.若把正方形ABCD的面积记为数列的首项a1,后继各正方形的面积依次为a2,a3,…,an,…,则下列结论正确的为 (　　)
A.a10=
B.前10个正方形的面积之和为
C.数列{log2an}的前100项之和为-4 850
D.若这个作图过程可以一直继续下去,则所有正方形的面积之和将趋近于8
答案　BD　
9.★★(2026届河北沧州四校期中联考,13)记Sn为等比数列{an}的前n项和,且{an}的公比为2,若3a3+4=a5,则=　　　　.
答案　
10.★★(2026届江苏盐城期中,13)已知{an}为等比数列,其前n项和为Sn,若an+1=2Sn+2,则a4=　　　　.
答案　54
11.★★(2026届安徽江淮十校第一次联考,12)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a3=,S3=,则公比q=　　　　.
答案　1或-
12.★★(2026届湖南益阳教学质量检测,13)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯.”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有　　　　盏灯.
答案　3
13.★★★(2026届重庆巴蜀中学开学考,13)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S9+8S3=9S6,则{an}的公比为　　　　.
答案　2
14.★★★(2026届福建百校联考期中,18)已知数列{an}的首项a1=1,an+an+1=4×3n.
(1)求证:{an-3n}是等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn;
(3)令bn=,求数列{bn}中的最大项.
解析　(1)证明:因为an+an+1=4×3n,所以an+1-3n+1=-(an-3n),
又a1=1,所以a1-3=-2,
所以{an-3n}是以-2为首项,-1为公比的等比数列.
(2)由(1)可得an-3n=2×(-1)n,
所以an=3n+(-1)n×2,
所以Sn=31+32+…+3n+2×[(-1)1+(-1)2+…+(-1)n].
=+2×
=+(-1)n.
(3)由(2)可得bn=,
则bn+1-bn=
=,
令-n(2n2-3n-3)+1>0,得1≤n≤2,
所以当1≤n≤2时,bn+1-bn>0,
令-n(2n2-3n-3)+1<0,得n≥3,
所以当n≥3时,bn+1-bn<0,
即b1b4>b5>…,
所以数列{bn}中的最大项为b3=1.
考点2　等比数列的性质
五年高考
1.★★★(2021全国甲理,7,5分)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0,乙:{Sn}是递增数列,则 (　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件　　　
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件　　　
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案　B　
2.★★★(2021全国甲文,9,5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6= (　　)
A.7　　　B.8　　　C.9　　　D.10
答案　A　
3.★★★(2023新课标Ⅱ,8,5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8= (　　)
A.120　　　B.85　　　C.-85　　　D.-120
答案　C　
4.★★★(2025全国一卷,13,5分)若一个等比数列的各项均为正数,且前4项的和等于4,前8项的和等于68,则这个数列的公比等于　　　　.
答案　2
5.★★★(2023全国乙理,15,5分)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=　　　　.
答案　-2
三年模拟
1.★(2026届黑龙江大庆教学质量检测,3)已知等比数列{an},a2=2,a4=8,则a6= (　　)
A.14　　　B.32　　　C.16　　　D.54
答案　B　
2.★★(2026届江苏南京学情调研,3)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=2,S4=6,则a5+a6= (　　)
A.8　　　B.10　　　C.14　　　D.18
答案　A　
3.★★(2026届湖北鄂东南教育联盟期中,6)在等比数列{an}中,a4,a16是方程x2+30x+36=0的两个根,则a10= (　　)
A.±6　　　B.6　　　C.36　　　D.-6
答案　D　
4.★★(2026届江苏南京六校联考,7)在等比数列{an}中,a3a4a5=8,a4+a8=20,则a6= (　　)
A.36　　　B.±6　　　C.-6　　　D.6
答案　D　
5.★★(2026届广东深圳外国语学校开学考,5)在等比数列{an}中,a2,a10是函数f(x)=x2+20x+25的两个零点,则a6= (　　)
A.±5　　　B.-5　　　C.5　　　D.±2
答案　B　
6.★★★(2026届河南南阳第三次质量检测,6)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1a4a5=a2a7,S3=7,则S5= (　　)
A.11　　　B.31　　　C.32　　　D.121
答案　B　
7.★★★(2026届四川巴中零诊,7)已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a1a3a5=3,b1+b3+b5=,则sin的值为 (　　)
A.
答案　D　
8.★★★(创新知识交汇)(2026届山东临沂沂水四中质量检测,8)若x1,x2是函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b>0)的导函数的两个不同零点,且x1,x2,2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则a+b= (　　)
A.5　　　B.13　　　C.
答案　C　
9.★★★(2026届江苏昆山震川高级中学阶段测试,7)已知数列{cn}的通项公式为cn=-3·,设数列{cn}的前n项和为Tn,则Tn-(n∈N*)的最大值和最小值为 (　　)
A.,-,0　　　C.,　　　D.0,-
答案　A　
10.★★★(多选)(2026届湖北高中名校联盟第一次联合测评,9)已知等比数列{an}的前n项和Sn=-+t,t∈R,{an}的前n项积为Tn,则 (　　)
A.t=1
B.an=
C.Tn=
D.数列{an+an+1+an+2}是等比数列
答案　ABD　
11.★★(2025届河北秦皇岛山海关二模,12)已知等比数列{an}的前6项和为126,其中偶数项和是奇数项和的2倍,则a1=　　　　.
答案　2
12.★★(2025届福建厦门外国语学校阶段检测,12)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若,则=　　　　.
答案　8
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