8.1　直线和圆--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）

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2027通用版高考数学第一轮
第八章　平面解析几何
8.1　直线和圆
考点1　直线和圆的方程
五年高考
1.★★(2022全国甲文,14,5分)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　　　.
2.★★★(2022全国乙,文15,理14,5分)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　　　.
三年模拟
1.★(2026届湖南长沙长郡中学开学检测,3)已知直线l1:ax+(a+2)y+2=0与l2:x+ay+1=0平行,则实数a的值为 (　　)
A.-1或2　　　B.0或2　　　C.2　　　D.-1
2.★★(2025届重庆部分学校联考,5)已知直线l1:x+y+C=0与直线l2:Ax+By+C=0均过点(1,1),则原点到直线l2距离的最大值为 (　　)
A.
3.★★(2026届浙江杭州一模,7)若圆C经过A(1,1),B(2,-2),圆心在直线x-y+1=0上,则圆C的面积为 (　　)
A.16π　　　B.25π　　　C.36π　　　D.49π
4.★★★(2025届河北衡水中学开学考,6)点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距离最大时,其最大值以及此时的直线方程分别为 (　　)
A.,3x+2y-5=0　　　B.,3x+2y-5=0
C.,2x-3y+1=0　　　D.,2x-3y+1=0
5.★★★(2026届广东八校联盟质检,7)P是圆(x-a)2+(y-a2)2=1上的动点,Q是直线y=x-2上的动点,则|PQ|的最小值为 (　　)
A.
6.★★★★(2026届湖北武汉质检,8)实数a,b,c,d满足cd=a2+b2=2,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为 (　　)
A.3-2
7.★★★★(2025届山东德州开学考,8)已知点A为直线3x+4y-7=0上一动点,点B(4,0),且P(x,y)满足x2+y2+x-2=0,则3|AP|+|BP|的最小值为 (　　)
A.
8.★★(2026届四川广安联考,12)过直线x-2y+1=0与3x-y-2=0的交点,且垂直于直线x-y+1=0的直线方程是　　　　　　.
9.★★(2026届河北邢台名校开学联考,12)与圆x2+y2-2y=0关于直线y=x对称的圆的标准方程为　　　　　　　　.
10.★★(2026届上海交大附中月考,9)在直角坐标平面xOy内有一直角△ABC,C=,顶点A的坐标为(2,1),BC所在直线方程为2x+y+1=0,则顶点C的坐标为　　　　.
11.★★★(2026届江苏如皋中学阶段测试,15)已知圆C经过点A(2,-1),与直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上.
(1)求圆C的方程;
(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.
考点2　直线和圆、圆和圆的位置关系
五年高考
1.★★(2023新课标Ⅰ,6,5分)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α= (　　)
A.1　　　B.
2.★★(2021北京,9,4分)已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=4交于点M,N.当k变化时,若|MN|的最小值为2,则m= (　　)
A.±1　　　B.±　　　C.±　　　D.±2
3.★★(2025全国一卷,7,5分)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取值范围是 (　　)
A.(0,1)　　　B.(1,3)　　　C.(3,+∞)　　　D.(0,+∞)
4.★★★(2023全国乙文,11,5分)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是 (　　)
A.1+　　　D.7
5.★★★(2024全国甲理,12,5分)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为 (　　)
A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.2
6.★★★★(2023全国乙理,12,5分)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=,则的最大值为 (　　)
A.
7.★★★(多选)(2021新高考Ⅱ,11,5分)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是 (　　)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
8.★★★(多选)(2021新高考Ⅰ,11,5分)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 (　　)
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
9.★(2022天津,12,5分)若直线x-y+m=0(m>0)被圆(x-1)2+(y-1)2=3截得的弦长等于m,则m 的值为　　　　.
10.★★(2021天津,12,5分)若斜率为的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|=　　　　.
11.★★★(2023新课标Ⅱ,15,5分)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值:　　　　.
12.★★★(2022新高考Ⅰ,14,5分)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程:　　　　　　.
13.★★★(2022新高考Ⅱ,15,5分)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是　　　　.
14.★★★★★(2021全国甲,文21,理20,12分)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且☉M与l相切.
(1)求C,☉M的方程;
(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与☉M相切.判断直线A2A3与☉M的位置关系,并说明理由.
三年模拟
1.★(2026届江苏如皋中学阶段测试,2)已知直线l:ax+2y+a+4=0与圆C:x2+y2+2y-2=0,则直线l与圆C的位置关系是 (　　)
A.相离　　　B.相切　　　C.相交　　　D.不确定
2.★★(2025届江苏南京中华中学开学调研,5)设直线l:x+my-6=0和圆C:x2+y2-4x-4y=0相交于M,N两点,若=0,则m= (　　)
A.　　　D.1
3.★★(2026届河北保定部分高中开学考,6)圆x2+y2=2上的点到直线3x-4y-10=0的距离可能为 (　　)
A.8　　　B.6　　　C.4　　　D.2
4.★★(2026届安徽皖南八校大联考,6)已知过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-2y+1=0相切的两条直线的夹角为α,则tan α= (　　)
A.
5.★★★(2025届山东青岛二中月考,6)过点P(1,-3)的直线l与曲线M:(x-2)2+y2=1(2≤x≤3)有两个交点,则直线l的斜率的取值范围为 (　　)
A.
6.★★★(2025届湖南长沙雅礼中学开学考,5)已知圆C的方程为x2+(y-2)2=a,则“a>2”是“函数y=|x|的图象与圆C有四个公共点”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.★★★(2026届河北冀州中学开学考,6)已知A,B是圆O:x2+y2=1与x轴的两个交点,动点M满足|MA|=|MB|,记点M的轨迹为E,则 (　　)
A.E与圆O相切
B.E是两条平行的直线
C.∠MAB的最大值为
D.E上的点到原点O的距离的最大值为6
8.★★★(2025届广东部分学校第一次月考,6)已知直线l:(m-1)x+2y+3-m=0与圆C:x2+y2-6x+6y=0交于A,B两点,则线段AB的长度的取值范围是 (　　)
A.[,3]　　　B.[2,6]
C.[2,8]　　　D.[,6]
9.★★★(2026届云南昆明期中,7)已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,则3x-4y的取值范围为 (　　)
A.[-4,16]　　　B.[-8,12]
C.[-10,10]　　　D.[-16,4]
10.★★★(2026届湖南长沙雅礼中学月考,8)已知直线l:2xcos α+2ysin α-1=0与圆C:(x-1)2+(y-)2=相切,则满足条件的直线有 (　　)
A.1条　　　B.2条　　　C.3条　　　D.4条
11.★★★★(2026届湖北华中师大附中月考,8)已知直线x+ay-a+2=0与圆O:x2+y2=r2(r>0)交于不同的两点A,B,若∠AOB存在最小值且最小值不大于90°,则r的取值范围为 (　　)
A.(,2]　　　B.(3,2]
C.(3,3]　　　D.(3,6]
12.★★★★(2025届广东部分学校大联考,8)已知圆M:x2+y2-6y=0与圆N:(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=1(0≤θ≤2π)交于A,B两点,则△ABM(M为圆M的圆心)面积的最大值为 (　　)
A.
13.★★★(多选)(2026届湖南长沙长郡中学开学检测,9)过点P(2,2)作圆C:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)的两条切线,切点分别为A,B,下列结论正确的是 (　　)
A.0B.若△PAB为直角三角形,则r=4
C.△PAB外接圆的方程为x2+y2=4
D.直线AB的方程为4x+4y+16-r2=0
14.★★★(多选)(2026届浙江9+1高中联盟期中,10)已知点A为直线l:4x+3y+t=0(t∈R)上的动点,向量=(2,1),过点B向圆C:x2+y2=1作两条切线,切点分别为点D,E,则 (　　)
A.若直线l与圆C相切,则t=±5
B.当t=1时,圆C截直线l所得的弦长为
C.点B到直线l的距离恒为
D.若t<0,则当|BC||DE|取到最小值时,l⊥BC
15.★★(2026届湖北荆州中学月考,13)已知直线l:y=x+a与圆C:x2+(y-1)2=4交于A,B两点,写出满足“∠ACB=120°”的a的一个值:　　　　.
第八章　平面解析几何
8.1　直线和圆
考点1　直线和圆的方程
五年高考
1.★★(2022全国甲文,14,5分)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　　　.
答案　(x-1)2+(y+1)2=5
2.★★★(2022全国乙,文15,理14,5分)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　　　.
答案　(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或+(y-1)2=(写出一个即可)
三年模拟
1.★(2026届湖南长沙长郡中学开学检测,3)已知直线l1:ax+(a+2)y+2=0与l2:x+ay+1=0平行,则实数a的值为 (　　)
A.-1或2　　　B.0或2　　　C.2　　　D.-1
答案　D　
2.★★(2025届重庆部分学校联考,5)已知直线l1:x+y+C=0与直线l2:Ax+By+C=0均过点(1,1),则原点到直线l2距离的最大值为 (　　)
A.
答案　A　
3.★★(2026届浙江杭州一模,7)若圆C经过A(1,1),B(2,-2),圆心在直线x-y+1=0上,则圆C的面积为 (　　)
A.16π　　　B.25π　　　C.36π　　　D.49π
答案　B　
4.★★★(2025届河北衡水中学开学考,6)点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距离最大时,其最大值以及此时的直线方程分别为 (　　)
A.,3x+2y-5=0　　　B.,3x+2y-5=0
C.,2x-3y+1=0　　　D.,2x-3y+1=0
答案　A　
5.★★★(2026届广东八校联盟质检,7)P是圆(x-a)2+(y-a2)2=1上的动点,Q是直线y=x-2上的动点,则|PQ|的最小值为 (　　)
A.
答案　C　
6.★★★★(2026届湖北武汉质检,8)实数a,b,c,d满足cd=a2+b2=2,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为 (　　)
A.3-2
答案　B　
7.★★★★(2025届山东德州开学考,8)已知点A为直线3x+4y-7=0上一动点,点B(4,0),且P(x,y)满足x2+y2+x-2=0,则3|AP|+|BP|的最小值为 (　　)
A.
答案　D　
8.★★(2026届四川广安联考,12)过直线x-2y+1=0与3x-y-2=0的交点,且垂直于直线x-y+1=0的直线方程是　　　　　　.
答案　x+y-2=0
9.★★(2026届河北邢台名校开学联考,12)与圆x2+y2-2y=0关于直线y=x对称的圆的标准方程为　　　　　　　　.
答案　(x-1)2+y2=1
10.★★(2026届上海交大附中月考,9)在直角坐标平面xOy内有一直角△ABC,C=,顶点A的坐标为(2,1),BC所在直线方程为2x+y+1=0,则顶点C的坐标为　　　　.
答案　
11.★★★(2026届江苏如皋中学阶段测试,15)已知圆C经过点A(2,-1),与直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上.
(1)求圆C的方程;
(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.
解析　(1)设圆心为C(a,-2a),
则.
化简,得a2-2a+1=0,解得a1=a2=1.
所以C(1,-2),半径r=.
因此圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足条件.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx,
由题意得=1,解得k=-,
∴直线l的方程为y=-x,即3x+4y=0.综上,直线l的方程为x=0或3x+4y=0.
考点2　直线和圆、圆和圆的位置关系
五年高考
1.★★(2023新课标Ⅰ,6,5分)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α= (　　)
A.1　　　B.
答案　B　
2.★★(2021北京,9,4分)已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=4交于点M,N.当k变化时,若|MN|的最小值为2,则m= (　　)
A.±1　　　B.±　　　C.±　　　D.±2
答案　C　
3.★★(2025全国一卷,7,5分)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取值范围是 (　　)
A.(0,1)　　　B.(1,3)　　　C.(3,+∞)　　　D.(0,+∞)
答案　B　
4.★★★(2023全国乙文,11,5分)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是 (　　)
A.1+　　　D.7
答案　C　
5.★★★(2024全国甲理,12,5分)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为 (　　)
A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.2
答案　C　
6.★★★★(2023全国乙理,12,5分)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=,则的最大值为 (　　)
A.
答案　A　
7.★★★(多选)(2021新高考Ⅱ,11,5分)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是 (　　)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
答案　ABD　
8.★★★(多选)(2021新高考Ⅰ,11,5分)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 (　　)
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
答案　ACD　
9.★(2022天津,12,5分)若直线x-y+m=0(m>0)被圆(x-1)2+(y-1)2=3截得的弦长等于m,则m 的值为　　　　.
答案　2
10.★★(2021天津,12,5分)若斜率为的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|=　　　　.
答案　
11.★★★(2023新课标Ⅱ,15,5分)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值:　　　　.
答案　2或-2或(写出一个即可)
12.★★★(2022新高考Ⅰ,14,5分)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程:　　　　　　.
答案　x=-1(或3x+4y-5=0或7x-24y-25=0)
13.★★★(2022新高考Ⅱ,15,5分)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是　　　　.
答案　
14.★★★★★(2021全国甲,文21,理20,12分)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且☉M与l相切.
(1)求C,☉M的方程;
(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与☉M相切.判断直线A2A3与☉M的位置关系,并说明理由.
解析　(1)由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),则P,Q的坐标为(1,±),
∵OP⊥OQ,
∴=1-2p=0,∴p=,
∴抛物线C的方程为y2=x.
∵☉M的圆心为(2,0),☉M与直线x=1相切,∴☉M的半径为1,
∴☉M的方程为(x-2)2+y2=1.
(2)直线A2A3与☉M相切.理由如下:
设A1(,y0),A2(,y1),A3(,y2),
∵直线A1A2,A1A3均与☉M相切,
∴y0≠±1,y1≠±1,y2≠±1,
由A1,A2的坐标可得直线A1A2的方程为y-y0=·(x-),整理得x-(y0+y1)·y+y0y1=0,由于直线A1A2与☉M相切,∴M到直线A1A2的距离d==1,整理得(-1)=0,①
同理可得,(-1)=0.②
观察①②,得y1,y2是关于y的一元二次方程(-1)·y2+2y0y+3-=0的两根,∴(*)
同理,得直线A2A3的方程为x-(y1+y2)y+y1y2=0,
则点M(2,0)到直线A2A3的距离d'=,把(*)代入,得d'=
==1.
∴直线A2A3与☉M相切.
三年模拟
1.★(2026届江苏如皋中学阶段测试,2)已知直线l:ax+2y+a+4=0与圆C:x2+y2+2y-2=0,则直线l与圆C的位置关系是 (　　)
A.相离　　　B.相切　　　C.相交　　　D.不确定
答案　C　
2.★★(2025届江苏南京中华中学开学调研,5)设直线l:x+my-6=0和圆C:x2+y2-4x-4y=0相交于M,N两点,若=0,则m= (　　)
A.　　　D.1
答案　C　
3.★★(2026届河北保定部分高中开学考,6)圆x2+y2=2上的点到直线3x-4y-10=0的距离可能为 (　　)
A.8　　　B.6　　　C.4　　　D.2
答案　D　
4.★★(2026届安徽皖南八校大联考,6)已知过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-2y+1=0相切的两条直线的夹角为α,则tan α= (　　)
A.
答案　D　
5.★★★(2025届山东青岛二中月考,6)过点P(1,-3)的直线l与曲线M:(x-2)2+y2=1(2≤x≤3)有两个交点,则直线l的斜率的取值范围为 (　　)
A.
答案　B　
6.★★★(2025届湖南长沙雅礼中学开学考,5)已知圆C的方程为x2+(y-2)2=a,则“a>2”是“函数y=|x|的图象与圆C有四个公共点”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B　
7.★★★(2026届河北冀州中学开学考,6)已知A,B是圆O:x2+y2=1与x轴的两个交点,动点M满足|MA|=|MB|,记点M的轨迹为E,则 (　　)
A.E与圆O相切
B.E是两条平行的直线
C.∠MAB的最大值为
D.E上的点到原点O的距离的最大值为6
答案　C　
8.★★★(2025届广东部分学校第一次月考,6)已知直线l:(m-1)x+2y+3-m=0与圆C:x2+y2-6x+6y=0交于A,B两点,则线段AB的长度的取值范围是 (　　)
A.[,3]　　　B.[2,6]
C.[2,8]　　　D.[,6]
答案　B　
9.★★★(2026届云南昆明期中,7)已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,则3x-4y的取值范围为 (　　)
A.[-4,16]　　　B.[-8,12]
C.[-10,10]　　　D.[-16,4]
答案　A　
10.★★★(2026届湖南长沙雅礼中学月考,8)已知直线l:2xcos α+2ysin α-1=0与圆C:(x-1)2+(y-)2=相切,则满足条件的直线有 (　　)
A.1条　　　B.2条　　　C.3条　　　D.4条
答案　C　
11.★★★★(2026届湖北华中师大附中月考,8)已知直线x+ay-a+2=0与圆O:x2+y2=r2(r>0)交于不同的两点A,B,若∠AOB存在最小值且最小值不大于90°,则r的取值范围为 (　　)
A.(,2]　　　B.(3,2]
C.(3,3]　　　D.(3,6]
答案　C　
12.★★★★(2025届广东部分学校大联考,8)已知圆M:x2+y2-6y=0与圆N:(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=1(0≤θ≤2π)交于A,B两点,则△ABM(M为圆M的圆心)面积的最大值为 (　　)
A.
答案　C　
13.★★★(多选)(2026届湖南长沙长郡中学开学检测,9)过点P(2,2)作圆C:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)的两条切线,切点分别为A,B,下列结论正确的是 (　　)
A.0B.若△PAB为直角三角形,则r=4
C.△PAB外接圆的方程为x2+y2=4
D.直线AB的方程为4x+4y+16-r2=0
答案　BD　
14.★★★(多选)(2026届浙江9+1高中联盟期中,10)已知点A为直线l:4x+3y+t=0(t∈R)上的动点,向量=(2,1),过点B向圆C:x2+y2=1作两条切线,切点分别为点D,E,则 (　　)
A.若直线l与圆C相切,则t=±5
B.当t=1时,圆C截直线l所得的弦长为
C.点B到直线l的距离恒为
D.若t<0,则当|BC||DE|取到最小值时,l⊥BC
答案　ABD　
15.★★(2026届湖北荆州中学月考,13)已知直线l:y=x+a与圆C:x2+(y-1)2=4交于A,B两点,写出满足“∠ACB=120°”的a的一个值:　　　　.
答案　-1或3(写出一个即可)
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