8.2　椭圆--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）

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2027通用版高考数学第一轮
8.2　椭圆
考点1　椭圆的定义和标准方程
五年高考
1.★★(2024新课标Ⅱ,5,5分)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 (　　)
A.=1(y>0)　　　B.=1(y>0)
C.=1(y>0)　　　D.=1(y>0)
2.★★(2021新高考Ⅰ,5,5分)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 (　　)
A.13　　　B.12　　　
C.9　　　D.6
3.★★★(2022全国甲文,11,5分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为 (　　)
A.=1　　　
C.+y2=1
4.★★★(2023全国甲文,7,5分)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若=0,则|PF1|·|PF2|= (　　)
A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.5
5.★★★★(2023全国甲理,12,5分)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|= (　　)
A.　　　 C.
三年模拟
1.★★(2025届湖南常德开学考,2)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为 (　　)
A.=1
C.=1
2.★★★(2026届重庆部分校月考,7)已知P为椭圆M:=1上一点,椭圆N:+y2=1的四个顶点为A,B,C,D,且|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=12,则 (　　)
A.点P必在椭圆=1上
B.点P必在椭圆=1上
C.点P必在椭圆x2+=1上
D.点P必在椭圆=1上
3.★★★(2026届重庆育才中学校质量监测,8)已知椭圆=1的左、右焦点分别为F和F',点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点Q在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则△PFF'的面积为 (　　)
A.
4.★★★(2026届山东青岛五十八中调研,7)如图,椭圆Γ:=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1,F2分别作弦AB,CD.若AB∥CD,则|AF1|+|CF2|的取值范围为 (　　)
A.
C.
5.★★★(2026届黑龙江开学联考,8)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为M,N,过F2的直线l交C于A,B两点(异于点M,N),△AF1B的周长为4,且直线AM与AN的斜率之积为-,则椭圆C的标准方程为 (　　)
A.=1
C.=1
6.★★★★(2025届河北武邑中学期末,8)已知O为坐标原点,椭圆E:=1(a>b>0),平行四边形OACB的三个顶点A,B,C在椭圆E上,若直线AB和OC的斜率乘积为-,四边形OACB的面积为,则椭圆E的方程为 (　　)
A.=1
C.+y2=1
7.★★★(多选)(2026届浙江宁波六校联盟期中联考,10)已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为6,F,F'分别是椭圆的左、右焦点,A(1,1)是一个定点,P是椭圆E上的动点,则下列说法正确的是 (　　)
A.焦距为4
B.椭圆E的标准方程为=1
C.|AF'|=
D.|PA|+|PF|的最大值为6+
8.★★★(多选)(2026届河南顶级名校联盟诊断测试,10)已知椭圆C:=1的左、右焦点为F1,F2,上顶点为M,直线l经过左焦点F1与C交于A,B两点,与y轴交于点N.则下列判断正确的是 (　　)
A.△ABF2的周长为4
B.△MF1F2为等边三角形
C.|AF1|的最小值为1
D.存在点N,使得
9.★★★(2025届河北邯郸第一次调研,17)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,两曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P的直线l交椭圆C于另一点A,若,求l的方程.
考点2　椭圆的几何性质
五年高考
1.★(2023新课标Ⅰ,5,5分)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a= (　　)
A.
2.★★★(2023新课标Ⅱ,5,5分)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m= (　　)
A.
3.★★★(2022全国甲理,10,5分)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为 (　　)
A.
4.★★★(2021全国乙理,11,5分)设B是椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是 (　　)
A.
5.★★★(2021浙江,16,6分)已知椭圆=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若过F1的直线和圆+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是　　　,椭圆的离心率是　　　.
6.★★★(2021全国甲,文16,理15,5分)已知F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为　　　　.
7.★★★★(2022新高考Ⅰ,16,5分)已知椭圆C:=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是　　　　.
8.★★★(2022天津,19,15分)已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,且满足.
(1)求椭圆的离心率e;
(2)已知直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴交于点N(N异于M),记点O为坐标原点,若|OM|=|ON|,且△OMN的面积为,求椭圆的标准方程.
三年模拟
1.★★(2026届江西赣抚吉十二校联考,5)已知椭圆的方程为=1(m>n>0),且离心率与双曲线=1的离心率互为倒数,则下列椭圆方程不满足上述条件的为 (　　)
A.=1
C.y2=1　　　D.3x2+4y2=1
2.★★(2025届安徽省重点高中联盟联考,4)已知椭圆C:=1(λ>0且λ≠4),则“C的离心率e=”是“λ=8”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.★★★(2025届江苏南京中华中学开学考,7)已知P是椭圆C:=1(a>b>0)上一点,F1,F2是C的两个焦点,=0,点Q在∠F1PF2的平分线上,O为原点,OQ∥PF1,且|OQ|=2b.则C的离心率为 (　　)
A.
4.★★★(2026届河南新乡开学考,8)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为C上一点,设△PF1F2的内切圆为☉B,连接PB并延长交x轴于点A,若,则C的离心率为 (　　)
A.
5.★★★(教材溯源·人教A版选择性必修第一册P140)(2026届贵州贵阳质量监测,6)已知椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线,经椭圆反射后,其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,从F2发出的光线,经C上的点A反射后,反射光线再经C上的点B反射.若经过这两次反射后,AF2⊥BF2,且cos∠ABF2=,则C的离心率为 (　　)
A.
6.★★★(2026届河北邢台七校期中,7)已知F1,F2分别为椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,在椭圆C上存在点P,满足|PF1|=|F1F2|,且点F1到直线PF2的距离为b,则该椭圆的离心率为 (　　)
A.　　　
C.
7.★★(多选)(2026届浙江台州十校联盟期中联考,9)已知椭圆C:=1,则 (　　)
A.椭圆C的长轴长为10
B.椭圆C的一个顶点为(0,5)
C.椭圆C的焦距为8
D.椭圆C的离心率为
8.★★(2026届河北冀州中学开学考,12)已知椭圆x2+my2=1(m>1)的离心率为,则m=　　　　.
9.★★★(2025届江苏镇江丹阳一模,14)已知椭圆=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为.若A,B分别是椭圆的上、下顶点,F1,F2分别为椭圆的上、下焦点,P为椭圆上任意一点,且,则△PF1F2的面积为　　　　.
10.★★★(2026届四川德阳质监,13)若椭圆C:=1(a>b>0)上存在一点P到其左、右焦点的距离之比为3∶1,则椭圆C的离心率的取值范围为　　　　.
8.2　椭圆
考点1　椭圆的定义和标准方程
五年高考
1.★★(2024新课标Ⅱ,5,5分)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 (　　)
A.=1(y>0)　　　B.=1(y>0)
C.=1(y>0)　　　D.=1(y>0)
答案　A　
2.★★(2021新高考Ⅰ,5,5分)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 (　　)
A.13　　　B.12　　　
C.9　　　D.6
答案　C　
3.★★★(2022全国甲文,11,5分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为 (　　)
A.=1　　　
C.+y2=1
答案　B　
4.★★★(2023全国甲文,7,5分)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若=0,则|PF1|·|PF2|= (　　)
A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.5
答案　B　
5.★★★★(2023全国甲理,12,5分)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|= (　　)
A.　　　 C.
答案　B　
三年模拟
1.★★(2025届湖南常德开学考,2)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为 (　　)
A.=1
C.=1
答案　C　
2.★★★(2026届重庆部分校月考,7)已知P为椭圆M:=1上一点,椭圆N:+y2=1的四个顶点为A,B,C,D,且|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=12,则 (　　)
A.点P必在椭圆=1上
B.点P必在椭圆=1上
C.点P必在椭圆x2+=1上
D.点P必在椭圆=1上
答案　A　
3.★★★(2026届重庆育才中学校质量监测,8)已知椭圆=1的左、右焦点分别为F和F',点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点Q在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则△PFF'的面积为 (　　)
A.
答案　C　
4.★★★(2026届山东青岛五十八中调研,7)如图,椭圆Γ:=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1,F2分别作弦AB,CD.若AB∥CD,则|AF1|+|CF2|的取值范围为 (　　)
A.
C.
答案　C　
5.★★★(2026届黑龙江开学联考,8)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为M,N,过F2的直线l交C于A,B两点(异于点M,N),△AF1B的周长为4,且直线AM与AN的斜率之积为-,则椭圆C的标准方程为 (　　)
A.=1
C.=1
答案　A　
6.★★★★(2025届河北武邑中学期末,8)已知O为坐标原点,椭圆E:=1(a>b>0),平行四边形OACB的三个顶点A,B,C在椭圆E上,若直线AB和OC的斜率乘积为-,四边形OACB的面积为,则椭圆E的方程为 (　　)
A.=1
C.+y2=1
答案　B　
7.★★★(多选)(2026届浙江宁波六校联盟期中联考,10)已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为6,F,F'分别是椭圆的左、右焦点,A(1,1)是一个定点,P是椭圆E上的动点,则下列说法正确的是 (　　)
A.焦距为4
B.椭圆E的标准方程为=1
C.|AF'|=
D.|PA|+|PF|的最大值为6+
答案　ACD　
8.★★★(多选)(2026届河南顶级名校联盟诊断测试,10)已知椭圆C:=1的左、右焦点为F1,F2,上顶点为M,直线l经过左焦点F1与C交于A,B两点,与y轴交于点N.则下列判断正确的是 (　　)
A.△ABF2的周长为4
B.△MF1F2为等边三角形
C.|AF1|的最小值为1
D.存在点N,使得
答案　BC　
9.★★★(2025届河北邯郸第一次调研,17)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,两曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P的直线l交椭圆C于另一点A,若,求l的方程.
解析　(1)由抛物线方程y2=4x知F2(1,0),所以F1(-1,0).
设P(x0,y0),x0>0,y0>0,
则×|F1F2|×y0=y0=,
又点P(x0,y0)在抛物线y2=4x上,所以=4x0.
解得x0=,即P,
根据椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|==4,解得a=2,所以b=,
所以椭圆C的方程为=1.
(2)因为,所以AF1∥PF2,又,
所以直线AF1:y=-2(x+1),
联立
消去y得,33x2+64x+28=0,解得x=-,
所以A.
可求得直线l的方程为=0.
考点2　椭圆的几何性质
五年高考
1.★(2023新课标Ⅰ,5,5分)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a= (　　)
A.
答案　A　
2.★★★(2023新课标Ⅱ,5,5分)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m= (　　)
A.
答案　C　
3.★★★(2022全国甲理,10,5分)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为 (　　)
A.
答案　A　
4.★★★(2021全国乙理,11,5分)设B是椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是 (　　)
A.
答案　C　
5.★★★(2021浙江,16,6分)已知椭圆=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若过F1的直线和圆+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是　　　,椭圆的离心率是　　　.
答案　;
6.★★★(2021全国甲,文16,理15,5分)已知F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为　　　　.
答案　8
7.★★★★(2022新高考Ⅰ,16,5分)已知椭圆C:=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是　　　　.
答案　13
8.★★★(2022天津,19,15分)已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,且满足.
(1)求椭圆的离心率e;
(2)已知直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴交于点N(N异于M),记点O为坐标原点,若|OM|=|ON|,且△OMN的面积为,求椭圆的标准方程.
解析　(1)∵|BF|==a,|AB|=,
∴,解得a=b,
∴c=b,∴离心率e=.
(2)由(1)知椭圆方程为=1.
由题可知直线l的斜率存在且不为0,设l:y=kx+m(k≠0),由椭圆的对称性,不妨设k<0,m>0,如图.则有|OM|=|ON|=m.
联立得
则有(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3b2=0,
Δ=0 3b2k2+b2-m2=0,
由根与系数的关系得xM=-,代入直线l的方程,有yM=.∴|OM|==m,解得k=-,
设直线OM的倾斜角为θ,
∴kOM=tan θ=,∴θ=30°,故∠NOM=60°,
∴S△OMN=m2sin∠NOM=,解得m=2,∴3b2×+b2-4=0,可得b2=2,
∴椭圆的标准方程为=1.
三年模拟
1.★★(2026届江西赣抚吉十二校联考,5)已知椭圆的方程为=1(m>n>0),且离心率与双曲线=1的离心率互为倒数,则下列椭圆方程不满足上述条件的为 (　　)
A.=1
C.y2=1　　　D.3x2+4y2=1
答案　B　
2.★★(2025届安徽省重点高中联盟联考,4)已知椭圆C:=1(λ>0且λ≠4),则“C的离心率e=”是“λ=8”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B　
3.★★★(2025届江苏南京中华中学开学考,7)已知P是椭圆C:=1(a>b>0)上一点,F1,F2是C的两个焦点,=0,点Q在∠F1PF2的平分线上,O为原点,OQ∥PF1,且|OQ|=2b.则C的离心率为 (　　)
A.
答案　A　
4.★★★(2026届河南新乡开学考,8)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为C上一点,设△PF1F2的内切圆为☉B,连接PB并延长交x轴于点A,若,则C的离心率为 (　　)
A.
答案　A　
5.★★★(教材溯源·人教A版选择性必修第一册P140)(2026届贵州贵阳质量监测,6)已知椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线,经椭圆反射后,其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,从F2发出的光线,经C上的点A反射后,反射光线再经C上的点B反射.若经过这两次反射后,AF2⊥BF2,且cos∠ABF2=,则C的离心率为 (　　)
A.
答案　D　
6.★★★(2026届河北邢台七校期中,7)已知F1,F2分别为椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,在椭圆C上存在点P,满足|PF1|=|F1F2|,且点F1到直线PF2的距离为b,则该椭圆的离心率为 (　　)
A.　　　
C.
答案　A　
7.★★(多选)(2026届浙江台州十校联盟期中联考,9)已知椭圆C:=1,则 (　　)
A.椭圆C的长轴长为10
B.椭圆C的一个顶点为(0,5)
C.椭圆C的焦距为8
D.椭圆C的离心率为
答案　ACD　
8.★★(2026届河北冀州中学开学考,12)已知椭圆x2+my2=1(m>1)的离心率为,则m=　　　　.
答案　4
9.★★★(2025届江苏镇江丹阳一模,14)已知椭圆=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为.若A,B分别是椭圆的上、下顶点,F1,F2分别为椭圆的上、下焦点,P为椭圆上任意一点,且,则△PF1F2的面积为　　　　.
答案　
10.★★★(2026届四川德阳质监,13)若椭圆C:=1(a>b>0)上存在一点P到其左、右焦点的距离之比为3∶1,则椭圆C的离心率的取值范围为　　　　.
答案　
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