8.4　抛物线--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）

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2027通用版高考数学第一轮
8.4　抛物线
考点1　抛物线的定义和标准方程
五年高考
1.★(2023北京,6,4分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|= (　　)
A.7　　　B.6　　　
C.5　　　D.4
2.★★(2021新高考Ⅱ,3,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p= (　　)
A.1　　　B.2　　　
C.2　　　D.4
3.★★(2022全国乙理,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|= (　　)
A.2　　　B.2　　　
C.3　　　D.3
4.★★★(2025全国二卷,6,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|=　 (　　)
A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6
5.★(2025北京,11,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3,则p=　　　　.
三年模拟
1.★(2026届福建百校联考,5)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,点M在C上,且|MF|=4,则点M到y轴的距离为 (　　)
A.3　　　B.3　　　C.4　　　D.5
2.★(2026届江苏如皋中学阶段测试,4)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为O,经过点A(x0,2),且F为抛物线C的焦点,若|AF|=3|OF|,则p= (　　)
A.　　　D.2
3.★(2026届河北保定部分高中开学考,4)已知A(m,2),B(m+3,4)是抛物线y2=2px(p>0)上两点,则p= (　　)
A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.8
4.★(2025届江苏南通名校联盟模拟,2)已知点P在抛物线x2=-5y上,且A(0,-3),则|PA|的最小值为 (　　)
A.　　　
C.
5.★★(2026届广西新高考适应性测试,6)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B,若直线BF的方程为y=x+1,则|AF|= (　　)
A.1　　　B.2　　　
C.3　　　D.4
6.★★(2025届河北定州中学开学考,6)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点B(3,0),C上一点A到l的距离等于|AB|,则△AFB的面积为 (　　)
A.2　　　B.2　　　
C.3　　　D.3
7.★★★(2026届福建开学联考,8)设抛物线C:x2=8y的焦点为F,A(4,5),点B在C上,则△FAB的周长的最小值为 (　　)
A.8　　　B.10　　　C.12　　　D.16
★★★★(多选)(2026届福建泉州质量监测,10)在平面直角坐标系xOy中,设F为抛物线C:y2=4x的焦点,M是C上一点,点N(-1,0),若NM的延长线与C交于点A.记∠ANF=α,
∠AFN=β,∠MFN=γ,则 (　　)
A.tan α=sin β　　　B.tan α=cos β
C.tan α=sin γ　　　D.tan α=cos γ
9.★★★(2026届重庆巴蜀中学月考,14)已知抛物线E:y2=4x,过点F(1,0)的直线l与抛物线E交于A,B两点,且,则直线l的斜率为　　　　.
10.★★★(2026届江苏南京一中月考,13)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点Р是其准线上一点,过点P作PF的垂线,交y轴于点A,线段AF交抛物线于点B.若PB平行于x轴,则AF的长度为　　　　.
考点2　抛物线的几何性质
五年高考
1.★★★(多选)(2024新课标Ⅱ,10,6分)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则 (　　)
A.l与☉A相切
B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=
C.当|PB|=2时,PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
2.★★★(多选)(2023新课标Ⅱ,10,5分)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 (　　)
A.p=2
B.|MN|=
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
3.★★★(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则　 (　　)
A.直线AB的斜率为2
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
4.★★★★(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 (　　)
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
5.★★★★(多选)(2025全国一卷,10,6分)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过A作直线l:x=-的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,则 (　　)
A.|AD|=|AF|　　　B.|AE|=|AB|
C.|AB|≥6　　　D.|AE|·|BE|≥18
6.★(2023全国乙理,13,5分)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为　　　　.
7.★★(2021北京,12,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为　　　　;△MNF的面积为　　　　.
8.★★★(2023天津,12,5分)已知过原点O的直线l与圆(x+2)2+y2=3相切,且l与抛物线y2=2px(p>0)交于O,A两点.若|OA|=8,则p=　　　　.
9.★★★(2021新高考Ⅰ,14,5分)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为　　　　.
三年模拟
1.★★(2026届广东入学联考,7)已知抛物线C:y2=8x,O为坐标原点,F为C的焦点,直线4x-3y-8=0与C交于M(x1,y1),N(x2,y2)(y1>y2)两点,记△OMF和△ONF的面积分别为S△OMF,S△ONF,则= (　　)
A.　　　C.2　　　D.4
2.★★★(2025届湖南长沙明德中学月考,8)过抛物线y2=2x上一动点P作圆C:(x-4)2+y2=r2(r为常数且r∈N*)的两条切线,切点分别为A,B,若|AB|·|PC|的最小值是4,则r= (　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
3.★★★(2025届浙江金华一中月考,5)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与C交于A,B两点,FA⊥FB,|FA|=2|FB|,则l的斜率是 (　　)
A.±1　　　B.±　　　
C.±　　　D.±2
4.★★★(多选)(2026届广东阳江月考,9)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,O为坐标原点,点M(x0,y0)在抛物线C上,若|MF|=5,则 (　　)
A.F的坐标为(1,0)
B.y0=4
C.|OM|=4
D.以MF为直径的圆与x轴相切
5.★★★(多选)(2026届湖北襄阳四中综合测试,10)已知抛物线C:y2=2px(p>0),准线为l,过焦点F的直线交抛物线C于A,B两点,过A,B分别作l的垂线,垂足分别为A',B',则 (　　)
A.FA'⊥FB'
B.若|AF|=3|BF|,则直线AB的斜率为
C.A,O,B'三点共线(其中O为坐标原点)
D.|A'B'|2=4|AF||BF|
6.★★★(多选)(2026届湖南长沙一中月考,10)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 (　　)
A.抛物线C的准线方程为x=-4
B.若|AF|=8,则x1=6
C.|AF||BF|的最大值为16
D.∠AOB为钝角
7.★★★★(多选)(2026届山东泰安开学考,10)斜率为k的直线与抛物线y2=4x相交于A,B两点,O为坐标原点,OA⊥OB,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,设直线AB与x轴交于点D,过D作OB的平行线交OA于点H,则 (　　)
A.|OD|=4
B.(k1+k2)·k=-1
C.O,B,D,H四点共圆
D.△ODH面积的最大值为4
8.★★★★(多选)(2025届河北保定部分地区模拟,10)抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,P为C上的动点,过P作圆M:(x-a)2+(y-2)2=4的两条切线,A,B为切点,过P作l的垂线,垂足为Q,则 (　　)
A.当a=1时,l与圆M相切
B.当=a时,|PA|+|PQ|的最小值为2
C.当|AB|=2时,为定值
D.存在点P,使得△PAB为等边三角形
9.★★(2025届湖南名校联合体联考,13)设抛物线y2=12x的焦点为F,经过点P(4,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=　　　　.
10.★★(2026届广东深圳多校开学联考,13)已知抛物线Γ:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线l与Γ交于P,Q两点,其中Q在第一象限,若2,则直线l的斜率为　　　　.
11.★★(2025届河北“五个一”名校联盟联考,13)抛物线C:y2=4x上的动点P到直线y=x+3的距离最短时,P到C的焦点的距离为　　　　.
12.★★★(2026届河南安阳调研,13)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,C的准线与x轴交于点E,若A为C上一点,∠AFE为钝角,且,则|AF|=　　　　.
13.★★★★(2026届广东八校联盟质检,14)已知A,B为抛物线y2=4x上两点,∠AOB=,F为焦点,O为坐标原点,A在第一象限,且点A的纵坐标大于点B的纵坐标,若,则点A的坐标为　　　　.
14.★★★(2026届河南信阳联考,16)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到直线y=x的距离为.
(1)求C的准线方程;
(2)若直线l经过点M(8,0),直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点,证明:OA⊥OB.
8.4　抛物线
考点1　抛物线的定义和标准方程
五年高考
1.★(2023北京,6,4分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|= (　　)
A.7　　　B.6　　　
C.5　　　D.4
答案　D　
2.★★(2021新高考Ⅱ,3,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p= (　　)
A.1　　　B.2　　　
C.2　　　D.4
答案　B　
3.★★(2022全国乙理,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|= (　　)
A.2　　　B.2　　　
C.3　　　D.3
答案　B　
4.★★★(2025全国二卷,6,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|=　 (　　)
A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6
答案　C　
5.★(2025北京,11,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3,则p=　　　　.
答案　6
三年模拟
1.★(2026届福建百校联考,5)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,点M在C上,且|MF|=4,则点M到y轴的距离为 (　　)
A.3　　　B.3　　　C.4　　　D.5
答案　A　
2.★(2026届江苏如皋中学阶段测试,4)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为O,经过点A(x0,2),且F为抛物线C的焦点,若|AF|=3|OF|,则p= (　　)
A.　　　D.2
答案　C　
3.★(2026届河北保定部分高中开学考,4)已知A(m,2),B(m+3,4)是抛物线y2=2px(p>0)上两点,则p= (　　)
A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.8
答案　B　
4.★(2025届江苏南通名校联盟模拟,2)已知点P在抛物线x2=-5y上,且A(0,-3),则|PA|的最小值为 (　　)
A.　　　
C.
答案　D　
5.★★(2026届广西新高考适应性测试,6)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B,若直线BF的方程为y=x+1,则|AF|= (　　)
A.1　　　B.2　　　
C.3　　　D.4
答案　B　
6.★★(2025届河北定州中学开学考,6)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点B(3,0),C上一点A到l的距离等于|AB|,则△AFB的面积为 (　　)
A.2　　　B.2　　　
C.3　　　D.3
答案　B　
7.★★★(2026届福建开学联考,8)设抛物线C:x2=8y的焦点为F,A(4,5),点B在C上,则△FAB的周长的最小值为 (　　)
A.8　　　B.10　　　C.12　　　D.16
答案　C　
★★★★(多选)(2026届福建泉州质量监测,10)在平面直角坐标系xOy中,设F为抛物线C:y2=4x的焦点,M是C上一点,点N(-1,0),若NM的延长线与C交于点A.记∠ANF=α,
∠AFN=β,∠MFN=γ,则 (　　)
A.tan α=sin β　　　B.tan α=cos β
C.tan α=sin γ　　　D.tan α=cos γ
答案　AC　
9.★★★(2026届重庆巴蜀中学月考,14)已知抛物线E:y2=4x,过点F(1,0)的直线l与抛物线E交于A,B两点,且,则直线l的斜率为　　　　.
答案　±
10.★★★(2026届江苏南京一中月考,13)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点Р是其准线上一点,过点P作PF的垂线,交y轴于点A,线段AF交抛物线于点B.若PB平行于x轴,则AF的长度为　　　　.
答案　3
考点2　抛物线的几何性质
五年高考
1.★★★(多选)(2024新课标Ⅱ,10,6分)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则 (　　)
A.l与☉A相切
B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=
C.当|PB|=2时,PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
答案　ABD　
2.★★★(多选)(2023新课标Ⅱ,10,5分)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 (　　)
A.p=2
B.|MN|=
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
答案　AC　
3.★★★(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则　 (　　)
A.直线AB的斜率为2
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
答案　ACD　
4.★★★★(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 (　　)
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
答案　BCD　
5.★★★★(多选)(2025全国一卷,10,6分)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过A作直线l:x=-的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,则 (　　)
A.|AD|=|AF|　　　B.|AE|=|AB|
C.|AB|≥6　　　D.|AE|·|BE|≥18
答案　ACD　
6.★(2023全国乙理,13,5分)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为　　　　.
答案　
7.★★(2021北京,12,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为　　　　;△MNF的面积为　　　　.
答案　5;4
8.★★★(2023天津,12,5分)已知过原点O的直线l与圆(x+2)2+y2=3相切,且l与抛物线y2=2px(p>0)交于O,A两点.若|OA|=8,则p=　　　　.
答案　6
9.★★★(2021新高考Ⅰ,14,5分)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为　　　　.
答案　x=-
三年模拟
1.★★(2026届广东入学联考,7)已知抛物线C:y2=8x,O为坐标原点,F为C的焦点,直线4x-3y-8=0与C交于M(x1,y1),N(x2,y2)(y1>y2)两点,记△OMF和△ONF的面积分别为S△OMF,S△ONF,则= (　　)
A.　　　C.2　　　D.4
答案　D　
2.★★★(2025届湖南长沙明德中学月考,8)过抛物线y2=2x上一动点P作圆C:(x-4)2+y2=r2(r为常数且r∈N*)的两条切线,切点分别为A,B,若|AB|·|PC|的最小值是4,则r= (　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
答案　B　
3.★★★(2025届浙江金华一中月考,5)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与C交于A,B两点,FA⊥FB,|FA|=2|FB|,则l的斜率是 (　　)
A.±1　　　B.±　　　
C.±　　　D.±2
答案　D　
4.★★★(多选)(2026届广东阳江月考,9)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,O为坐标原点,点M(x0,y0)在抛物线C上,若|MF|=5,则 (　　)
A.F的坐标为(1,0)
B.y0=4
C.|OM|=4
D.以MF为直径的圆与x轴相切
答案　BCD　
5.★★★(多选)(2026届湖北襄阳四中综合测试,10)已知抛物线C:y2=2px(p>0),准线为l,过焦点F的直线交抛物线C于A,B两点,过A,B分别作l的垂线,垂足分别为A',B',则 (　　)
A.FA'⊥FB'
B.若|AF|=3|BF|,则直线AB的斜率为
C.A,O,B'三点共线(其中O为坐标原点)
D.|A'B'|2=4|AF||BF|
答案　ACD　
6.★★★(多选)(2026届湖南长沙一中月考,10)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 (　　)
A.抛物线C的准线方程为x=-4
B.若|AF|=8,则x1=6
C.|AF||BF|的最大值为16
D.∠AOB为钝角
答案　BD　
7.★★★★(多选)(2026届山东泰安开学考,10)斜率为k的直线与抛物线y2=4x相交于A,B两点,O为坐标原点,OA⊥OB,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,设直线AB与x轴交于点D,过D作OB的平行线交OA于点H,则 (　　)
A.|OD|=4
B.(k1+k2)·k=-1
C.O,B,D,H四点共圆
D.△ODH面积的最大值为4
答案　ABD　
8.★★★★(多选)(2025届河北保定部分地区模拟,10)抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,P为C上的动点,过P作圆M:(x-a)2+(y-2)2=4的两条切线,A,B为切点,过P作l的垂线,垂足为Q,则 (　　)
A.当a=1时,l与圆M相切
B.当=a时,|PA|+|PQ|的最小值为2
C.当|AB|=2时,为定值
D.存在点P,使得△PAB为等边三角形
答案　CD　
9.★★(2025届湖南名校联合体联考,13)设抛物线y2=12x的焦点为F,经过点P(4,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=　　　　.
答案　14
10.★★(2026届广东深圳多校开学联考,13)已知抛物线Γ:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线l与Γ交于P,Q两点,其中Q在第一象限,若2,则直线l的斜率为　　　　.
答案　
11.★★(2025届河北“五个一”名校联盟联考,13)抛物线C:y2=4x上的动点P到直线y=x+3的距离最短时,P到C的焦点的距离为　　　　.
答案　2
12.★★★(2026届河南安阳调研,13)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,C的准线与x轴交于点E,若A为C上一点,∠AFE为钝角,且,则|AF|=　　　　.
答案　6+2
13.★★★★(2026届广东八校联盟质检,14)已知A,B为抛物线y2=4x上两点,∠AOB=,F为焦点,O为坐标原点,A在第一象限,且点A的纵坐标大于点B的纵坐标,若,则点A的坐标为　　　　.
答案　(36,12)
14.★★★(2026届河南信阳联考,16)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到直线y=x的距离为.
(1)求C的准线方程;
(2)若直线l经过点M(8,0),直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点,证明:OA⊥OB.
解析　(1)依题意可得F.
因为焦点F到直线y=x的距离d=,所以p=±4.
又p>0,所以p=4,
则C的准线方程为x=-2.
(2)证明:由(1)得C的方程为y2=8x.依题意得直线l的斜率不可能为0,则可设直线l的方程为x=my+8.
设A(x1,y1),B(x2,y2),将x=my+8代入y2=8x,得y2-8my-64=0,
则Δ=64m2+64×4>0恒成立,y1y2=-64.
因为=8x1·8x2,
所以x1x2==64,
所以=x1x2+y1y2=0,
所以OA⊥OB.
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