9.1　计数原理、排列与组合--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）

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2027通用版高考数学第一轮
第九章　计数原理
9.1　计数原理、排列与组合
考点1　两个计数原理的应用
五年高考
1.★★(2023新课标Ⅱ,3,5分)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有　 (　　)
A.种
C.种
2.★★★(2023全国乙理,7,5分)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 (　　)
A.30种　　　B.60种　　　
C.120种　　　D.240种
3.★★(2023新课标Ⅰ,13,5分)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有　　　　种(用数字作答).
4.★★★★(创新解法)(2024新课标Ⅱ,14,5分)在下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有　　　　种选法.在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是　　　　.
三年模拟
1.★(2025届湖北随州部分高中联考,8)每天从甲地到乙地的飞机有5班,高铁有10趟,动车有6趟,公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地,则其出行方案共有 (　　)
A.22种　　　B.33种　　　
C.300种　　　D.3 600种
2.★★(2026届江浙皖高中(县中)发展共同体联考,3)某学校为了解学生的视力情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从高一、高二、高三三个年级共抽100名学生,已知该校高一、高二、高三各年级分别有400名、300名、300名学生,则不同的抽样结果种数为 (　　)
A.
C.
3.★★(2026届重庆巴蜀中学月考,5)某班上5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作,每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作,每个地段至少有1名学生的分配方案共有 (　　)
A.300种　　　B.90种　　　C.240种　　　D.150种
4.★★(2025届山东临沂第二中学适应性考试,5)某班一天上午有4节课,下午有2节课,现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通用技术各一节课的课表,要求数学课排在上午,体育课排在下午,则不同的排法种数是 (　　)
A.96　　　B.192　　　C.384　　　D.768
5.★★★(2026届江苏南京外国语学校学情调研,8)如图,某社区为墙面A,B,C,D四个区域进行涂色装饰,每个区域涂一种颜色,相邻区域(有公共边)不能用同一种颜色,若只有四种颜色可供使用,则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有 (　　)
A.12种　　　B.24种　　　C.48种　　　D.84种
6.★★(2025届河北秦皇岛三模,12)安排4位顾客去A,B,C三家餐馆就餐,其中一位顾客由于饮食特殊性,只能安排在A餐馆,则不同的安排方案共有　　　　种.
7.★★★(2025届浙江嘉兴桐乡二模,13)将6个相同的球放入编号为1,2,3的3个盒子中,要求每个盒子至少放1个球,且编号为1的盒子中球数不超过2个,则不同的放法种数为　　　　.(用数字作答)
考点2　排列组合问题
五年高考
1.★★(2022新高考Ⅱ,5,5分)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有 (　　)
A.12种　　　B.24种　　　C.36种　　　D.48种
2.★★★(2023全国甲理,9,5分)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 (　　)
A.120种　　　B.60种　　　C.30种　　　D.20种
3.★★★(2021全国乙理,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有 (　　)
A.60种　　　B.120种　　　C.240种　　　D.480种
4.★★(2020课标Ⅱ理,14,5分)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有　　　　种.
5.★★★(2025上海,9,5分)4个家长和2个儿童去爬山.6个人需要排成一条队列,要求队列的头和尾均是家长,则不同的排列个数有　　　　种.
6.★★★★(2024上海,10,5分)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值为　　　　.
三年模拟
1.★(2025届山东菏泽二模,3)某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言,要求甲、乙两名学生至少有一人参加,那么不同的选法为 (　　)
A.32　　　B.20　　　C.16　　　D.10
2.★★(2026届福建三明一中月考,6)甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游,他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个,若甲不去重庆动物园,且甲、乙、丙三人去的景区互不相同,则这三人的不同选择方法共有 (　　)
A.24种　　　B.18种　　　C.12种　　　D.6种
3.★★(2026届江苏泰州中学月考,5)将4本不同的书分给3名学生,每人至少一本,则不同的分配方法数为 (　　)
A.24　　　B.36　　　C.64　　　D.72
4.★★★(2026届浙江学军中学练习,6)公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是3.141 592 6<π<3.141 592 7,为纪念祖冲之在圆周率上的成就,把3.141 592 6称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列,整数部分3不变,那么可以得到大于3.14的不同数字有 (　　)
A.2 280个　　　B.2 120个　　　
C.1 440个　　　D.7 206个
5.★★★(2025届安徽六安一中三模,6)六安市旅游资源非常丰富,夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人,包括4个大人,2个小孩,计划去霍山漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用,每船最多可乘3人,为了安全起见,小孩必须要大人陪同,则不同的乘船方式共有 (　　)
A.348种　　　B.288种　　　
C.360种　　　D.60种
6.★★(2026届河南郑州外国语学校调研,12)已知某射箭场馆共需要6名志愿者,其中3名会说韩语,3名会说日语.目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语,5人只会日语,另外还有1人既会韩语又会日语,则不同的选人方案共有　　　　种.(用数字作答)
7.★★(2026届浙江Z20名校联盟第一次联考,13)用1,2,3,12四个数组成一个五位数(每个数仅用1次),则能组成　　　　个不同的五位数.
8.★★(2025届重庆南开中学月考,13)某年级将甲、乙、丙三位体育老师分配到5个不同班级指导学生体育活动,要求每位体育老师至少指导一个班级,每个班级只有一位体育老师指导,则不同的分配方案有　　　　种.
9.★★(2026届湖南衡阳一中第一次月考,13)现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组,要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加,则不同的报名方案有　　　　种(用数字作答).
第九章　计数原理
9.1　计数原理、排列与组合
考点1　两个计数原理的应用
五年高考
1.★★(2023新课标Ⅱ,3,5分)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有　 (　　)
A.种
C.种
答案　D　
2.★★★(2023全国乙理,7,5分)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 (　　)
A.30种　　　B.60种　　　
C.120种　　　D.240种
答案　C　
3.★★(2023新课标Ⅰ,13,5分)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有　　　　种(用数字作答).
答案　64
4.★★★★(创新解法)(2024新课标Ⅱ,14,5分)在下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有　　　　种选法.在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是　　　　.
答案　24;112
三年模拟
1.★(2025届湖北随州部分高中联考,8)每天从甲地到乙地的飞机有5班,高铁有10趟,动车有6趟,公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地,则其出行方案共有 (　　)
A.22种　　　B.33种　　　
C.300种　　　D.3 600种
答案　B　
2.★★(2026届江浙皖高中(县中)发展共同体联考,3)某学校为了解学生的视力情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从高一、高二、高三三个年级共抽100名学生,已知该校高一、高二、高三各年级分别有400名、300名、300名学生,则不同的抽样结果种数为 (　　)
A.
C.
答案　D　
3.★★(2026届重庆巴蜀中学月考,5)某班上5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作,每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作,每个地段至少有1名学生的分配方案共有 (　　)
A.300种　　　B.90种　　　C.240种　　　D.150种
答案　D　
4.★★(2025届山东临沂第二中学适应性考试,5)某班一天上午有4节课,下午有2节课,现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通用技术各一节课的课表,要求数学课排在上午,体育课排在下午,则不同的排法种数是 (　　)
A.96　　　B.192　　　C.384　　　D.768
答案　B　
5.★★★(2026届江苏南京外国语学校学情调研,8)如图,某社区为墙面A,B,C,D四个区域进行涂色装饰,每个区域涂一种颜色,相邻区域(有公共边)不能用同一种颜色,若只有四种颜色可供使用,则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有 (　　)
A.12种　　　B.24种　　　C.48种　　　D.84种
答案　C　
6.★★(2025届河北秦皇岛三模,12)安排4位顾客去A,B,C三家餐馆就餐,其中一位顾客由于饮食特殊性,只能安排在A餐馆,则不同的安排方案共有　　　　种.
答案　27
7.★★★(2025届浙江嘉兴桐乡二模,13)将6个相同的球放入编号为1,2,3的3个盒子中,要求每个盒子至少放1个球,且编号为1的盒子中球数不超过2个,则不同的放法种数为　　　　.(用数字作答)
答案　7
考点2　排列组合问题
五年高考
1.★★(2022新高考Ⅱ,5,5分)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有 (　　)
A.12种　　　B.24种　　　C.36种　　　D.48种
答案　B　
2.★★★(2023全国甲理,9,5分)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 (　　)
A.120种　　　B.60种　　　C.30种　　　D.20种
答案　B　
3.★★★(2021全国乙理,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有 (　　)
A.60种　　　B.120种　　　C.240种　　　D.480种
答案　C　
4.★★(2020课标Ⅱ理,14,5分)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有　　　　种.
答案　36
5.★★★(2025上海,9,5分)4个家长和2个儿童去爬山.6个人需要排成一条队列,要求队列的头和尾均是家长,则不同的排列个数有　　　　种.
答案　288
6.★★★★(2024上海,10,5分)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值为　　　　.
答案　329
三年模拟
1.★(2025届山东菏泽二模,3)某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言,要求甲、乙两名学生至少有一人参加,那么不同的选法为 (　　)
A.32　　　B.20　　　C.16　　　D.10
答案　C　
2.★★(2026届福建三明一中月考,6)甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游,他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个,若甲不去重庆动物园,且甲、乙、丙三人去的景区互不相同,则这三人的不同选择方法共有 (　　)
A.24种　　　B.18种　　　C.12种　　　D.6种
答案　B　
3.★★(2026届江苏泰州中学月考,5)将4本不同的书分给3名学生,每人至少一本,则不同的分配方法数为 (　　)
A.24　　　B.36　　　C.64　　　D.72
答案　B　
4.★★★(2026届浙江学军中学练习,6)公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是3.141 592 6<π<3.141 592 7,为纪念祖冲之在圆周率上的成就,把3.141 592 6称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列,整数部分3不变,那么可以得到大于3.14的不同数字有 (　　)
A.2 280个　　　B.2 120个　　　
C.1 440个　　　D.7 206个
答案　A　
5.★★★(2025届安徽六安一中三模,6)六安市旅游资源非常丰富,夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人,包括4个大人,2个小孩,计划去霍山漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用,每船最多可乘3人,为了安全起见,小孩必须要大人陪同,则不同的乘船方式共有 (　　)
A.348种　　　B.288种　　　
C.360种　　　D.60种
答案　A　
6.★★(2026届河南郑州外国语学校调研,12)已知某射箭场馆共需要6名志愿者,其中3名会说韩语,3名会说日语.目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语,5人只会日语,另外还有1人既会韩语又会日语,则不同的选人方案共有　　　　种.(用数字作答)
答案　140
7.★★(2026届浙江Z20名校联盟第一次联考,13)用1,2,3,12四个数组成一个五位数(每个数仅用1次),则能组成　　　　个不同的五位数.
答案　21
8.★★(2025届重庆南开中学月考,13)某年级将甲、乙、丙三位体育老师分配到5个不同班级指导学生体育活动,要求每位体育老师至少指导一个班级,每个班级只有一位体育老师指导,则不同的分配方案有　　　　种.
答案　150
9.★★(2026届湖南衡阳一中第一次月考,13)现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组,要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加,则不同的报名方案有　　　　种(用数字作答).
答案　14
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