10.3 二项分布、超几何分布及正态分布--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）
文档属性
| 名称 | 10.3 二项分布、超几何分布及正态分布--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 375.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-31 00:00:00 | ||
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文档简介
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2027通用版高考数学第一轮
10.3 二项分布、超几何分布及正态分布
考点1 二项分布
三年模拟
1.★★(2025届湖南长沙三模,4)已知某个群体中对某活动持满意态度的人数占比为90%,从该群体中随机抽取10人,设这10人中持满意态度的人数为X,随机变量Y=2X+3,则D(Y)= ( )
A.1.8 B.3.6 C.4.2 D.4.8
2.★★★(2025届山东齐鲁名校教研共同体第六次联考,7)小王到某公司面试,一共要回答3道题,每道题答对得2分,答错倒扣1分,设他每道题答对的概率均为p(0A.
3.★★★(多选)(2026届湖南名校联盟联考,9)已知随机变量X~B(4,p),则下列说法正确的是 ( )
A.P(X=4)=p4
B.若P(X=3)=4P(X=1),则p=
C.若p=,则E(X)=1
D.存在p,使得D(X)=2
4.★★★(多选)(2026届江苏南京中华中学模拟,9)下列命题中正确的是 ( )
A.若随机变量X服从二项分布B(6,p),且E(X)=2,则D(X)=
B.若P(AB)=0.34,P(B)=0.71,则P(B)=0.37
C.设随机变量ξ服从正态分布N(0,4),若P(ξ>2)=p,则P(-2<ξ<0)=-p
D.某人在10次射击中,击中目标的次数X服从二项分布B(10,0.8),则X=8的概率最大
5.★★★(2025届天津九校联考二模,13)为帮助学生减压,高三某班准备了“幸运抽奖箱”,箱中共有10张卡片,其中6张为“获奖卡”.每位同学随机抽取3张,抽到获奖卡可兑换奖品,每人抽完后箱中恢复原先10张卡片.甲同学参加了一次抽奖活动,则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为 ;若该班有60名同学,每人都恰参加一次抽奖活动,则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是 .
6.★★★★(创新情境)(2026届广东佛山S6高质量发展联盟联考,18)不同AI大模型各有千秋,适用领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对A,B两款不同AI大模型是否使用,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:
甲学院 乙学院
使用 不使用 使用 不使用
A款 40人 80人 60人 20人
B款 70人 50人 30人 50人
假设所有学生对A,B两款大模型是否使用相互独立,用频率估计概率.
(1)分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率;
(2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人,从乙学院全体学生中随机抽取1人,记这3人中使用A款大模型的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X);
(3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人,记这2人中使用B款大模型的人数为Y1,其方差估计值为D(Y1),从该校乙学院全体学生中随机抽取2人,记这2人中使用B款大模型的人数为Y2,其方差估计值为D(Y2),比较D(Y1)与D(Y2)的大小.
考点2 超几何分布
五年高考
1.★★★(2022浙江,15,6分)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)= ,E(ξ)= .
2.★★★(2023全国甲理,19,12分)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望.
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5
18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
对照组
试验组
(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异
附:K2=,
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
三年模拟
1.★★★(2026届广东湛江调研,8)有甲、乙两个盒子,甲盒中有且仅有1个白球,乙盒中有k(k>3)个白球和(k+1)个黑球,现从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中,设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为pi,甲盒中含有白球个数的期望为Ei,则 ( )
A.p1>p2,E1>E2 B.p1>p2,E1C.p1E2 D.p12.★★★(2026届江苏南京金陵中学月考,13)从3名男生和3名女生中随机选择2人,设选到男生的人数为X,则3X+2的方差为 .
3.★★★(2026届江苏南京学情调研,15)袋中有8个大小相同的球,其中有3个黄球、5个白球,从中随机地连续抽取2次,每次取1个球.
(1)若每次抽取后都放回,设取到黄球的个数为X,求P(X≥1);
(2)若每次抽取后都不放回,设取到黄球的个数为Y,求Y的分布列和数学期望.
4.★★★(2024届广东潮州期末,18)2023年9月26日晚,位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了,首期共有70个摊位,集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业,推动潮州菜产业发展,是潮州美食产业的又一里程碑.为了解游客对潮州美食的满意度,随机对100名游客进行问卷调查(满分100分),这100名游客的评分分别落在区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内,统计结果如频率分布直方图所示.
(1)根据频率分布直方图,求这100名游客评分的平均值(同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表);
(2)为了进一步了解游客对潮州美食的评价,采用分层抽样的方法从满意度评分位于区间[50,60),[60,70),[80,90)的游客中抽取10人,再从中任选3人进行调查,求抽到满意度评分位于[80,90)的人数ξ的分布列和数学期望.
5.★★★★(2026届广东广州天河综合测试,18)为了弘扬中国优秀的传统文化,某校将举办一次剪纸比赛,共进行7轮比赛,每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下:每一轮比赛中,参赛者在30分钟内完成规定作品2幅和创意作品1幅,若有不少于2幅作品入选,将获得“巧手奖”.7轮比赛中,至少获得6次“巧手奖”的同学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练,指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅,其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准.
(1)从这8幅训练作品中,随机抽取规定作品2幅和创意作品1幅,记抽出的3幅作品中符合入选标准的幅数为X,求X的分布列和数学期望;
(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率,经指导老师对该同学进行赛前强化训练,规定作品和创意作品入选的概率共增加了,以获得“巧手奖”的次数期望为参考,试预测该同学能否进入决赛.
考点3 正态分布
五年高考
1.★★★(2021新高考Ⅱ,6,5分)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是 ( )
A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等
2.★★★(多选)(2024新课标Ⅰ,9,6分)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) ( )
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
3.★★(2022新高考Ⅱ,13,5分)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(22.5)= .
三年模拟
1.★★(2026届四川成都摸底(零诊),3)已知甲、乙两批袋装食盐的质量(单位:g)分别服从正态分布N(μ甲,)和N(μ乙,),其正态曲线如图所示,则 ( )
A.μ甲>μ乙,σ甲>σ乙 B.μ甲>μ乙,σ甲<σ乙
C.μ甲<μ乙,σ甲>σ乙 D.μ甲<μ乙,σ甲<σ乙
2.★★(2026届江苏常州期中,4)已知随机变量X~N(μ,9),若P(X<1-a)=P(X>7+a)(a∈R),则 ( )
A.E(X)=3,D(X)=3 B.E(X)=4,D(X)=3
C.E(X)=3,D(X)=9 D.E(X)=4,D(X)=9
3.★★(2026届广东六校联盟第二次联考,3)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2≤X<6)=0.4,则P(X<2||X|>2)= ( )
A.
4.★★(2026届浙江金华十校一模,5)已知随机变量X~N(2,σ2),且P(X<0)=0.3,则P(0A.0.2 B.0.4 C.0.7 D.0.35
5.★★★(多选)(2026届河南安阳调研,9)在临床试验中某基因编辑疗法能用于治疗遗传性高血压,治疗后患者血压降低值X(mmHg)服从正态分布N(20,52),则 ( )
A.P(X<15)>P(X>25)
B.10位患者治疗后血压降低值大于20的人数一定不小于5
C.2位患者治疗后血压降低值都大于20的概率为
D.3位患者治疗后至少有1位的血压降低值大于20的概率为
6.★★★(多选)(2026届陕西西安新城联考,9)已知随机变量X~N(8,4),若P(X≤6)=a,P(8A.P(X≥10)=a B.a+b=
C.E(2X-1)=13 D.D(2X-2)=14
7.★★★(多选)(2026届广西柳州一模,10)下列结论正确的是 ( )
A.若随机变量X~N(3,4),则P(X≤-1)=P(X≥7)
B.已知随机变量X,Y满足X+2Y=6,若X~B(4,0.5),则E(Y)=2,D(Y)=0.25
C.数据:0,7,5,1,6,11,12的第70百分位数为6
D.离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=2-3P(X=1)=a,则a=
8.★(2026届黑龙江大庆教学质量检测,12)已知随机变量X~N(3,σ2),且P(09.★★★(2026届重庆南开中学月考,15)近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校,中央电教馆在我校举办项目启动活动,并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况,学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛(满分100分),并从中随机抽查了100名学生的成绩(单位:分),将他们的成绩分成以下6组:[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100],统计结果如下面的频数分布表所示.
组别 [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100]
频数 10 15 20 30 15 10
已知高一学生的这次竞赛成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似取为样本平均数的整数部分,σ近似取为样本标准差s的整数部分,并已求得σ=14(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
(1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩,试估计他的竞赛成绩在区间(56,98]内的概率(结果保留一位小数);
(2)现从高一年级随机选取n名同学的竞赛成绩,根据(1)的结果,若他们的成绩均在(56,98]内的概率不低于1%,求n的最大值(n为正整数).
参考数据:lg 2≈0.301,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ10.★★★(2025届河南平许济洛三模,16)为丰富学生的课余生活,某地举办了2025年数学文化知识挑战赛,举办方从中随机抽取了100名学生的成绩,并进行统计整理,现将成绩(满分100分)划分为四个分数段:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].已知m=2n,各分数段人数的频数统计如表:
分数段 [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
频数 10 30 m n
(1)求m,n的值;
(2)按成绩进行分层,采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人,再从这10人中随机抽取4人,设抽到的4人中成绩在[60,100]内的人数为X,求X的分布列与期望;
(3)由以往比赛成绩的数据分析可知,学生成绩T~N(64,121).已知今年该地共有20 000名学生参加比赛,估计成绩在[86,97]内的学生人数.
参考数据:若T~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤T≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤T≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤T≤μ+3σ)≈0.997 3.
10.3 二项分布、超几何分布及正态分布
考点1 二项分布
三年模拟
1.★★(2025届湖南长沙三模,4)已知某个群体中对某活动持满意态度的人数占比为90%,从该群体中随机抽取10人,设这10人中持满意态度的人数为X,随机变量Y=2X+3,则D(Y)= ( )
A.1.8 B.3.6 C.4.2 D.4.8
答案 B
2.★★★(2025届山东齐鲁名校教研共同体第六次联考,7)小王到某公司面试,一共要回答3道题,每道题答对得2分,答错倒扣1分,设他每道题答对的概率均为p(0A.
答案 C
3.★★★(多选)(2026届湖南名校联盟联考,9)已知随机变量X~B(4,p),则下列说法正确的是 ( )
A.P(X=4)=p4
B.若P(X=3)=4P(X=1),则p=
C.若p=,则E(X)=1
D.存在p,使得D(X)=2
答案 ABC
4.★★★(多选)(2026届江苏南京中华中学模拟,9)下列命题中正确的是 ( )
A.若随机变量X服从二项分布B(6,p),且E(X)=2,则D(X)=
B.若P(AB)=0.34,P(B)=0.71,则P(B)=0.37
C.设随机变量ξ服从正态分布N(0,4),若P(ξ>2)=p,则P(-2<ξ<0)=-p
D.某人在10次射击中,击中目标的次数X服从二项分布B(10,0.8),则X=8的概率最大
答案 BCD
5.★★★(2025届天津九校联考二模,13)为帮助学生减压,高三某班准备了“幸运抽奖箱”,箱中共有10张卡片,其中6张为“获奖卡”.每位同学随机抽取3张,抽到获奖卡可兑换奖品,每人抽完后箱中恢复原先10张卡片.甲同学参加了一次抽奖活动,则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为 ;若该班有60名同学,每人都恰参加一次抽奖活动,则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是 .
答案 ;58
6.★★★★(创新情境)(2026届广东佛山S6高质量发展联盟联考,18)不同AI大模型各有千秋,适用领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对A,B两款不同AI大模型是否使用,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:
甲学院 乙学院
使用 不使用 使用 不使用
A款 40人 80人 60人 20人
B款 70人 50人 30人 50人
假设所有学生对A,B两款大模型是否使用相互独立,用频率估计概率.
(1)分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率;
(2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人,从乙学院全体学生中随机抽取1人,记这3人中使用A款大模型的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X);
(3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人,记这2人中使用B款大模型的人数为Y1,其方差估计值为D(Y1),从该校乙学院全体学生中随机抽取2人,记这2人中使用B款大模型的人数为Y2,其方差估计值为D(Y2),比较D(Y1)与D(Y2)的大小.
解析 (1)由题表可知:该校甲学院学生使用A款大模型的概率为,
该校乙学院学生使用A款大模型的概率为.
(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=×,
P(X=1)=×××,
P(X=2)=×××,
P(X=3)=×,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×.
(3)该校甲学院学生使用B款大模型的概率为,
该校乙学院学生使用B款大模型的概率为,
易知Y1~B,Y2~B,
由二项分布的方差公式可知D(Y1)=2××,
D(Y2)=2××,
所以D(Y1)>D(Y2).
考点2 超几何分布
五年高考
1.★★★(2022浙江,15,6分)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)= ,E(ξ)= .
答案 ;
2.★★★(2023全国甲理,19,12分)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望.
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5
18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
对照组
试验组
(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异
附:K2=,
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
解析 (1)依题意得,X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=,
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴E(X)=0×+1×+2×=1.
(2)(i)依题意可得m==23.4.
则对照组样本中小于m的数据的个数为6,
试验组样本中小于m的数据的个数为14,
则列联表为
对照组 6 14
试验组 14 6
(ii)由(i)中列联表可得
K2==6.4>3.841,
∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
三年模拟
1.★★★(2026届广东湛江调研,8)有甲、乙两个盒子,甲盒中有且仅有1个白球,乙盒中有k(k>3)个白球和(k+1)个黑球,现从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中,设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为pi,甲盒中含有白球个数的期望为Ei,则 ( )
A.p1>p2,E1>E2 B.p1>p2,E1C.p1E2 D.p1答案 B
2.★★★(2026届江苏南京金陵中学月考,13)从3名男生和3名女生中随机选择2人,设选到男生的人数为X,则3X+2的方差为 .
答案
3.★★★(2026届江苏南京学情调研,15)袋中有8个大小相同的球,其中有3个黄球、5个白球,从中随机地连续抽取2次,每次取1个球.
(1)若每次抽取后都放回,设取到黄球的个数为X,求P(X≥1);
(2)若每次抽取后都不放回,设取到黄球的个数为Y,求Y的分布列和数学期望.
解析 (1)每次抽取后都放回,则取到黄球的个数X~B,
所以P(X=1)=××,
P(X=2)=×,
所以P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=.
(2)每次抽取后都不放回,则取到黄球的个数Y的可能取值为0,1,2.
P(Y=0)=,P(Y=1)=,
P(Y=2)=.
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以E(Y)=0×+1×+2×.
4.★★★(2024届广东潮州期末,18)2023年9月26日晚,位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了,首期共有70个摊位,集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业,推动潮州菜产业发展,是潮州美食产业的又一里程碑.为了解游客对潮州美食的满意度,随机对100名游客进行问卷调查(满分100分),这100名游客的评分分别落在区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内,统计结果如频率分布直方图所示.
(1)根据频率分布直方图,求这100名游客评分的平均值(同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表);
(2)为了进一步了解游客对潮州美食的评价,采用分层抽样的方法从满意度评分位于区间[50,60),[60,70),[80,90)的游客中抽取10人,再从中任选3人进行调查,求抽到满意度评分位于[80,90)的人数ξ的分布列和数学期望.
解析 (1)根据频率分布直方图得=(55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005)×10=74.
故这100名游客评分的平均值为74分.
(2)由题图可知满意度评分位于区间[50,60),[60,70)和[80,90)的频率之比为1∶2∶2,
故抽取的10人中位于区间[50,60),[60,70)和[80,90)的分别为2人,4人,4人,
随机变量ξ的取值可以为0,1,2,3,
P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×.
5.★★★★(2026届广东广州天河综合测试,18)为了弘扬中国优秀的传统文化,某校将举办一次剪纸比赛,共进行7轮比赛,每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下:每一轮比赛中,参赛者在30分钟内完成规定作品2幅和创意作品1幅,若有不少于2幅作品入选,将获得“巧手奖”.7轮比赛中,至少获得6次“巧手奖”的同学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练,指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅,其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准.
(1)从这8幅训练作品中,随机抽取规定作品2幅和创意作品1幅,记抽出的3幅作品中符合入选标准的幅数为X,求X的分布列和数学期望;
(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率,经指导老师对该同学进行赛前强化训练,规定作品和创意作品入选的概率共增加了,以获得“巧手奖”的次数期望为参考,试预测该同学能否进入决赛.
解析 (1)由题可知,X的所有可能取值为1,2,3,
所以P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
故X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)=1×+2×+3×=2.
(2)设强化训练后,规定作品入选的概率为p1,创意作品入选的概率为p2,
则p1+p2=,
由已知可得,强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为
p=p1(1-p1)p2+(1-p2)
=2p1(1-p1)p2+
=2p1(1-p1)
=2p1,
∵p1+p2=,且p1≥,p2≥,
∴-p1≥,故可得≤p1≤.
设f(x)=2x3-,
∴f'(x)=6x2->0,
∴f(x)在上单调递增,
∴f(x)≤f=2×××.
∵该同学在7轮比赛中获得“巧手奖”的次数ξ~B(7,p),
∴E(ξ)=7p≤7×<6,
故预测该同学不能进入决赛.
考点3 正态分布
五年高考
1.★★★(2021新高考Ⅱ,6,5分)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是 ( )
A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等
答案 D
2.★★★(多选)(2024新课标Ⅰ,9,6分)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) ( )
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
答案 BC
3.★★(2022新高考Ⅱ,13,5分)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(22.5)= .
答案 0.14
三年模拟
1.★★(2026届四川成都摸底(零诊),3)已知甲、乙两批袋装食盐的质量(单位:g)分别服从正态分布N(μ甲,)和N(μ乙,),其正态曲线如图所示,则 ( )
A.μ甲>μ乙,σ甲>σ乙 B.μ甲>μ乙,σ甲<σ乙
C.μ甲<μ乙,σ甲>σ乙 D.μ甲<μ乙,σ甲<σ乙
答案 C
2.★★(2026届江苏常州期中,4)已知随机变量X~N(μ,9),若P(X<1-a)=P(X>7+a)(a∈R),则 ( )
A.E(X)=3,D(X)=3 B.E(X)=4,D(X)=3
C.E(X)=3,D(X)=9 D.E(X)=4,D(X)=9
答案 D
3.★★(2026届广东六校联盟第二次联考,3)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2≤X<6)=0.4,则P(X<2||X|>2)= ( )
A.
答案 C
4.★★(2026届浙江金华十校一模,5)已知随机变量X~N(2,σ2),且P(X<0)=0.3,则P(0A.0.2 B.0.4 C.0.7 D.0.35
答案 B
5.★★★(多选)(2026届河南安阳调研,9)在临床试验中某基因编辑疗法能用于治疗遗传性高血压,治疗后患者血压降低值X(mmHg)服从正态分布N(20,52),则 ( )
A.P(X<15)>P(X>25)
B.10位患者治疗后血压降低值大于20的人数一定不小于5
C.2位患者治疗后血压降低值都大于20的概率为
D.3位患者治疗后至少有1位的血压降低值大于20的概率为
答案 CD
6.★★★(多选)(2026届陕西西安新城联考,9)已知随机变量X~N(8,4),若P(X≤6)=a,P(8A.P(X≥10)=a B.a+b=
C.E(2X-1)=13 D.D(2X-2)=14
答案 AB
7.★★★(多选)(2026届广西柳州一模,10)下列结论正确的是 ( )
A.若随机变量X~N(3,4),则P(X≤-1)=P(X≥7)
B.已知随机变量X,Y满足X+2Y=6,若X~B(4,0.5),则E(Y)=2,D(Y)=0.25
C.数据:0,7,5,1,6,11,12的第70百分位数为6
D.离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=2-3P(X=1)=a,则a=
答案 ABD
8.★(2026届黑龙江大庆教学质量检测,12)已知随机变量X~N(3,σ2),且P(0答案 0.1
9.★★★(2026届重庆南开中学月考,15)近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校,中央电教馆在我校举办项目启动活动,并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况,学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛(满分100分),并从中随机抽查了100名学生的成绩(单位:分),将他们的成绩分成以下6组:[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100],统计结果如下面的频数分布表所示.
组别 [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100]
频数 10 15 20 30 15 10
已知高一学生的这次竞赛成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似取为样本平均数的整数部分,σ近似取为样本标准差s的整数部分,并已求得σ=14(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
(1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩,试估计他的竞赛成绩在区间(56,98]内的概率(结果保留一位小数);
(2)现从高一年级随机选取n名同学的竞赛成绩,根据(1)的结果,若他们的成绩均在(56,98]内的概率不低于1%,求n的最大值(n为正整数).
参考数据:lg 2≈0.301,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ解析 (1)由题意可知6个分组区间的中点值分别为45,55,65,75,85,95,
则样本平均数估计值=70.5,可得μ=70.
由σ=14,得μ-σ=70-14=56,μ+2σ=70+2×14=98,
因为X~N(μ,σ2),
所以P(56=P(μ-σ≈=0.818 6≈0.8.
(2)设“从高一年级随机选取一名学生的竞赛成绩在(56,98]内”为事件A,则P(A)=0.8,
可得从高一年级随机选取n名同学的竞赛成绩,他们的成绩均在(56,98]内的概率为P=0.8n.
由0.8n≥0.01,两边取常用对数可得
nlg 0.8≥lg 0.01.
因为lg 0.8=lg=3lg 2-1≈3×0.301-1=-0.097,lg 0.01=-2,
所以n≤≈20.6,因为n为正整数,所以n的最大值为20.
10.★★★(2025届河南平许济洛三模,16)为丰富学生的课余生活,某地举办了2025年数学文化知识挑战赛,举办方从中随机抽取了100名学生的成绩,并进行统计整理,现将成绩(满分100分)划分为四个分数段:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].已知m=2n,各分数段人数的频数统计如表:
分数段 [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
频数 10 30 m n
(1)求m,n的值;
(2)按成绩进行分层,采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人,再从这10人中随机抽取4人,设抽到的4人中成绩在[60,100]内的人数为X,求X的分布列与期望;
(3)由以往比赛成绩的数据分析可知,学生成绩T~N(64,121).已知今年该地共有20 000名学生参加比赛,估计成绩在[86,97]内的学生人数.
参考数据:若T~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤T≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤T≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤T≤μ+3σ)≈0.997 3.
解析 (1)因为10+30+m+n=100,m=2n,所以m=40,n=20.
(2)由分层随机抽样可知,抽取的10人中,成绩在[60,100]内的人数为×10=6,抽到的4人中成绩在[60,100]内的人数X的可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2.4.
(3)已知T~N(64,121),则μ=64,σ==11.μ+2σ=64+2×11=86,μ+3σ=64+3×11=97,
则P(86≤T≤97)
=≈=0.021 4,
所以成绩在[86,97]内的学生人数约为20 000×0.021 4=428.
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2027通用版高考数学第一轮
10.3 二项分布、超几何分布及正态分布
考点1 二项分布
三年模拟
1.★★(2025届湖南长沙三模,4)已知某个群体中对某活动持满意态度的人数占比为90%,从该群体中随机抽取10人,设这10人中持满意态度的人数为X,随机变量Y=2X+3,则D(Y)= ( )
A.1.8 B.3.6 C.4.2 D.4.8
2.★★★(2025届山东齐鲁名校教研共同体第六次联考,7)小王到某公司面试,一共要回答3道题,每道题答对得2分,答错倒扣1分,设他每道题答对的概率均为p(0
3.★★★(多选)(2026届湖南名校联盟联考,9)已知随机变量X~B(4,p),则下列说法正确的是 ( )
A.P(X=4)=p4
B.若P(X=3)=4P(X=1),则p=
C.若p=,则E(X)=1
D.存在p,使得D(X)=2
4.★★★(多选)(2026届江苏南京中华中学模拟,9)下列命题中正确的是 ( )
A.若随机变量X服从二项分布B(6,p),且E(X)=2,则D(X)=
B.若P(AB)=0.34,P(B)=0.71,则P(B)=0.37
C.设随机变量ξ服从正态分布N(0,4),若P(ξ>2)=p,则P(-2<ξ<0)=-p
D.某人在10次射击中,击中目标的次数X服从二项分布B(10,0.8),则X=8的概率最大
5.★★★(2025届天津九校联考二模,13)为帮助学生减压,高三某班准备了“幸运抽奖箱”,箱中共有10张卡片,其中6张为“获奖卡”.每位同学随机抽取3张,抽到获奖卡可兑换奖品,每人抽完后箱中恢复原先10张卡片.甲同学参加了一次抽奖活动,则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为 ;若该班有60名同学,每人都恰参加一次抽奖活动,则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是 .
6.★★★★(创新情境)(2026届广东佛山S6高质量发展联盟联考,18)不同AI大模型各有千秋,适用领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对A,B两款不同AI大模型是否使用,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:
甲学院 乙学院
使用 不使用 使用 不使用
A款 40人 80人 60人 20人
B款 70人 50人 30人 50人
假设所有学生对A,B两款大模型是否使用相互独立,用频率估计概率.
(1)分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率;
(2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人,从乙学院全体学生中随机抽取1人,记这3人中使用A款大模型的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X);
(3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人,记这2人中使用B款大模型的人数为Y1,其方差估计值为D(Y1),从该校乙学院全体学生中随机抽取2人,记这2人中使用B款大模型的人数为Y2,其方差估计值为D(Y2),比较D(Y1)与D(Y2)的大小.
考点2 超几何分布
五年高考
1.★★★(2022浙江,15,6分)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)= ,E(ξ)= .
2.★★★(2023全国甲理,19,12分)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望.
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5
18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
试验组
(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异
附:K2=,
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
三年模拟
1.★★★(2026届广东湛江调研,8)有甲、乙两个盒子,甲盒中有且仅有1个白球,乙盒中有k(k>3)个白球和(k+1)个黑球,现从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中,设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为pi,甲盒中含有白球个数的期望为Ei,则 ( )
A.p1>p2,E1>E2 B.p1>p2,E1
3.★★★(2026届江苏南京学情调研,15)袋中有8个大小相同的球,其中有3个黄球、5个白球,从中随机地连续抽取2次,每次取1个球.
(1)若每次抽取后都放回,设取到黄球的个数为X,求P(X≥1);
(2)若每次抽取后都不放回,设取到黄球的个数为Y,求Y的分布列和数学期望.
4.★★★(2024届广东潮州期末,18)2023年9月26日晚,位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了,首期共有70个摊位,集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业,推动潮州菜产业发展,是潮州美食产业的又一里程碑.为了解游客对潮州美食的满意度,随机对100名游客进行问卷调查(满分100分),这100名游客的评分分别落在区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内,统计结果如频率分布直方图所示.
(1)根据频率分布直方图,求这100名游客评分的平均值(同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表);
(2)为了进一步了解游客对潮州美食的评价,采用分层抽样的方法从满意度评分位于区间[50,60),[60,70),[80,90)的游客中抽取10人,再从中任选3人进行调查,求抽到满意度评分位于[80,90)的人数ξ的分布列和数学期望.
5.★★★★(2026届广东广州天河综合测试,18)为了弘扬中国优秀的传统文化,某校将举办一次剪纸比赛,共进行7轮比赛,每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下:每一轮比赛中,参赛者在30分钟内完成规定作品2幅和创意作品1幅,若有不少于2幅作品入选,将获得“巧手奖”.7轮比赛中,至少获得6次“巧手奖”的同学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练,指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅,其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准.
(1)从这8幅训练作品中,随机抽取规定作品2幅和创意作品1幅,记抽出的3幅作品中符合入选标准的幅数为X,求X的分布列和数学期望;
(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率,经指导老师对该同学进行赛前强化训练,规定作品和创意作品入选的概率共增加了,以获得“巧手奖”的次数期望为参考,试预测该同学能否进入决赛.
考点3 正态分布
五年高考
1.★★★(2021新高考Ⅱ,6,5分)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是 ( )
A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等
2.★★★(多选)(2024新课标Ⅰ,9,6分)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) ( )
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
3.★★(2022新高考Ⅱ,13,5分)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2
三年模拟
1.★★(2026届四川成都摸底(零诊),3)已知甲、乙两批袋装食盐的质量(单位:g)分别服从正态分布N(μ甲,)和N(μ乙,),其正态曲线如图所示,则 ( )
A.μ甲>μ乙,σ甲>σ乙 B.μ甲>μ乙,σ甲<σ乙
C.μ甲<μ乙,σ甲>σ乙 D.μ甲<μ乙,σ甲<σ乙
2.★★(2026届江苏常州期中,4)已知随机变量X~N(μ,9),若P(X<1-a)=P(X>7+a)(a∈R),则 ( )
A.E(X)=3,D(X)=3 B.E(X)=4,D(X)=3
C.E(X)=3,D(X)=9 D.E(X)=4,D(X)=9
3.★★(2026届广东六校联盟第二次联考,3)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2≤X<6)=0.4,则P(X<2||X|>2)= ( )
A.
4.★★(2026届浙江金华十校一模,5)已知随机变量X~N(2,σ2),且P(X<0)=0.3,则P(0
5.★★★(多选)(2026届河南安阳调研,9)在临床试验中某基因编辑疗法能用于治疗遗传性高血压,治疗后患者血压降低值X(mmHg)服从正态分布N(20,52),则 ( )
A.P(X<15)>P(X>25)
B.10位患者治疗后血压降低值大于20的人数一定不小于5
C.2位患者治疗后血压降低值都大于20的概率为
D.3位患者治疗后至少有1位的血压降低值大于20的概率为
6.★★★(多选)(2026届陕西西安新城联考,9)已知随机变量X~N(8,4),若P(X≤6)=a,P(8
C.E(2X-1)=13 D.D(2X-2)=14
7.★★★(多选)(2026届广西柳州一模,10)下列结论正确的是 ( )
A.若随机变量X~N(3,4),则P(X≤-1)=P(X≥7)
B.已知随机变量X,Y满足X+2Y=6,若X~B(4,0.5),则E(Y)=2,D(Y)=0.25
C.数据:0,7,5,1,6,11,12的第70百分位数为6
D.离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=2-3P(X=1)=a,则a=
8.★(2026届黑龙江大庆教学质量检测,12)已知随机变量X~N(3,σ2),且P(0
组别 [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100]
频数 10 15 20 30 15 10
已知高一学生的这次竞赛成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似取为样本平均数的整数部分,σ近似取为样本标准差s的整数部分,并已求得σ=14(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
(1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩,试估计他的竞赛成绩在区间(56,98]内的概率(结果保留一位小数);
(2)现从高一年级随机选取n名同学的竞赛成绩,根据(1)的结果,若他们的成绩均在(56,98]内的概率不低于1%,求n的最大值(n为正整数).
参考数据:lg 2≈0.301,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ
分数段 [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
频数 10 30 m n
(1)求m,n的值;
(2)按成绩进行分层,采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人,再从这10人中随机抽取4人,设抽到的4人中成绩在[60,100]内的人数为X,求X的分布列与期望;
(3)由以往比赛成绩的数据分析可知,学生成绩T~N(64,121).已知今年该地共有20 000名学生参加比赛,估计成绩在[86,97]内的学生人数.
参考数据:若T~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤T≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤T≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤T≤μ+3σ)≈0.997 3.
10.3 二项分布、超几何分布及正态分布
考点1 二项分布
三年模拟
1.★★(2025届湖南长沙三模,4)已知某个群体中对某活动持满意态度的人数占比为90%,从该群体中随机抽取10人,设这10人中持满意态度的人数为X,随机变量Y=2X+3,则D(Y)= ( )
A.1.8 B.3.6 C.4.2 D.4.8
答案 B
2.★★★(2025届山东齐鲁名校教研共同体第六次联考,7)小王到某公司面试,一共要回答3道题,每道题答对得2分,答错倒扣1分,设他每道题答对的概率均为p(0
答案 C
3.★★★(多选)(2026届湖南名校联盟联考,9)已知随机变量X~B(4,p),则下列说法正确的是 ( )
A.P(X=4)=p4
B.若P(X=3)=4P(X=1),则p=
C.若p=,则E(X)=1
D.存在p,使得D(X)=2
答案 ABC
4.★★★(多选)(2026届江苏南京中华中学模拟,9)下列命题中正确的是 ( )
A.若随机变量X服从二项分布B(6,p),且E(X)=2,则D(X)=
B.若P(AB)=0.34,P(B)=0.71,则P(B)=0.37
C.设随机变量ξ服从正态分布N(0,4),若P(ξ>2)=p,则P(-2<ξ<0)=-p
D.某人在10次射击中,击中目标的次数X服从二项分布B(10,0.8),则X=8的概率最大
答案 BCD
5.★★★(2025届天津九校联考二模,13)为帮助学生减压,高三某班准备了“幸运抽奖箱”,箱中共有10张卡片,其中6张为“获奖卡”.每位同学随机抽取3张,抽到获奖卡可兑换奖品,每人抽完后箱中恢复原先10张卡片.甲同学参加了一次抽奖活动,则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为 ;若该班有60名同学,每人都恰参加一次抽奖活动,则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是 .
答案 ;58
6.★★★★(创新情境)(2026届广东佛山S6高质量发展联盟联考,18)不同AI大模型各有千秋,适用领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对A,B两款不同AI大模型是否使用,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:
甲学院 乙学院
使用 不使用 使用 不使用
A款 40人 80人 60人 20人
B款 70人 50人 30人 50人
假设所有学生对A,B两款大模型是否使用相互独立,用频率估计概率.
(1)分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率;
(2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人,从乙学院全体学生中随机抽取1人,记这3人中使用A款大模型的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X);
(3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人,记这2人中使用B款大模型的人数为Y1,其方差估计值为D(Y1),从该校乙学院全体学生中随机抽取2人,记这2人中使用B款大模型的人数为Y2,其方差估计值为D(Y2),比较D(Y1)与D(Y2)的大小.
解析 (1)由题表可知:该校甲学院学生使用A款大模型的概率为,
该校乙学院学生使用A款大模型的概率为.
(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=×,
P(X=1)=×××,
P(X=2)=×××,
P(X=3)=×,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×.
(3)该校甲学院学生使用B款大模型的概率为,
该校乙学院学生使用B款大模型的概率为,
易知Y1~B,Y2~B,
由二项分布的方差公式可知D(Y1)=2××,
D(Y2)=2××,
所以D(Y1)>D(Y2).
考点2 超几何分布
五年高考
1.★★★(2022浙江,15,6分)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)= ,E(ξ)= .
答案 ;
2.★★★(2023全国甲理,19,12分)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望.
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5
18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
试验组
(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异
附:K2=,
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
解析 (1)依题意得,X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=,
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴E(X)=0×+1×+2×=1.
(2)(i)依题意可得m==23.4.
则对照组样本中小于m的数据的个数为6,
试验组样本中小于m的数据的个数为14,
则列联表为
试验组 14 6
(ii)由(i)中列联表可得
K2==6.4>3.841,
∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
三年模拟
1.★★★(2026届广东湛江调研,8)有甲、乙两个盒子,甲盒中有且仅有1个白球,乙盒中有k(k>3)个白球和(k+1)个黑球,现从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中,设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为pi,甲盒中含有白球个数的期望为Ei,则 ( )
A.p1>p2,E1>E2 B.p1>p2,E1
2.★★★(2026届江苏南京金陵中学月考,13)从3名男生和3名女生中随机选择2人,设选到男生的人数为X,则3X+2的方差为 .
答案
3.★★★(2026届江苏南京学情调研,15)袋中有8个大小相同的球,其中有3个黄球、5个白球,从中随机地连续抽取2次,每次取1个球.
(1)若每次抽取后都放回,设取到黄球的个数为X,求P(X≥1);
(2)若每次抽取后都不放回,设取到黄球的个数为Y,求Y的分布列和数学期望.
解析 (1)每次抽取后都放回,则取到黄球的个数X~B,
所以P(X=1)=××,
P(X=2)=×,
所以P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=.
(2)每次抽取后都不放回,则取到黄球的个数Y的可能取值为0,1,2.
P(Y=0)=,P(Y=1)=,
P(Y=2)=.
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以E(Y)=0×+1×+2×.
4.★★★(2024届广东潮州期末,18)2023年9月26日晚,位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了,首期共有70个摊位,集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业,推动潮州菜产业发展,是潮州美食产业的又一里程碑.为了解游客对潮州美食的满意度,随机对100名游客进行问卷调查(满分100分),这100名游客的评分分别落在区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内,统计结果如频率分布直方图所示.
(1)根据频率分布直方图,求这100名游客评分的平均值(同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表);
(2)为了进一步了解游客对潮州美食的评价,采用分层抽样的方法从满意度评分位于区间[50,60),[60,70),[80,90)的游客中抽取10人,再从中任选3人进行调查,求抽到满意度评分位于[80,90)的人数ξ的分布列和数学期望.
解析 (1)根据频率分布直方图得=(55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005)×10=74.
故这100名游客评分的平均值为74分.
(2)由题图可知满意度评分位于区间[50,60),[60,70)和[80,90)的频率之比为1∶2∶2,
故抽取的10人中位于区间[50,60),[60,70)和[80,90)的分别为2人,4人,4人,
随机变量ξ的取值可以为0,1,2,3,
P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×.
5.★★★★(2026届广东广州天河综合测试,18)为了弘扬中国优秀的传统文化,某校将举办一次剪纸比赛,共进行7轮比赛,每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下:每一轮比赛中,参赛者在30分钟内完成规定作品2幅和创意作品1幅,若有不少于2幅作品入选,将获得“巧手奖”.7轮比赛中,至少获得6次“巧手奖”的同学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练,指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅,其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准.
(1)从这8幅训练作品中,随机抽取规定作品2幅和创意作品1幅,记抽出的3幅作品中符合入选标准的幅数为X,求X的分布列和数学期望;
(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率,经指导老师对该同学进行赛前强化训练,规定作品和创意作品入选的概率共增加了,以获得“巧手奖”的次数期望为参考,试预测该同学能否进入决赛.
解析 (1)由题可知,X的所有可能取值为1,2,3,
所以P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
故X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)=1×+2×+3×=2.
(2)设强化训练后,规定作品入选的概率为p1,创意作品入选的概率为p2,
则p1+p2=,
由已知可得,强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为
p=p1(1-p1)p2+(1-p2)
=2p1(1-p1)p2+
=2p1(1-p1)
=2p1,
∵p1+p2=,且p1≥,p2≥,
∴-p1≥,故可得≤p1≤.
设f(x)=2x3-,
∴f'(x)=6x2->0,
∴f(x)在上单调递增,
∴f(x)≤f=2×××.
∵该同学在7轮比赛中获得“巧手奖”的次数ξ~B(7,p),
∴E(ξ)=7p≤7×<6,
故预测该同学不能进入决赛.
考点3 正态分布
五年高考
1.★★★(2021新高考Ⅱ,6,5分)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是 ( )
A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等
答案 D
2.★★★(多选)(2024新课标Ⅰ,9,6分)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) ( )
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
答案 BC
3.★★(2022新高考Ⅱ,13,5分)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2
答案 0.14
三年模拟
1.★★(2026届四川成都摸底(零诊),3)已知甲、乙两批袋装食盐的质量(单位:g)分别服从正态分布N(μ甲,)和N(μ乙,),其正态曲线如图所示,则 ( )
A.μ甲>μ乙,σ甲>σ乙 B.μ甲>μ乙,σ甲<σ乙
C.μ甲<μ乙,σ甲>σ乙 D.μ甲<μ乙,σ甲<σ乙
答案 C
2.★★(2026届江苏常州期中,4)已知随机变量X~N(μ,9),若P(X<1-a)=P(X>7+a)(a∈R),则 ( )
A.E(X)=3,D(X)=3 B.E(X)=4,D(X)=3
C.E(X)=3,D(X)=9 D.E(X)=4,D(X)=9
答案 D
3.★★(2026届广东六校联盟第二次联考,3)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2≤X<6)=0.4,则P(X<2||X|>2)= ( )
A.
答案 C
4.★★(2026届浙江金华十校一模,5)已知随机变量X~N(2,σ2),且P(X<0)=0.3,则P(0
答案 B
5.★★★(多选)(2026届河南安阳调研,9)在临床试验中某基因编辑疗法能用于治疗遗传性高血压,治疗后患者血压降低值X(mmHg)服从正态分布N(20,52),则 ( )
A.P(X<15)>P(X>25)
B.10位患者治疗后血压降低值大于20的人数一定不小于5
C.2位患者治疗后血压降低值都大于20的概率为
D.3位患者治疗后至少有1位的血压降低值大于20的概率为
答案 CD
6.★★★(多选)(2026届陕西西安新城联考,9)已知随机变量X~N(8,4),若P(X≤6)=a,P(8
C.E(2X-1)=13 D.D(2X-2)=14
答案 AB
7.★★★(多选)(2026届广西柳州一模,10)下列结论正确的是 ( )
A.若随机变量X~N(3,4),则P(X≤-1)=P(X≥7)
B.已知随机变量X,Y满足X+2Y=6,若X~B(4,0.5),则E(Y)=2,D(Y)=0.25
C.数据:0,7,5,1,6,11,12的第70百分位数为6
D.离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=2-3P(X=1)=a,则a=
答案 ABD
8.★(2026届黑龙江大庆教学质量检测,12)已知随机变量X~N(3,σ2),且P(0
9.★★★(2026届重庆南开中学月考,15)近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校,中央电教馆在我校举办项目启动活动,并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况,学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛(满分100分),并从中随机抽查了100名学生的成绩(单位:分),将他们的成绩分成以下6组:[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100],统计结果如下面的频数分布表所示.
组别 [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100]
频数 10 15 20 30 15 10
已知高一学生的这次竞赛成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似取为样本平均数的整数部分,σ近似取为样本标准差s的整数部分,并已求得σ=14(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
(1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩,试估计他的竞赛成绩在区间(56,98]内的概率(结果保留一位小数);
(2)现从高一年级随机选取n名同学的竞赛成绩,根据(1)的结果,若他们的成绩均在(56,98]内的概率不低于1%,求n的最大值(n为正整数).
参考数据:lg 2≈0.301,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ
则样本平均数估计值=70.5,可得μ=70.
由σ=14,得μ-σ=70-14=56,μ+2σ=70+2×14=98,
因为X~N(μ,σ2),
所以P(56
(2)设“从高一年级随机选取一名学生的竞赛成绩在(56,98]内”为事件A,则P(A)=0.8,
可得从高一年级随机选取n名同学的竞赛成绩,他们的成绩均在(56,98]内的概率为P=0.8n.
由0.8n≥0.01,两边取常用对数可得
nlg 0.8≥lg 0.01.
因为lg 0.8=lg=3lg 2-1≈3×0.301-1=-0.097,lg 0.01=-2,
所以n≤≈20.6,因为n为正整数,所以n的最大值为20.
10.★★★(2025届河南平许济洛三模,16)为丰富学生的课余生活,某地举办了2025年数学文化知识挑战赛,举办方从中随机抽取了100名学生的成绩,并进行统计整理,现将成绩(满分100分)划分为四个分数段:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].已知m=2n,各分数段人数的频数统计如表:
分数段 [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
频数 10 30 m n
(1)求m,n的值;
(2)按成绩进行分层,采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人,再从这10人中随机抽取4人,设抽到的4人中成绩在[60,100]内的人数为X,求X的分布列与期望;
(3)由以往比赛成绩的数据分析可知,学生成绩T~N(64,121).已知今年该地共有20 000名学生参加比赛,估计成绩在[86,97]内的学生人数.
参考数据:若T~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤T≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤T≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤T≤μ+3σ)≈0.997 3.
解析 (1)因为10+30+m+n=100,m=2n,所以m=40,n=20.
(2)由分层随机抽样可知,抽取的10人中,成绩在[60,100]内的人数为×10=6,抽到的4人中成绩在[60,100]内的人数X的可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2.4.
(3)已知T~N(64,121),则μ=64,σ==11.μ+2σ=64+2×11=86,μ+3σ=64+3×11=97,
则P(86≤T≤97)
=≈=0.021 4,
所以成绩在[86,97]内的学生人数约为20 000×0.021 4=428.
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