11.1　用样本估计总体--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）

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2027通用版高考数学第一轮
第十一章　统计
11.1　用样本估计总体
考点　抽样方法与总体分布的估计
五年高考
1.★(2025全国二卷,1,5分)样本数据2,8,14,16,20的平均数为 (　　)
A.8　　　B.9　　　C.12　　　D.18
2.★★(2024新课标Ⅱ,4,5分)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:
亩产量 [900,950) [950,1 000) [1 000,1 050) [1 050,1 100) [1 100,1 150) [1 150,1 200)
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据,下列结论中正确的是 (　　)
A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
3.★★(2022全国甲,2,5分)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:
则 (　　)
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
4.★★(2021全国甲理,2,5分)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是 (　　)
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
5.★★(多选)(2021新高考Ⅱ,9,5分)下列统计量中可用于度量样本x1,x2,…,xn离散程度的有 (　　)
A.x1,x2,…,xn的标准差　　　
B.x1,x2,…,xn的中位数
C.x1,x2,…,xn的极差　　　
D.x1,x2,…,xn的平均数
6.★★(多选)(2021新高考Ⅰ,9,5分)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则 (　　)
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
7.★★★(多选)(2023新课标Ⅰ,9,5分)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则 (　　)
A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数
B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数
C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差
D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差
8.★★★(2021全国乙,文17,理17,12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如表:
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 ,样本方差分别记为.
(1)求,,,;
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果≥2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高.
9.★★★(2022新高考Ⅱ,19,12分)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.000 1).
10.★★★★(2023新课标Ⅱ,19,12分)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.
三年模拟
1.★(2026届河南新乡开学考,1)某校高三年级有1 200名学生,其中男生有660人,现按男女生人数比例采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为40的样本,则女生应抽取的人数是 (　　)
A.22　　　B.18　　　C.16　　　D.14
2.★★(2026届天津西青阶段检测,4)某市为了减少水资源的浪费,计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度.为了确定一个比较合理的标准,通过简单随机抽样,获得了100户居民的月均用水量数据(单位:吨),得到如图所示的频率分布直方图.估计该市居民月均用水量的中位数为 (　　)
A.8.45　　　B.8.55　　　C.8.65　　　D.8.85
3.★★★(2026届河北邯郸调研,6)已知A组数据“x1,x2,…,xm”和B组数据“y1,y2,…,yn”(m,n∈N*,m≥5,n≥5)的平均数分别为80,90,方差分别为15,20,若m=4n,则由A,B这两组数据构成的所有数据的总体方差为 (　　)
A.15　　　B.32　　　C.35　　　D.42
4.★★(多选)(2026届山东潍坊调研,9)下图是某市2025年1月至7月全社会用电量(单位:亿千瓦时)的折线图,则 (　　)
A.1月至7月全社会用电量逐月增加
B.1月至7月全社会用电量的极差是20.7
C.1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3
D.1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大
5.★★★(多选)(2026届江浙皖高中联考,10)某家大型超市的店长为了解本店日销售情况,记录了过去100天的日销售营业额(单位:万元)并将数据整理成表:
日销售额 [100,150) [150,200) [200,250) [250,300) [300,350)
频数 5 20 40 30 5
据表中数据,下面结论中正确的是 (　　)
A.日销售营业额的中位数小于250万元
B.日销售营业额的平均值为230万元(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
C.日销售营业额的第75百分位数介于200~250之间
D.日销售营业额的极差介于150~250之间
6.★★★(多选)(2026届广东清远教学质量检测,9)某企业招聘考试分笔试与面试,笔试满分为100分,笔试成绩排名前20%(含20%)的考生才可以参加面试.现有1 800人报名参加笔试,所有考生的笔试成绩和年龄如图所示,则 (　　)
A.90后考生比00后考生多100人
B.所有考生笔试成绩的70%分位数约为83.3(保留一位小数)
C.进入面试的笔试成绩最低分约为85.7(保留一位小数)
D.所有考生笔试成绩的中位数大于平均数(同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表)
7.★★★(多选)(2025届浙江杭州开学考,9)有一组互不相等的样本数据x1,x2,…,x6,平均数为,若随机删去其中一个数据,得到一组新数据,记为y1,y2,…,y5,平均数为,则 (　　)
A.新数据的极差可能等于原数据的极差
B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C.若,则新数据的方差一定大于原数据方差
D.若,则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数
8.★(2026届山东济南学习检测,12)某校元旦文艺汇演中,有八位评委对一舞蹈节目评分,该节目得分依次为80,85,91,90,90,93,92,95,则这组数据的第70百分位数为　　　　.
9.★★★(2025届福建漳州第一次质检,14)2024年新高考数学Ⅰ卷多选题的计分标准如下:
①本题共3小题,每小题6分,共18分;
②每小题四个选项中有两个或三个正确选项,全部选对的得6分,有选错或不选的得0分;
③部分选对的得部分分(若答案为2个选项,答对1个给3分;若答案为3个选项,答对1个给2分).
考生甲在此卷多选题的作答中,第一小题选了三个选项,第二小题选了两个选项,第三小题选了一个选项,则他多选题的所有可能总得分(相同总分只记录一次)的第80百分位数为　　　　.
10.★★★(2025届湖南衡阳四中月考,18)2023年,某地为了帮助中小微企业渡过难关,给予企业一定的专项贷款资金支持.该地120家中小微企业的专项贷款金额(万元)的频率分布直方图如图.
(1)确定a的值,并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数(结果保留整数).
(2)按专项贷款金额进行分层随机抽样,从这120家中小微企业中随机抽取20家,记专项贷款金额在[200,300]内应抽取的中小微企业数为m.
①求m的值;
②从这m家中小微企业中随机抽取3家,求这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的概率.
11.★★★(2026届湖北孝感起点考,17)某市为了鼓励居民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量(单位:千瓦时)划分为三档,月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费,超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.6元/千瓦时收费,超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费.
(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:千瓦时)的函数解析式;
(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过220元的占80%,求a,b的值;
(3)根据(2)中求得的数据计算月用电量的75%分位数.
12.★★★★(2025届重庆八中月考,18)某企业生产的产品的质量指标值为M(M∈[70,100]),其质量指标等级划分如表:
质量指标值M [70,75) [75,90) [90,100]
质量指标等级 废品 合格 废品
为了解该产品的经济效益,该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1 000件,将其质量指标值M的数据作为样本,绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别为87.5和87,求a,b,c的值;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)若每件产品的质量指标值M与利润y(单位:万元)的关系如表:
质量指标值M [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,100]
利润y/万元 - 2x -
以频率作为概率,期望作为决策依据,若c=0.01,对任意的x∈,生产该产品一定能盈利,求a的取值范围.
第十一章　统计
11.1　用样本估计总体
考点　抽样方法与总体分布的估计
五年高考
1.★(2025全国二卷,1,5分)样本数据2,8,14,16,20的平均数为 (　　)
A.8　　　B.9　　　C.12　　　D.18
答案　C　
2.★★(2024新课标Ⅱ,4,5分)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:
亩产量 [900,950) [950,1 000) [1 000,1 050) [1 050,1 100) [1 100,1 150) [1 150,1 200)
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据,下列结论中正确的是 (　　)
A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
答案　C　
3.★★(2022全国甲,2,5分)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:
则 (　　)
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
答案　B　
4.★★(2021全国甲理,2,5分)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是 (　　)
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
答案　C　
5.★★(多选)(2021新高考Ⅱ,9,5分)下列统计量中可用于度量样本x1,x2,…,xn离散程度的有 (　　)
A.x1,x2,…,xn的标准差　　　
B.x1,x2,…,xn的中位数
C.x1,x2,…,xn的极差　　　
D.x1,x2,…,xn的平均数
答案　AC　
6.★★(多选)(2021新高考Ⅰ,9,5分)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则 (　　)
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
答案　CD　
7.★★★(多选)(2023新课标Ⅰ,9,5分)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则 (　　)
A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数
B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数
C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差
D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差
答案　BD　
8.★★★(2021全国乙,文17,理17,12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如表:
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 ,样本方差分别记为.
(1)求,,,;
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果≥2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高.
解析　(1)(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0.
(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3.
[(9.8-10.0)2+(10.3-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.9-10.0)2+(9.8-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.7-10.0)2]=0.036.
[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04.
(2)由(1)得=0.3,=0.076,
从而()2=0.09,()=0.030 4.
所以()2>,又,故,
因此新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
9.★★★(2022新高考Ⅱ,19,12分)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.000 1).
解析　(1)平均年龄为(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁).
(2)设事件A为“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)”,P(A)=(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89,∴估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率为0.89.
(3)设事件B=“任选一人年龄位于区间[40,50)”,事件C=“任选一人患这种疾病”,由条件概率公式可得
P(C|B)==0.001 437 5≈0.001 4.
10.★★★★(2023新课标Ⅱ,19,12分)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.
解析　(1)由题意知(c-95)×0.002=0.5%, (1分)
得c=97.5, (2分)
q(c)=0.01×2.5+5×0.002=0.035=3.5%. (4分)
(2)当c∈[95,100]时,
f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02. (7分)
当c∈(100,105]时, f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02.
∴f(c)= (9分)
由于f(c)在区间[95,100]单调递减,在区间(100,105]单调递增,【该理由一定要写,不写扣分】 (10分)
∴f(c)min=f(100)=0.02. (12分)
三年模拟
1.★(2026届河南新乡开学考,1)某校高三年级有1 200名学生,其中男生有660人,现按男女生人数比例采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为40的样本,则女生应抽取的人数是 (　　)
A.22　　　B.18　　　C.16　　　D.14
答案　B　
2.★★(2026届天津西青阶段检测,4)某市为了减少水资源的浪费,计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度.为了确定一个比较合理的标准,通过简单随机抽样,获得了100户居民的月均用水量数据(单位:吨),得到如图所示的频率分布直方图.估计该市居民月均用水量的中位数为 (　　)
A.8.45　　　B.8.55　　　C.8.65　　　D.8.85
答案　A　
3.★★★(2026届河北邯郸调研,6)已知A组数据“x1,x2,…,xm”和B组数据“y1,y2,…,yn”(m,n∈N*,m≥5,n≥5)的平均数分别为80,90,方差分别为15,20,若m=4n,则由A,B这两组数据构成的所有数据的总体方差为 (　　)
A.15　　　B.32　　　C.35　　　D.42
答案　B　
4.★★(多选)(2026届山东潍坊调研,9)下图是某市2025年1月至7月全社会用电量(单位:亿千瓦时)的折线图,则 (　　)
A.1月至7月全社会用电量逐月增加
B.1月至7月全社会用电量的极差是20.7
C.1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3
D.1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大
答案　BD　
5.★★★(多选)(2026届江浙皖高中联考,10)某家大型超市的店长为了解本店日销售情况,记录了过去100天的日销售营业额(单位:万元)并将数据整理成表:
日销售额 [100,150) [150,200) [200,250) [250,300) [300,350)
频数 5 20 40 30 5
据表中数据,下面结论中正确的是 (　　)
A.日销售营业额的中位数小于250万元
B.日销售营业额的平均值为230万元(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
C.日销售营业额的第75百分位数介于200~250之间
D.日销售营业额的极差介于150~250之间
答案　ABD　
6.★★★(多选)(2026届广东清远教学质量检测,9)某企业招聘考试分笔试与面试,笔试满分为100分,笔试成绩排名前20%(含20%)的考生才可以参加面试.现有1 800人报名参加笔试,所有考生的笔试成绩和年龄如图所示,则 (　　)
A.90后考生比00后考生多100人
B.所有考生笔试成绩的70%分位数约为83.3(保留一位小数)
C.进入面试的笔试成绩最低分约为85.7(保留一位小数)
D.所有考生笔试成绩的中位数大于平均数(同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表)
答案　BD　
7.★★★(多选)(2025届浙江杭州开学考,9)有一组互不相等的样本数据x1,x2,…,x6,平均数为,若随机删去其中一个数据,得到一组新数据,记为y1,y2,…,y5,平均数为,则 (　　)
A.新数据的极差可能等于原数据的极差
B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C.若,则新数据的方差一定大于原数据方差
D.若,则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数
答案　AC　
8.★(2026届山东济南学习检测,12)某校元旦文艺汇演中,有八位评委对一舞蹈节目评分,该节目得分依次为80,85,91,90,90,93,92,95,则这组数据的第70百分位数为　　　　.
答案　92
9.★★★(2025届福建漳州第一次质检,14)2024年新高考数学Ⅰ卷多选题的计分标准如下:
①本题共3小题,每小题6分,共18分;
②每小题四个选项中有两个或三个正确选项,全部选对的得6分,有选错或不选的得0分;
③部分选对的得部分分(若答案为2个选项,答对1个给3分;若答案为3个选项,答对1个给2分).
考生甲在此卷多选题的作答中,第一小题选了三个选项,第二小题选了两个选项,第三小题选了一个选项,则他多选题的所有可能总得分(相同总分只记录一次)的第80百分位数为　　　　.
答案　13
10.★★★(2025届湖南衡阳四中月考,18)2023年,某地为了帮助中小微企业渡过难关,给予企业一定的专项贷款资金支持.该地120家中小微企业的专项贷款金额(万元)的频率分布直方图如图.
(1)确定a的值,并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数(结果保留整数).
(2)按专项贷款金额进行分层随机抽样,从这120家中小微企业中随机抽取20家,记专项贷款金额在[200,300]内应抽取的中小微企业数为m.
①求m的值;
②从这m家中小微企业中随机抽取3家,求这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的概率.
解析　(1)根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为1得
(0.002+0.003+a+0.006+a+0.001)×50=1,解得a=0.004,
设中位数为t,专项贷款金额在[0,150)内的频率为0.45,
在[0,200)内的频率为0.75,所以t在[150,200)内,
则(t-150)×0.006=0.5-0.45,解得t≈158,所以估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为158万元.
(2)①由题意,知抽样比为,
专项贷款金额在[200,300]内的中小微企业共有120×(0.004+0.001)×50=30家,
所以专项贷款金额在[200,300]内应抽取的中小微企业有30×=5家,即m=5.
②专项贷款金额在[200,250)内和在[250,300]内的频率之比为4∶1,故在抽取的5家中小微企业中,专项贷款金额在[200,250)内的有5×=4家,
所以所求概率为P=.
11.★★★(2026届湖北孝感起点考,17)某市为了鼓励居民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量(单位:千瓦时)划分为三档,月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费,超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.6元/千瓦时收费,超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费.
(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:千瓦时)的函数解析式;
(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过220元的占80%,求a,b的值;
(3)根据(2)中求得的数据计算月用电量的75%分位数.
解析　(1)当0≤x≤200时,y=0.5x;
当200当x>400时,y=0.5×200+0.6×200+0.8(x-400)=0.8x-100,
所以y与x之间的函数解析式为
y=
(2)由(1)可知,当y=220时,x=400,
即月用电量不超过400千瓦时的占80%,结合频率分布直方图可知
解得a=0.001 5,b=0.002 0.
(3)因为月用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001 0+0.002 0+0.003 0)×100×100%=60%,
月用电量低于400千瓦时的所占比例为80%,所以75%分位数在(300,400]内,
所以300+×100=375,即用电量的75%分位数为375千瓦时.
12.★★★★(2025届重庆八中月考,18)某企业生产的产品的质量指标值为M(M∈[70,100]),其质量指标等级划分如表:
质量指标值M [70,75) [75,90) [90,100]
质量指标等级 废品 合格 废品
为了解该产品的经济效益,该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1 000件,将其质量指标值M的数据作为样本,绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别为87.5和87,求a,b,c的值;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)若每件产品的质量指标值M与利润y(单位:万元)的关系如表:
质量指标值M [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,100]
利润y/万元 - 2x -
以频率作为概率,期望作为决策依据,若c=0.01,对任意的x∈,生产该产品一定能盈利,求a的取值范围.
解析　(1)由中位数为87.5,得5(c+0.02+a)+2.5b=2.5b+5×(0.04+0.02)=0.5,则
由平均值为87,得5c×72.5+0.1×77.5+5a×82.5+5b×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87,则72.5c+82.5a=3.2,解得c=0.01,a=0.03,
所以a=0.03,b=0.08,c=0.01.
(2)以频率作为概率,每件产品的质量指标值M与利润y(单位:万元)及对应概率的关系如表:
质量 指标值M [70, 75) [75, 80) [80, 85) [85, 90) [90, 100]
利润y/万元 - 2x -
P 0.05 0.1 5a 5b 0.3
依题意,5a+5b=1-0.05-0.1-0.3,即b=0.11-a,
利润y的期望为-+(9a+0.11)x,x∈,
由对任意的x∈,生产该产品一定能盈利,得 x∈,y>0恒成立,
即cos x-1+(9a+0.11)x2>0恒成立,
令f(x)=cos x-1+(9a+0.11)x2,x∈,
求导得f'(x)=-sin x+2(9a+0.11)x,
令g(x)=-sin x+2(9a+0.11)x,x∈,
求导得g'(x)=-cos x+2(9a+0.11),而0当2(9a+0.11)≥1,即a≥时,g'(x)>0,函数f'(x)在上单调递增,
f'(x)>f'(0)=0,函数f(x)在上单调递增, f(x)>f(0)=0,符合题意;
当0<2(9a+0.11)<1时,存在x0∈,使得g'(x0)=0,
由g'(x)在上单调递增,得当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,函数f'(x)在(0,x0)上单调递减,
当x∈(0,x0)时, f'(x)由b=0.11-a及b≥0,得a≤0.11,因此≤a≤,
所以a的取值范围是.
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