高考热点1　三次函数的性质综合--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）

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2027通用版高考数学第一轮
高考热点1　三次函数的性质综合
类型1　三次函数的图象与性质
1.★★(2025届河南部分高中第四次考试,5)已知函数f(x)=ax3-2x2-3x+1在R上单调递减,则实数a的取值范围为 (　　)
A.
C.
2.★★★(多选)(2022新高考Ⅰ,10,5分)已知函数 f(x)=x3-x+1,则 (　　)
A. f(x)有两个极值点
B. f(x)有三个零点
C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
3.★★★(2025届浙江嘉兴期中,15)已知函数f(x)=x3-(1+a)x2-(a2-2a)x.
(1)当a=1时,求函数的极值;
(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
类型2　三次函数的极(最)值问题
1.★★★(多选)(2026届广东深圳联考,10)已知函数f(x)=x3-3x+1,则 (　　)
A.f(x)有两个极值点
B.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
C.f(x)有三个零点且三个零点的和为0
D.直线y=3x是曲线y=f(x)的切线
2.★★★(多选)(2024新课标Ⅰ,10,6分)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则 (　　)
A.x=3是f(x)的极小值点
B.当0C.当1D.当-1f(x)
3.★★★★(2019课标Ⅲ,20,12分)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当0类型3　三次函数的零点问题
1.★★★(多选)(2026届重庆一中月考,9)设函数f(x)=x3-3x2-9x+1,则 (　　)
A.f(x)有极大值点
B.f(x)仅有2个零点
C.f(x)的图象在(0,1)处的切线方程为9x+y-1=0
D.f(x)图象的对称中心是(1,-10)
2.★★★(多选)(2026届湖北鄂东南教育联盟期中,10)已知函数f(x)=2x3+6x2+ax-3,a∈R,则 (　　)
A.当a=8时, f(x)在R上单调递增
B.当a≤6时, f(x)有两个极值
C.若f(x)有三个不同零点x1,x2,x3,则x1x2x3=
D.过点(0,m)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有3条,则-53.★★★(多选)(2025届安徽合肥第一中学最后一卷,10)设函数f(x)=x3-3x2-9x-a有三个不同的零点,从小到大依次为x1,x2,x3,则 (　　)
A.-27B.函数y=f(x)+a的图象的对称中心为(1,-11)
C.过(x1, f(x1))引曲线y=f(x)的切线,有且仅有1条
D.若x1,x2,x3成等差数列,则a=-11
4.★★★(2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为　　　　.
5.★★★(2025届山东泰安模拟预测(三),15)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=1处有极小值.
(1)求实数c的值;
(2)若函数g(x)=f(x)+a有三个不同的零点,求实数a的取值范围.
类型4　三次函数的切线问题
1.★★★(2025届湖北武汉武昌三模,6)已知函数f(x)=x3-6x+7,直线l是曲线y=f(x)的切线,如果切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,那么这样的直线l有 (　　)
A.0条　　　B.1条　　　C.2条　　　D.3条
2.★★(2026届福建部分学校联考,13)若曲线y=tan x在坐标原点处的切线与曲线y=x3-2x+m(x>0)相切,则m=　　　　.
3.★★★★(2021全国乙,21(2))已知函数f(x)=x3-x2+ax+1.求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.
高考热点1　三次函数的性质综合
类型1　三次函数的图象与性质
1.★★(2025届河南部分高中第四次考试,5)已知函数f(x)=ax3-2x2-3x+1在R上单调递减,则实数a的取值范围为 (　　)
A.
C.
答案　D　
2.★★★(多选)(2022新高考Ⅰ,10,5分)已知函数 f(x)=x3-x+1,则 (　　)
A. f(x)有两个极值点
B. f(x)有三个零点
C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
答案　AC　
3.★★★(2025届浙江嘉兴期中,15)已知函数f(x)=x3-(1+a)x2-(a2-2a)x.
(1)当a=1时,求函数的极值;
(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
解析　(1)当a=1时, f(x)=x3-2x2+x,故f'(x)=3x2-4x+1.
令f'(x)=0,解得x=1或x=.
f'(x), f(x)随x的变化情况如表:
x -∞, ,1 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)极大值=f, f(x)极小值=f(1)=0.
(2)f'(x)=3x2-2(1+a)x-(a2-2a)=[3x+(a-2)](x-a),
令f'(x)=0,解得x1=a,x2=.
当x1=x2时,a=,解得a=,所以若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,则a≠,且-1解得-1故a的取值范围为∪.
类型2　三次函数的极(最)值问题
1.★★★(多选)(2026届广东深圳联考,10)已知函数f(x)=x3-3x+1,则 (　　)
A.f(x)有两个极值点
B.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
C.f(x)有三个零点且三个零点的和为0
D.直线y=3x是曲线y=f(x)的切线
答案　ABC　
2.★★★(多选)(2024新课标Ⅰ,10,6分)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则 (　　)
A.x=3是f(x)的极小值点
B.当0C.当1D.当-1f(x)
答案　ACD　
3.★★★★(2019课标Ⅲ,20,12分)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当0解析　(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).
令f'(x)=0,得x=0或x=.
若a>0,则当x∈(-∞,0)∪时, f'(x)>0;
当x∈时, f'(x)<0.
故f(x)在(-∞,0),单调递增,在单调递减;
若a=0, f(x)在(-∞,+∞)单调递增;
若a<0,则当x∈∪(0,+∞)时, f'(x)>0;当x∈时, f'(x)<0.
故f(x)在,(0,+∞)单调递增,在单调递减.
(2)当0于是m=-+2,M=
所以M-m=
当0所以M-m的取值范围是.
当2≤a<3时,单调递增,所以M-m的取值范围是.
综上,M-m的取值范围是.
类型3　三次函数的零点问题
1.★★★(多选)(2026届重庆一中月考,9)设函数f(x)=x3-3x2-9x+1,则 (　　)
A.f(x)有极大值点
B.f(x)仅有2个零点
C.f(x)的图象在(0,1)处的切线方程为9x+y-1=0
D.f(x)图象的对称中心是(1,-10)
答案　ACD　
2.★★★(多选)(2026届湖北鄂东南教育联盟期中,10)已知函数f(x)=2x3+6x2+ax-3,a∈R,则 (　　)
A.当a=8时, f(x)在R上单调递增
B.当a≤6时, f(x)有两个极值
C.若f(x)有三个不同零点x1,x2,x3,则x1x2x3=
D.过点(0,m)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有3条,则-5答案　ACD　
3.★★★(多选)(2025届安徽合肥第一中学最后一卷,10)设函数f(x)=x3-3x2-9x-a有三个不同的零点,从小到大依次为x1,x2,x3,则 (　　)
A.-27B.函数y=f(x)+a的图象的对称中心为(1,-11)
C.过(x1, f(x1))引曲线y=f(x)的切线,有且仅有1条
D.若x1,x2,x3成等差数列,则a=-11
答案　ABD　
4.★★★(2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为　　　　.
答案　-3
5.★★★(2025届山东泰安模拟预测(三),15)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=1处有极小值.
(1)求实数c的值;
(2)若函数g(x)=f(x)+a有三个不同的零点,求实数a的取值范围.
解析　(1)∵f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,
∴f'(x)=3x2-4cx+c2=(x-c)(3x-c),由已知得f'(1)=0,即(1-c)(3-c)=0,∴c=1或c=3,
当c=1时, f'(x)=(x-1)(3x-1),
∴当x<时, f'(x)>0,当1时, f'(x)>0,∴f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴x=1时有极小值,符合题意.
当c=3时, f'(x)=3(x-3)(x-1),
∴当x<1时, f'(x)>0,当13时, f'(x)>0,
∴f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,
∴x=1时有极大值,不符合题意,舍去.
∴c=1.
(2)g(x)=f(x)+a有三个不同的零点,即y=f(x)的图象与直线y=-a有三个不同的交点,
由(1)知f(x)在x=处取极大值, f(x)极大值=f×,
又f(x)极小值=f(1)=0,
∴0<-a<,∴-类型4　三次函数的切线问题
1.★★★(2025届湖北武汉武昌三模,6)已知函数f(x)=x3-6x+7,直线l是曲线y=f(x)的切线,如果切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,那么这样的直线l有 (　　)
A.0条　　　B.1条　　　C.2条　　　D.3条
答案　B　
2.★★(2026届福建部分学校联考,13)若曲线y=tan x在坐标原点处的切线与曲线y=x3-2x+m(x>0)相切,则m=　　　　.
答案　2
3.★★★★(2021全国乙,21(2))已知函数f(x)=x3-x2+ax+1.求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.
解析　设过原点的切线与曲线y=f(x)相切于点P(x0,y0),
则切线的斜率为f'(x0)=3-2x0+a,
故以点P为切点的切线方程为y=(3-2x0+a)(x-x0)+y0.由y0=+ax0+1,且切线过原点,得2-1=0,即(x0-1)·(2+x0+1)=0,解得x0=1,从而得P(1,1+a).
所以切线方程为y=(1+a)x,联立
消去y得x3-x2-x+1=0,
即(x-1)2(x+1)=0,∴x=1或-1,
∴公共点为(1,1+a)与(-1,-1-a).
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