高考热点2 导数中的构造问题--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）
文档属性
| 名称 | 高考热点2 导数中的构造问题--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 290.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-31 00:00:00 | ||
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文档简介
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2027通用版高考数学第一轮
高考热点2 导数中的构造问题
类型1 导数中原函数与导函数的混合构造
1.★★★(2026届河南部分学校第三次质量检测,8)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f'(x),且当x∈时, f'(x)cos x+f(x)sin x>0,若a=,b=2f,c=,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.c2.★★★(2025届湖南三模,8)已知y=f(x)是定义在(1,+∞)上的连续可导函数,其导函数为y=f'(x),若xf'(x)2ln x的解集为 ( )
A.(1,3) B.(3,e2)
C.(1,e3) D.(e,e3)
3.★★★(2025届宁夏石嘴山一中模拟,8)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1, f(1)=3,则不等式exf(x)>ex+2e的解集为 ( )
A.(2,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,1)
4.★★★★(2025届浙江杭州学军中学模拟,8)定义在(0,+∞)上的可导函数f(x),满足f'(x)+,且f(e)=,若a=f(3),b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
类型2 导数中的指对同构问题
1.★★★★(2026届湖南九校联盟联考,8)已知正实数a,b满足aea-2=e2 025和b(ln b-2)=e2 029,则ab的值为 ( )
A.e2 029 B.e2 028 C.e2 027 D.e2 026
2.★★★★(2025届河南豫西北教研联盟三模,8)若 x∈[1,+∞),都有aeax-ln x≥0(a∈R),则a的取值范围为 ( )
A.[e,+∞) B.[2,+∞)
C.[1,+∞) D.
3.★★★★(2025届山西晋城二模,7)已知01,且,则 ( )
A.x<2ln y B.x4.★★★★(2025届安徽江淮十校联考,13)已知a∈R,关于x的不等式-3aln x≥x+1对任意x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值范围是 .
5.★★★★(2025届天津河东二模,15)设函数f(x)=x+ln x,g(x)=x+ex,若存在x1,x2,使得g(x1)=f(x2),则|x1-x2|的最小值为 .
6.★★★★(2026届湖北黄冈部分高中期中,14)对于任意x∈(0,1),不等式≥恒成立,则正数a的取值范围是 .
7.★★★★★(2025届河北秦皇岛山海关模拟,18)已知函数f(x)=ax-e-x,g(x)=x2+xln x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:g(x)>-;
(3)若g(x)≥f(x),求a的取值范围.
高考热点2 导数中的构造问题
类型1 导数中原函数与导函数的混合构造
1.★★★(2026届河南部分学校第三次质量检测,8)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f'(x),且当x∈时, f'(x)cos x+f(x)sin x>0,若a=,b=2f,c=,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.c答案 B
2.★★★(2025届湖南三模,8)已知y=f(x)是定义在(1,+∞)上的连续可导函数,其导函数为y=f'(x),若xf'(x)2ln x的解集为 ( )
A.(1,3) B.(3,e2)
C.(1,e3) D.(e,e3)
答案 D
3.★★★(2025届宁夏石嘴山一中模拟,8)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1, f(1)=3,则不等式exf(x)>ex+2e的解集为 ( )
A.(2,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,1)
答案 B
4.★★★★(2025届浙江杭州学军中学模拟,8)定义在(0,+∞)上的可导函数f(x),满足f'(x)+,且f(e)=,若a=f(3),b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
答案 C
类型2 导数中的指对同构问题
1.★★★★(2026届湖南九校联盟联考,8)已知正实数a,b满足aea-2=e2 025和b(ln b-2)=e2 029,则ab的值为 ( )
A.e2 029 B.e2 028 C.e2 027 D.e2 026
答案 A
2.★★★★(2025届河南豫西北教研联盟三模,8)若 x∈[1,+∞),都有aeax-ln x≥0(a∈R),则a的取值范围为 ( )
A.[e,+∞) B.[2,+∞)
C.[1,+∞) D.
答案 D
3.★★★★(2025届山西晋城二模,7)已知01,且,则 ( )
A.x<2ln y B.x答案 A
4.★★★★(2025届安徽江淮十校联考,13)已知a∈R,关于x的不等式-3aln x≥x+1对任意x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值范围是 .
答案 (-∞,-1]
5.★★★★(2025届天津河东二模,15)设函数f(x)=x+ln x,g(x)=x+ex,若存在x1,x2,使得g(x1)=f(x2),则|x1-x2|的最小值为 .
答案 1
6.★★★★(2026届湖北黄冈部分高中期中,14)对于任意x∈(0,1),不等式≥恒成立,则正数a的取值范围是 .
答案
7.★★★★★(2025届河北秦皇岛山海关模拟,18)已知函数f(x)=ax-e-x,g(x)=x2+xln x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:g(x)>-;
(3)若g(x)≥f(x),求a的取值范围.
解析 (1)由f(x)=ax-e-x,可得f'(x)=a+e-x,
当a≥0时, f'(x)>0,即函数f(x)在R上单调递增;
当a<0时,由f'(x)=0,解得x=ln,
当x0,当x>ln时, f'(x)<0,
故f(x)在上单调递增,在上单调递减.
综上,当a≥0时,函数f(x)在R上单调递增;当a<0时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)证明:函数g(x)=x2+xln x的定义域为(0,+∞),g'(x)=2x+ln x+1,
令h(x)=2x+ln x+1(x>0),
则h'(x)=2+>0,
所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,当x→0+时,h(x)→-∞,且h-ln 4>0,
故存在x0∈,使得h(x0)=2x0+ln x0+1=0,则ln x0=-2x0-1.
当0当x>x0时,h(x)>0,即g'(x)>0,故函数g(x)在(x0,+∞)上单调递增.
故g(x)≥g(x0)=,
令m(x0)=-,因为x0∈,所以m即--.
(3)由g(x)≥f(x)可得x2+xln x≥ax-e-x,即a≤x+ln x+=ln(xex)+,
设φ(x)=xex,x>0,则φ'(x)=(x+1)ex>0,故函数φ(x)在(0,+∞)上单调递增,则φ(x)>φ(0)=0.
设s(t)=ln t+(t>0),
则s'(t)=,
当0当t>1时,s'(t)>0,故函数s(t)在(1,+∞)上单调递增,
故s(t)≥s(1)=1,故a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].
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2027通用版高考数学第一轮
高考热点2 导数中的构造问题
类型1 导数中原函数与导函数的混合构造
1.★★★(2026届河南部分学校第三次质量检测,8)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f'(x),且当x∈时, f'(x)cos x+f(x)sin x>0,若a=,b=2f,c=,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.c
A.(1,3) B.(3,e2)
C.(1,e3) D.(e,e3)
3.★★★(2025届宁夏石嘴山一中模拟,8)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1, f(1)=3,则不等式exf(x)>ex+2e的解集为 ( )
A.(2,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,1)
4.★★★★(2025届浙江杭州学军中学模拟,8)定义在(0,+∞)上的可导函数f(x),满足f'(x)+,且f(e)=,若a=f(3),b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
类型2 导数中的指对同构问题
1.★★★★(2026届湖南九校联盟联考,8)已知正实数a,b满足aea-2=e2 025和b(ln b-2)=e2 029,则ab的值为 ( )
A.e2 029 B.e2 028 C.e2 027 D.e2 026
2.★★★★(2025届河南豫西北教研联盟三模,8)若 x∈[1,+∞),都有aeax-ln x≥0(a∈R),则a的取值范围为 ( )
A.[e,+∞) B.[2,+∞)
C.[1,+∞) D.
3.★★★★(2025届山西晋城二模,7)已知0
A.x<2ln y B.x
5.★★★★(2025届天津河东二模,15)设函数f(x)=x+ln x,g(x)=x+ex,若存在x1,x2,使得g(x1)=f(x2),则|x1-x2|的最小值为 .
6.★★★★(2026届湖北黄冈部分高中期中,14)对于任意x∈(0,1),不等式≥恒成立,则正数a的取值范围是 .
7.★★★★★(2025届河北秦皇岛山海关模拟,18)已知函数f(x)=ax-e-x,g(x)=x2+xln x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:g(x)>-;
(3)若g(x)≥f(x),求a的取值范围.
高考热点2 导数中的构造问题
类型1 导数中原函数与导函数的混合构造
1.★★★(2026届河南部分学校第三次质量检测,8)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f'(x),且当x∈时, f'(x)cos x+f(x)sin x>0,若a=,b=2f,c=,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.c
2.★★★(2025届湖南三模,8)已知y=f(x)是定义在(1,+∞)上的连续可导函数,其导函数为y=f'(x),若xf'(x)
A.(1,3) B.(3,e2)
C.(1,e3) D.(e,e3)
答案 D
3.★★★(2025届宁夏石嘴山一中模拟,8)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1, f(1)=3,则不等式exf(x)>ex+2e的解集为 ( )
A.(2,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,1)
答案 B
4.★★★★(2025届浙江杭州学军中学模拟,8)定义在(0,+∞)上的可导函数f(x),满足f'(x)+,且f(e)=,若a=f(3),b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
答案 C
类型2 导数中的指对同构问题
1.★★★★(2026届湖南九校联盟联考,8)已知正实数a,b满足aea-2=e2 025和b(ln b-2)=e2 029,则ab的值为 ( )
A.e2 029 B.e2 028 C.e2 027 D.e2 026
答案 A
2.★★★★(2025届河南豫西北教研联盟三模,8)若 x∈[1,+∞),都有aeax-ln x≥0(a∈R),则a的取值范围为 ( )
A.[e,+∞) B.[2,+∞)
C.[1,+∞) D.
答案 D
3.★★★★(2025届山西晋城二模,7)已知0
A.x<2ln y B.x
4.★★★★(2025届安徽江淮十校联考,13)已知a∈R,关于x的不等式-3aln x≥x+1对任意x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值范围是 .
答案 (-∞,-1]
5.★★★★(2025届天津河东二模,15)设函数f(x)=x+ln x,g(x)=x+ex,若存在x1,x2,使得g(x1)=f(x2),则|x1-x2|的最小值为 .
答案 1
6.★★★★(2026届湖北黄冈部分高中期中,14)对于任意x∈(0,1),不等式≥恒成立,则正数a的取值范围是 .
答案
7.★★★★★(2025届河北秦皇岛山海关模拟,18)已知函数f(x)=ax-e-x,g(x)=x2+xln x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:g(x)>-;
(3)若g(x)≥f(x),求a的取值范围.
解析 (1)由f(x)=ax-e-x,可得f'(x)=a+e-x,
当a≥0时, f'(x)>0,即函数f(x)在R上单调递增;
当a<0时,由f'(x)=0,解得x=ln,
当x
故f(x)在上单调递增,在上单调递减.
综上,当a≥0时,函数f(x)在R上单调递增;当a<0时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)证明:函数g(x)=x2+xln x的定义域为(0,+∞),g'(x)=2x+ln x+1,
令h(x)=2x+ln x+1(x>0),
则h'(x)=2+>0,
所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,当x→0+时,h(x)→-∞,且h-ln 4>0,
故存在x0∈,使得h(x0)=2x0+ln x0+1=0,则ln x0=-2x0-1.
当0
故g(x)≥g(x0)=,
令m(x0)=-,因为x0∈,所以m
(3)由g(x)≥f(x)可得x2+xln x≥ax-e-x,即a≤x+ln x+=ln(xex)+,
设φ(x)=xex,x>0,则φ'(x)=(x+1)ex>0,故函数φ(x)在(0,+∞)上单调递增,则φ(x)>φ(0)=0.
设s(t)=ln t+(t>0),
则s'(t)=,
当0
故s(t)≥s(1)=1,故a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].
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