高考热点5　三角形中的“爪型”模型--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）

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2027通用版高考数学第一轮
高考热点5　三角形中的“爪型”模型
类型1　“爪型”三角形——角平分线模型
1.★★(2025届湖南长沙周南中学二模,5)已知△ABC的面积为6,A=60°,AB=3,∠B的平分线交边AC于点D,则的值为 (　　)
A.
2.★★(2026届广东八校联盟质量检测,6)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccos B=2acos A-bcos C,BC边上一点D满足,且AD平分∠BAC.若△ABC的面积为2,则b= (　　)
A.　　　D.4
3.★★★(多选)(2026届浙江Z20名校联盟第一次联考,10)已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,B=C+,AB=2,AC=3,D在线段BC上,且满足AD平分∠BAC.则 (　　)
A.sin B=
C.BC=
4.★★★(2023全国甲理,16,5分)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的平分线交BC于D,则AD=　　　　.
5.★★★★(2026届湖北襄阳四中综合测试,14)如图,在△ABC中,∠BAC=,点E,F分别在边AB,AC上,线段AE和AF的长均不超过9,点P在线段EF上,且AP平分∠EAF,AP=3,则EF长度的取值范围是　　　　.
6.★★★★(2026届福建模拟检测(三),14)在△ABC中,记内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=4,A=,D为边BC上的一点,且AD是∠BAC的平分线,则的最小值为　　　　.
7.★★★(2026届陕西榆林一模,16)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求角B的值;
(2)若△ABC的面积为,∠ABC的平分线BD交AC于D,求线段BD长度的最大值.
类型2　“爪型”三角形——中线模型
1.★★★(2025届河北定州中学一模,7)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2,ccos(A-B)+2asin Bcos C=-ccos C,则AB边上的中线CD长度的最小值为 (　　)
A.
2.★★★(2025届江苏前黄高级中学第一次月考,13)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=60°,若D是BC边的中点,且AD=b,则=　　　　.
3.★★★(2025届河北沧州二模,15)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+a.
(1)求角C的大小;
(2)若AB=2,且sin Asin B=,求AB边上中线CT的长.
类型3　“爪型”三角形——高线模型
1.★★(2025届浙江湖州县域联盟月考,7)在锐角△ABC中,AB=AC,M是AB的中点,CM=,过点C作AB的垂线,垂足是H,CH=,则AB= (　　)
A.　　　D.1
2.★★(2025届山东平度二模,7)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2=b2-ac,且AB边上的高等于AB,则sin C= (　　)
A.
3.★★★(2026届湖北黄冈部分高中期中,16)在△ABC中,角A,B,C满足sin C=sin B+sin(A-B),且△ABC的外接圆的周长为4π.
(1)求角A;
(2)若AD为BC边上的高,且,求△ABC的面积.
高考热点5　三角形中的“爪型”模型
类型1　“爪型”三角形——角平分线模型
1.★★(2025届湖南长沙周南中学二模,5)已知△ABC的面积为6,A=60°,AB=3,∠B的平分线交边AC于点D,则的值为 (　　)
A.
答案　A　
2.★★(2026届广东八校联盟质量检测,6)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccos B=2acos A-bcos C,BC边上一点D满足,且AD平分∠BAC.若△ABC的面积为2,则b= (　　)
A.　　　D.4
答案　B　
3.★★★(多选)(2026届浙江Z20名校联盟第一次联考,10)已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,B=C+,AB=2,AC=3,D在线段BC上,且满足AD平分∠BAC.则 (　　)
A.sin B=
C.BC=
答案　ABD　
4.★★★(2023全国甲理,16,5分)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的平分线交BC于D,则AD=　　　　.
答案　2
5.★★★★(2026届湖北襄阳四中综合测试,14)如图,在△ABC中,∠BAC=,点E,F分别在边AB,AC上,线段AE和AF的长均不超过9,点P在线段EF上,且AP平分∠EAF,AP=3,则EF长度的取值范围是　　　　.
答案　
6.★★★★(2026届福建模拟检测(三),14)在△ABC中,记内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=4,A=,D为边BC上的一点,且AD是∠BAC的平分线,则的最小值为　　　　.
答案　
7.★★★(2026届陕西榆林一模,16)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求角B的值;
(2)若△ABC的面积为,∠ABC的平分线BD交AC于D,求线段BD长度的最大值.
解析　(1)由正弦定理,及,
得,即a2+c2-b2=ac,
由余弦定理的推论得cos B=,
又0(2)因为S△ABC=ac·sin∠ABC=,所以ac=4,
因为BD为∠ABC的平分线,S△ABC=S△ABD+S△DBC,所以4=(a+c)·BD,
则BD=≤,当且仅当a=c=2时,等号成立,
所以线段BD长度的最大值为.
类型2　“爪型”三角形——中线模型
1.★★★(2025届河北定州中学一模,7)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2,ccos(A-B)+2asin Bcos C=-ccos C,则AB边上的中线CD长度的最小值为 (　　)
A.
答案　C　
2.★★★(2025届江苏前黄高级中学第一次月考,13)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=60°,若D是BC边的中点,且AD=b,则=　　　　.
答案　
3.★★★(2025届河北沧州二模,15)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+a.
(1)求角C的大小;
(2)若AB=2,且sin Asin B=,求AB边上中线CT的长.
解析　(1)在△ABC中,由bsin C+a及正弦定理得
sin Bsin C+sin(B+C)=cos B·sin C,
即sin Bsin C=sin Bcos C,
因为B∈(0,π),则sin B>0,故sin C=cos C,可得tan C=,故C=.
(2)由正弦定理可得,
所以ab=sin Asin B·=4,
在△ABC中,由余弦定理可得c2=8=a2+b2-2abcos∠ACB=a2+b2-ab=a2+b2-4,
所以a2+b2=12,
因为CT为AB边上的中线,所以(),所以()2
=()
=(a2+b2+2abcos C)
=(a2+b2+ab)=×(12+4)=4,故||=2,
因此,AB边上的中线CT的长为2.
类型3　“爪型”三角形——高线模型
1.★★(2025届浙江湖州县域联盟月考,7)在锐角△ABC中,AB=AC,M是AB的中点,CM=,过点C作AB的垂线,垂足是H,CH=,则AB= (　　)
A.　　　D.1
答案　B　
2.★★(2025届山东平度二模,7)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2=b2-ac,且AB边上的高等于AB,则sin C= (　　)
A.
答案　D　
3.★★★(2026届湖北黄冈部分高中期中,16)在△ABC中,角A,B,C满足sin C=sin B+sin(A-B),且△ABC的外接圆的周长为4π.
(1)求角A;
(2)若AD为BC边上的高,且,求△ABC的面积.
解析　(1)在△ABC中,A+B=π-C,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
因此由sin C=sin B+sin(A-B)可得sin(A+B)=sin B+sin(A-B),
整理可得2cos Asin B=sin B,
又B∈(0,π),可知sin B≠0,
所以cos A=,
因为A∈(0,π),所以A=.
(2)由AD为BC边上的高可知D,B,C三点共线,设,
因此可得+λ()=(1+λ),所以λ=,即.
记∠CAB,∠ABC,∠C所对的边分别为a,b,c,
又△ABC的外接圆的周长为4π,所以外接圆的半径为R==2,
则a=2Rsin∠CAB=2,
因此|a=1,CD=3,如图所示.
设AD=h(h>0),由勾股定理计算可知AB=c=,AC=b=,
在△ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos∠CAB=4,
整理可得h4-6h2+9=0,即(h2-3)2=0,解得h=,
所以S△ABC=.
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