高考热点8　截面与翻折问题--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）

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2027通用版高考数学第一轮
高考热点8　截面与翻折问题
类型1　空间几何体的截面问题
1.★★(2026届广东佛山质检,4)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱A1B1,BC,DD1的中点,过点E,F,G作正方体的截面,则截面的形状为 (　　)
A.六边形　　　B.五边形　　　C.四边形　　　D.三角形
2.★★★(2026届广东部分学校开学考,6)如图,在棱长为2的正方体中,A,B,C均为顶点,P为所在棱的中点,若PC∥平面α,且A,B均在平面α内,则平面α截正方体所得图形的面积为 (　　)
A.2
3.★★★(2026届江苏如皋中学开学考,6)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是棱AA1和CC1上的点,PA=AA1,CQ=CC1,那么正方体中过点D,P,Q的截面形状为 (　　)
A.三角形　　　B.四边形　　　C.五边形　　　D.六边形
4.★★★(2026届广东八校联盟开学考,8)如图,在外接球体积为的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是线段DD1上的动点(不包括端点),过A,B1,E三点的平面将正方体截为两个部分,且交C1D1于点F,当截得的较小部分的几何体的体积为时,= (　　)
A.
5.★★(2026届河北邯郸调研监测,13)已知三棱锥P-ABC中,PA=PC=PB=BA=BC=2,AC=2,D为PB的中点,过点D作三棱锥P-ABC外接球的截面,则截面面积的最小值为　　　　.
类型2　空间几何体的翻折问题
1.★★★(2025届重庆九龙坡三模,5)如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=2,将△ABD沿BD翻折,得到三棱锥A'-BCD(A'是A在翻折后的对应点),则三棱锥A'-BCD体积的最大值为 (　　)
A.4　　　C.8　　　D.16
2.★★★(2026届安徽六校测试,16)如图1,在边长为4的等边△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=2,AE=1,连接DE,沿DE将△ADE折起得到四棱锥A-BCDE(图2),使AC=.
(1)求证:平面ACE⊥平面BCDE;
(2)求平面ACE与平面ACD夹角的余弦值.
　　
3.★★★(2024新课标Ⅱ,17,15分)如图,平面四边形ABCD中,AB=8,CD=3,AD=5,∠ADC=90°,∠BAD=30°,点E,F满足,.将△AEF沿EF翻折至△PEF,使得PC=4.
(1)证明:EF⊥PD;
(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.
4.★★★★(2025全国二卷,17,15分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°.
(1)证明:A'B∥平面CD'F;
(2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值.
高考热点8　截面与翻折问题
类型1　空间几何体的截面问题
1.★★(2026届广东佛山质检,4)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱A1B1,BC,DD1的中点,过点E,F,G作正方体的截面,则截面的形状为 (　　)
A.六边形　　　B.五边形　　　C.四边形　　　D.三角形
答案　A　
2.★★★(2026届广东部分学校开学考,6)如图,在棱长为2的正方体中,A,B,C均为顶点,P为所在棱的中点,若PC∥平面α,且A,B均在平面α内,则平面α截正方体所得图形的面积为 (　　)
A.2
答案　C　
3.★★★(2026届江苏如皋中学开学考,6)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是棱AA1和CC1上的点,PA=AA1,CQ=CC1,那么正方体中过点D,P,Q的截面形状为 (　　)
A.三角形　　　B.四边形　　　C.五边形　　　D.六边形
答案　B　
4.★★★(2026届广东八校联盟开学考,8)如图,在外接球体积为的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是线段DD1上的动点(不包括端点),过A,B1,E三点的平面将正方体截为两个部分,且交C1D1于点F,当截得的较小部分的几何体的体积为时,= (　　)
A.
答案　B　
5.★★(2026届河北邯郸调研监测,13)已知三棱锥P-ABC中,PA=PC=PB=BA=BC=2,AC=2,D为PB的中点,过点D作三棱锥P-ABC外接球的截面,则截面面积的最小值为　　　　.
答案　π
类型2　空间几何体的翻折问题
1.★★★(2025届重庆九龙坡三模,5)如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=2,将△ABD沿BD翻折,得到三棱锥A'-BCD(A'是A在翻折后的对应点),则三棱锥A'-BCD体积的最大值为 (　　)
A.4　　　C.8　　　D.16
答案　C　
2.★★★(2026届安徽六校测试,16)如图1,在边长为4的等边△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=2,AE=1,连接DE,沿DE将△ADE折起得到四棱锥A-BCDE(图2),使AC=.
(1)求证:平面ACE⊥平面BCDE;
(2)求平面ACE与平面ACD夹角的余弦值.
　　
解析　(1)证明:在△ADE中,由余弦定理得DE2=AD2+AE2-2AD·AE·cos∠EAD=4+1-2×2×1×=3,
所以DE2+AE2=AD2,于是DE⊥AE,
如题图1,连接CE(图略),在△ACE中,由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC·AE·cos∠EAC=42+1-2×4×1×=13,
所以在题图2中,CE2+AE2=14=AC2,于是EC⊥AE,
因为DE∩EC=E,且DE 平面BCDE,EC 平面BCDE,所以AE⊥平面BCDE,
又AE 平面ACE,
所以平面ACE⊥平面BCDE.
(2)如图,以点E为原点,分别以EB,ED,EA所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则D(0,,0),A(0,0,1),C(1,2,0),
所以=(1,2,0),=(0,0,1),
设平面ACE的法向量为m=(x,y,z),
则取y=1,则x=-2,则平面ACE的一个法向量为m=(-2,1,0),
同理可得平面ACD的一个法向量为n=(-,1,),
所以cos=,
所以平面ACE与平面ACD夹角的余弦值为.
3.★★★(2024新课标Ⅱ,17,15分)如图,平面四边形ABCD中,AB=8,CD=3,AD=5,∠ADC=90°,∠BAD=30°,点E,F满足,.将△AEF沿EF翻折至△PEF,使得PC=4.
(1)证明:EF⊥PD;
(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.
解析　(1)证明:由题知AE=,AF=AB=4,∠FAE=30°,
∴EF==2,
∴EF2+AE2=AF2,∴AE⊥EF,
∴EF⊥PE,又PE∩AE=E,PE,AE 平面PED,∴EF⊥平面PED,
又PD 平面PED,∴EF⊥PD.
(2)连接EC,∵CD=3,DE=AD-AE=3,∠ADC=90°,
∴EC==6,
又PE=AE=2,PC=4,∴EC2+PE2=PC2,∴PE⊥EC,又PE⊥EF,EC∩EF=E,EC,EF 平面ABCD,∴PE⊥平面ABCD,
又ED 平面ABCD,∴PE⊥ED,又PE⊥EF,EF⊥ED,∴PE,EF,ED两两垂直,
∴以E为原点,EF,ED,EP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图,
则A(0,-2,0),F(2,0,0),C(3,3,0),D(0,3,0),P(0,0,2),∴=(2,0,-2),=(2,2,0),
=(0,-3,2),=(3,0,0).
设m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2)分别为平面PBF,平面PCD的法向量,
∴
令x1=,则m=(,-1,1),
令y2=2,则n=(0,2,3).
∴cos=,
∴sin=,
∴所求正弦值为.
4.★★★★(2025全国二卷,17,15分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°.
(1)证明:A'B∥平面CD'F;
(2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值.
解析　(1)证明:在四边形ABCD中,AB∥CD,因为E,F分别在AB,CD上,所以FC∥EB,
因为BE 平面CD'F,FC 平面CD'F,
所以BE∥平面CD'F,
同理可得,A'E∥平面CD'F,
又BE∩A'E=E,BE,A'E 平面A'EB,
所以平面A'EB∥平面CD'F,
又A'B 平面A'EB,
所以A'B∥平面CD'F.
(2)由CD=2AD,F为CD的中点,得DF=DA=FC.又AB∥CD,EF∥AD,所以四边形EFDA为平行四边形,又∠DAB=90°,DF=DA,所以四边形EFDA为正方形,则EF⊥DC,即D'F⊥EF,FC⊥EF,所以∠D'FC是面EFD'A'与面EFCB所成的二面角的平面角,因为面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°,所以∠D'FC=60°.又D'F=FC,所以△CD'F为正三角形.由D'F⊥EF,FC⊥EF,D'F∩FC=F,得EF⊥平面CD'F.因为EF 面EFCB,所以面D'FC⊥面EFCB.取FC的中点O,连接D'O,则D'O⊥面EFCB,过O作OM∥EF,交BE于M,则以O为坐标原点,分别以OM,OC,OD'所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设FC=2,则F(0,-1,0),E(2,-1,0),C(0,1,0),B(2,3,0),D'(0,0,),A'(2,0,),则=(2,2,0),=(0,-1,),=(2,0,0),=(0,1,).
设面BCD'的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则
令z1=1,得x1=-,y1=,则平面BCD'的一个法向量为n1=(-,,1).
设面EFD'A'的法向量为n2=(x2,y2,z2),则
令z2=1,得y2=-,则平面EFD'A'的一个法向量为n2=(0,-,1),
则cos=.
设面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的大小为θ,则cos θ=,
所以sin θ=,则面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值为.
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