高考热点10　轨迹问题--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）

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2027通用版高考数学第一轮
高考热点10　轨迹问题
类型1　常规曲线的轨迹问题
1.★★(2026届湖北仙桃中学期中,4)平面内,动点P的坐标(x,y)满足方程,则动点P的轨迹方程为 (　　)
A.=1
C.=1
2.★★(2026届山东青岛期初调研,7)已知圆M的方程为(x+1)2+y2=16,定点N(1,0),P为圆M上任意一点,线段NP的垂直平分线与直线MP相交于点Q,则点Q的轨迹方程为 (　　)
A.=1
C.=1
3.★★★(2025届湖南长郡中学第一次调研,15)已知M为圆x2+y2=9上一个动点,MN垂直于x轴,垂足为N,O为坐标原点,△OMN的重心为G.
(1)求点G的轨迹方程;
(2)记(1)中的轨迹为曲线C,直线l与曲线C相交于A,B两点,点Q(0,1),若点H(,0)恰好是△ABQ的垂心,求直线l的方程.
4.★★★(2025届广东华南师大附中二模,17)设A,B分别是直线y=x上的动点,且|AB|=,设O为坐标原点,动点P满足,记P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)已知点Q为曲线C的上顶点,点F1,F2分别为左、右焦点,过点Q的直线l交曲线C于另一点M,若,求l的方程.
5.★★★★(2026届四川成都树德中学阶段测试,18)已知动点E与点F(1,0)的距离与其到直线x=-1的距离相等.
(1)求动点E的轨迹方程;
(2)若点R是y轴左侧(不含y轴)一点,动点E的轨迹上存在不同的两点A,B满足RA,RB的中点均在E的轨迹上.
(i)设AB中点为M,证明:RM∥x轴;
(ii)若R是半圆x2+y2=1(x<0)上的动点,求△RAB面积的取值范围.
6.★★★★★(2021新高考Ⅰ,21,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-,0),F2(,0),点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)设点T在直线x=上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
类型2　非常规曲线的轨迹问题
1.★★★(多选)(2024新课标Ⅰ,11,6分)设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O,且C上的点满足横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4.则 (　　)
A.a=-2
B.点(2,0)在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点(x0,y0)在C上时,y0≤
2.★★★★(多选)(2026届湖南怀化入学考,11)已知曲线C过点(1,0),且C上的点满足到坐标原点O的距离与到定直线y=m(m>0)的距离之和为2,则 (　　)
A.m=1
B.曲线C关于x轴对称
C.C上的点的横坐标的最大值为
D.x2+2y2-2y的最小值为1
高考热点10　轨迹问题
类型1　常规曲线的轨迹问题
1.★★(2026届湖北仙桃中学期中,4)平面内,动点P的坐标(x,y)满足方程,则动点P的轨迹方程为 (　　)
A.=1
C.=1
答案　D　
2.★★(2026届山东青岛期初调研,7)已知圆M的方程为(x+1)2+y2=16,定点N(1,0),P为圆M上任意一点,线段NP的垂直平分线与直线MP相交于点Q,则点Q的轨迹方程为 (　　)
A.=1
C.=1
答案　B　
3.★★★(2025届湖南长郡中学第一次调研,15)已知M为圆x2+y2=9上一个动点,MN垂直于x轴,垂足为N,O为坐标原点,△OMN的重心为G.
(1)求点G的轨迹方程;
(2)记(1)中的轨迹为曲线C,直线l与曲线C相交于A,B两点,点Q(0,1),若点H(,0)恰好是△ABQ的垂心,求直线l的方程.
解析　(1)设G(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),
因为G为△OMN的重心,
故=9,化简得+y2=1,又x0y0≠0,故xy≠0,
所以G的轨迹方程为+y2=1(xy≠0).
(2)因为H为△ABQ的垂心,所以AB⊥HQ,AH⊥BQ,
因为kHQ=,所以kl=,故设直线l的方程为y=x+m(m≠±1,±2),联立
消去y得13x2+8mx+4m2-4=0,
由Δ=208-16m2>0得m2<13,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
由AH⊥BQ,得=-1,
所以x2(x1-)+(x1+m)(x2+m-1)=0,
所以4x1x2+(m-1)(x1+x2)+m2-m=0,
所以4(4m2-4)-24m(m-1)+13(m2-m)=0,化简得5m2+11m-16=0,
解得m=1(舍去)或m=-(满足Δ>0),
故直线l的方程为y=.
4.★★★(2025届广东华南师大附中二模,17)设A,B分别是直线y=x上的动点,且|AB|=,设O为坐标原点,动点P满足,记P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)已知点Q为曲线C的上顶点,点F1,F2分别为左、右焦点,过点Q的直线l交曲线C于另一点M,若,求l的方程.
解析　(1)由题意,设A,B,P(x,y),
∵,
∴x=x1+x2,y=(x1-x2).
则(*)
∵|AB|=,
∴2=(x1-x2)2+,
将(*)式代入得2=2y2+x2,
化简得+y2=1.
∴动点P的轨迹方程为+y2=1.
(2)设点M(x,y).由题意得Q(0,1),F1(-,0),F2(,0).
∵,∴MF1∥QF2,
故∥,
又=(--x,-y),=(,-1),
∴y=0,
故点M在直线x+=0上,
联立消去x得7y2+6y-1=0,解得y=-1或y=.
∴M(0,-1)或M.
当M坐标为(0,-1)时,直线l的方程为x=0,
当M坐标为时,直线l的方程为y-1=x,即y=x+1.
5.★★★★(2026届四川成都树德中学阶段测试,18)已知动点E与点F(1,0)的距离与其到直线x=-1的距离相等.
(1)求动点E的轨迹方程;
(2)若点R是y轴左侧(不含y轴)一点,动点E的轨迹上存在不同的两点A,B满足RA,RB的中点均在E的轨迹上.
(i)设AB中点为M,证明:RM∥x轴;
(ii)若R是半圆x2+y2=1(x<0)上的动点,求△RAB面积的取值范围.
解析　(1)由题意知动点E到F(1,0)的距离与它到直线x=-1的距离相等,所以动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,因此动点E的轨迹方程为y2=4x.
(2)(i)设R(x0,y0),A,B.因为RA,RB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程,即y2-2y0y+8x0-=0的两个不同的实数根.所以y1+y2=2y0.
因此,RM∥x轴.
(ii)由已知=1,由(i)可知Δ=4-4(8x0-)=8(--4x0+1)>0(-1所以|RM|=()-x0=-3x0,|y1-y2|=2,
因此,△RAB的面积S△RAB=(.
因为=1(-1≤x0<0),
所以-4x0+1∈(1,4].
因此,△RAB面积的取值范围是.
6.★★★★★(2021新高考Ⅰ,21,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-,0),F2(,0),点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)设点T在直线x=上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
解析　(1)由题意知|F1F2|=2,因为|MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=2,所以结合双曲线定义知,点M的轨迹C是以F1,F2为焦点的双曲线的右支.
设其方程为=1(a>0,b>0,x≥a),
则2a=2,2c=2,解得a=1,c=,
则b2=c2-a2=()2-12=16,
故M的轨迹C的方程为x2-=1(x≥1).
(2)如图,设T,直线AB的方程为y-m=k1,由消去y得(16-)x2+(-2k1m)x-+k1m-m2-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,
x1x2=,
因为T,
所以|TA|=
=
=
=,
同理|TB|=,
所以|TA|·|TB|
=(1+)
=(1+)x1x2-(x1+x2)+
=(1+)×
=(1+)·
=.
设直线PQ的方程为y-m=k2,
同理得|TP|·|TQ|=,
因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,
所以,
即,
(1+)(-16)=(1+)(-16),
化简得,
由题意知k1≠k2,所以k1+k2=0,
即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
类型2　非常规曲线的轨迹问题
1.★★★(多选)(2024新课标Ⅰ,11,6分)设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O,且C上的点满足横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4.则 (　　)
A.a=-2
B.点(2,0)在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点(x0,y0)在C上时,y0≤
答案　ABD　
2.★★★★(多选)(2026届湖南怀化入学考,11)已知曲线C过点(1,0),且C上的点满足到坐标原点O的距离与到定直线y=m(m>0)的距离之和为2,则 (　　)
A.m=1
B.曲线C关于x轴对称
C.C上的点的横坐标的最大值为
D.x2+2y2-2y的最小值为1
答案　ACD　
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