高考热点11　圆锥曲线中的最值与范围问题--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）

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2027通用版高考数学第一轮
高考热点11　圆锥曲线中的最值与范围问题
类型1　圆锥曲线中的最值问题
1.★★★★(2023全国甲理,20,12分)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且=0,求△MFN面积的最小值.
2.★★★★(2026届河南部分学校质检,18)已知椭圆E:=1(a>b>0)的焦距为2,短轴长为2,A为E在第一象限上的一点,过点A且与E相切的直线分别交y轴、x轴于B,C两点,O为坐标原点.
(1)求E的标准方程;
(2)设点D,求|AD|的最小值;
(3)证明:△OBC的面积不小于2.
3.★★★★(2025全国一卷,18,17分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,下顶点为A,右顶点为B,|AB|=.
(1)求C的方程;
(2)已知动点P不在y轴上,点R在射线AP上,且满足|AP|·|AR|=3.
(i)设P(m,n),求R的坐标(用m,n表示);
(ii)设O为坐标原点,Q是C上的动点,直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍,求|PQ|的最大值.
类型2　圆锥曲线中的范围问题
1.★★★★★(2023新课标Ⅰ,22,12分)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点的距离,记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程;
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于3.
2.★★★★★(2026届广东部分学校联考,19)过点R(4,0)的直线l与双曲线Γ:=1(b>0)的右支交于A,B两点,当AB⊥x轴时,|AB|=6.
(1)求Γ的渐近线方程;
(2)记Γ的左顶点为C,求kAC+kBC的取值范围;
(3)若分别以点A,B为圆心的两圆有公共点R,它们与x轴的另一交点分别记作点P,Q,记O为坐标原点,当≤20时,求|AB|的取值范围.
高考热点11　圆锥曲线中的最值与范围问题
类型1　圆锥曲线中的最值问题
1.★★★★(2023全国甲理,20,12分)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且=0,求△MFN面积的最小值.
解析　(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x得y2-4py+2p=0,
∵直线与抛物线有两个交点A,B,∴Δ=16p2-8p>0,解得p>或p<0(舍).
由根与系数的关系可知,
y1+y2=4p,y1y2=2p,
∴|AB|=|y1-y2|
=
=.
解得p=2或p=-(舍).∴p=2.
(2)由(1)知,抛物线的焦点为F(1,0).
由题意知直线MN的斜率不可能为0,
∴设MN的方程为x=my+t,M(x3,y3),N(x4,y4),
联立消去x得y2-4my-4t=0,
∴Δ=16m2+16t>0,即m2+t>0,
由根与系数的关系得y3+y4=4m,y3y4=-4t,
∵=0,∴(x3-1,y3)·(x4-1,y4)=0,即(x3-1)(x4-1)+y3y4=(my3+t-1)(my4+t-1)+y3y4
=(m2+1)y3y4+m(t-1)(y3+y4)+(t-1)2
=(m2+1)(-4t)+m(t-1)·4m+(t-1)2=0,
即-4m2t-4t+4m2t-4m2+t2-2t+1=0,即4m2=t2-6t+1.
设F到MN的距离为d,则d=,
又|MN|=|y3-y4|
=
=
=4,
∴S△MFN=|MN|·d
=×4
=2·|t-1|
=|t-1|=(t-1)2.
∵4m2=t2-6t+1≥0,
∴t≤3-2或t≥3+2,
∴当且仅当t=3-2时,S△MFN取得最小值12-8.
即△MFN面积的最小值为12-8.
2.★★★★(2026届河南部分学校质检,18)已知椭圆E:=1(a>b>0)的焦距为2,短轴长为2,A为E在第一象限上的一点,过点A且与E相切的直线分别交y轴、x轴于B,C两点,O为坐标原点.
(1)求E的标准方程;
(2)设点D,求|AD|的最小值;
(3)证明:△OBC的面积不小于2.
解析　(1)由题意得2c=2,2b=2,则c=1,b=,则a==2,
从而E的标准方程为=1.
(2)设A(x0,y0),x0>0,y0>0,则=1,,又D,
所以|AD|=
=
=,当x0=1时,|AD|min=.
(3)证明:因为A在第一象限,则由椭圆方程可得y=,y'=-.
设A(x0,y0),x0>0,y0>0,则在A处的切线斜率为y',又=1,则,
则y'.
则切线方程为y=-(x-x0)+y0.
【思路探究:△OBC的面积由点A(x0,y0)的变化而变化,建立△OBC的面积关于x0,y0的关系式,结合椭圆方程利用基本不等式证明不等关系】
令x=0,得y=,即B,
令y=0,得x=,即C.
则S△OBC=.
又=1,因此1=≥2,即x0y0≤,当且仅当时取等号,
所以S△OBC=≥2,即△OBC的面积不小于2.
3.★★★★(2025全国一卷,18,17分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,下顶点为A,右顶点为B,|AB|=.
(1)求C的方程;
(2)已知动点P不在y轴上,点R在射线AP上,且满足|AP|·|AR|=3.
(i)设P(m,n),求R的坐标(用m,n表示);
(ii)设O为坐标原点,Q是C上的动点,直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍,求|PQ|的最大值.
解析　(1)由题意得e=,
且|AB|=,a2=b2+c2,
解得a=3,b=1,c=2,
∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)(i)∵点R在射线AP上,A(0,-1),
∴设=λ(m,n+1),
则||2=λ[m2+(n+1)2]=3,
∴λ=,
∴,,
∴R.
(ii)由(i),知kOR==3kOP,
化简得n2+m2+8n-2=0,即m2+(n+4)2=18.
∴P(m,n)在以D(0,-4)为圆心,3为半径的圆上.
则|PQ|的最大值即为|DQ|max+3.
设Q(x,y),其中-1≤y≤1.
则|DQ|2=x2+(y+4)2
=9(1-y2)+y2+8y+16(提示:利用点Q在椭圆上,消x)
=-8y2+8y+25=-8+27,
当y=时,|DQ|max=3.
则|PQ|max=3.
类型2　圆锥曲线中的范围问题
1.★★★★★(2023新课标Ⅰ,22,12分)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点的距离,记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程;
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于3.
解析　(1)设P(x,y),由题意得=|y|,整理得x2-y+=0,因此W的方程为y=x2+.
(2)证明:不妨设A,B,C三点在W上,如图所示.
设B,A,C,AB的斜率为k,则直线BC的斜率为-(k≠0),
直线AB,BC的方程分别为y-=k(x-x0),y-(x-x0),即直线AB,BC的方程分别为y=kx-kx0+,y=-,
联立直线AB与抛物线W的方程可得=0,
则Δ=k2-4kx0+4=(k-2x0)2>0,k≠2x0.
由根与系数的关系得x0+x1=k,x0·x1=kx0-,
∴|AB|=|k-2x0|.
同理,联立直线BC与抛物线W的方程,并消去y得x2+=0,且|BC|=,
∴|AB|+|BC|=.
由对称性不妨设0<|k|≤1,
则≥(当|k|=1时取“=”),
∴|AB|+|BC|≥≥,
令t=k2,则t∈(0,1],
则,
令g(t)=,t∈(0,1],
则g'(t)=,
当00,g(t)单调递增,
∴g(t)在t=处取得极小值,即最小值,为g,
∴|AB|+|BC|>≥.
∴矩形的周长=2(|AB|+|BC|)>3.
2.★★★★★(2026届广东部分学校联考,19)过点R(4,0)的直线l与双曲线Γ:=1(b>0)的右支交于A,B两点,当AB⊥x轴时,|AB|=6.
(1)求Γ的渐近线方程;
(2)记Γ的左顶点为C,求kAC+kBC的取值范围;
(3)若分别以点A,B为圆心的两圆有公共点R,它们与x轴的另一交点分别记作点P,Q,记O为坐标原点,当≤20时,求|AB|的取值范围.
解析　(1)当AB⊥x轴时,|AB|=6,故点(4,3)在Γ上,可得b2=3,
因此Γ的标准方程为=1.
故Γ的渐近线方程为y=±x.
(2)设直线l:x=ty+4,联立
可得(3t2-4)y2+24ty+36=0.
当3t2-4=0时,l与Γ只有一个交点,故t≠±.
因为l与Γ右支有两个交点,所以根据图可得t∈.
设A(xA,yA),B(xB,yB),根据根与系数的关系得
因此kAC+kBC=
=,
则kAC+kBC∈.
(3)易得
【方法技巧:利用圆的弦的垂直平分线经过圆心,由A,B的横坐标表示P,Q的横坐标是解题的关键】
=xPxQ=(2xA-4)(2xB-4)=4xAxB-8(xA+xB)+16≤20,
【思路探究:由·的范围结合根与系数的关系求出参数t的范围,再由参数t的范围求出弦长的范围】
即4·-4≤0,整理得≤0,
∵t∈,∴3t2-4<0,-15t2+4≥0,解得t∈,
因此|AB|=,令m=t2,m∈,设f(m)=,
则f'(m)=
=
=>0对于m∈恒成立.∴f(m)的最小值为f(0)=6,最大值为f.
故|AB|的取值范围为[6,2].
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