高考热点12 圆锥曲线中的存在性(探索性)问题--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）
文档属性
| 名称 | 高考热点12 圆锥曲线中的存在性(探索性)问题--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 757.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-31 00:00:00 | ||
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文档简介
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2027通用版高考数学第一轮
高考热点12 圆锥曲线中的存在性(探索性)问题
1.★★★(2025届湖北武汉外国语学校月考,18)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且经过点A.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程;
(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点 若存在,请找出;若不存在,说明理由.
2.★★★★(2026届辽宁大连部分高中联考,19)已知椭圆C:=1(a>0,b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,点P为C上一点,连接PF1,PF2,有|PF1|+|PF2|=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)取C上一点M,连接F2M,存在直线l:x=2,过点M作MN⊥l于点N,求;
(3)直线l1交C于另两点A,B,且直线AB的斜率恒为,连接F2A,F2B,设∠F2BA=α,∠F2AB=β,判断|sin α-sin β|和sin(α+β)的数量关系并证明.
3.★★★★(2026届浙江9+1联盟期中,18)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距为4,焦点到渐近线的距离为,A,B是双曲线C上关于原点O对称的两点,且点A在第一象限,点T的坐标为(3,0).
(1)求双曲线C的方程.
(2)若∠ATB=90°,求△ATB的面积.
(3)记直线AT,BT与双曲线C的另一个交点分别为P,Q,直线AB,PQ的斜率分别为k1,k2,是否存在实数λ,使得k2=λk1恒成立 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
4.★★★★★(2026届湖北荆州月考,19)已知焦点在x轴上的椭圆C:=1(b>0),点P,Q是椭圆C上的两点,且位于x轴上方,T(t,0)为x轴上一点,O为坐标原点.
(1)当点Q在y轴上,t=1,且△QOT的面积为时,求椭圆C的离心率;
(2)若点P在第一象限,A,B分别为椭圆的上顶点和右顶点,直线PA,PB分别与x轴和y轴交于点M,N.记△PMN,△PAB的面积分别为S1,S2,若S1-S2为定值2,求椭圆C的标准方程;
(3)对于(2)所求的椭圆C,是否存在实数t,使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形 若存在,求t的取值范围;若不存在,请说明理由.
高考热点12 圆锥曲线中的存在性(探索性)问题
1.★★★(2025届湖北武汉外国语学校月考,18)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且经过点A.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程;
(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点 若存在,请找出;若不存在,说明理由.
解析 (1)由题意得
解得
所以椭圆E的方程为=1.
(2)由(1)可知,F1(-2,0),F2(2,0).
由题意可知:5x-12y+10=0,:x=2,
设角平分线所在直线上任意一点为P(x,y),则=|x-2|,
化简得9x-6y-8=0或2x+3y-9=0.
又易知l的斜率为正,
∴∠F1AF2的平分线所在直线l的方程为9x-6y-8=0.
(3)解法一 假设存在关于直线l对称的相异两点B(x1,y1),C(x2,y2),
设lBC:y=-x+m,
联立
消去y可得9x2-12mx+9m2-45=0,
故x1+x2=,x1x2=m2-5.
∵线段BC的中点在l上,
∴6m-m-8=0,解得m=3.
因此中点与点A重合,舍去,
故不存在满足题设条件的相异两点.
解法二 假设存在关于直线l对称的相异两点B(x1,y1),C(x2,y2),线段BC中点M(x0,y0),
由点差法可得
即=0.
∴kBC=,因此kOM=,
联立与点A重合,舍去,
故不存在满足题设条件的相异两点.
2.★★★★(2026届辽宁大连部分高中联考,19)已知椭圆C:=1(a>0,b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,点P为C上一点,连接PF1,PF2,有|PF1|+|PF2|=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)取C上一点M,连接F2M,存在直线l:x=2,过点M作MN⊥l于点N,求;
(3)直线l1交C于另两点A,B,且直线AB的斜率恒为,连接F2A,F2B,设∠F2BA=α,∠F2AB=β,判断|sin α-sin β|和sin(α+β)的数量关系并证明.
解析 (1)因为|PF1|+|PF2|=4=2a,所以a=2,
又e=,则c=,
因此b=,
故椭圆C的方程为=1.
(2)设M(x0,y0),则N(2,y0),由M点在椭圆上得=1,则,
由c=得F2(,0),
因此|MF2|=
=(2-x0),
又|MN|=2-x0,
所以.
(3)|sin α-sin β|=sin(α+β).
【一般采用特殊值探究结论,如本题可取直线AB为过两顶点A(2,0),B(0,-)的直线,则sin β=,sin(α+β)=,sin α=,因此|sin α-sin β|=sin(α+β).证明方法,先用正弦定理将角的正弦转化为边长,再用比例的性质转化为,借助(2)中结论证明问题】
证明如下:
在△F2BA中,由正弦定理可得,
则,
因此,
设l1:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2),
||AF2|-|BF2||=|(a-ex1)-(a-ex2)|=e|x1-x2|=|x1-x2|,
【方法技巧:由(2)中结论=e知:|AF2|=a-ex1,|BF2|=a-ex2,从而解决焦半径问题】
又|AB|=|x1-x2|,
【知识回顾:弦长公式|AB|=·|x1-x2|】
则,
即|sin α-sin β|和sin(α+β)的数量关系为|sin α-sin β|=sin(α+β).
3.★★★★(2026届浙江9+1联盟期中,18)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距为4,焦点到渐近线的距离为,A,B是双曲线C上关于原点O对称的两点,且点A在第一象限,点T的坐标为(3,0).
(1)求双曲线C的方程.
(2)若∠ATB=90°,求△ATB的面积.
(3)记直线AT,BT与双曲线C的另一个交点分别为P,Q,直线AB,PQ的斜率分别为k1,k2,是否存在实数λ,使得k2=λk1恒成立 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
解析 (1)由题意得c=2,b=,
则a=1,
所以双曲线C的方程为x2-=1.
(2)当∠ATB=90°时,由O是AB中点,可知|OA|=|OT|=3.
设A(x0,y0)(x0>0,y0>0),则有=9,
因为A在双曲线上,所以=1,联立解得y0=,
则△ATB的面积S=×|OT|×2|y0|=3.
(3)由题意知直线AT:x=y+3,
联立消去x可得[3(x0-3)2-]y2+18(x0-3)y0y+24=0,
由根与系数的关系得yPy0=,
由于=1,即3=3,代入化简得yP=,
可知P的坐标为,
同理可得,Q的坐标为,
则k2=k1,
即存在实数λ=-满足题意.
4.★★★★★(2026届湖北荆州月考,19)已知焦点在x轴上的椭圆C:=1(b>0),点P,Q是椭圆C上的两点,且位于x轴上方,T(t,0)为x轴上一点,O为坐标原点.
(1)当点Q在y轴上,t=1,且△QOT的面积为时,求椭圆C的离心率;
(2)若点P在第一象限,A,B分别为椭圆的上顶点和右顶点,直线PA,PB分别与x轴和y轴交于点M,N.记△PMN,△PAB的面积分别为S1,S2,若S1-S2为定值2,求椭圆C的标准方程;
(3)对于(2)所求的椭圆C,是否存在实数t,使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形 若存在,求t的取值范围;若不存在,请说明理由.
解析 (1)由题意知Q(0,b),T(1,0),由△QOT的面积为,得,则b=,
而a=2,因此c==1,
所以椭圆C的离心率为e=.
(2)设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),由题意知A(0,b),B(2,0),
则直线PA的方程为y=x+b,令y=0,则x=,即得M,
直线PB的方程为y=(x-2),令x=0,则y=,即得N,
故S1-S2=S△PMN-S△PAB=S△MBN-S△MBA=|BM|(|ON|-|OA|)=|BM||AN|=2,
即=2,
即得=4,
则=4,
又b2=4b2,
因此=4,
即4b=4,所以b=1,
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(3)假设存在实数t,使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形.
【思路探究:先假设存在t(即存在参数k,m),再利用条件确定参数k,m的限制条件,以及建立t与参数k,m的关系式,参数k与m的关系式,进而得到范围】
由题意知,直线PQ的斜率存在,设其方程为y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),y1>0,y2>0,
联立得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由Δ=64k2m2-16(m2-1)(1+4k2)=64k2-16m2+16>0,得4k2>m2-1,【限制条件①】
由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=>0,【限制条件②】
y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=>0,【限制条件③】
因此m2>4k2,且m>0,所以>m>2|k|≥0,【限制条件①②③综合】
当k=0时,y1=y2=m且|x1|=|x2|=m,则m=∈(0,1),此时T(0,0),满足题意;
当k≠0时,PQ的中点为U,又T(t,0),
因此kTU=,则t=-,【关键点拨:t与参数k,m的关系式】
=(x1-t)(x2-t)+y1y2=x1x2-t(x1+x2)+t2+y1y2=0,
则+t2=0,
则5m2-4k2-4+8kmt+(1+4k2)t2=0,
即5m2(1+k2)=4(4k2+1)(1+k2),∴m2=(4k2+1),【关键点拨:将t代入,得到参数k与m的关系式】
结合m2>4k2,则(4k2+1)>4k2,∴0则t2=,故t2∈,【关键点拨:消去m求出t2的范围】
所以t∈∪.
综上,存在实数t,使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形,t的取值范围是.
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高考热点12 圆锥曲线中的存在性(探索性)问题
1.★★★(2025届湖北武汉外国语学校月考,18)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且经过点A.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程;
(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点 若存在,请找出;若不存在,说明理由.
2.★★★★(2026届辽宁大连部分高中联考,19)已知椭圆C:=1(a>0,b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,点P为C上一点,连接PF1,PF2,有|PF1|+|PF2|=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)取C上一点M,连接F2M,存在直线l:x=2,过点M作MN⊥l于点N,求;
(3)直线l1交C于另两点A,B,且直线AB的斜率恒为,连接F2A,F2B,设∠F2BA=α,∠F2AB=β,判断|sin α-sin β|和sin(α+β)的数量关系并证明.
3.★★★★(2026届浙江9+1联盟期中,18)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距为4,焦点到渐近线的距离为,A,B是双曲线C上关于原点O对称的两点,且点A在第一象限,点T的坐标为(3,0).
(1)求双曲线C的方程.
(2)若∠ATB=90°,求△ATB的面积.
(3)记直线AT,BT与双曲线C的另一个交点分别为P,Q,直线AB,PQ的斜率分别为k1,k2,是否存在实数λ,使得k2=λk1恒成立 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
4.★★★★★(2026届湖北荆州月考,19)已知焦点在x轴上的椭圆C:=1(b>0),点P,Q是椭圆C上的两点,且位于x轴上方,T(t,0)为x轴上一点,O为坐标原点.
(1)当点Q在y轴上,t=1,且△QOT的面积为时,求椭圆C的离心率;
(2)若点P在第一象限,A,B分别为椭圆的上顶点和右顶点,直线PA,PB分别与x轴和y轴交于点M,N.记△PMN,△PAB的面积分别为S1,S2,若S1-S2为定值2,求椭圆C的标准方程;
(3)对于(2)所求的椭圆C,是否存在实数t,使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形 若存在,求t的取值范围;若不存在,请说明理由.
高考热点12 圆锥曲线中的存在性(探索性)问题
1.★★★(2025届湖北武汉外国语学校月考,18)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且经过点A.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程;
(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点 若存在,请找出;若不存在,说明理由.
解析 (1)由题意得
解得
所以椭圆E的方程为=1.
(2)由(1)可知,F1(-2,0),F2(2,0).
由题意可知:5x-12y+10=0,:x=2,
设角平分线所在直线上任意一点为P(x,y),则=|x-2|,
化简得9x-6y-8=0或2x+3y-9=0.
又易知l的斜率为正,
∴∠F1AF2的平分线所在直线l的方程为9x-6y-8=0.
(3)解法一 假设存在关于直线l对称的相异两点B(x1,y1),C(x2,y2),
设lBC:y=-x+m,
联立
消去y可得9x2-12mx+9m2-45=0,
故x1+x2=,x1x2=m2-5.
∵线段BC的中点在l上,
∴6m-m-8=0,解得m=3.
因此中点与点A重合,舍去,
故不存在满足题设条件的相异两点.
解法二 假设存在关于直线l对称的相异两点B(x1,y1),C(x2,y2),线段BC中点M(x0,y0),
由点差法可得
即=0.
∴kBC=,因此kOM=,
联立与点A重合,舍去,
故不存在满足题设条件的相异两点.
2.★★★★(2026届辽宁大连部分高中联考,19)已知椭圆C:=1(a>0,b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,点P为C上一点,连接PF1,PF2,有|PF1|+|PF2|=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)取C上一点M,连接F2M,存在直线l:x=2,过点M作MN⊥l于点N,求;
(3)直线l1交C于另两点A,B,且直线AB的斜率恒为,连接F2A,F2B,设∠F2BA=α,∠F2AB=β,判断|sin α-sin β|和sin(α+β)的数量关系并证明.
解析 (1)因为|PF1|+|PF2|=4=2a,所以a=2,
又e=,则c=,
因此b=,
故椭圆C的方程为=1.
(2)设M(x0,y0),则N(2,y0),由M点在椭圆上得=1,则,
由c=得F2(,0),
因此|MF2|=
=(2-x0),
又|MN|=2-x0,
所以.
(3)|sin α-sin β|=sin(α+β).
【一般采用特殊值探究结论,如本题可取直线AB为过两顶点A(2,0),B(0,-)的直线,则sin β=,sin(α+β)=,sin α=,因此|sin α-sin β|=sin(α+β).证明方法,先用正弦定理将角的正弦转化为边长,再用比例的性质转化为,借助(2)中结论证明问题】
证明如下:
在△F2BA中,由正弦定理可得,
则,
因此,
设l1:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2),
||AF2|-|BF2||=|(a-ex1)-(a-ex2)|=e|x1-x2|=|x1-x2|,
【方法技巧:由(2)中结论=e知:|AF2|=a-ex1,|BF2|=a-ex2,从而解决焦半径问题】
又|AB|=|x1-x2|,
【知识回顾:弦长公式|AB|=·|x1-x2|】
则,
即|sin α-sin β|和sin(α+β)的数量关系为|sin α-sin β|=sin(α+β).
3.★★★★(2026届浙江9+1联盟期中,18)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距为4,焦点到渐近线的距离为,A,B是双曲线C上关于原点O对称的两点,且点A在第一象限,点T的坐标为(3,0).
(1)求双曲线C的方程.
(2)若∠ATB=90°,求△ATB的面积.
(3)记直线AT,BT与双曲线C的另一个交点分别为P,Q,直线AB,PQ的斜率分别为k1,k2,是否存在实数λ,使得k2=λk1恒成立 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
解析 (1)由题意得c=2,b=,
则a=1,
所以双曲线C的方程为x2-=1.
(2)当∠ATB=90°时,由O是AB中点,可知|OA|=|OT|=3.
设A(x0,y0)(x0>0,y0>0),则有=9,
因为A在双曲线上,所以=1,联立解得y0=,
则△ATB的面积S=×|OT|×2|y0|=3.
(3)由题意知直线AT:x=y+3,
联立消去x可得[3(x0-3)2-]y2+18(x0-3)y0y+24=0,
由根与系数的关系得yPy0=,
由于=1,即3=3,代入化简得yP=,
可知P的坐标为,
同理可得,Q的坐标为,
则k2=k1,
即存在实数λ=-满足题意.
4.★★★★★(2026届湖北荆州月考,19)已知焦点在x轴上的椭圆C:=1(b>0),点P,Q是椭圆C上的两点,且位于x轴上方,T(t,0)为x轴上一点,O为坐标原点.
(1)当点Q在y轴上,t=1,且△QOT的面积为时,求椭圆C的离心率;
(2)若点P在第一象限,A,B分别为椭圆的上顶点和右顶点,直线PA,PB分别与x轴和y轴交于点M,N.记△PMN,△PAB的面积分别为S1,S2,若S1-S2为定值2,求椭圆C的标准方程;
(3)对于(2)所求的椭圆C,是否存在实数t,使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形 若存在,求t的取值范围;若不存在,请说明理由.
解析 (1)由题意知Q(0,b),T(1,0),由△QOT的面积为,得,则b=,
而a=2,因此c==1,
所以椭圆C的离心率为e=.
(2)设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),由题意知A(0,b),B(2,0),
则直线PA的方程为y=x+b,令y=0,则x=,即得M,
直线PB的方程为y=(x-2),令x=0,则y=,即得N,
故S1-S2=S△PMN-S△PAB=S△MBN-S△MBA=|BM|(|ON|-|OA|)=|BM||AN|=2,
即=2,
即得=4,
则=4,
又b2=4b2,
因此=4,
即4b=4,所以b=1,
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(3)假设存在实数t,使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形.
【思路探究:先假设存在t(即存在参数k,m),再利用条件确定参数k,m的限制条件,以及建立t与参数k,m的关系式,参数k与m的关系式,进而得到范围】
由题意知,直线PQ的斜率存在,设其方程为y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),y1>0,y2>0,
联立得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由Δ=64k2m2-16(m2-1)(1+4k2)=64k2-16m2+16>0,得4k2>m2-1,【限制条件①】
由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=>0,【限制条件②】
y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=>0,【限制条件③】
因此m2>4k2,且m>0,所以>m>2|k|≥0,【限制条件①②③综合】
当k=0时,y1=y2=m且|x1|=|x2|=m,则m=∈(0,1),此时T(0,0),满足题意;
当k≠0时,PQ的中点为U,又T(t,0),
因此kTU=,则t=-,【关键点拨:t与参数k,m的关系式】
=(x1-t)(x2-t)+y1y2=x1x2-t(x1+x2)+t2+y1y2=0,
则+t2=0,
则5m2-4k2-4+8kmt+(1+4k2)t2=0,
即5m2(1+k2)=4(4k2+1)(1+k2),∴m2=(4k2+1),【关键点拨:将t代入,得到参数k与m的关系式】
结合m2>4k2,则(4k2+1)>4k2,∴0
所以t∈∪.
综上,存在实数t,使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形,t的取值范围是.
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