高考热点13 概率创新题--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）
文档属性
| 名称 | 高考热点13 概率创新题--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 307.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-31 00:00:00 | ||
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文档简介
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2027通用版高考数学第一轮
高考热点13 概率创新题
类型1 以全新信息为载体
★★★★★(2026届山东潍坊月考,19)对于非空数集S,T={x-y|x,y∈S,x≥y},若T=S,则称数集S具有性质M.
(1)判断S1={0,2,4,6},S2={0,1,3,4}是否具有性质M,并说明理由;
(2)若S={a1,a2,a3,…,an}(n≥3)满足:①a1=0;② i,j∈N*,当i(i)证明:数列{an}为等差数列;
(ii)若an=6a2,P={x+y|x,y∈S},A P,求数集A具有性质M的概率.
类型2 与函数、导数综合创新
1.★★★★(多选)(2020新高考Ⅰ,12,5分)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),pi=1,定义X的信息熵H(X)=-pilog2pi. ( )
A.若n=1,则H(X)=0
B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大
C.若pi=(i=1,2,…,n),则H(X)随着n的增大而增大
D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),则H(X)≤H(Y)
2.★★★★★(2026届重庆巴蜀中学联合诊断,18)根据社会人口学研究发现,一个家庭有X个孩子的概率模型为:
X 0 1 2 3
概率 α(1-p)2 α α(1-p)
其中α>0,0(1)若p=,求α的值以及P(B);
(2)为了调控未来人口结构,需要调控p的值,其中参数p受到各种因素的影响(例如生育保险的增加,教育、医疗福利的增加等).
①若希望P(X=2)增大,如何调控p的值
②是否存在p的值,使得E(X)≥ 若存在,求出p的值或范围;若不存在,请说明理由.
类型3 与数列综合创新
1.★★★(2026届贵州贵阳摸底,16)如图,单位圆上的一质点在随机外力的作用下,每一次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移动,设移动n次回到起始位置的概率为Pn.
(1)求P2及P3的值;
(2)求数列{Pn}的前n项和.
2.★★★★★(2023新课标Ⅰ,21,12分)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
高考热点13 概率创新题
类型1 以全新信息为载体
★★★★★(2026届山东潍坊月考,19)对于非空数集S,T={x-y|x,y∈S,x≥y},若T=S,则称数集S具有性质M.
(1)判断S1={0,2,4,6},S2={0,1,3,4}是否具有性质M,并说明理由;
(2)若S={a1,a2,a3,…,an}(n≥3)满足:①a1=0;② i,j∈N*,当i(i)证明:数列{an}为等差数列;
(ii)若an=6a2,P={x+y|x,y∈S},A P,求数集A具有性质M的概率.
解析 (1)S1={0,2,4,6},T={x-y|x,y∈S1,x≥y}={0,2,4,6}=S1,所以S1具有性质M.S2={0,1,3,4},T={x-y|x,y∈S2,x≥y}={0,1,2,3,4},所以T≠S2,所以S2不具有性质M.
(2)(i)证明:由题意知,显然ai-a2∈T,其中i=3,4,…,n,有(n-2)个元素,0∈T,an-0=an∈T,
且i因为数集S具有性质M,即S=T,
则{0,a2,a3,…,an-1,an}={0,a3-a2,a4-a2,…,an-a2,an},
所以ai-a2=ai-1(i=3,4,…,n),所以ai-ai-1=a2(i=3,4,…,n),
又a2-a1=a2,所以数列{an}是以0为首项,a2为公差的等差数列.
(ii)由(i)知数列{an}是以0为首项,a2为公差的等差数列,即an=(n-1)a2,
由an=6a2,知S={0,a2,2a2,…,6a2},易知S具有性质M,
所以P={0,a2,2a2,…,12a2},共有13个元素,子集数为213,P也具有性质M.
A P,当A中只有一个元素,且具有性质M时,A={0},共1个;
当A中元素个数大于或等于2,且具有性质M时,记A={b1,b2,…,bk},b1结合(i),
当b2=a2时,A={0,a2},A={0,a2,2a2},…,A={0,a2,2a2,…,12a2},共12个;
当b2=2a2时,A={0,2a2},A={0,2a2,4a2},…,A={0,2a2,4a2,6a2,8a2,10a2,12a2},共6个;
当b2=3a2时,A={0,3a2},A={0,3a2,6a2},A={0,3a2,6a2,9a2},A={0,3a2,6a2,9a2,12a2},共4个;
当b2=4a2时,A={0,4a2},A={0,4a2,8a2},A={0,4a2,8a2,12a2},共3个;
当b2=5a2时,A={0,5a2},A={0,5a2,10a2},共2个;
当b2=6a2时,A={0,6a2},A={0,6a2,12a2},共2个;
当b2=7a2时,A={0,7a2},共1个;
当b2=8a2时,A={0,8a2},共1个;
当b2=9a2时,A={0,9a2},共1个;
当b2=10a2时,A={0,10a2},共1个;
当b2=11a2时,A={0,11a2},共1个;
当b2=12a2时,A={0,12a2},共1个.
综上,具有性质M的集合A共有36个,所以数集A具有性质M的概率为.
类型2 与函数、导数综合创新
1.★★★★(多选)(2020新高考Ⅰ,12,5分)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),pi=1,定义X的信息熵H(X)=-pilog2pi. ( )
A.若n=1,则H(X)=0
B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大
C.若pi=(i=1,2,…,n),则H(X)随着n的增大而增大
D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),则H(X)≤H(Y)
答案 AC
2.★★★★★(2026届重庆巴蜀中学联合诊断,18)根据社会人口学研究发现,一个家庭有X个孩子的概率模型为:
X 0 1 2 3
概率 α(1-p)2 α α(1-p)
其中α>0,0(1)若p=,求α的值以及P(B);
(2)为了调控未来人口结构,需要调控p的值,其中参数p受到各种因素的影响(例如生育保险的增加,教育、医疗福利的增加等).
①若希望P(X=2)增大,如何调控p的值
②是否存在p的值,使得E(X)≥ 若存在,求出p的值或范围;若不存在,请说明理由.
解析 (1)由题可知α(1-p)2++α+α(1-p)=1.因为p=,所以α=1,所以α=.
分析可得:
事件A0B表示一个家庭有0个孩子,且是男孩,所以P(A0B)=0;
事件A1B表示一个家庭有一个孩子,且是男孩,所以P(A1B)=P(B|A1)P(A1)=;
事件A2B表示一个家庭有两个孩子,且均是男孩,所以P(A2B)=P(B|A2)P(A2)=;
事件A3B表示一个家庭有三个孩子,其中有两个是男孩、一个是女孩或三个均是男孩,所以P(A3B)=P(B|A3)P(A3)=·α(1-p)=,
所以P(B)=P(AiB)=.
(2)①由题可知:α(1-p)2++α+α(1-p)=1(α>0),所以.
令f(p)=p2-3p+3+,0则f'(p)=2p-3-,0令g(p)=2p-3-,0则g'(p)=2+>0.
所以g(p)在(0,1)上单调递增,所以g(p)所以f(p)在(0,1)上单调递减.
因此,当p增大时,=f(p)减小.因为α>0,所以α增大,即P(X=2)增大.
故若希望P(X=2)增大,则可增大p的值.
②由①得,
假设存在p的值,使得E(X)≥,则E(X)=+2α+3α(1-p)=α≥,
因为α>0,所以+5-3p≥,即+5-3p≥,
整理得3p2-3p-1+≤0,
即≤0.因为0所以存在p的值,使得E(X)≥,p的取值范围是.
类型3 与数列综合创新
1.★★★(2026届贵州贵阳摸底,16)如图,单位圆上的一质点在随机外力的作用下,每一次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移动,设移动n次回到起始位置的概率为Pn.
(1)求P2及P3的值;
(2)求数列{Pn}的前n项和.
解析 (1)记事件Ai:质点移动i次回到起始位置(i=1,2,…),则P1=P(A1)=0,P2=P(A2)=××,
P3=P(A3)=.
(2)根据题意,由全概率公式有
P(An)=P(An-1)P(An|An-1)+P()·P(An|),
所以Pn=Pn-1·0+(1-Pn-1)·,
即Pn=-,
所以Pn-(n≥2),
所以为首项,-为公比的等比数列.
所以Pn-×,即Pn=-×,
设数列{Pn}的前n项和为Sn,
则Sn=n
=-×n.
2.★★★★★(2023新课标Ⅰ,21,12分)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
解析 (1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi,
所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)·P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.
(2)设P(Ai)=pi,依题可知,P(Bi)=1-pi,则P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)
=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi),
即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2,【根据全概率公式找到递推式是解题关键】
设pi+1+λ=(pi+λ),解得λ=-,
则pi+1-,
又p1=,p1-,所以,公比为的等比数列,
即pi-×,pi=×.
(3)因为pi=×,i=1,2,…,n,
所以当n∈N*时,E(Y)=p1+p2+…+pn=×,
故E(Y)=.
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2027通用版高考数学第一轮
高考热点13 概率创新题
类型1 以全新信息为载体
★★★★★(2026届山东潍坊月考,19)对于非空数集S,T={x-y|x,y∈S,x≥y},若T=S,则称数集S具有性质M.
(1)判断S1={0,2,4,6},S2={0,1,3,4}是否具有性质M,并说明理由;
(2)若S={a1,a2,a3,…,an}(n≥3)满足:①a1=0;② i,j∈N*,当i
(ii)若an=6a2,P={x+y|x,y∈S},A P,求数集A具有性质M的概率.
类型2 与函数、导数综合创新
1.★★★★(多选)(2020新高考Ⅰ,12,5分)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),pi=1,定义X的信息熵H(X)=-pilog2pi. ( )
A.若n=1,则H(X)=0
B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大
C.若pi=(i=1,2,…,n),则H(X)随着n的增大而增大
D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),则H(X)≤H(Y)
2.★★★★★(2026届重庆巴蜀中学联合诊断,18)根据社会人口学研究发现,一个家庭有X个孩子的概率模型为:
X 0 1 2 3
概率 α(1-p)2 α α(1-p)
其中α>0,0
(2)为了调控未来人口结构,需要调控p的值,其中参数p受到各种因素的影响(例如生育保险的增加,教育、医疗福利的增加等).
①若希望P(X=2)增大,如何调控p的值
②是否存在p的值,使得E(X)≥ 若存在,求出p的值或范围;若不存在,请说明理由.
类型3 与数列综合创新
1.★★★(2026届贵州贵阳摸底,16)如图,单位圆上的一质点在随机外力的作用下,每一次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移动,设移动n次回到起始位置的概率为Pn.
(1)求P2及P3的值;
(2)求数列{Pn}的前n项和.
2.★★★★★(2023新课标Ⅰ,21,12分)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
高考热点13 概率创新题
类型1 以全新信息为载体
★★★★★(2026届山东潍坊月考,19)对于非空数集S,T={x-y|x,y∈S,x≥y},若T=S,则称数集S具有性质M.
(1)判断S1={0,2,4,6},S2={0,1,3,4}是否具有性质M,并说明理由;
(2)若S={a1,a2,a3,…,an}(n≥3)满足:①a1=0;② i,j∈N*,当i
(ii)若an=6a2,P={x+y|x,y∈S},A P,求数集A具有性质M的概率.
解析 (1)S1={0,2,4,6},T={x-y|x,y∈S1,x≥y}={0,2,4,6}=S1,所以S1具有性质M.S2={0,1,3,4},T={x-y|x,y∈S2,x≥y}={0,1,2,3,4},所以T≠S2,所以S2不具有性质M.
(2)(i)证明:由题意知,显然ai-a2∈T,其中i=3,4,…,n,有(n-2)个元素,0∈T,an-0=an∈T,
且i
则{0,a2,a3,…,an-1,an}={0,a3-a2,a4-a2,…,an-a2,an},
所以ai-a2=ai-1(i=3,4,…,n),所以ai-ai-1=a2(i=3,4,…,n),
又a2-a1=a2,所以数列{an}是以0为首项,a2为公差的等差数列.
(ii)由(i)知数列{an}是以0为首项,a2为公差的等差数列,即an=(n-1)a2,
由an=6a2,知S={0,a2,2a2,…,6a2},易知S具有性质M,
所以P={0,a2,2a2,…,12a2},共有13个元素,子集数为213,P也具有性质M.
A P,当A中只有一个元素,且具有性质M时,A={0},共1个;
当A中元素个数大于或等于2,且具有性质M时,记A={b1,b2,…,bk},b1
当b2=a2时,A={0,a2},A={0,a2,2a2},…,A={0,a2,2a2,…,12a2},共12个;
当b2=2a2时,A={0,2a2},A={0,2a2,4a2},…,A={0,2a2,4a2,6a2,8a2,10a2,12a2},共6个;
当b2=3a2时,A={0,3a2},A={0,3a2,6a2},A={0,3a2,6a2,9a2},A={0,3a2,6a2,9a2,12a2},共4个;
当b2=4a2时,A={0,4a2},A={0,4a2,8a2},A={0,4a2,8a2,12a2},共3个;
当b2=5a2时,A={0,5a2},A={0,5a2,10a2},共2个;
当b2=6a2时,A={0,6a2},A={0,6a2,12a2},共2个;
当b2=7a2时,A={0,7a2},共1个;
当b2=8a2时,A={0,8a2},共1个;
当b2=9a2时,A={0,9a2},共1个;
当b2=10a2时,A={0,10a2},共1个;
当b2=11a2时,A={0,11a2},共1个;
当b2=12a2时,A={0,12a2},共1个.
综上,具有性质M的集合A共有36个,所以数集A具有性质M的概率为.
类型2 与函数、导数综合创新
1.★★★★(多选)(2020新高考Ⅰ,12,5分)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),pi=1,定义X的信息熵H(X)=-pilog2pi. ( )
A.若n=1,则H(X)=0
B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大
C.若pi=(i=1,2,…,n),则H(X)随着n的增大而增大
D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),则H(X)≤H(Y)
答案 AC
2.★★★★★(2026届重庆巴蜀中学联合诊断,18)根据社会人口学研究发现,一个家庭有X个孩子的概率模型为:
X 0 1 2 3
概率 α(1-p)2 α α(1-p)
其中α>0,0
(2)为了调控未来人口结构,需要调控p的值,其中参数p受到各种因素的影响(例如生育保险的增加,教育、医疗福利的增加等).
①若希望P(X=2)增大,如何调控p的值
②是否存在p的值,使得E(X)≥ 若存在,求出p的值或范围;若不存在,请说明理由.
解析 (1)由题可知α(1-p)2++α+α(1-p)=1.因为p=,所以α=1,所以α=.
分析可得:
事件A0B表示一个家庭有0个孩子,且是男孩,所以P(A0B)=0;
事件A1B表示一个家庭有一个孩子,且是男孩,所以P(A1B)=P(B|A1)P(A1)=;
事件A2B表示一个家庭有两个孩子,且均是男孩,所以P(A2B)=P(B|A2)P(A2)=;
事件A3B表示一个家庭有三个孩子,其中有两个是男孩、一个是女孩或三个均是男孩,所以P(A3B)=P(B|A3)P(A3)=·α(1-p)=,
所以P(B)=P(AiB)=.
(2)①由题可知:α(1-p)2++α+α(1-p)=1(α>0),所以.
令f(p)=p2-3p+3+,0
所以g(p)在(0,1)上单调递增,所以g(p)
因此,当p增大时,=f(p)减小.因为α>0,所以α增大,即P(X=2)增大.
故若希望P(X=2)增大,则可增大p的值.
②由①得,
假设存在p的值,使得E(X)≥,则E(X)=+2α+3α(1-p)=α≥,
因为α>0,所以+5-3p≥,即+5-3p≥,
整理得3p2-3p-1+≤0,
即≤0.因为0
类型3 与数列综合创新
1.★★★(2026届贵州贵阳摸底,16)如图,单位圆上的一质点在随机外力的作用下,每一次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移动,设移动n次回到起始位置的概率为Pn.
(1)求P2及P3的值;
(2)求数列{Pn}的前n项和.
解析 (1)记事件Ai:质点移动i次回到起始位置(i=1,2,…),则P1=P(A1)=0,P2=P(A2)=××,
P3=P(A3)=.
(2)根据题意,由全概率公式有
P(An)=P(An-1)P(An|An-1)+P()·P(An|),
所以Pn=Pn-1·0+(1-Pn-1)·,
即Pn=-,
所以Pn-(n≥2),
所以为首项,-为公比的等比数列.
所以Pn-×,即Pn=-×,
设数列{Pn}的前n项和为Sn,
则Sn=n
=-×n.
2.★★★★★(2023新课标Ⅰ,21,12分)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
解析 (1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi,
所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)·P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.
(2)设P(Ai)=pi,依题可知,P(Bi)=1-pi,则P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)
=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi),
即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2,【根据全概率公式找到递推式是解题关键】
设pi+1+λ=(pi+λ),解得λ=-,
则pi+1-,
又p1=,p1-,所以,公比为的等比数列,
即pi-×,pi=×.
(3)因为pi=×,i=1,2,…,n,
所以当n∈N*时,E(Y)=p1+p2+…+pn=×,
故E(Y)=.
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