第8讲 利用导数研究函数的性质
（时间：60分钟，满分：92分）
一、单项选择题（每小题5分，共30分）
1.函数f（x）＝－2ln x－x－的单调递增区间是（ ）
A.（0，＋∞） B.（－3，1）
C.（1，＋∞） D.（0，1）
2.已知函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A.[0，1] B.（－∞，0]∪[1，＋∞）
C.[0，2] D.（－∞，0]∪[2，＋∞）
3.（2025·江苏无锡质检）当x＝2时，函数f（x）＝x3＋bx2－12x取得极值，则f（x）在区间[－4，4]上的最大值为（ ）
A.8 B.12
C.16 D.32
4.已知a＝ln，b＝，c＝，则下列结论正确的是（ ）
A.c＜b＜a B.b＜a＜c
C.a＜b＜c D.c＜a＜b
5.（2025·江苏扬州第二次调研）若函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A.a＞－2 B.a＞－
C.a＜－2 D.a＜－
6.（2025·辽宁锦州模拟）若函数f（x）＝xe2a－x－b（x－1）2在R上单调，a，b为实数，则（ ）
A.a≥b B.a≤b
C.a≥－b D.a≤－b
二、多项选择题（每小题6分，共12分）
7.（2025·全国Ⅱ卷10题）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝（x2－3）ex＋2，则（ ）
A.f（0）＝0
B.当x＜0时，f（x）＝－（x2－3）e－x－2
C.f（x）≥2当且仅当x≥
D.x＝－1是f（x）的极大值点
8.（2025·山东山师附中一模）已知函数f（x）＝ln＋ax＋b（x－1）3，则（ ）
A.函数f（x）的定义域为（0，2）
B.当a＝0，b＝0时，函数f（x）在定义域上单调递增
C.曲线y＝f（x）是中心对称图形
D.若b＝0，且f'（x）≥0，a的最小值是0
三、填空题（每小题5分，共10分）
9.（2025·全国Ⅱ卷13题）若x＝2是函数f（x）＝（x－1）（x－2）（x－a）的极值点，则f（0）＝ .
10.（2025·贵州贵阳适应性考试）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且y＝f'（x）＋ex也是偶函数，若f（a）＞f（2a－1），则实数a的取值范围为 .
四、解答题（共30分）
11.（15分）（2025·广东湛江二模）已知函数f（x）＝－x2＋（a2＋a）ln x＋（1－a）x.
（1）若a＝1，求f（x）的极值；
（2）若a≥－， 求f（x）的单调区间.
12.（15分）（2025·上海高考19题）已知f（x）＝x2－（m＋2）x＋mln x，m∈R.
（1）若f（1）＝0，求不等式f（x）≤x2－1的解集；
（2）若函数y＝f（x）满足在（0，＋∞）上存在极大值，求m的取值范围.
☆高考新风向（每小题5分，共10分）
13.〔创新交汇〕P是平面直角坐标系xOy内一点，我们以x轴正半轴为始边，射线OP为终边构成角θ∈[0，2π]，OP的长度r作为θ的函数，若其解析式为r＝｜2sin 2θ｜＋｜sin 4θ｜，则P的轨迹可能为（ ）
14.〔创新定义〕（2025·江西南昌模拟）我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”.已知f（x）＝ex－ex2＋（x－1）2，则下列给出的函数中其图象与y＝f（x）的图象“相似”的是（ ）
A.y＝x2 B.y＝－x2
C.y＝x3－3x D.y＝－x3＋3x
第8讲 利用导数研究函数的性质
1.D f'（x）＝－－1＋＝＝，x＞0.令f'（x）＞0， 得0＜x＜1，∴f（x）的单调递增区间是（0，1）.故选D.
2.C 由f（x）＝x3＋（a－1）x2＋x＋1，得f'（x）＝x2＋2（a－1）x＋1.根据题意得[2（a－1）]2－4≤0，解得0≤a≤2.
3.C f'（x）＝3x2＋2bx－12，∵f（x）在x＝2处取得极值，∴f'（2）＝12＋4b－12＝0，∴b＝0，则f（x）＝x3－12x，由f'（x）＝0，得x＝±2，f（x）在[－4，－2）上单调递增，在（－2，2）上单调递减，在（2，4]上单调递增，又f（－2）＝－8＋24＝16，f（4）＝64－48＝16，∴f（x）max＝16.故选C.
4.C 设f（x）＝（x＞0），则f'（x）＝＝，当x∈（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（e，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.a＝ln＝ln 2＝ln 2＝ln 4＝f（4），又b＝＝f（3），c＝＝f（e），e＜3＜4，且f（x）在（e，＋∞）上单调递减，所以f（4）＜f（3）＜f（e），所以a＜b＜c.
5.C 由函数f（x）＝eax＋2x，可得f'（x）＝aeax＋2，若a≥0，则f'（x）＞0恒成立，此时f（x）单调递增，无极值点，故a＜0，令f'（x）＝aeax＋2＝0，解得x＝ln（－），当x＞ln（－）时，f'（x）＞0，当x＜ln（－）时，f'（x）＜0，故x＝ln（－）是f（x）＝eax＋2x的极值点，由于函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值点，∴ln（－）＞0 ln（－）＜0 0＜－＜1，解得a＜－2.故选C.
6.D f'（x）＝e2a－x－xe2a－x－2b（x－1）＝（1－x）（e2a－x＋2b），因为f（x）在R上单调，所以f'（x）无变号零点，则x＝1是方程e2a－x＋2b＝0的解，故e2a－1＋2b＝0，即b＝－e2a－1，a－（－b）＝a－e2a－1，令g（a）＝a－e2a－1，则g'（a）＝1－e2a－1，令g'（a）＝0，解得a＝，x∈（－∞，）时，g'（a）＞0，x∈（，＋∞）时，g'（a）＜0，所以g（a）在（－∞，）上单调递增，在（，＋∞）上单调递减，g（a）max＝g（）＝0，所以a－（－b）≤0，即a≤－b；a－b＝a＋e2a－1，令h（a）＝a＋e2a－1，h（a）在R上单调递增，无最值，则a，b大小不确定.故选D.
7.ABD A.根据奇函数的定义有f（0）＝0，故A正确；B.当x＜0时，－x＞0，所以f（－x）＝（x2－3）e－x＋2，因为f（－x）＝－f（x），所以f（x）＝－（x2－3）e－x－2，故B正确；C.当x＞0时，f'（x）＝（x2＋2x－3）ex＝（x－1）（x＋3）ex，所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，又f（）＝2，所以由f（x）≥2得x≥；当x＜0时，f（－1）＝2（e－1）＞2，满足f（x）≥2，但－1 [，＋∞），故C错误；D.由C知，D正确.
8.ABC 对于A，由函数解析式可得＞0，解得0＜x＜2，所以函数f（x）的定义域为（0，2），显然A正确；对于B，当a＝0，b＝0时f（x）＝ln＝ln x－ln（2－x），易知函数y＝ln x单调递增，y＝ln（2－x）单调递减，所以函数f（x）在定义域上单调递增，B正确；对于C，令g（x）＝ln，g（2－x）＝ln，g（x）＋g（2－x）＝0，因此g（x）的图象关于点（1，0）中心对称，易知f（x）＝g（x）＋a（x－1）＋a＋b（x－1）3满足f（x）＋f（2－x）＝2a，可得f（x）的图象关于点（1，a）中心对称，可得C正确；对于D，b＝0时，f（x）＝ln＋ax，其中x∈（0，2），则f'（x）＝＋＋a＝＋a，x∈（0，2），因为x（2－x）≤（）2＝1，当且仅当x＝1时等号成立，故f'（x）min＝2＋a，而f'（x）≥0成立，故a＋2≥0，即a≥－2，所以a的最小值为－2，即D错误.故选A、B、C.
9.－4 解析：f'（x）＝（x－2）'[（x－1）（x－a）]＋（x－2）[（x－1）（x－a）]'＝（x－1）（x－a）＋（x－2）[（x－1）（x－a）]'，因为x＝2是函数f（x）的极值点，所以f'（2）＝0，即（2－1）（2－a）＝0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f（x）＝（x－1）（x－2）2，所以f（0）＝－4.
10.（－∞，）∪（1，＋∞） 解析：因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（x）＝f（－x），对等式两边求导有f'（x）＝－f'（－x） ①.因为y＝f'（x）＋ex是偶函数，所以f'（x）＋ex＝f'（－x）＋e－x ②.由①②得f'（x）＝（e－x－ex）＝.当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.又f（a）＞f（2a－1），所以｜a｜＜｜2a－1｜，解得a＞1或a＜.
11.解：（1）当a＝1时，f（x）＝－x2＋2ln x，定义域为（0，＋∞），
则f'（x）＝－2x＋＝.
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.
故当x＝1时，f（x）取得极大值－1，无极小值.
（2）由f（x）＝－x2＋（a2＋a）ln x＋（1－a）x，x＞0，
得f'（x）＝－2x＋＋1－a＝＝.
令（x＋a）（2x－a－1）＝0，得x＝－a或x＝.
若a≥0，则－a≤0，＞0，
当x∈（0，）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.
若－＜a＜0，则＞－a＞0，
当x∈（0，－a）和（，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（－a，）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.
若a＝－，则＝－a＝，f'（x）≤0在x∈（0，＋∞）上恒成立，f（x）单调递减.
综上所述，当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，＋∞）；
当－＜a＜0时，f（x）的单调递增区间为（－a，），单调递减区间为（0，－a）和（，＋∞）；
当a＝－时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递增区间.
12.解：（1）由题设条件可得，f（1）＝1－（m＋2）＝0，解得m＝－1，所以f（x）＝x2－x－ln x.
由f（x）≤x2－1，可得ln x＋x－1≥0，
令g（x）＝ln x＋x－1，则g'（x）＝＋1＞0在（0，＋∞）上恒成立，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，
易知g（1）＝0，所以g（x）≥0即g（x）≥g（1），可得x≥1.
综上，不等式f（x）≤x2－1的解集为[1，＋∞）.
（2）f'（x）＝2x－（m＋2）＋＝＝.
①当＞1，即m＞2时，由f'（x）＞0得x∈（0，1）∪（，＋∞）；由f'（x）＜0得x∈（1，）.故f（x）在（0，1），（，＋∞）上单调递增，在（1，）上单调递减，此时f（x）在x＝1处取得极大值.
②当0＜＜1，即0＜m＜2时，由f'（x）＞0得x∈（0，）∪（1，＋∞）；由f'（x）＜0得x∈（，1）.故f（x）在（0，），（1，＋∞）上单调递增，在（，1）上单调递减，此时f（x）在x＝处取得极大值.
③当＝1，即m＝2时，f'（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立，即f（x）在（0，＋∞）上单调递增，此时函数f（x）在（0，＋∞）上无极大值.
④当≤0，即m≤0时，由f'（x）＜0得x∈（0，1）；由f'（x）＞0得x∈（1，＋∞）.故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，此时f（x）在x＝1处取得极小值，无极大值.
综上可知，m的取值范围为（0，2）∪（2，＋∞）.
13.B r（θ）＝｜2sin 2θ｜＋｜sin 4θ｜，r（ θ＋）＝｜2sin［2（ θ＋）］｜＋｜sin［4（ θ＋）］｜＝｜2sin 2θ｜＋｜sin 4θ｜＝r（θ），可以得到r是以为周期的函数，所以P的轨迹在四个象限内应相似，故排除C、D；由于A、B项均关于y＝x对称，所以仅研究θ∈［0，］，此时，令r＝2sin 2θ＋sin 4θ，r'＝4（cos 2θ＋cos 4θ），令cos 2θ＝t∈[0，1]，令f（t）＝2t2＋t－1＝0，解得t＝（t＝－1舍去），则f（t）在上小于等于0，在（ ，1］上大于0，即r（θ）在（ 0，）内单调递增，在（ ，）内单调递减，在［0，）内有且仅有一个极值点，所以OP不会一直增大，B正确.
14.C f'（x）＝ex－ex＋2x－2，则f'（1）＝0，令f'（x）＝0，则ex＝（e－2）x＋2，如图，在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝ex，y＝（e－2）x＋2的大致图象，由图可知，函数y＝ex与y＝（e－2）x＋2的图象有两个交点，则函数y＝f'（x）有两个零点1，x0，且x0＜0，令f'（x）＞0，则x＞1或x＜x0，令f'（x）＜0，则x0＜x＜1，所以f（x）在（－∞，x0），（1，＋∞）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，所以图象从左到右看，f（x）先有极大值点x0，再有极小值点1.
法一 A错误，函数y＝x2在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，所以函数y＝x2有极小值点，无极大值点；B错误，函数y＝－x2在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，所以函数y＝－x2有极大值点，无极小值点；C正确，对y＝x3－3x求导，得y'＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），当x＜－1或x＞1时，y'＞0，当－1＜x＜1时，y'＜0，所以函数y＝x3－3x在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，在（－1，1）上单调递减，所以图象从左到右看，函数y＝x3－3x先有极大值点－1，再有极小值点1；D错误，y＝－x3＋3x＝－（x3－3x），则由C选项可得，图象从左到右看，函数y＝－x3＋3x先有极小值点－1，再有极大值点1.故选C.
法二 根据二次函数的图象性质可排除A、B.三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象在a＜0时为倒“N”型，图象从左到右看先有极小值点，再有极大值点，排除D.故选C.
3 / 3第8讲 利用导数研究函数的性质
【备考指南】 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考重点考查内容，多以选择题、填空题的形式考查，或以解答题的形式出现，难度中等.
1.求单调区间：解f'（x）＞0或f'（x）＜0（一定注意函数的定义域）.
1.函数f（x）＝x＋＋2ln x的单调递减区间是（ ）
A.（－3，1） B.（0，1） C.（－1，3） D.（0，3）
2.f'（x）是一个函数，f'（x0）是函数f'（x）在x0处的函数值（常数），不一定为0.
2.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝x3＋x2f'（1）＋2x－1，则f'（2）＝（ ）
A.1 B.－9 C.－6 D.4
3.f（x）在x＝a处取得极值 f'（a）＝0且x＝a两侧的单调性相反.
3.已知函数f（x）＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f（x）的极大值为（ ）
A.2 B.－ C.3＋ln 2 D.－2＋2ln 2
4.将函数f（x）在[a，b]内的各极值与区间端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
4.函数f（x）＝x3－4x＋4在[0，3]上的最值是（ ）
A.最大值是4，最小值是－ B.最大值是2，最小值是－
C.最大值是4，最小值是－ D.最大值是2，最小值是－
5.f（x）在（a，b）上单调递增 f'（x）≥0在（a，b）上恒成立（参变分离）.
5.（2025·浙江台州一模）若f（x）＝＋ax在R上单调递减，则实数a的最大值为 .
考点一 利用导数研究函数的单调性
考向1 判断函数的单调性
【通性通法】 导数与函数中分类讨论的界点
（1）根据二次项系数确定分类“界点”；
（2）根据判别式确定分类“界点”；
（3）根据导函数的零点与定义域的关系确定分类“界点”.
【例1】 （2025·山东临沂二模节选）已知函数f（x）＝ax2－（a＋2）x＋ln x，当a＞0时，讨论f（x）的单调性.
考向2 单调性的应用
【通性通法】 函数f（x）在区间D上存在单调递增（或递减）区间，可转化为f'（x）＞0（或f'（x）＜0）在x∈D上有解.
【例2】 （1）若函数f（x）＝ex＋ax－x2存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－1，＋∞） B.（0，＋∞）
C.（－∞，－1） D.（－∞，0）
【通性通法】 利用导数比较大小或解不等式的策略
利用导数比较大小或解不等式，常要构造函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性的问题，再由单调性比较大小或解不等式.
（2）（2025·黑龙江齐齐哈尔二模）已知函数f（x）＝2x－sin 2x，则不等式f（x2）＋f（2x－3）＜0的解集为 .
【训练1】 （1）（2025·北京通州一模）已知函数f（x）＝x2＋cos x，则f（－2），f（3），f（π）的大小关系是（ ）
A.f（－2）＜f（3）＜f（π） B.f（π）＜f（3）＜f（－2）
C.f（3）＜f（－2）＜f（π） D.f（－2）＜f（π）＜f（3）
（2）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝的单调递减区间为（ ）
A.（0，4） B.（－∞，1），（，4）
C.（0，） D.（0，1），（4，＋∞）
【瓶颈突破】 若函数y＝f（x）在区间（a，b）上不单调，则转化为f'（x）＝0在（a，b）上有解（需验证解的两侧导数值是否异号）.
（3）若函数f（x）＝－ln x在区间（m，m＋）上不单调，则实数m的取值范围为 .
考点二 利用导数求函数的极值、最值
考向1 利用导数求函数的极值
【瓶颈突破】 函数f（x）既有极大值也有极小值等价转化为函数f'（x）在（0，＋∞）上有两个零点.
【例3】 （1）〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有极大值也有极小值，则（ ）
A.bc＞0 B.ab＞0
C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0
【通性通法】 对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点附近两侧的导数值异号.f'（x0）＝0是x0为函数极值点的必要不充分条件，因此需要检验参数的值.
（2）（2024·新高考Ⅱ卷16题节选）已知函数f（x）＝ex－ax－a3.若f（x）有极小值，且极小值小于0，求实数a的取值范围.
考向2 利用导数研究函数的最值
【通性通法】 求函数在开区间上的最值问题时，不仅要研究其极值，还需研究其单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象求解.
【例4】 已知函数f（x）＝x3－3x2＋3在区间（a，a＋6）上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A.[－1，2） B.［－，1）
C.［－2，） D.[－1，1）
【瓶颈突破】 若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内一定不具有单调性，反之，若函数在某区间上单调，则函数在此区间内没有极值.
【训练2】 （1）已知函数f（x）＝ex－ax2在R上无极值，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C.［0，］ D.
【瓶颈突破】 f（x）＝kx，x＜2时不存在最值.
（2）（2025·江苏宿迁二模）若函数f（x）＝有最大值，则实数k的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
第8讲 利用导数研究函数的性质
【基础·回扣】
1.B 2.C 3.B 4.A 5.－
【典例·讲解】
【例1】 解：当a＞0时，对函数f（x）＝ax2－（a＋2）x＋ln x求导得，
f'（x）＝2ax－（a＋2）＋＝＝＝＝（x＞0），
若a＝2，则f'（x）＝≥0（x＞0），此时f（x）在定义域（0，＋∞）上单调递增，
若0＜a＜2，则＞，当0＜x＜或x＞时，f'（x）＞0，当＜x＜时，f'（x）＜0，此时f（x）在（0，），（，＋∞）上单调递增，在（，）上单调递减，
若a＞2，则0＜＜，当0＜x＜或x＞时，f'（x）＞0，当＜x＜时，f'（x）＜0，此时f（x）在（0，），（，＋∞）上单调递增，在（，）上单调递减.
综上所述，若a＝2，则f（x）在定义域（0，＋∞）上单调递增；
若0＜a＜2，则f（x）在（0，），（，＋∞）上单调递增，在（，）上单调递减；
若a＞2，则f（x）在（0，），（，＋∞）上单调递增，在（，）上单调递减.
【例2】 （1）C 函数f（x）的定义域是R，f'（x）＝ex＋a－x，若f（x）存在单调递减区间，则a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，则g'（x）＝1－ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故g（x）max＝g（0）＝－1，故a＜－1.故选C.
（2）（－3，1） 解析：f（x）＝2x－sin 2x的定义域为R，∵f'（x）＝2－2cos 2x＝2（1－cos 2x）≥0，∴函数f（x）是R上的增函数，∵f（－x）＝－2x－sin（－2x）＝－（2x－sin 2x）＝－f（x），∴函数f（x）是奇函数，∴由f（x2）＋f（2x－3）＜0得f（x2）＜－f（2x－3）＝f（3－2x），∴x2＜3－2x x2＋2x－3＜0 （x－1）（x＋3）＜0 －3＜x＜1，∴不等式f（x2）＋f（2x－3）＜0的解集为（－3，1）.
【训练1】 （1）A 因为f（－x）＝x2＋cos x＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，f'（x）＝x－sin x，令g（x）＝x－sin x，x∈（0，＋∞），则g'（x）＝1－cos x≥0，x∈（0，＋∞），所以函数g（x）＞g（0）＝0，即当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（－2）＝f（2）＜f（3）＜f（π）.故选A.
（2）D 由题图可知，先减后增的曲线为f'（x）的图象，先增后减再增的曲线为f（x）的图象，当0＜x＜1或x＞4时，f'（x）＜f（x），即g'（x）＝＜0，则函数g（x）＝的单调递减区间为（0，1），（4，＋∞）.故选D.
（3）（，1） 解析：由题可得f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－＝，易知当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，即函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.若函数f（x）＝－ln x在区间（m，m＋）上不单调，则需满足0≤m＜1＜m＋，解得＜m＜1，所以实数m的取值范围为（，1）.
【例3】 （1）BCD 因为函数f（x）＝aln x＋＋（a≠0），所以函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，因为函数f（x）既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则即所以故选B、C、D.
（2）解：易知函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex－a.
当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在R上是增函数，无极值；
当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞ln a，由f'（x）＜0，得x＜ln a，
所以函数f（x）在区间（－∞，ln a）上单调递减，在区间（ln a，＋∞）上单调递增，所以f（x）的极小值为f（ln a）＝a－aln a－a3.
由题意知a－aln a－a3＜0（a＞0），等价于1－ln a－a2＜0（a＞0）.
法一（导数法） 令g（a）＝1－ln a－a2（a＞0），
则g'（a）＝－－2a＜0，所以函数g（a）在（0，＋∞）上是减函数，
又g（1）＝0，故当0＜a＜1时，g（a）＞0；当a＞1时，g（a）＜0.
故实数a的取值范围为（1，＋∞）.
法二（图象法） 由1－ln a－a2＜0（a＞0），得ln a＞－a2＋1（a＞0）.
如图为函数y＝ln a与y＝－a2＋1在区间（0，＋∞）上的大致图象，
由图易知当a＞1时，ln a＞－a2＋1，即1－ln a－a2＜0.
所以实数a的取值范围为（1，＋∞）.
【例4】 A 由题意得f'（x）＝3x2－6x＝3x（x－2）.令f'（x）＞0，得x＜0或x＞2，令f'（x）＜0，得0＜x＜2，则f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（2，＋∞），单调递减区间为（0，2），即x＝2时，函数取得极小值f（2）＝－1.又因为当x3－3x2＋3＝－1，即x3＋1＋3（1－x2）＝（x＋1）·（x－2）2＝0时，解得x＝－1或x＝2，可作出f（x）的图象如图所示，故要使函数f（x）＝x3－3x2＋3在区间（a，a＋6）上存在最小值，则有解得－1≤a＜2，即实数a的取值范围为[－1，2）.故选A.
【训练2】 （1）C 由题意得f'（x）＝ex－2ax，故f'（0）＝1＞0，因为函数f（x）＝ex－ax2在R上无极值，所以f'（x）≥0在R上恒成立，当x＞0时，a≤，设g（x）＝（x＞0），则g'（x）＝＝，当0＜x＜1时，得g'（x）＜0，当x＞1时，得g'（x）＞0，则g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，从而g（x）≥g（1）＝，故a≤；当x＜0时，由f'（x）≥0得a≥，又＜0，则a≥0.综上，a的取值范围是［0，］.
（2）C 当x≥2时，f（x）＝，则f'（x）＝，当2≤x＜e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，当x＞e时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，则函数f（x）在x＝e处取得极大值，且极大值为f（e）＝，因为函数f（x）＝有最大值，则解得0≤k≤，因此实数k的最大值为.故选C.
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第8讲
利用导数研究函数的性质
备考指南
利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考重点考查内容，多以选择题、填空题的形式考查，或以解答题的形式出现，难度中等.
基础·回扣 诊断自测 知识回扣
一
典例·讲解 典例精析 强技提能
二
课后·训练 巩固强化 综合测评
三
目录 /
CONTENTS
基础·回扣
诊断自测 知识回扣
1. 函数f（x）＝x＋ ＋2ln x的单调递减区间是（ ）
A. （－3，1） B. （0，1）
C. （－1，3） D. （0，3）
求单调区间：解f'（x）＞0或
f'（x）＜0（一定注意函数的定义域）.
√
解析： 由题知f'（x）＝1－ ＋ ＝ （x＞0），令f'（x）＜0，得 解得0＜x＜1，所以f（x）的单调递减区间为（0，1）.
2. 已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝x3＋x2f'（1）＋
2x－1，则f'（2）＝（ ）
A. 1 B. －9 C. －6 D. 4
√
f'（x）是一个函数，f'（x0）是函数f'（x）在x0处的函数值（常数），不一定为0.
解析： 因为f（x）＝x3＋x2f'（1）＋2x－1，所以f'（x）＝3x2＋2xf'
（1）＋2，把x＝1代入f'（x），得f'（1）＝3×12＋2f'（1）＋2，解得f'
（1）＝－5，所以f'（x）＝3x2－10x＋2，所以f'（2）＝－6.
3. 已知函数f（x）＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f（x）的
极大值为（ ）
A. 2 B. －
C. 3＋ln 2 D. －2＋2ln 2
√
f（x）在x＝a处取得极值 f'（a）
＝0且x＝a两侧的单调性相反.
解析： f'（x）＝ ＋2ax－3，∵f（x）在x＝2处取得极小值，∴f'
（2）＝4a－2＝0，解得a＝ ，∴f（x）＝2ln x＋ x2－3x，f'（x）＝
＋x－3＝ ，∴f（x）在区间（0，1），（2，＋∞）上单调
递增，在区间（1，2）上单调递减，∴f（x）的极大值为f（1）＝ －3
＝－ .
4. 函数f（x）＝ x3－4x＋4在[0，3]上的最值是（ ）
A. 最大值是4，最小值是－ B. 最大值是2，最小值是－
C. 最大值是4，最小值是－ D. 最大值是2，最小值是－
√
将函数f（x）在[a，b]内的各极值与区间端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
解析： 因为f（x）＝ x3－4x＋4，x∈[0，3]，所以f'（x）＝x2－
4，由f'（x）＝x2－4＞0，得2＜x≤3，由f'（x）＝x2－4＜0，得0≤x＜
2，所以f（x）在[0，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增，又f（0）
＝4，f（2）＝－ ，f（3）＝1，所以f（x）在[0，3]上的最大值是4，
最小值是－ .
5. （2025·浙江台州一模）若f（x）＝ ＋ax在R上单调递减，则实数
a的最大值为 .
－
f（x）在（a，b）上单调递增 f'（x）≥0在（a，b）上恒成立（参变分离）.
解析：因为f（x）＝ ＋ax在R上单调递减，所以f'（x）≤0在R上恒
成立，所以f'（x）＝ ＋a≤0在R上恒成立，所以a≤－
在R上恒成立，令g（x）＝－ ，则g（x）＝－
＝－ ＝－ ≥－ ＝－ ，当且仅当ex＝
，即x＝0时等号成立，所以a≤－ ，故实数a的最大值为－ .
典例·讲解
典例精析 强技提能
考点一 利用导数研究函数的单调性
考向1 判断函数的单调性
【例1】 （2025·山东临沂二模节选）已知函数f（x）＝ax2－（a＋2）
x＋ln x，当a＞0时，讨论f（x）的单调性.
【通性通法】 导数与函数中分类讨论的界点
（1）根据二次项系数确定分类“界点”；
（2）根据判别式确定分类“界点”；
（3）根据导函数的零点与定义域的关系确定分类“界点”.
解：当a＞0时，对函数f（x）＝ax2－（a＋2）x＋ln x求导得，
f'（x）＝2ax－（a＋2）＋ ＝ ＝ ＝
＝ （x＞0），
若a＝2，则f'（x）＝ ≥0（x＞0），此时f（x）在定义域（0，
＋∞）上单调递增，
若0＜a＜2，则 ＞ ，当0＜x＜ 或x＞ 时，f'（x）＞0，当 ＜x＜
时，f'（x）＜0，此时f（x）在（0， ），（ ，＋∞）上单调递增，在
（ ， ）上单调递减，
若a＞2，则0＜ ＜ ，当0＜x＜ 或x＞ 时，f'（x）＞0，当 ＜x＜
时，f'（x）＜0，此时f（x）在（0， ），（ ，＋∞）上单调递增，在
（ ， ）上单调递减.
综上所述，若a＝2，则f（x）在定义域（0，＋∞）上单调递增；
若0＜a＜2，则f（x）在（0， ），（ ，＋∞）上单调递增，在（ ，
）上单调递减；
若a＞2，则f（x）在（0， ），（ ，＋∞）上单调递增，在（ ， ）
上单调递减.
考向2 单调性的应用
【例2】 （1）若函数f（x）＝ex＋ax－ x2存在单调递减区间，则实数
a的取值范围是（ ）
A. （－1，＋∞） B. （0，＋∞）
C. （－∞，－1） D. （－∞，0）
√
【通性通法】 函数f（x）在区间D上存在单调递增（或递减）区间，可转化为f'（x）＞0（或f'（x）＜0）在x∈D上有解.
解析： 函数f（x）的定义域是R，f'（x）＝ex＋a－x，若f（x）存
在单调递减区间，则a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，则g'（x）＝1
－ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）
在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故g（x）max＝g
（0）＝－1，故a＜－1.故选C.
（2）（2025·黑龙江齐齐哈尔二模）已知函数f（x）＝2x－ sin 2x，则不
等式f（x2）＋f（2x－3）＜0的解集为 .
【通性通法】 利用导数比较大小或解不等式的策略利用导数比较大小或解不等式，常要构造函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性的问题，再由单调性比较大小或解不等式.
（－3，1）
解析：f（x）＝2x－ sin 2x的定义域为R，∵f'（x）＝2－2 cos 2x＝2（1
－ cos 2x）≥0，∴函数f（x）是R上的增函数，∵f（－x）＝－2x－ sin
（－2x）＝－（2x－ sin 2x）＝－f（x），∴函数f（x）是奇函数，
∴由f（x2）＋f（2x－3）＜0得f（x2）＜－f（2x－3）＝f（3－2x），
∴x2＜3－2x x2＋2x－3＜0 （x－1）（x＋3）＜0 －3＜x＜1，∴不
等式f（x2）＋f（2x－3）＜0的解集为（－3，1）.
【训练1】 （1）（2025·北京通州一模）已知函数f（x）＝ x2＋ cos x，
则f（－2），f（3），f（π）的大小关系是（ ）
A. f（－2）＜f（3）＜f（π）
B. f（π）＜f（3）＜f（－2）
C. f（3）＜f（－2）＜f（π）
D. f（－2）＜f（π）＜f（3）
√
解析： 因为f（－x）＝ x2＋ cos x＝f（x），所以函数f（x）为偶函
数，f'（x）＝x－ sin x，令g（x）＝x－ sin x，x∈（0，＋∞），则g'
（x）＝1－ cos x≥0，x∈（0，＋∞），所以函数g（x）＞g（0）＝0，
即当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，＋∞）上
单调递增，所以f（－2）＝f（2）＜f（3）＜f（π）.故选A.
（2）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝
的单调递减区间为（ ）
A. （0，4） B. （－∞，1），（ ，4）
C. （0， ） D. （0，1），（4，＋∞）
√
解析： 由题图可知，先减后增的曲线为f'（x）的图象，先增后减再增
的曲线为f（x）的图象，当0＜x＜1或x＞4时，f'（x）＜f（x），即g'
（x）＝ ＜0，则函数g（x）＝ 的单调递减区间为
（0，1），（4，＋∞）.故选D.
（3）若函数f（x）＝ －ln x在区间（m，m＋ ）上不单调，则实数m
的取值范围为 .
【瓶颈突破】 若函数y＝f（x）在区间（a，b）上不单调，则转化为f'（x）＝0在（a，b）上有解（需验证解的两侧导数值是否异号）.
（ ，1）
解析：由题可得f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－ ＝
，易知当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，当x∈（1，＋∞）时，f'
（x）＞0，即函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调
递增.若函数f（x）＝ －ln x在区间（m，m＋ ）上不单调，则需满足
0≤m＜1＜m＋ ，解得 ＜m＜1，所以实数m的取值范围为（ ，1）.
考点二 利用导数求函数的极值、最值
考向1 利用导数求函数的极值
【例3】 （1）〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝ aln x
＋ ＋ （a≠0）既有极大值也有极小值，则（ ）
A. bc＞0 B. ab＞0
C. b2＋8ac＞0 D. ac＜0
√
√
√
【瓶颈突破】 函数f（x）既有极大值也有极小值等价转化为函数f'（x）在（0，＋∞）上有两个零点.
解析： 因为函数f（x）＝aln x＋ ＋ （a≠0），所以函数f
（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ ，因为函数f（x）既
有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正
实根x1，x2，则 即 所以
故选B、C、D.
（2）（2024·新高考Ⅱ卷16题节选）已知函数f（x）＝ex－ax－a3.若f
（x）有极小值，且极小值小于0，求实数a的取值范围.
【通性通法】 对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点附近两侧的导数值异号.f'（x0）＝0是x0为函数极值点的必要不充分条件，因此需要检验参数的值.
解：易知函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex－a.
当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在R上是增函数，无极值；
当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞ln a，由f'（x）＜0，得x＜ln a，
所以函数f（x）在区间（－∞，ln a）上单调递减，在区间（ln a，＋∞）上单调递增，所以f（x）的极小值为f（ln a）＝a－aln a－a3.
由题意知a－aln a－a3＜0（a＞0），等价于1－ln a－a2＜0（a＞0）.
法一（导数法） 令g（a）＝1－ln a－a2（a＞0），则g'（a）＝－ －2a＜0，所以函数g（a）在（0，＋∞）上是减函数，
又g（1）＝0，故当0＜a＜1时，g（a）＞0；当a＞1
时，g（a）＜0.
故实数a的取值范围为（1，＋∞）.
法二（图象法） 由1－ln a－a2＜0（a＞0），得ln a＞－
a2＋1（a＞0）.
如图为函数y＝ln a与y＝－a2＋1在区间（0，＋∞）上的大致图象，
由图易知当a＞1时，ln a＞－a2＋1，即1－ln a－a2＜0.
所以实数a的取值范围为（1，＋∞）.
考向2 利用导数研究函数的最值
【例4】 已知函数f（x）＝x3－3x2＋3在区间（a，a＋6）上存在最小
值，则实数a的取值范围为（ ）
A. [－1，2） B. ［－ ，1）
C. ［－2， ） D. [－1，1）
√
【通性通法】 求函数在开区间上的最值问题时，不仅要研究其极值，还需研究其单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象求解.
f（2）＝－1.又因为当x3－3x2＋3＝－1，即x3＋1＋
3（1－x2）＝（x＋1）·（x－2）2＝0时，解得x＝
－1或x＝2，可作出f（x）的图象如图所示，故要
使函数f（x）＝x3－3x2＋3在区间（a，a＋6）上
存在最小值，则有 解得－1≤a＜2，即实数a的取值范围为[－1，2）.故选A.
解析： 由题意得f'（x）＝3x2－6x＝3x（x－2）.令f'（x）＞0，得x＜0或x＞2，令f'（x）＜0，得0＜x＜2，则f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（2，＋∞），单调递减区间为（0，2），即x＝2时，函数取得极小值
【训练2】 （1）已知函数f（x）＝ex－ax2在R上无极值，则a的取值范
围是（ ）
A. B.
C. ［0， ］ D.
√
【瓶颈突破】 若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内一定不具有单调性，反之，若函数在某区间上单调，则函数在此区间内没有极值.
则g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，从而g（x）≥g（1）＝ ，故a≤ ；当x＜0时，由f'（x）≥0得a≥ ，又 ＜0，则a≥0.综上，a的取值范围是［0， ］.
解析： 由题意得f'（x）＝ex－2ax，故f'（0）＝1＞0，因为函数f
（x）＝ex－ax2在R上无极值，所以f'（x）≥0在R上恒成立，当x＞0
时，a≤ ，设g（x）＝ （x＞0），则g'（x）＝ ＝
，当0＜x＜1时，得g'（x）＜0，当x＞1时，得g'（x）＞0，
（2）（2025·江苏宿迁二模）若函数f（x）＝ 有最大值，
则实数k的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
√
【瓶颈突破】 f（x）＝kx，x＜2时不存在最值.
解析： 当x≥2时，f（x）＝ ，则f'（x）＝ ，当2≤x＜e时，f'
（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，当x＞e时，f'（x）＜0，此时函数
f（x）单调递减，则函数f（x）在x＝e处取得极大值，且极大值为f
（e）＝ ，因为函数f（x）＝ 有最大值，则 解
得0≤k≤ ，因此实数k的最大值为 .故选C.
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：60分钟，满分：92分）
一、单项选择题（每小题5分，共30分）
1. 函数f（x）＝－2ln x－x－ 的单调递增区间是（ ）
A. （0，＋∞） B. （－3，1）
C. （1，＋∞） D. （0，1）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
解析： f'（x）＝－ －1＋ ＝ ＝ ，x＞0.令f'
（x）＞0， 得0＜x＜1，∴f（x）的单调递增区间是（0，1）.故选D.
2. 已知函数f（x）＝ x3＋（a－1）x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值
范围是（ ）
A. [0，1] B. （－∞，0]∪[1，＋∞）
C. [0，2] D. （－∞，0]∪[2，＋∞）
√
解析： 由f（x）＝ x3＋（a－1）x2＋x＋1，得f'（x）＝x2＋2（a－
1）x＋1.根据题意得[2（a－1）]2－4≤0，解得0≤a≤2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. （2025·江苏无锡质检）当x＝2时，函数f（x）＝x3＋bx2－12x取得极
值，则f（x）在区间[－4，4]上的最大值为（ ）
A. 8 B. 12
C. 16 D. 32
√
解析： f'（x）＝3x2＋2bx－12，∵f（x）在x＝2处取得极值，∴f'
（2）＝12＋4b－12＝0，∴b＝0，则f（x）＝x3－12x，由f'（x）＝0，
得x＝±2，f（x）在[－4，－2）上单调递增，在（－2，2）上单调递
减，在（2，4]上单调递增，又f（－2）＝－8＋24＝16，f（4）＝64－48
＝16，∴f（x）max＝16.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 已知a＝ln ，b＝ ，c＝ ，则下列结论正确的是（ ）
A. c＜b＜a B. b＜a＜c
C. a＜b＜c D. c＜a＜b
√
解析： 设f（x）＝ （x＞0），则f'（x）＝ ＝ ，当x∈
（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（e，＋∞）时，f'
（x）＜0，f（x）单调递减.a＝ln ＝ ln 2＝ ln 2＝ ln 4＝f（4），
又b＝ ＝f（3），c＝ ＝f（e），e＜3＜4，且f（x）在（e，＋∞）
上单调递减，所以f（4）＜f（3）＜f（e），所以a＜b＜c.
1
2
3
4
5
6
7
8
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5. （2025·江苏扬州第二次调研）若函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值
点，则实数a的取值范围为（ ）
A. a＞－2 B. a＞－
C. a＜－2 D. a＜－
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解析： 由函数f（x）＝eax＋2x，可得f'（x）＝aeax＋2，若a≥0，则
f'（x）＞0恒成立，此时f（x）单调递增，无极值点，故a＜0，令f'（x）
＝aeax＋2＝0，解得x＝ ln（－ ），当x＞ ln（－ ）时，f'（x）＞
0，当x＜ ln（－ ）时，f'（x）＜0，故x＝ ln（－ ）是f（x）＝eax
＋2x的极值点，由于函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值点，∴ ln
（－ ）＞0 ln（－ ）＜0 0＜－ ＜1，解得a＜－2.故选C.
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6. （2025·辽宁锦州模拟）若函数f（x）＝xe2a－x－b（x－1）2在R上单
调，a，b为实数，则（ ）
A. a≥b B. a≤b
C. a≥－b D. a≤－b
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解析： f'（x）＝e2a－x－xe2a－x－2b（x－1）＝（1－x）（e2a－x＋
2b），因为f（x）在R上单调，所以f'（x）无变号零点，则x＝1是方程
e2a－x＋2b＝0的解，故e2a－1＋2b＝0，即b＝－ e2a－1，a－（－b）＝a
－ e2a－1，令g（a）＝a－ e2a－1，则g'（a）＝1－e2a－1，令g'（a）＝
0，解得a＝ ，a∈（－∞， ）时，g'（a）＞0，a∈（ ，＋∞）时，
g'（a）＜0，所以g（a）在（－∞， ）上单调递增，在（ ，＋∞）上
单调递减，g（a）max＝g（ ）＝0，所以a－（－b）≤0，即a≤－b；
a－b＝a＋ e2a－1，令h（a）＝a＋ e2a－1，h（a）在R上单调递增，
无最值，则a，b大小不确定.故选D.
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二、多项选择题（每小题6分，共12分）
7. （2025·全国Ⅱ卷10题）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0
时，f（x）＝（x2－3）ex＋2，则（ ）
A. f（0）＝0
B. 当x＜0时，f（x）＝－（x2－3）e－x－2
C. f（x）≥2当且仅当x≥
D. x＝－1是f（x）的极大值点
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解析： A. 根据奇函数的定义有f（0）＝0，故A正确；B. 当x＜0
时，－x＞0，所以f（－x）＝（x2－3）e－x＋2，因为f（－x）＝－f
（x），所以f（x）＝－（x2－3）e－x－2，故B正确；C. 当x＞0时，f'
（x）＝（x2＋2x－3）ex＝（x－1）（x＋3）ex，所以函数f（x）在
（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，又f（ ）＝2，所以
由f（x）≥2得x≥ ；当x＜0时，f（－1）＝2（e－1）＞2，满足f
（x）≥2，但－1 [，＋∞），故C错误；D. 由C知，D正确.
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8. （2025·山东山师附中一模）已知函数f（x）＝ln ＋ax＋b（x－
1）3，则（ ）
A. 函数f（x）的定义域为（0，2）
B. 当a＝0，b＝0时，函数f（x）在定义域上单调递增
C. 曲线y＝f（x）是中心对称图形
D. 若b＝0，且f'（x）≥0，a的最小值是0
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解析： 对于A，由函数解析式可得 ＞0，解得0＜x＜2，所以函
数f（x）的定义域为（0，2），显然A正确；对于B，当a＝0，b＝0时f
（x）＝ln ＝ln x－ln（2－x），易知函数y＝ln x单调递增，y＝ln（2
－x）单调递减，所以函数f（x）在定义域上单调递增，B正确；对于C，
令g（x）＝ln ，g（2－x）＝ln ，g（x）＋g（2－x）＝0，因此
g（x）的图象关于点（1，0）中心对称，易知f（x）＝g（x）＋a（x
－1）＋a＋b（x－1）3满足f（x）＋f（2－x）＝2a，可得f（x）的图
象关于点（1，a）中心对称，可得C正确；对于D，b＝0时，f（x）＝
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ln ＋ax，其中x∈（0，2），则f'（x）＝ ＋ ＋a＝ ＋a，x∈（0，2），因为x（2－x）≤（ ）2＝1，当且仅当x＝1时等号成立，故f'（x）min＝2＋a，而f'（x）≥0成立，故a＋2≥0，即a≥－2，所以a的最小值为－2，即D错误.故选A、B、C.
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三、填空题（每小题5分，共10分）
9. （2025·全国Ⅱ卷13题）若x＝2是函数f（x）＝（x－1）（x－2）（x
－a）的极值点，则f（0）＝ .
解析：f'（x）＝（x－2）'[（x－1）（x－a）]＋（x－2）[（x－1）
（x－a）]'＝（x－1）（x－a）＋（x－2）[（x－1）（x－a）]'，因
为x＝2是函数f（x）的极值点，所以f'（2）＝0，即（2－1）（2－a）＝
0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f（x）＝（x－1）（x－2）2，所
以f（0）＝－4.
－4
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解析：因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（x）＝f（－x），对
等式两边求导有f'（x）＝－f'（－x） ①.因为y＝f'（x）＋ex是偶函
数，所以f'（x）＋ex＝f'（－x）＋e－x ②.由①②得f'（x）＝ （e－x－
ex）＝ .当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当
x∈（0，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.又f（a）＞f（2a－
1），所以｜a｜＜｜2a－1｜，解得a＞1或a＜ .
10. （2025·贵州贵阳适应性考试）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且
y＝f'（x）＋ex也是偶函数，若f（a）＞f（2a－1），则实数a的取值范
围为 .
（－∞， ）∪（1，＋∞）
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四、解答题（共30分）
11. （15分）（2025·广东湛江二模）已知函数f（x）＝－x2＋（a2＋a）
ln x＋（1－a）x.
（1）若a＝1，求f（x）的极值；
解： 当a＝1时，f（x）＝－x2＋2ln x，定义域为（0，＋∞），
则f'（x）＝－2x＋ ＝ .
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，＋∞）
时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.
故当x＝1时，f（x）取得极大值－1，无极小值.
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（2）若a≥－ ，求f（x）的单调区间.
解： 由f（x）＝－x2＋（a2＋a）ln x＋（1－a）x，x＞0，
得f'（x）＝－2x＋ ＋1－a＝ ＝
.
令（x＋a）（2x－a－1）＝0，得x＝－a或x＝ .
若a≥0，则－a≤0， ＞0，
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当x∈（0， ）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（ ，＋
∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.
若－ ＜a＜0，则 ＞－a＞0，
当x∈（0，－a）和（ ，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（－a， ）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.
若a＝－ ，则 ＝－a＝ ，f'（x）≤0在x∈（0，＋∞）上恒成立，f
（x）单调递减.
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综上所述，当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0， ），单调递减
区间为（ ，＋∞）；
当－ ＜a＜0时，f（x）的单调递增区间为（－a， ），单调递减区
间为（0，－a）和（ ，＋∞）；
当a＝－ 时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递增区间.
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12. （15分）（2025·上海高考19题）已知f（x）＝x2－（m＋2）x＋mln
x，m∈R.
（1）若f（1）＝0，求不等式f（x）≤x2－1的解集；
解： 由题设条件可得，f（1）＝1－（m＋2）＝0，解得m＝－1，
所以f（x）＝x2－x－ln x.
由f（x）≤x2－1，可得ln x＋x－1≥0，
令g（x）＝ln x＋x－1，则g'（x）＝ ＋1＞0在（0，＋∞）上恒成立，
所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，
易知g（1）＝0，所以g（x）≥0即g（x）≥g（1），可得x≥1.
综上，不等式f（x）≤x2－1的解集为[1，＋∞）.
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（2）若函数y＝f（x）满足在（0，＋∞）上存在极大值，求m的取值
范围.
解： f'（x）＝2x－（m＋2）＋ ＝ ＝
.
①当 ＞1，即m＞2时，由f'（x）＞0得x∈（0，1）∪（ ，＋∞）；由
f'（x）＜0得x∈（1， ）.故f（x）在（0，1），（ ，＋∞）上单调
递增，在（1， ）上单调递减，此时f（x）在x＝1处取得极大值.
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②当0＜ ＜1，即0＜m＜2时，由f'（x）＞0得x∈（0， ）∪（1，＋
∞）；由f'（x）＜0得x∈（ ，1）.故f（x）在（0， ），（1，＋
∞）上单调递增，在（ ，1）上单调递减，此时f（x）在x＝ 处取得极
大值.
③当 ＝1，即m＝2时，f'（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立，即f（x）在
（0，＋∞）上单调递增，此时函数f（x）在（0，＋∞）上无极大值.
④当 ≤0，即m≤0时，由f'（x）＜0得x∈（0，1）；由f'（x）＞0得
x∈（1，＋∞）.故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调
递增，此时f（x）在x＝1处取得极小值，无极大值.
综上可知，m的取值范围为（0，2）∪（2，＋∞）.
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【高考新风向】（每小题5分，共10分）
13. 〔创新交汇〕P是平面直角坐标系xOy内一点，我们以x轴正半轴为始
边，射线OP为终边构成角θ∈[0，2π]，OP的长度r作为θ的函数，若其
解析式为r＝｜2 sin 2θ｜＋｜ sin 4θ｜，则P的轨迹可能为（ ）
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解析： r（θ）＝｜2 sin 2θ｜＋｜ sin 4θ｜，r（θ＋ ）＝
＋ ＝｜2 sin 2θ｜＋｜ sin
4θ｜＝r（θ），可以得到r是以 为周期的函数，所以P的轨迹在四个象
限内应相似，故排除C、D；由于A、B项均关于y＝x对称，所以仅研究θ∈［0， ］，此时，令r＝2 sin 2θ＋ sin 4θ，r'＝4（ cos 2θ＋ cos 4θ），令 cos 2θ＝t∈[0，1]，令f（t）＝2t2＋t－1＝0，解得t＝ （t＝－1舍去），则f（t）在 上小于等于0，在（ ，1］上大于0，即r（θ）在（0， ）内单调递增，在（ ， ）内单调递减，在［0， ）内有且仅有一个极值点，所以OP不会一直增大，B正确.
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14. 〔创新定义〕（2025·江西南昌模拟）我们约定：若两个函数的极值点
个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，
则称这两个函数的图象“相似”.已知f（x）＝ex－ ex2＋（x－1）2，则
下列给出的函数中其图象与y＝f（x）的图象“相似”的是（ ）
A. y＝x2 B. y＝－x2
C. y＝x3－3x D. y＝－x3＋3x
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解析： f'（x）＝ex－ex＋2x－2，则f'（1）＝0，令
f'（x）＝0，则ex＝（e－2）x＋2，如图，在同一平面
直角坐标系中，分别作出函数y＝ex，y＝（e－2）x＋
2的大致图象，由图可知，函数y＝ex与y＝（e－2）x
＋2的图象有两个交点，则函数y＝f'（x）有两个零点1，x0，且x0＜0，令f'（x）＞0，则x＞1或x＜x0，令f'（x）＜0，则x0＜x＜1，所以f（x）在（－∞，x0），（1，＋∞）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，所以图象从左到右看，f（x）先有极大值点x0，再有极小值点1.
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法一 A错误，函数y＝x2在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单
调递增，所以函数y＝x2有极小值点，无极大值点；B错误，函数y＝－x2
在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，所以函数y＝－
x2有极大值点，无极小值点；C正确，对y＝x3－3x求导，得y'＝3x2－3＝3
（x＋1）（x－1），当x＜－1或x＞1时，y'＞0，当－1＜x＜1时，y'＜
0，所以函数y＝x3－3x在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，在
（－1，1）上单调递减，所以图象从左到右看，函数y＝x3－3x先有极大
值点－1，再有极小值点1；D错误，y＝－x3＋3x＝－（x3－3x），则由C
选项可得，图象从左到右看，函数y＝－x3＋3x先有极小值点－1，再有极
大值点1.故选C.
法二 根据二次函数的图象性质可排除A、B. 三次函数y＝ax3＋bx2＋cx
＋d（a≠0）的图象在a＜0时为倒“N”型，图象从左到右看先有极小值
点，再有极大值点，排除D. 故选C.
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