微突破2 抽象函数
（时间：30分钟，满分：46分）
一、单项选择题（每小题5分，共20分）
1.设y＝f（x）是定义在R上的函数，则函数y＝f（x－1）与函数y＝f（1－x）的图象关于（ ）
A.直线x＝0对称 B.直线y＝0对称
C.直线x＝1对称 D.直线y＝1对称
2.（2025·浙江杭州二模）设函数y＝f（x）－x2是奇函数.若函数g（x）＝f（x）＋5，f（4）＝9，则g（－4）＝（ ）
A.27 B.28
C.29 D.30
3.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2（x1＜x2），都有x2f（x1）＞x1f（x2），记a＝f（2），b＝f（1），c＝－f（－3），则a，b，c之间的大小关系为（ ）
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞b＞a D.a＞c＞b
4.已知对于每一对正实数x，y，函数f（x）满足：f（x）＋f（y）＝f（x＋y）－xy－1，若f（1）＝1，则满足f（n）＝n（n∈N*）的n的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
二、多项选择题（6分）
5.（2025·河南郑州第二次质量检测）已知对于任意非零实数x，函数f（x）均满足f（x）＝f（），f（x）＝2－f（），下列结论正确的有（ ）
A.f（1）＝1
B.f（2x）的图象关于点（0，1）中心对称
C.f（2x）的图象关于直线x＝1轴对称
D.f（2）＋f（22）＋f（23）＋…＋f（210）＝10
三、填空题（每小题5分，共20分）
6.已知定义在R上的奇函数f（x）是单调函数，且g（x）＝f（x＋1）－2，若曲线y＝f（x），y＝g（x）和x轴交于同一个点，则f（－1）＝ .
7.已知函数f（x）对于一切实数x，y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1.则当x＞0时，f（x）的取值范围为 .
8.（2025·河南鹤壁二模）已知函数f（x）的定义域为R，若f（2x－1）为奇函数，且f（x＋1）为偶函数，则f（2 031）＝ .
9.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（4＋x）＋f（－x）＝0，若f'（2）＝4，则曲线y＝f（x）在点（－6，f（－6））处的切线方程为 .
】
微突破2 抽象函数
1.C 令g1（x）＝f（x－1），g2（x）＝f（1－x）.因为f（1－x）＝f[（2－x）－1]，即g2（x）＝g1（2－x），所以g1（x）与g2（x）的图象关于直线x＝1对称.故选C.
2.B 由函数y＝f（x）－x2是奇函数可知f（x）－x2＋f（－x）－（－x）2＝0，因此可得f（x）＋f（－x）＝2x2；又g（x）＝f（x）＋5，因此g（4）＝f（4）＋5，g（－4）＝f（－4）＋5，两式相加可得g（4）＋g（－4）＝f（4）＋5＋f（－4）＋5＝2×42＋10＝42；又g（4）＝f（4）＋5＝14，因此g（－4）＝42－14＝28.故选B.
3.B 因为对任意两个正数x1，x2（x1＜x2），都有x2f（x1）＞x1f（x2），所以＞，可得函数g（x）＝在（0，＋∞）上单调递减.由f（x）是R上的奇函数可知g（x）是偶函数，则c＝－f（－3）＝f（3），所以g（1）＞g（2）＞g（3），即b＞a＞c.
4.A 法一（常规解法） 令y＝1，则f（x＋1）＝f（x）＋x＋2，即f（x＋1）－f（x）＝x＋2，所以f（x）－f（x－1）＝x＋1，f（x－1）－f（x－2）＝x，…，f（2）－f（1） ＝3，累加得f（x）－f（1）＝，则f（x）＝－1，所以f（n）＝－1，又f（n）＝n，解得n＝－2或n＝1，又n∈N*，所以n＝1.故选A.
法二（模型解法） 由f（x）＋f（y）＝f（x＋y）－xy－1，可设函数f（x）＝x2＋bx－1，由f（1）＝1，得b＝，故f（x）＝x2＋x－1，由f（n）＝n，即n2＋n－1＝n，解得n＝－2或n＝1，又n∈N*，所以n＝1.故选A.
5.ABD 对于A，f（x）＝2－f（），令x＝1，得f（1）＝2－f（1），所以f（1）＝1，故A正确；对于B，由f（x）＝2－f（）可得，f（x）＋f（）＝2，则f（2x）＋f（2－x）＝2，所以f（2x）的图象关于点（0，1）中心对称，故B正确；对于C，由f（x）＝f（）可得f（2x）＝f（21－x），所以f（2x）的图象关于直线x＝轴对称，故C错误；对于D，令g（x）＝f（2x），则g（x）的图象关于点（0，1）中心对称，且关于直线x＝轴对称，由f（1）＝1可得，g（0）＝1，结合g（x）图象的对称性可得g（1）＝g（2）＝g（3）＝…＝g（10）＝1，如图，所以f（2）＋f（22）＋f（23）＋…＋f（210）＝10.故D正确.故选A、B、D.
6.－2 解析：因为奇函数f（x）的定义域为R且f（x）是单调函数，所以f（0）＝0，则曲线y＝f（x），y＝g（x）与x轴均交于原点，因此g（0）＝0，即f（1）－2＝0，得f（1）＝2，f（－1）＝－f（1）＝－2.
7.（0，1） 解析：法一（模型解法） 由f（x＋y）＝f（x）f（y），可设函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），由当x＜0时，f（x）＞1，结合指数函数的图象特征知0＜a＜1，取a＝，则f（x）＝（）x满足题意，故当x＞0时，f（x）的取值范围为（0，1）.
法二（常规解法） 因为对于一切x，y∈R，f（x＋y）＝f（x）f（y）且f（0）≠0，令x＝y＝0，则f（0）＝1，设x＞0，则－x＜0，所以f（－x）＞1，又f（0）＝f（x－x）＝f（x）f（－x）＝1，所以f（－x）＝＞1，所以0＜f（x）＜1.
8.0 解析：∵f（2x－1）为奇函数，∴f（－2x－1）＝－f（2x－1），令u＝2x－1，则f（u）＝－f（－u－2），即f（x）＝－f（－x－2） ①.令x＝0，得到f（－1）＝0，∵f（x＋1）为偶函数，∴f（－x＋1）＝f（x＋1），f（x）＝f（2－x） ②.结合①②得f（2－x）＝－f（－x－2），f（x）＝－f（x＋4），f（x＋4）＝－f（x＋8），∴f（x）＝f（x＋8），∴函数的周期为8， ∴f（2 031）＝f（253×8＋7）＝f（7）＝f（－1）＝0.
9.y＝4x＋24 解析：因为f（x）为奇函数且f（4＋x）＋f（－x）＝0，所以f（4＋x）＝f（x）.故f（x）是以4为周期的周期函数.将x＝－2代入f（4＋x）＋f（－x）＝0，则f（2）＋f（2）＝2f（2）＝0，即f（2）＝0，则f（－6）＝f（2）＝0.对f（4＋x）＝f（x）求导得f'（4＋x）＝f'（x），故f'（x）是以4为周期的周期函数，则f'（－6）＝f'（2）＝4，即切点坐标为（－6，0），切线斜率k＝4，故所求切线方程为y－0＝4（x＋6），即y＝4x＋24.
2 / 2微突破2 抽象函数
【备考指南】 抽象函数的求值和性质是高考的热点和难点，破解此类问题的一般方法为赋值法和构造函数法，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上.
1.利用奇函数的性质.
1.已知y＝f（x）＋x2是奇函数，f（1）＝1，若g（x）＝f（x）＋2，则g（－1）＝（ ）
A.－1 B.0
C.1 D.2
2.抽象函数求值问题常用赋值法，常对自变量取0，±1，±2等值.
2.已知函数f（x）满足 x，y∈R，f（x＋y）＝f（x）＋f（y），f（1）＝1，则f（－2）＝（ ）
A.0 B.1
C.－2 D.2
3.数形结合研究抽象函数.
3.若定义在R上的奇函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围为 .
【思维建模】
【瓶颈突破】 可构造函数模型，化抽象为直观.
【例】 （1）已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）＋f（y）＝2＋f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，则不等式f（a2－2a－2）＜3的解集为（ ）
A.{a｜－3＜a＜－1} B.{a｜－1＜a＜0}
C.{a｜－3＜a＜1} D.{a｜－1＜a＜3}
【常用结论】 设函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，则f（x）与f'（x）有如下关系：
（1）若f（x）为偶函数，则f'（x）为奇函数；若f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数；
（2）f（x）的图象关于直线x＝a对称 f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称；
（3）f（x）的图象关于点（b，f（b））中心对称 f'（x）的图象关于直线x＝b对称；
（4）f（x）是周期为T的周期函数 f'（x）是周期为T的周期函数.
（2）〔多选〕（2025·河南郑州质量检测）已知函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，记g（x）＝f'（x），若f（3－x），g（－2x）均为奇函数，则（ ）
A.f（3）＝0 B.g（3）＝0
C.f（）＝f（） D.g（5）＝－g（8）
（3）〔多选〕已知定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（xy）＝＋＋，则（ ）
A.f（x）是奇函数
B.f（x）在（－∞，0）上单调递减
C.f（x）是偶函数
D.f（x）在（0，＋∞）上单调递增
【通性通法】 解决嵌套函数问题，一般方法是令内层函数为t，构造新的函数或方程，转化成两个函数的交点问题，通过观察分析函数图象求解.
【训练】 （1）已知函数f（x）＝若f（f（t））＋3≥0，则实数t的取值范围是（ ）
A.[3，＋∞） B.（－∞，－2]
C.（－∞，3] D.[－2，＋∞）
（2）已知函数f（x）是定义域为（0，＋∞）的增函数，满足f（4）＝1，f（xy）＝f（x）＋f（y），若f（x）＋f（x－3）≤1，则x的取值范围为（ ）
A.[3，4） B.[4，5）
C.（3，4] D.（4，5]
【瓶颈突破】 f（2x）＋g（2x）与f（x）＋g（x）有相同的值域.
（3）（2025·四川绵阳模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数，若函数f（x）－g（x）的值域为[－4，1]，则函数f（2x）＋g（2x）的最小值为（ ）
A.－16 B.－4
C.－1 D.0
微突破2 抽象函数
【基础·回扣】
1.A 2.C 3.[－1，0]∪[1，3]
【典例·讲解】
【例】 （1）D 法一（常规解法） 设x1＜x2，则x2 －x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＞2，∴f（x2－x1）＞2，则f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1）－2＞2＋f（x1）－2＝f（x1），即f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数.∵f（3）＝f（2＋1）＝f（2）＋f（1）－2＝[f（1）＋f（1）－2]＋f（1）－2＝3f（1）－4，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3.∴f（a2－2a－2）＜f（1），∴a2－2a－2＜1，即a2－2a－3＜0，解得不等式的解集为{a｜－1＜a＜3}.
法二（模型解法） 由f（x）＋f（y）＝2＋f（x＋y），即f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－2，可设函数f（x）＝kx＋2（k≠0），由f（3）＝5，得3k＋2＝5，k＝1，即f（x）＝x＋2，满足当x＞0时，f（x）＞2，则不等式f（a2－2a－2）＜3可化为a2－2a－2＋2＜3，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3，故不等式的解集为{a｜－1＜a＜3}.
（2）AD ∵f（3－x），g（－2x）均为奇函数，∴f（3）＝0，g（）＝0，f（3＋x）＝－f（3－x），g（＋2x）＝－g（－2x），∴f（x）的图象关于点（3，0）对称，g（x）的图象关于点（，0）对称，又g（x）＝f'（x），∴g（x）的图象关于直线x＝3对称，∴g（x）的一个周期为2，∴g（5）＝－g（0），g（8）＝g（0），∴g（5）＝－g（8），无法推出g（3）的值，A正确，B错误，D正确.∵f（3＋x）＝－f（3－x），∴f（）＝－f（），C错误.故选A、D.
（3）AB 令x＝y＝1，得f（1）＝f（－1）＋f（－1）＋1＝2f（－1）＋1，令x＝y＝－1，得f（1）＝－f（1）－f（1）＋1＝－2f（1）＋1，所以2f（－1）＝－2f（1），所以f（1）＋f（－1）＝0.令y＝1，得f（x）＝f（－x）＋＋，令y＝－1，得f（－x）＝－f（－x）＋－，两式相加，得f（x）＋f（－x）＝＝0，所以f（－x）＝－f（x），又因为函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，所以函数f（x）在（－∞，0）∪（0，＋∞）上为奇函数，故A正确，C错误；由f（1）＝2f（－1）＋1，f（1）＝－f（－1），可得f（1）＝－f（－1）＝，所以f（x）＝f（－x）＋＋＝－f（x）－＋，所以2f（x）＝，即f（x）＝，所以函数f（x）在（－∞，0）和（0，＋∞）上均单调递减，故B正确，D错误.故选A、B.
【训练】 （1）D 画出f（x）的图象如图所示，由f[f（t）]＋3≥0得f[f（t）]≥－3，令－x2＋2x＝－3得x＝3，由图可得f（t）≤3，令（）t－1≤3，变形得（）t≤4＝（）－2，解得t≥－2.故选D.
（2）C 法一（常规解法） f（x）＋f（x－3）＝f[x（x－3）]≤1＝f（4），又f（x）是定义域为（0，＋∞）的增函数，∴ 3＜x≤4，∴x的取值范围为（3，4].
法二（模型解法） 由f（xy）＝f（x）＋f（y），可设函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）.由f（4）＝1，得a＝4，则f（x）＝log4x，由f（x）＋f（x－3）≤1，得log4x＋log4（x－3）≤1，即log4[x（x－3）]≤1，故解得3＜x≤4，故x的取值范围为（3，4].
（3）C f（x）是定义在R上的奇函数，有f（－x）＝－f（x），g（x）是定义在R上的偶函数，有g（－x）＝g（x），f（x）－g（x）的值域为[－4，1]，故－4≤f（x）－g（x）≤1，则有－4≤f（－x）－g（－x）≤1，得－4≤－f（x）－g（x）≤1，所以－1≤f（x）＋g（x）≤4，f（2x）＋g（2x）与f（x）＋g（x）有相同的值域，因此f（2x）＋g（2x）的最小值为－1
2 / 2(共37张PPT)
微突破2 抽象函数
备考指南
抽象函数的求值和性质是高考的热点和难点，破解此类问题的一般方法为赋值法和构造函数法，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上.
基础·回扣 诊断自测 知识回扣
一
典例·讲解 典例精析 强技提能
二
课后·训练 巩固强化 综合测评
三
目录 /
CONTENTS
基础·回扣
诊断自测 知识回扣
1. 已知y＝f（x）＋x2是奇函数，f（1）＝1，若g（x）＝f（x）＋2，
则g（－1）＝（ ）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
√
利用奇函数的性质.
解析： 令F（x）＝f（x）＋x2，由题可得，F（x）为奇函数，则F
（1）＝f（1）＋1＝2，F（－1）＝－F（1）＝－2，而F（－1）＝f
（－1）＋1＝－2 f（－1）＝－3，故g（－1）＝f（－1）＋2＝－1.
2. 已知函数f（x）满足 x，y∈R，f（x＋y）＝f（x）＋f（y），f
（1）＝1，则f（－2）＝（ ）
A. 0 B. 1
C. －2 D. 2
√
抽象函数求值问题常用赋值法，
常对自变量取0，±1，±2等值.
解析： 法一（赋值法） 令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0），
解得f（0）＝0；令y＝－x，则f（x－x）＝f（x）＋f（－x）＝f
（0）＝0，所以f（x）为奇函数，因为f（2）＝f（1）＋f（1）＝2，所
以f（－2）＝－f（2）＝－2.故选C.
法二（函数模型法） 因为 x，y∈R，f（x＋y）＝f（x）＋f（y），
所以可设f（x）＝kx，又因为f（1）＝1，所以f（x）＝x，即f（－2）
＝－2.
3. 若定义在R上的奇函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，且f（2）＝
0，则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围为 .
[－1，0]∪[1，3]
数形结合研究抽象函数.
解析：因为函数f（x）为定义在
R上的奇函数，所以f（0）＝0.
又f（x）在（－∞，0）上单调递
减，且f（2）＝0，画出函数f
（x）的大致图象如图1所示，则函数f（x－1）的大致图象如图2所示.当x≤0时，要满足xf（x－1）≥0，则f（x－1）≤0，得－1≤x≤0；当x＞0时，要满足xf（x－1）≥0，则f（x－1）≥0，得1≤x≤3.故满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].
【思维建模】
典例·讲解
典例精析 强技提能
【例】 （1）已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）＋f
（y）＝2＋f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，则不等
式f（a2－2a－2）＜3的解集为（ ）
A. {a｜－3＜a＜－1} B. {a｜－1＜a＜0}
C. {a｜－3＜a＜1} D. {a｜－1＜a＜3}
√
【瓶颈突破】 可构造函
数模型，化抽象为直观.
解析： 法一（常规解法） 设x1＜x2，则x2 －x1＞0，∵当x＞0时，f
（x）＞2，∴f（x2－x1）＞2，则f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－
x1）＋f（x1）－2＞2＋f（x1）－2＝f（x1），即f（x2）＞f（x1），∴f
（x）为增函数.∵f（3）＝f（2＋1）＝f（2）＋f（1）－2＝[f（1）＋f
（1）－2]＋f（1）－2＝3f（1）－4，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3.∴f
（a2－2a－2）＜f（1），∴a2－2a－2＜1，即a2－2a－3＜0，解得不等
式的解集为{a｜－1＜a＜3}.
法二（模型解法） 由f（x）＋f（y）＝2＋f（x＋y），即f（x＋y）
＝f（x）＋f（y）－2，可设函数f（x）＝kx＋2（k≠0），由f（3）＝
5，得3k＋2＝5，k＝1，即f（x）＝x＋2，满足当x＞0时，f（x）＞2，
则不等式f（a2－2a－2）＜3可化为a2－2a－2＋2＜3，即a2－2a－3＜0，
解得－1＜a＜3，故不等式的解集为{a｜－1＜a＜3}.
（2）〔多选〕（2025·河南郑州质量检测）已知函数f（x）及其导函数f'
（x）的定义域均为R，记g（x）＝f'（x），若f（3－x），g（ －
2x）均为奇函数，则（ ）
A. f（3）＝0
B. g（3）＝0
C. f（ ）＝f（ ）
D. g（5）＝－g（8）
√
√
【常用结论】 设函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，则f（x）与f'（x）有如下关系：
（1）若f（x）为偶函数，则f'（x）为奇函数；若f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数；
（2）f（x）的图象关于直线x＝a对称 f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称；
（3）f（x）的图象关于点（b，f（b））中心对称 f'（x）的图象关于直线x＝b对称；
（4）f（x）是周期为T的周期函数 f'（x）是周期为T的周期函数.
解析： ∵f（3－x），g（ －2x）均为奇函数，∴f（3）＝0，g
（ ）＝0，f（3＋x）＝－f（3－x），g（ ＋2x）＝－g（ －2x），
∴f（x）的图象关于点（3，0）对称，g（x）的图象关于点（ ，0）对
称，又g（x）＝f'（x），∴g（x）的图象关于直线x＝3对称，∴g
（x）的一个周期为2，∴g（5）＝－g（0），g（8）＝g（0），∴g
（5）＝－g（8），无法推出g（3）的值，A正确，B错误，D正确.∵f
（3＋x）＝－f（3－x），∴f（ ）＝－f（ ），C错误.故选A、D.
（3）〔多选〕已知定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数f（x）满
足f（xy）＝ ＋ ＋ ，则（ ）
A. f（x）是奇函数
B. f（x）在（－∞，0）上单调递减
C. f（x）是偶函数
D. f（x）在（0，＋∞）上单调递增
√
√
解析： 令x＝y＝1，得f（1）＝f（－1）＋f（－1）＋1＝2f（－1）＋1，令x＝y＝－1，得f（1）＝－f（1）－f（1）＋1＝－2f（1）＋1，所以2f（－1）＝－2f（1），所以f（1）＋f（－1）＝0.令y＝1，得f（x）＝f（－x）＋ ＋ ，令y＝－1，得f（－x）＝－f（－x）＋ － ，两式相加，得f（x）＋f（－x）＝ ＝0，所以f（－x）＝－f（x），又因为函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，所以函数f（x）在（－∞，0）∪（0，＋∞）上为奇函数，故A正确，C错误；由f（1）＝2f（－1）＋1，f（1）＝－f（－1），可得f（1）＝－f（－1）＝ ，所以f（x）＝f（－x）＋ ＋ ＝－f（x）－ ＋ ，所以2f（x）＝ ，即f（x）＝ ，所以函数f（x）在（－∞，0）和（0，＋∞）上均单调递减，故B正确，D错误.故选A、B.
【训练】 （1）已知函数f（x）＝ 若f（f
（t））＋3≥0，则实数t的取值范围是（ ）
A. [3，＋∞）
B. （－∞，－2]
C. （－∞，3]
D. [－2，＋∞）
√
【通性通法】 解决嵌套函数问题，一般方法是令内层函数为t，构造新的函数或方程，转化成两个函数的交点问题，通过观察分析函数图象求解.
解析： 画出f（x）的图象如图所示，由f[f（t）]＋3≥0得f[f（t）]≥－3，令－x2＋2x＝－3得x＝3，由图可得f（t）≤3，令（ ）t－1≤3，变形得（ ）t≤4＝（ ）－2，解得t≥－2.故选D.
（2）已知函数f（x）是定义域为（0，＋∞）的增函数，满足f（4）＝
1，f（xy）＝f（x）＋f（y），若f（x）＋f（x－3）≤1，则x的取值
范围为（ ）
A. [3，4） B. [4，5）
C. （3，4] D. （4，5]
√
解析： 法一（常规解法） f（x）＋f（x－3）＝f[x（x－3）]≤1
＝f（4），又f（x）是定义域为（0，＋∞）的增函数，
∴ 3＜x≤4，∴x的取值范围为（3，4].
法二（模型解法） 由f（xy）＝f（x）＋f（y），可设函数f（x）＝
logax（a＞0，且a≠1）.由f（4）＝1，得a＝4，则f（x）＝log4x，由f
（x）＋f（x－3）≤1，得log4x＋log4（x－3）≤1，即log4[x（x－
3）]≤1，故 解得3＜x≤4，故x的取值范围为（3，4].
（3）（2025·四川绵阳模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）
是定义在R上的偶函数，若函数f（x）－g（x）的值域为[－4，1]，则函
数f（2x）＋g（2x）的最小值为（ ）
A. －16 B. －4
C. －1 D. 0
√
【瓶颈突破】 f（2x）＋g（2x）与f（x）＋g（x）有相同的值域.
解析： f（x）是定义在R上的奇函数，有f（－x）＝－f（x），g
（x）是定义在R上的偶函数，有g（－x）＝g（x），f（x）－g（x）
的值域为[－4，1]，故－4≤f（x）－g（x）≤1，则有－4≤f（－x）
－g（－x）≤1，得－4≤－f（x）－g（x）≤1，所以－1≤f（x）＋g
（x）≤4，f（2x）＋g（2x）与f（x）＋g（x）有相同的值域，因此f
（2x）＋g（2x）的最小值为－1.
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：30分钟，满分：46分）
一、单项选择题（每小题5分，共20分）
1. 设y＝f（x）是定义在R上的函数，则函数y＝f（x－1）与函数y＝f
（1－x）的图象关于（ ）
A. 直线x＝0对称 B. 直线y＝0对称
C. 直线x＝1对称 D. 直线y＝1对称
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9
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解析： 令g1（x）＝f（x－1），g2（x）＝f（1－x）.因为f（1－
x）＝f[（2－x）－1]，即g2（x）＝g1（2－x），所以g1（x）与g2
（x）的图象关于直线x＝1对称.故选C.
2. （2025·浙江杭州二模）设函数y＝f（x）－x2是奇函数.若函数g（x）
＝f（x）＋5，f（4）＝9，则g（－4）＝（ ）
A. 27 B. 28
C. 29 D. 30
√
解析： 由函数y＝f（x）－x2是奇函数可知f（x）－x2＋f（－x）－
（－x）2＝0，因此可得f（x）＋f（－x）＝2x2；又g（x）＝f（x）＋
5，因此g（4）＝f（4）＋5，g（－4）＝f（－4）＋5，两式相加可得g
（4）＋g（－4）＝f（4）＋5＋f（－4）＋5＝2×42＋10＝42；又g（4）
＝f（4）＋5＝14，因此g（－4）＝42－14＝28.故选B.
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7
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9
3. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2（x1＜
x2），都有x2f（x1）＞x1f（x2），记a＝ f（2），b＝f（1），c＝－ f
（－3），则a，b，c之间的大小关系为（ ）
A. a＞b＞c B. b＞a＞c
C. c＞b＞a D. a＞c＞b
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8
9
解析： 因为对任意两个正数x1，x2（x1＜x2），都有x2f（x1）＞x1f
（x2），所以 ＞ ，可得函数g（x）＝ 在（0，＋
∞）上单调递减.由f（x）是R上的奇函数可知g（x）是偶函数，则c＝
－ f（－3）＝ f（3），所以g（1）＞g（2）＞g（3），即b＞a＞c.
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9
4. 已知对于每一对正实数x，y，函数f（x）满足：f（x）＋f（y）＝f
（x＋y）－xy－1，若f（1）＝1，则满足f（n）＝n
（n∈N*）的n的个数是（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
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2
3
4
5
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7
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9
解析： 法一（常规解法） 令y＝1，则f（x＋1）＝f（x）＋x＋2，
即f（x＋1）－f（x）＝x＋2，所以f（x）－f（x－1）＝x＋1，f（x
－1）－f（x－2）＝x，…，f（2）－f（1） ＝3，累加得f（x）－f
（1）＝ ，则f（x）＝ －1，所以f（n）＝ －
1，又f（n）＝n，解得n＝－2或n＝1，又n∈N*，所以n＝1.故选A.
法二（模型解法） 由f（x）＋f（y）＝f（x＋y）－xy－1，可设函数
f（x）＝ x2＋bx－1，由f（1）＝1，得b＝ ，故f（x）＝ x2＋ x－1，
由f（n）＝n，即 n2＋ n－1＝n，解得n＝－2或n＝1，又n∈N*，所
以n＝1.故选A.
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二、多项选择题（6分）
5. （2025·河南郑州第二次质量检测）已知对于任意非零实数x，函数f
（x）均满足f（x）＝f（ ），f（x）＝2－f（ ），下列结论正确的有
（ ）
A. f（1）＝1
B. f（2x）的图象关于点（0，1）中心对称
C. f（2x）的图象关于直线x＝1轴对称
D. f（2）＋f（22）＋f（23）＋…＋f（210）＝10
√
√
√
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3
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5
6
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8
9
解析： 对于A，f（x）＝2－f（ ），
令x＝1，得f（1）＝2－f（1），所以f（1）
＝1，故A正确；对于B，由f（x）＝2－f
（ ）可得，f（x）＋f（ ）＝2，则f（2x）
＋f（2－x）＝2，所以f（2x）的图象关于点（0，1）中心对称，故B正确；对于C，由f（x）＝f（ ）可得f（2x）＝f（21－x），所以f（2x）的图象关于直线x＝ 轴对称，故C错误；对于D，令g（x）＝f（2x），则g（x）的图象关于点（0，1）中心对称，且关于直线x＝ 轴对称，由f（1）＝1可得，g（0）＝1，结合g（x）图象的对称性可得g（1）＝g（2）＝g（3）＝…＝g（10）＝1，如图，所以f（2）＋f（22）＋f（23）＋…＋f（210）＝10.故D正确.故选A、B、D.
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三、填空题（每小题5分，共20分）
6. 已知定义在R上的奇函数f（x）是单调函数，且g（x）＝f（x＋1）－
2，若曲线y＝f（x），y＝g（x）和x轴交于同一个点，则f（－1）
＝ .
解析：因为奇函数f（x）的定义域为R且f（x）是单调函数，所以f（0）
＝0，则曲线y＝f（x），y＝g（x）与x轴均交于原点，因此g（0）＝
0，即f（1）－2＝0，得f（1）＝2，f（－1）＝－f（1）＝－2.
－2
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解析：法一（模型解法） 由f（x＋y）＝f（x）f（y），可设函数f
（x）＝ax（a＞0，且a≠1），由当x＜0时，f（x）＞1，结合指数函数
的图象特征知0＜a＜1，取a＝ ，则f（x）＝（ ）x满足题意，故当x＞
0时，f（x）的取值范围为（0，1）.
7. 已知函数f（x）对于一切实数x，y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f
（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1.则当x＞0时，f（x）的取值范
围为 .
（0，1）
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法二（常规解法） 因为对于一切x，y∈R，f（x＋y）＝f（x）f
（y）且f（0）≠0，令x＝y＝0，则f（0）＝1，设x＞0，则－x＜0，所
以f（－x）＞1，又f（0）＝f（x－x）＝f（x）f（－x）＝1，所以f
（－x）＝ ＞1，所以0＜f（x）＜1.
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8. （2025·河南鹤壁二模）已知函数f（x）的定义域为R，若f（2x－1）
为奇函数，且f（x＋1）为偶函数，则f（2 031）＝ .
解析：∵f（2x－1）为奇函数，∴f（－2x－1）＝－f（2x－1），令u
＝2x－1，则f（u）＝－f（－u－2），即f（x）＝－f（－x－2） ①.
令x＝0，得到f（－1）＝0，∵f（x＋1）为偶函数，∴f（－x＋1）＝f
（x＋1），f（x）＝f（2－x） ②.结合①②得f（2－x）＝－f（－x
－2），f（x）＝－f（x＋4），f（x＋4）＝－f（x＋8），∴f（x）＝
f（x＋8），∴函数的周期为8， ∴f（2 031）＝f（253×8＋7）＝f（7）
＝f（－1）＝0.
0
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9. 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（4＋x）＋f（－x）＝0，若f'
（2）＝4，则曲线y＝f（x）在点（－6，f（－6））处的切线方程为
.
解析：因为f（x）为奇函数且f（4＋x）＋f（－x）＝0，所以f（4＋
x）＝f（x）.故f（x）是以4为周期的周期函数.将x＝－2代入f（4＋
x）＋f（－x）＝0，则f（2）＋f（2）＝2f（2）＝0，即f（2）＝0，则
f（－6）＝f（2）＝0.对f（4＋x）＝f（x）求导得f'（4＋x）＝f'
（x），故f'（x）是以4为周期的周期函数，则f'（－6）＝f'（2）＝4，即
切点坐标为（－6，0），切线斜率k＝4，故所求切线方程为y－0＝4（x
＋6），即y＝4x＋24.
y
＝4x＋24
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THANKS
演示完毕 感谢观看
