微突破3 函数的构造问题
（时间：30分钟，满分：46分）
一、单项选择题（每小题5分，共30分）
1.（2025·福建厦门期末）定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若xf'（x）＋f（x）＜0，则下列结论一定正确的是（ ）
A.3f（2）＜2f（3） B.3f（2）＞2f（3）
C.2f（2）＜3f（3） D.2f（2）＞3f（3）
2.（2025·福建福州模拟）已知a＝ln，b＝ln 2，c＝－，则（ ）
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.b＞c＞a D.c＞a＞b
3.（2025·福建泉州期末）已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）＝，且f（x）＋f'（x）＜0，则不等式f（x＋1）＞的解集是（ ）
A.（2，＋∞） B.（－∞，2）
C.（0，＋∞） D.（－∞，0）
4.（2025·湖南长沙期中）已知函数f（x）的定义域为R，设f（x）的导函数是f'（x），且f（x）·f'（x）＋x＞0恒成立，则（ ）
A.f（1）＜f（－1）
B.f（1）＞f（－1）
C.｜f（1）｜＞｜f（－1）｜
D.｜f（1）｜＜｜f（－1）｜
5.（2025·广东广州模拟）已知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），其导函数为f'（x），若xf'（x）－1＜0，f（e）＝2，则关于x的不等式f（ex）＜x＋1的解集为（ ）
A.（0，1） B.（0，e）
C.（1，＋∞） D.（e，＋∞）
6.若函数f（x）的导数f'（x）＝x－sin x，f（x）的最小值为0，则函数y＝f（x）－cos x的零点为（ ）
A.0 B.±
C.±2 D.2kπ（k∈Z）
二、多项选择题（6分）
7.已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），若f（x）满足（x－1）[f'（x）－f（x）]＞0，f（2－x）＝f（x）e2－2x，则下列判断正确的是（ ）
A.f（1）＜ef（0） B.f（2）＞e2f（0）
C.f（3）＞e3f（0） D.f（4）＜e4f（0）
三、填空题（每小题5分，共10分）
8.（2025·山东潍坊模拟）已知函数f（x）的定义域为（0，π），其导函数是f'（x）.若f'（x）sin x－f（x）cos x＞0恒成立，则关于x的不等式f（x）＜2f（）sin x的解集为 .
9.已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－1）＝0，当x＞0时，2f（x）＞xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是 .
微突破3 函数的构造问题
1.D 构造函数g（x）＝x·f（x），因为xf'（x）＋f（x）＜0，所以g'（x）＝f（x）＋xf'（x）＜0，即g（x）为减函数，所以3f（3）＜2f（2）.故选D.
2.B 因为b＝ln 2＞0，而a＝ln＜0，c＜0，所以b最大，构造函数f（x）＝xln x（x＞0），因为f'（x）＝ln x＋1（x＞0），当0＜x＜时，f'（x）＜0，当x＞时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，又因为a＝f（），c＝f（），所以f（）＞f（），即a＞c，故b＞a＞c.
3.D 令g（x）＝exf（x），则g'（x）＝ex[f（x）＋f'（x）]＜0，所以g（x）在R上单调递减，因为g（1）＝e1f（1）＝1，所以不等式f（x＋1）＞可变形为ex＋1f（x＋1）＞1，即g（x＋1）＞g（1），所以x＋1＜1，即x＜0，所以不等式f（x＋1）＞的解集为（－∞，0）.故选D.
4.C 设g（x）＝f2（x）＋x2，则g'（x）＝2f（x）·f'（x）＋2x＞0，故y＝g（x）在定义域上是增函数，于是g（1）＞g（－1）即f2（1）＋1＞f2（－1）＋1，即有f2（1）＞f2（－1），故得｜f（1）｜＞｜f（－1）｜.故选C.
5.C 令函数g（x）＝f（x）－ln x，x＞0，则g'（x）＝f'（x）－＝＜0，因此函数g（x）在定义域（0，＋∞）上是减函数，g（e）＝f（e）－ln e＝1，因此f（ex）＜x＋1 f（ex）－x＜1 g（ex）＜g（e），即ex＞e，解得x＞1，所以不等式f（ex）＜x＋1的解集为（1，＋∞）.
6.B 因为函数f（x）的导数f'（x）＝x－sin x，所以f（x）＝x2＋cos x＋c，c为常数，设g（x）＝f'（x）＝x－sin x，则g'（x）＝1－cos x≥0恒成立，g（x）在R上单调递增，又g（0）＝0，所以当x∈（－∞，0）时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，所以f（x）在（－∞，0）上单调递减，当x∈（0，＋∞）时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）在x＝0处取得最小值，即f（x）min＝f（0）＝1＋c＝0，故c＝－1，所以f（x）＝x2＋cos x－1，故y＝f（x）－cos x＝x2－1，令x2－1＝0，解得x＝±，函数y＝f（x）－cos x的零点为±.
7.AC 设F（x）＝，则F'（x）＝＝，∵函数f（x）满足（x－1）[f'（x）－f（x）]＞0，当x＞1时，f'（x）－f（x）＞0，∴F'（x）＞0，∴F（x）在（1，＋∞）上单调递增；当x＜1时，f'（x）－f（x）＜0，∴F'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，1）上单调递减，又由f（2－x）＝f（x）e2－2x ＝ F（2－x）＝F（x），∴F（x）关于直线x＝1对称，从而F（1）＜F（0）＝F（2）＜F（3）＜F（4），由F（1）＜F（0），∴＜，∴f（1）＜ef（0），故A正确；由F（0）＝F（2），∴＝，∴f（2）＝e2f（0），故B错误；由F（0）＜F（3），∴＜，∴f（3）＞e3f（0），故C正确；由F（0）＜F（4），∴＜，∴f（4）＞e4f（0），故D错误.
8.（0，） 解析：令F（x）＝，则F'（x）＝＞0，所以F（x）在定义域内是增函数.所以关于x的不等式f（x）＜2f（）·sin x，可化为＜，即F（x）＜F（）.因为0＜x＜π，所以0＜x＜，即不等式f（x）＜2f（）sin x的解集为（0，）.
9.（－1，0）∪（0，1） 解析：构造F（x）＝，则F'（x）＝，当x＞0时，xf'（x）－2f（x）＜0，F'（x）＜0，则F（x）在（0，＋∞）上单调递减.因为y＝f（x）为偶函数，y＝x2为偶函数，所以y＝F（x）为偶函数，所以F（x）在（－∞，0）上单调递增.根据f（－1）＝0可得F（－1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象（图略），根据图象可知f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（0，1）.
1 / 2微突破3 函数的构造问题
【备考指南】 函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
1.通过式子的结构特征，构造具体函数.
1.已知a＝2ln－，b＝2ln－，c＝2ln－，则（ ）
A.a＜c＜b B.b＜a＜c C.a＜b＜c D.c＜b＜a
2.由f（x）＋f'（x），可构造函数F（x）＝f（x）·ex.
2.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞0，且有f（3）＝3，则f（x）＞3e3－x的解集为（ ）
A.（－∞，－3） B.（－3，1）
C.（1，＋∞） D.（3，＋∞）
3.由xf'（x）－f（x），可构造函数F（x）＝.
3.设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1）＝0，当x＜0时，有xf'（x）－f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集为 .
4.由f'（x）sin x＋f（x）cos x，可构造函数F（x）＝f（x）·sin x.
4.已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f'（x），且当x∈（0，＋∞）时，f'（x）sin x＋f（x）cos x＜0，若a＝f（－），b＝－f（），则a与b的大小关系为 .
【思维建模】 函数构造问题的解题思路
【瓶颈突破】 由f（x）＋f'（x）＞1，得f（x）＋f'（x）－1＞0，可构造函数g（x）＝exf（x）－ex.
【例】 （1）定义在区间（0，）上的函数f（x），f'（x）是其导函数，恒有f（x）＞f'（x）tan x成立，则（ ）
A.f（）＞f（） B.f（1）＞2f（）sin 1
C.f（）＜f（） D.f（）＜f（）
（2）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞1，f（1）＝4，则不等式exf（x）＞ex＋3e的解集为（ ）
A.（－∞，0） B.（－∞，1） C.（0，＋∞） D.（1，＋∞）
【瓶颈突破】 由a＝4×πln 3，c＝4×3ln π，得＝πln 3，＝3ln π，两边同除以3π，可构造函数f（x）＝.
（3）已知a＝4ln 3π，b＝3π，c＝4ln π3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.c＜b＜a B.b＜c＜a C.b＜a＜c D.a＜b＜c
【训练】 （1）已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则（ ）
A.a＞0＞b B.a＞b＞0
C.b＞a＞0 D.b＞0＞a
【瓶颈突破】 由f'（x）＜，得（x＋1）f'（x）－f（x）＜0，利用f（x）与x构造函数.
（2）已知函数f（x）的定义域为[0，＋∞），导函数为f'（x），若f'（x）＜恒成立，则（ ）
A.f（2）＞f（3） B.2f（1）＞f（3）
C.f（5）＞2f（2） D.3f（5）＞f（1）
（3）偶函数f（x）的定义域为（－，），其导函数为f'（x），若对任意的x∈［0，），有f'（x）cos x＜f（x）sin x成立，则关于x的不等式2f（x）cos x＜f（）的解集为 .
微突破3 函数的构造问题
【基础·回扣】
1.D 2.D 3.（－∞，－1）∪（1，＋∞） 4.a＜b
【典例·讲解】
【例】 （1）A 因为x∈（0，），所以sin x＞0，cos x＞0.由f（x）＞f'（x）tan x，得f（x）cos x－f'（x）sin x＞0.设F（x）＝，则F'（x）＝＜0，所以F（x）在区间（0，）上单调递减，所以F（）＞F（），即f（）＞f（）.同理B、C、D错误.故选A.
（2）D 设g（x）＝exf（x）－ex（x∈R），则g'（x）＝exf（x）＋exf'（x）－ex＝ex[f（x）＋f'（x）－1]，因为f（x）＋f'（x）＞1，所以f（x）＋f'（x）－1＞0，又ex＞0，所以g'（x）＞0恒成立，所以g（x）在定义域R上单调递增.故原不等式可转化为exf（x）－ex＞3e，又f（1）＝4，所以g（1）＝ef（1）－e＝3e，所以g（x）＞g（1），所以x＞1.故选D.
（3）B 因为a＝4ln 3π＝4πln 3，b＝3π，c＝4ln π3＝4×3ln π，观察a，c的式子结构特征，构造函数f（x）＝，则f'（x）＝，当x∈（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（e，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，因为π＞3＞e，所以f（π）＜f（3），即＜，所以3ln π＜πln 3，即4×3ln π＜4πln 3，即c＜a；又ln π＞ln e＝1，所以3π＜3×4＜4×3ln π，即b＜c，综上，b＜c＜a.
【训练】 （1）A 由10＝9m＞9，得m＞1.设f（x）＝xm－x－1，x＞1，则当m＞1时，f'（x）＝mxm－1－1＞x1－1－1＝0，所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以f（10）＞f（9）＝0＞f（8），即a＞0＞b.
（2）B 因为f'（x）＜，x≥0，所以（x＋1）f'（x）－f（x）＜0，构造函数g（x）＝，x≥0，则g'（x）＝＜0，所以g（x）在定义域上是减函数，从而g（1）＞g（2）＞g（3）＞g（5），即＞＞＞.所以4f（2）＞3f（3），2f（1）＞f（3），2f（2）＞f（5），3f（1）＞f（5）.
（3）（－，－）∪（，）
解析：令g（x）＝f（x）cos x，x∈（－，），∴g（－x）＝f（－x）cos（－x）＝f（x）cos x＝g（x），∴g（x）为偶函数，又g'（x）＝f'（x）cos x－f（x）sin x，∴当x∈［0，）时，g'（x）＜0，即g（x）在［0，）上单调递减，又g（x）为偶函数，∴g（x）在（－，0］上单调递增，不等式2f（x）cos x＜f（）可化为f（x）cos x＜f（）cos ，即g（x）＜g（），则解得－＜x＜－或＜x＜.
1 / 2(共39张PPT)
微突破3 函数的构造问题
备考指南
函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
基础·回扣 诊断自测 知识回扣
一
典例·讲解 典例精析 强技提能
二
课后·训练 巩固强化 综合测评
三
目录 /
CONTENTS
基础·回扣
诊断自测 知识回扣
1. 已知a＝2ln － ，b＝2ln － ，c＝2ln － ，则（ ）
A. a＜c＜b B. b＜a＜c
C. a＜b＜c D. c＜b＜a
通过式子的结构特征，构造具体函数.
√
解析： a＝2ln － ＝2ln（ ＋1）－ ，b＝2ln － ＝2ln（ ＋1）－
，c＝2ln － ＝2ln（ ＋1）－ ，构造函数f（x）＝2ln（x＋1）－x
（0＜x＜1），则f'（x）＝ －1＝ ，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f
（x）在（0，1）上单调递增，所以f（ ）＜f（ ）＜f（ ），所以c＜
b＜a.
2. 已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞0，且有f（3）＝
3，则f（x）＞3e3－x的解集为（ ）
A. （－∞，－3） B. （－3，1）
C. （1，＋∞） D. （3，＋∞）
由f（x）＋f'（x），可构造
函数F（x）＝f（x）·ex.
√
解析： 设F（x）＝f（x）·ex，则F'（x）＝f'（x）·ex＋f（x）·ex＝
ex[f（x）＋f'（x）]＞0，∴F（x）在R上单调递增.又f（3）＝3，则F
（3）＝f（3）·e3＝3e3.∵f（x）＞3e3－x等价于f（x）·ex＞3e3，即F
（x）＞F（3），∴x＞3，即所求不等式的解集为（3，＋∞）.
3. 设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1）＝0，当x＜0时，有xf'
（x）－f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集为
.
（－∞，－
1）∪（1，＋∞）
由xf'（x）－f（x），可构造函数F（x）＝ .
解析：设F（x）＝ ，则F'（x）＝
，当x＜0时，xf'（x）－f（x）＞0，可
以推出当x＜0时，F'（x）＞0，F（x）在（－∞，0）上单调递增.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递增.根据f（1）＝0可得F（1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的大致图象如图所示，根据图象可知f（x）＞0的解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）.
4. 已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f'（x），且当x∈（0，
＋∞）时，f'（x） sin x＋f（x） cos x＜0，若a＝ f（－ ），b＝－f
（ ），则a与b的大小关系为 .
a＜b
由f'（x） sin x＋f（x） cos x，可构造函数F（x）＝f（x）· sin x.
解析：设F（x）＝f（x）· sin x，则F'（x）＝f'（x） sin x＋f（x） cos
x，∴x∈（0，＋∞）时，F'（x）＜0，即F（x）在（0，＋∞）上单调
递减，又f（x）为奇函数，∴F（x）为偶函数，∴F（－ ）＝F（ ）
＞F（ ），即f（－ ） sin （－ ）＞f（ ） sin ，即－ f（－ ）＞
f（ ），即 f（－ ）＜－f（ ），∴a＜b.
【思维建模】 函数构造问题的解题思路
典例·讲解
典例精析 强技提能
【例】 （1）定义在区间（0， ）上的函数f（x），f'（x）是其导函
数，恒有f（x）＞f'（x）tan x成立，则（ ）
A. f（ ）＞ f（ ）
B. f（1）＞2f（ ） sin 1
C. f（ ）＜f（ ）
D. f（ ）＜f（ ）
√
解析： 因为x∈（0， ），所以 sin x＞0， cos x＞0.由f（x）＞f'
（x）tan x，得f（x） cos x－f'（x） sin x＞0.设F（x）＝ ，则F'
（x）＝ ＜0，所以F（x）在区间（0， ）上单调递
减，所以F（ ）＞F（ ），即 f（ ）＞ f（ ）.同理B、C、D错
误.故选A.
（2）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞1，f（1）＝
4，则不等式exf（x）＞ex＋3e的解集为（ ）
A. （－∞，0） B. （－∞，1）
C. （0，＋∞） D. （1，＋∞）
√
【瓶颈突破】 由f（x）＋f'（x）＞1，得f（x）＋f'（x）－1＞0，可构造函数g（x）＝exf（x）－ex.
解析： 设g（x）＝exf（x）－ex（x∈R），则g'（x）＝exf（x）＋
exf'（x）－ex＝ex[f（x）＋f'（x）－1]，因为f（x）＋f'（x）＞1，所
以f（x）＋f'（x）－1＞0，又ex＞0，所以g'（x）＞0恒成立，所以g
（x）在定义域R上单调递增.故原不等式可转化为exf（x）－ex＞3e，又f
（1）＝4，所以g（1）＝ef（1）－e＝3e，所以g（x）＞g（1），所以
x＞1.故选D.
（3）已知a＝4ln 3π，b＝3π，c＝4ln π3，则a，b，c的大小关系是
（ ）
A. c＜b＜a B. b＜c＜a
C. b＜a＜c D. a＜b＜c
√
【瓶颈突破】 由a＝4×πln 3，c＝4×3ln π，得 ＝πln 3， ＝3ln π，两边同除以3π，可构造函数f（x）＝ .
解析： 因为a＝4ln 3π＝4πln 3，b＝3π，c＝4ln π3＝4×3ln π，观察
a，c的式子结构特征，构造函数f（x）＝ ，则f'（x）＝ ，当x∈
（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（e，＋∞）时，f'
（x）＜0，f（x）单调递减，因为π＞3＞e，所以f（π）＜f（3），即
＜ ，所以3ln π＜πln 3，即4×3ln π＜4πln 3，即c＜a；又ln π＞ln e
＝1，所以3π＜3×4＜4×3ln π，即b＜c，综上，b＜c＜a.
【训练】 （1）已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则（ ）
A. a＞0＞b B. a＞b＞0
C. b＞a＞0 D. b＞0＞a
√
解析： 由10＝9m＞9，得m＞1.设f（x）＝xm－x－1，x＞1，则当m
＞1时，f'（x）＝mxm－1－1＞x1－1－1＝0，所以f（x）在（1，＋∞）上
单调递增，所以f（10）＞f（9）＝0＞f（8），即a＞0＞b.
（2）已知函数f（x）的定义域为[0，＋∞），导函数为f'（x），若f'
（x）＜ 恒成立，则（ ）
A. f（2）＞f（3） B. 2f（1）＞f（3）
C. f（5）＞2f（2） D. 3f（5）＞f（1）
√
【瓶颈突破】 由a＝4×πln 3，c＝4×3ln π，得 ＝πln 3， ＝3ln π，两边同除以3π，可构造函数f（x）＝ .
解析： 因为f'（x）＜ ，x≥0，所以（x＋1）f'（x）－f（x）
＜0，构造函数g（x）＝ ，x≥0，则g'（x）＝
＜0，所以g（x）在定义域上是减函数，从而g
（1）＞g（2）＞g（3）＞g（5），即 ＞ ＞ ＞
.所以4f（2）＞3f（3），2f（1）＞f（3），2f（2）＞f（5），
3f（1）＞f（5）.
（3）偶函数f（x）的定义域为（－ ， ），其导函数为f'（x），若对
任意的x∈［0， ），有f'（x） cos x＜f（x） sin x成立，则关于x的不
等式2f（x） cos x＜f（ ）的解集为 （－ ，－ ）∪（ ，
.
（－ ，－ ）∪（ ，
）
解析：令g（x）＝f（x） cos x，x∈（－ ， ），∴g（－x）＝f（－
x） cos （－x）＝f（x） cos x＝g（x），∴g（x）为偶函数，又g'
（x）＝f'（x） cos x－f（x） sin x，∴当x∈［0， ）时，g'（x）＜
0，即g（x）在［0， ）上单调递减，又g（x）为偶函数，∴g（x）在
（－ ，0］上单调递增，不等式2f（x） cos x＜f（ ）可化为f（x） cos
x＜f（ ） cos ，即g（x）＜g（ ），则 解得－ ＜x
＜－ 或 ＜x＜ .
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：30分钟，满分：46分）
一、单项选择题（每小题5分，共30分）
1. （2025·福建厦门期末）定义在R上的函数f（x），其导函数为f'
（x），若xf'（x）＋f（x）＜0，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 3f（2）＜2f（3） B. 3f（2）＞2f（3）
C. 2f（2）＜3f（3） D. 2f（2）＞3f（3）
解析： 构造函数g（x）＝x·f（x），因为xf'（x）＋f（x）＜0，所
以g'（x）＝f（x）＋xf'（x）＜0，即g（x）为减函数，所以3f（3）＜
2f（2）.故选D.
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2. （2025·福建福州模拟）已知a＝ ln ，b＝ln 2，c＝－ ，则（ ）
A. a＞b＞c B. b＞a＞c
C. b＞c＞a D. c＞a＞b
√
解析： 因为b＝ln 2＞0，而a＝ ln ＜0，c＜0，所以b最大，构造函
数f（x）＝xln x（x＞0），因为f'（x）＝ln x＋1（x＞0），当0＜x＜
时，f'（x）＜0，当x＞ 时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0， ）上单调
递减，在（ ，＋∞）上单调递增，又因为a＝f（ ），c＝f（ ），所
以f（ ）＞f（ ），即a＞c，故b＞a＞c.
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3. （2025·福建泉州期末）已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）＝ ，
且f（x）＋f'（x）＜0，则不等式f（x＋1）＞ 的解集是（ ）
A. （2，＋∞） B. （－∞，2）
C. （0，＋∞） D. （－∞，0）
√
解析： 令g（x）＝exf（x），则g'（x）＝ex[f（x）＋f'（x）]＜0，
所以g（x）在R上单调递减，因为g（1）＝e1f（1）＝1，所以不等式f
（x＋1）＞ 可变形为ex＋1f（x＋1）＞1，即g（x＋1）＞g（1），所
以x＋1＜1，即x＜0，所以不等式f（x＋1）＞ 的解集为（－∞，
0）.故选D.
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4. （2025·湖南长沙期中）已知函数f（x）的定义域为R，设f（x）的导
函数是f'（x），且f（x）·f'（x）＋x＞0恒成立，则（ ）
A. f（1）＜f（－1）
B. f（1）＞f（－1）
C. ｜f（1）｜＞｜f（－1）｜
D. ｜f（1）｜＜｜f（－1）｜
√
解析： 设g（x）＝f2（x）＋x2，则g'（x）＝2f（x）·f'（x）＋2x＞
0，故y＝g（x）在定义域上是增函数，于是g（1）＞g（－1）即f2
（1）＋1＞f2（－1）＋1，即有f2（1）＞f2（－1），故得｜f（1）｜＞｜
f（－1）｜.故选C.
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5. （2025·广东广州模拟）已知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），其导
函数为f'（x），若xf'（x）－1＜0，f（e）＝2，则关于x的不等式f
（ex）＜x＋1的解集为（ ）
A. （0，1） B. （0，e）
C. （1，＋∞） D. （e，＋∞）
√
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解析： 令函数g（x）＝f（x）－ln x，x＞0，则g'（x）＝f'（x）－
＝ ＜0，因此函数g（x）在定义域（0，＋∞）上是减函数，g
（e）＝f（e）－ln e＝1，因此f（ex）＜x＋1 f（ex）－x＜1 g
（ex）＜g（e），即ex＞e，解得x＞1，所以不等式f（ex）＜x＋1的解
集为（1，＋∞）.
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6. 若函数f（x）的导数f'（x）＝x－ sin x，f（x）的最小值为0，则函数
y＝f（x）－ cos x的零点为（ ）
A. 0 B. ±
C. ±2 D. 2kπ（k∈Z）
√
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解析： 因为函数f（x）的导数f'（x）＝x－ sin x，所以f（x）＝ x2
＋ cos x＋c，c为常数，设g（x）＝f'（x）＝x－ sin x，则g'（x）＝1－
cos x≥0恒成立，g（x）在R上单调递增，又g（0）＝0，所以当x∈（－
∞，0）时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，所以f（x）在（－∞，0）上单
调递减，当x∈（0，＋∞）时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，所以f（x）
在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）在x＝0处取得最小值，即f（x）
min＝f（0）＝1＋c＝0，故c＝－1，所以f（x）＝ x2＋ cos x－1，故y＝
f（x）－ cos x＝ x2－1，令 x2－1＝0，解得x＝± ，函数y＝f（x）
－ cos x的零点为± .
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二、多项选择题（6分）
7. 已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），若f（x）满足（x－
1）[f'（x）－f（x）]＞0，f（2－x）＝f（x）e2－2x，则下列判断正确
的是（ ）
A. f（1）＜ef（0） B. f（2）＞e2f（0）
C. f（3）＞e3f（0） D. f（4）＜e4f（0）
√
√
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解析： 设F（x）＝ ，则F'（x）＝ ＝
，∵函数f（x）满足（x－1）[f'（x）－f（x）]＞0，当x
＞1时，f'（x）－f（x）＞0，∴F'（x）＞0，∴F（x）在（1，＋∞）
上单调递增；当x＜1时，f'（x）－f（x）＜0，∴F'（x）＜0，∴F
（x）在（－∞，1）上单调递减，又由f（2－x）＝f（x）e2－
2x ＝ F（2－x）＝F（x），∴F（x）关于直线x＝
1对称，从而F（1）＜F（0）＝F（2）＜F（3）＜F（4），由F（1）
＜F（0），∴ ＜ ，∴f（1）＜ef（0），故A正确；
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由F（0）＝F（2），∴ ＝ ，∴f（2）＝e2f（0），故B错
误；由F（0）＜F（3），∴ ＜ ，∴f（3）＞e3f（0），故
C正确；由F（0）＜F（4），∴ ＜ ，∴f（4）＞e4f（0），
故D错误.
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三、填空题（每小题5分，共10分）
8. （2025·山东潍坊模拟）已知函数f（x）的定义域为（0，π），其导函
数是f'（x）.若f'（x） sin x－f（x） cos x＞0恒成立，则关于x的不等式f
（x）＜2f（ ） sin x的解集为 （0， ） .
（0， ）
解析：令F（x）＝ ，则F'（x）＝ ＞0，所以
F（x）在定义域内是增函数.所以关于x的不等式f（x）＜2f（ ）· sin
x，可化为 ＜ ，即F（x）＜F（ ）.因为0＜x＜π，所以0
＜x＜ ，即不等式f（x）＜2f（ ） sin x的解集为（0， ）.
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9. 已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－1）＝0，
当x＞0时，2f（x）＞xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围
是 .
解析：构造F（x）＝ ，则F'（x）＝ ，当x＞0
时，xf'（x）－2f（x）＜0，F'（x）＜0，则F（x）在（0，＋∞）上单
调递减.因为y＝f（x）为偶函数，y＝x2为偶函数，所以y＝F（x）为偶
函数，所以F（x）在（－∞，0）上单调递增.根据f（－1）＝0可得F
（－1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象（图略），根据图
象可知f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（0，1）.
（－1，0）∪（0，1）
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