微突破1 球的切、接问题
（时间：45分钟，满分：51分）
一、单项选择题（每小题5分，共30分）
1.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
2.（2025·广东广州一模）已知球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ）
A.π B.π
C.π D.3π
3.已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为（ ）
A. B.
C. D.
4.如图，在四棱锥P-ABCD中，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，PA＝，AB＝2，则四棱锥P-ABCD内切球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知在三棱锥P-ABC中，除PC外其他各棱长均为2，且二面角P-AB-C的大小为60°.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.6π
6.已知圆柱OO1的下底面在半球O的底面上，上底面圆周在半球O的球面上，记半球O的底面圆面积与圆柱OO1的侧面积分别为S，S1，半球O与圆柱OO1的体积分别为V，V1，则当的值最小时，的值为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（6分）
7.将正三棱锥P-ABC置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P-ABC-Q，如图.下列关于该“倒影三棱锥”的说法中正确的有（ ）
A.PQ⊥平面ABC
B.若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上
C.若该“倒影三棱锥”存在外接球，则AB＝PA
D.若AB＝PA，则PQ的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心
三、填空题（每小题5分，共15分）
8.已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝ .
9.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为 .
10.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为3，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为 .
微突破1 球的切、接问题
1.A 易知半径最大的球即为该圆锥的内切球，圆锥及其内切球O如图所示.设内切球的半径为R，则sin∠BPE＝＝＝，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝＝＝2，所以R＝，所以内切球的体积V＝πR3＝，即该圆锥内半径最大的球的体积为.
2.B 设球的半径为R，可得4πR2＝4π，即R＝1，∵圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为，∴圆台的下底面半径为R，圆台的母线长为R，圆台的上底面半径为，∴圆台的侧面积为S＝π（R＋）R＝π×（1＋）×1＝π.故选B.
3.A 如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1＝＝＝，所以三棱锥O-ABC的体积V＝S△ABC·OO1＝××1×1×＝.
4.B 由PO⊥底面ABCD，PA＝，AB＝2，O是正方形ABCD的中心，所以AO＝.则OP＝＝，所以四棱锥P-ABCD的体积V＝S四边形ABCD·OP＝.设四棱锥P-ABCD内切球的半径为r，所以四棱锥P-ABCD的体积V＝·（S四边形ABCD＋S△ABP＋S△ADP＋S△BCP＋S△CDP）·r，所以4r＝，解得r＝.则四棱锥P-ABCD内切球的体积V＝πr3＝.
5.A 如图，设D，F分别为AB，PC的中点，连接PD，DF，CD，则∠PDC＝60°，△PDC是边长为的等边三角形，则球心O必在线段DF上，设球的半径为R，在Rt△OAD中，OD＝＝，又PF＝PC＝，DF＝＝＝，所以在Rt△OFP中，OF＝＝，因为OD＋OF＝DF，所以＋＝.解得R2＝，故球的表面积为4πR2＝.
6.A 设圆柱底面半径为r，高为h，球的半径为R，则R2＝h2＋r2，S＝πR2，S1＝2πrh，V＝·πR3＝πR3，V1＝πr2h，所以＝＝＝＋≥2＝1，当且仅当r＝h时等号成立，此时R＝r，所以＝＝＝.
7.AD 由“倒影三棱锥”的几何特征可知PQ⊥平面ABC，故A正确；当P，A，B，C在同一球面上时，若△ABC的外接圆不是球的大圆，则点Q不在该球面上，故B错误；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则三棱锥P-ABC的外接球的半径与等边三角形ABC外接圆的半径相等，设其为R，则AB＝R，PA＝R，则AB＝PA，故C错误；由C的推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为△ABC的中心，即PQ的中点，故D正确.
8.2 解析：如图，设△ABC外接圆的圆心为O1，半径为r，则2r＝＝＝2，可得r＝，设三棱锥S-ABC外接球的球心为O，连接OA，OO1，O1A，则OA＝2，OO1＝SA，因为OA2＝O1A2＋O，所以4＝3＋SA2，解得SA＝2（负值舍去）.
9. 解析：该四棱锥的体积最大，即以底面外接圆和顶点O组成的圆锥体积最大，设圆锥的高为h（0＜h＜1），底面半径为r，则圆锥的体积V＝πr2h＝π（1－h2）h，则V'＝π（1－3h2），令V'＝π（1－3h2）＝0，得h＝，所以V＝π（1－h2）h在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，所以当h＝时，该四棱锥的体积最大.
10. 解析：作出如图所示正四棱台，其中OO1为正四棱台的高，EE1为其斜高，因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为3，则B1O1＝，BO＝4，OO1＝＝3，因为OO1＝3＞＝5，故半径最大的球不与上、下底面同时相切，EE1＝＝6，则sin∠OEE1＝＝，则∠OEE1＝，过O，E，E1，O1作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则∠O2EO＝，
则OO2＝4tan＝＜＝，则更确定最大内切球与四个侧面及下底面相切，即该正四棱台内半径最大的球的半径r＝，球的表面积S＝4πr2＝.
2 / 2微突破1 球的切、接问题
【备考指南】 空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置.
1.设正方体的棱长为a，则内切球半径r＝，外接球半径R＝a，棱切球半径R'＝a.
1.甲球与某正方体的各个面都相切，乙球与这个正方体的各条棱都相切，丙球过这个正方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为（ ）
A.1∶2∶3 B.1∶∶
C.1∶∶ D.1∶2∶3
2.（1）直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点；
（2）在解决有关柱体、台体的外接球问题时，可先确定上、下底面外接圆的圆心，球心一定在上、下底面外接圆圆心所在的直线上.
2.已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上.若AB＝2，AC＝1，AA1＝2，∠ACB＝90°，则外接球的体积等于（ ）
A.8π B.9π
C.π D.π
3.旋转体的内切球问题常用轴截面法解决.
3.（2025·山师附中一模）已知高为4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的4倍，则该圆台的表面积为（ ）
A.57π B.50π
C.25π D.42π
4.侧面与底面均为直角三角形，可以补形为长方体.
4.如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA＝AC＝2BC＝2，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A.3π B.9π
C.36π D.48π
5.一般锥体（棱锥或圆锥）内切球的半径r＝（S，V分别为锥体的表面积、体积）.
5.在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝4，BC＝3，则该三棱锥内切球的体积为 .
【思维建模】 球的切、接问题的解题思路
考点一 空间几何体的外接球与内切球
【瓶颈突破】 四面体对棱相等，即四面体的六条棱分别为长方体的六个面的对角线.
【例1】 （1）已知四面体ABCD的4个面为全等的等腰三角形，且CA＝CB＝2AB＝4，A，B，C，D四点在同一个球面上，则该球的表面积等于（ ）
A.8π B.12π
C.18π D.24π
（2）已知在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC所在直线为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
【瓶颈突破】 在几何体中，过两个互相垂直的底面的外心分别做两个底面的垂线，两个垂线的交点，即为球心.
（3）已知三棱锥D-ABC的四个顶点在球O的球面上，若AB＝AC＝BC＝DB＝DC＝1.当三棱锥D-ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为 .
【训练1】 （1）已知正三棱台的上、下底面边长分别为2，4，体积为42，则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
A.20π B.π
C.80π D.π
【瓶颈突破】 对于一般多面体的外接球问题，可以建立空间直角坐标系设球心为O（x，y，z），利用球心到各顶点的距离相等建立方程（组）从而得到半径长.
（2）在正三棱锥A-BCD中，BC＝CD＝DB＝2，AB＝AC＝AD＝，则三棱锥A-BCD的外接球表面积为（ ）
A. B.9π
C. D.
（3）已知正四面体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（球面上任意两个点连成的线段称为球的弦），P为正四面体表面上的动点，当弦MN最长时，·的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【通性通法】 解决棱切球问题的常用方法
（1）转化为内切球求解；
（2）找切点 定球心 构造直角三角形求解.
考点二 特殊的切、接问题
【例2】 （1）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为S1，S2，则＝ ；
【瓶颈突破】 圆柱的轴截面为长方形，要求铁球半径的最值，做截面，联想到长方形的对角线，从而确定两铁球半径最大时的摆放位置.
（2）（2025·全国Ⅱ卷14题）一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 cm.
【训练2】 〔多选〕下列物体中，能够被整体放入棱长为2的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（参考数据：≈2.449，≈1.732）（ ）
A.底面直径为1，高为的圆锥
B.底面边长为1，高为0.8的正三棱柱
C.直径为0.8的球体
D.底面直径为0.5，高为0.9的圆柱体
微突破1 球的切、接问题
【基础·回扣】
1.A 2.D 3.D 4.B 5.
【典例·讲解】
【例1】 （1）C 依题意可知DA＝CB＝DB＝AC＝4，DC＝AB＝2.如图，将四面体ABCD放入长方体中，设长方体的共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，则解得四面体ABCD的外接球也就是该长方体的外接球，其半径为R＝＝，故所求表面积为S＝4πR2＝4π×（）2＝18π.
（2）B 旋转体的轴截面如图所示，其中O为内切球的球心，过O作AB，BC的垂线，垂足分别为E，F，则OE＝OF＝r（r为内切球的半径），故AO＝＝r，CO＝＝r，故5＝AO＋OC＝r＋r，故r＝，故旋转体的内切球的表面积为4π×（）2＝.故选B.
（3） 解析：如图，当三棱锥D-ABC的体积取到最大值时，则平面ABC⊥平面DBC，取BC的中点G，连接AG，DG，则AG⊥BC，DG⊥BC.分别取△ABC与△DBC的外心E，F，分别过点E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于点O，则点O为三棱锥D-ABC的外心.由AB＝AC＝BC＝DB＝DC＝1，得正方形OEGF的边长为，则OG＝.所以三棱锥D-ABC的外接球的半径R＝＝＝.则球O的表面积为S＝4π×（）2＝.
【训练1】 （1）C 令给定的正三棱台为正三棱台ABC-A1B1C1，A1B1＝2，AB＝4，令△A1B1C1，△ABC的中心分别为O1，O2，而＝×（2）2＝3，S△ABC＝×（4）2＝12，则V＝（3＋＋12）·O1O2＝42，解得O1O2＝6，△A1B1C1的外接圆半径r1＝2××＝2，△ABC的外接圆半径r＝4，显然正三棱台的外接球球心在直线O1O2上，设正三棱台的外接球半径为R，OO1＝x，则OO2＝｜6－x｜，因此R2＝x2＋22＝（6－x）2＋42，解得x＝4，R2＝20，所以该正三棱台的外接球表面积为S＝4πR2＝80π.
（2）C 法一 如图1，取正△BCD的中心为P，连接AP，PC，则三棱锥A-BCD的外接球球心O在AP上，连接OC.在正△BCD中，BC＝2，所以PC＝×BCsin＝.在Rt△APC中，AC＝，所以AP＝＝＝.设外接球的半径为R，由OC＝OA，OP2＋PC2＝OC2得（－R）2＋（）2＝R2，解得R＝，所以三棱锥A-BCD的外接球表面积为S＝4πR2＝.
法二 在正三棱锥A-BCD中，过点A作AF⊥底面BCD于点F，则F为底面正△BCD的中心，因为正△BCD的边长为2，所以BF＝×BCsin＝.因为AB＝，所以AF＝＝.如图2，
以F为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，），C（0，，0）.设三棱锥A-BCD的外接球球心为O（0，0，h），半径为R.由OC2＝OA2，得＋h2＝（h－）2，解得h＝，所以R2＝＋h2＝，则三棱锥A-BCD的外接球表面积为S＝4πR2＝.
（3）B 如图，在正四面体A-BCD中，AH是四面体的高，AH与底面内的直线CH垂直，由对称性知其内切球球心O必在高AH上，利用V四面体A-BCD＝VO-ABC＋VO-ABD＋VO-BCD＋VO-ACD，可得OH＝AH，而CH＝×BC＝，AH＝＝，所以OH＝AH＝，即内切球的半径为，AO＝AH－OH＝－＝，当弦MN最长时，MN为内切球直径，它的中点是球心O，所以·＝（＋）·（＋）＝（＋）·（－）＝－＝｜｜2－，易知当P是正四面体A-BCD的四个顶点时，｜｜最大，所以·的最大值是（）2－＝.
【例2】 （1） 解析：设正三棱柱的棱长为a，外接球与棱切球的半径分别为r1，r2.易知正三棱柱上、下底面中心连线的中点O为外接球的球心，如图，因为OB2＝OD2＋BD2，BD＝×a＝a，所以＝（）2＋（）2＝.因为OE＝a＝＝OF，所以点O也是棱切球的球心，则＝（）2＝，故＝＝＝.
（2）2.5 解析：设铁球半径为r cm，若两个铁球的球心在竖直方向上，且分别与两个底面相切，则铁球球心与圆柱上、下底面的距离均为r，此时铁球的半径为 cm.当两球球心不在竖直方向上时，设两个铁球的球心分别为O1，O2，此种情况下，当铁球半径最大时，如图1所示，圆柱与两铁球的轴截面如图2所示，其中ABCD为圆柱的轴截面，O2P⊥AB，O1P⊥AD，则有O2P＝9－2r，O1P＝8－2r，O1O2＝2r，则有（2r）2＝（8－2r）2＋（9－2r）2，即4r2－68r＋145＝0，即（2r－29）（2r－5）＝0，解得r1＝14.5（舍去），r2＝2.5.因为2.5＞＝2.25，所以铁球半径的最大值为2.5 cm.
【训练2】 BCD 对于正四面体ABCD，作AO⊥平面BCD，交平面BCD于点O，连接OD，则O为正三角形BCD的中心，又棱长为2，则正三角形BCD的内切圆半径r＝，正四面体的高AO＝＝≈1.633.设正四面体内切球半径为t，则V＝4××S△BCD·t＝×S△BCD×AO，则t＝≈0.408.对于A，圆锥的高为且＞，所以不符合题意，故A错误；对于B，底面边长为1，高为0.8的正三棱柱，
如图所示，当MO＝0.8时，设△EFG内切圆的半径为r'，则＝≈≈0.51，则r'≈0.51×≈0.294，而边长为1时的正三角形内切圆半径为≈0.289＜0.294，故满足题意，故B正确；对于C，直径为0.8的球体，其半径为0.4＜0.408，故满足题意，故C正确；对于D，如图，当MO＝0.9时，设△EFG内切圆的半径为r1，则＝≈≈0.449，则r1≈0.449×≈0.259＞0.25，故满足题意，故D正确.
2 / 2(共54张PPT)
微突破1 球的切、接问题
备考指南
空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置.
基础·回扣 诊断自测 知识回扣
一
典例·讲解 典例精析 强技提能
二
课后·训练 巩固强化 综合测评
三
目录 /
CONTENTS
基础·回扣
诊断自测 知识回扣
1. 甲球与某正方体的各个面都相切，乙球与这个正方体的各条棱都相切，
丙球过这个正方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为
（ ）
A. 1∶2∶3 B. 1∶ ∶
C. 1∶ ∶ D. 1∶2 ∶3
√
设正方体的棱长为a，则内切球半径r＝ ，外接球半径R＝ a，棱切球半径R'＝ a.
解析： 设正方体的棱长为a，则甲球为正方体的内切球，其直径等于
正方体的棱长，半径r甲＝ ；乙球为正方体的棱切球，其直径等于正方体
“对角棱”长，半径r乙＝ a；丙球为正方体的外接球，其直径等于正方
体体对角线长，半径r丙＝ a.故甲、乙、丙三球的半径的平方之比为
1∶2∶3.
2. 已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上.
若AB＝2，AC＝1，AA1＝2，∠ACB＝90°，则外接球的体积等于
（ ）
A. 8π B. 9π
C. π D. π
√
（1）直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点；
（2）在解决有关柱体、台体的外接球问题时，
可先确定上、下底面外接圆的圆心，球心一定
在上、下底面外接圆圆心所在的直线上.
解析： 如图，由△ABC为直角三角形，则其底面外接圆
的圆心为斜边AB的中点，r＝ ＝1，因为三棱柱ABC-
A1B1C1的侧棱垂直于底面，设外接球的半径为R，则R2＝r2
＋（ ）2＝12＋12＝2，所以外接球的体积V＝ πR3＝π.
3. （2025·山师附中一模）已知高为4的圆台存在内切球，其下底半径为上
底半径的4倍，则该圆台的表面积为（ ）
A. 57π B. 50π
√
旋转体的内切球问题常用轴截面法解决.
解析： 依题意，圆台的轴截面截其内切球得球的大
圆，且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆，等腰梯形
ABCD为圆台轴截面，其内切圆O与梯形ABCD切于点
O1，E，O2，F，其中O1，O2分别为上、下底面圆心，如图，设圆台上底半径为r，则下底半径为4r，BC＝BE＋CE＝O2B＋O1C＝5r，又等腰梯形ABCD的高O1O2＝4，因此（5r）2－（4r－r）2＝42，解得r＝1，所以该圆台的表面积为16π＋π＋5（4＋1）π＝42π.故选D.
C. 25π D. 42π
4. 如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA＝AC＝
2BC＝2，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A. 3π
B. 9π
C. 36π
D. 48π
√
侧面与底面均为直角三
角形，可以补形为长方体.
解析： 将四面体P-ABC补形成长方体，长方体的长、
宽、高分别为2、1、2，四面体P-ABC的外接球即为长
方体的外接球，而长方体的外接球的直径等于长方体的
体对角线长，设外接球的半径为R，故2R＝ ＝3，所以外接球表面积为S＝4πR2＝9π.故选B.
5. 在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝4，
BC＝3，则该三棱锥内切球的体积为 .
一般锥体（棱锥或圆锥）内切球的半径r＝ （S，V分别为锥体的表面积、体积）.
解析：由AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，得AB⊥CD.
又BC⊥CD，且AB，BC 平面ABC，AB∩BC＝B，
所以CD⊥平面ABC，又AC 平面ABC，所以CD⊥AC.
由AB＝CD＝4，BC＝3，得AC＝BD＝5，所以三棱锥
A-BCD的表面积为S＝2× ×3×4＋2× ×4×5＝32，三棱锥A-BCD的体积为V＝ × ×3×4×4＝8.设三棱锥内切球球心为O，半径为r，由V＝VO-ABC＋VO-ABD＋VO-ACD＋VO-BCD＝ Sr，得r＝ ＝ ，所以该三棱锥内切球的体积为V球＝ πr3＝ π×（ ）3＝ .
【思维建模】 球的切、接问题的解题思路
典例·讲解
典例精析 强技提能
考点一 空间几何体的外接球与内切球
【例1】 （1）已知四面体ABCD的4个面为全等的等腰三角形，且CA＝
CB＝2AB＝4，A，B，C，D四点在同一个球面上，则该球的表面积等
于（ ）
A. 8π B. 12π
C. 18π D. 24π
√
【瓶颈突破】 四面体对棱相等，即四面体的六条棱分别为长方体的六个面的对角线.
解析： 依题意可知DA＝CB＝DB＝AC＝4，DC＝
AB＝2.如图，将四面体ABCD放入长方体中，设长方体
的共顶点的三条棱的长分别为x，
y，z，则 解得 四面体ABCD的外接球也就是该
长方体的外接球，其半径为R＝ ＝ ，故所求表面积为S＝
4πR2＝4π×（ ）2＝18π.
（2）已知在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC所在直线为轴旋
转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ）
A. B.
√
C. D.
解析： 旋转体的轴截面如图所示，其中O为内切球的球
心，过O作AB，BC的垂线，垂足分别为E，F，则OE＝OF
＝r（r为内切球的半径），故AO＝ ＝ r，CO＝
＝ r，故5＝AO＋OC＝ r＋ r，故r＝ ，故旋转体的内切球的表面积为4π×（ ）2＝ .故选B.
（3）已知三棱锥D-ABC的四个顶点在球O的球面上，若AB＝AC＝BC
＝DB＝DC＝1.当三棱锥D-ABC的体积取到最大值时，球O的表面积
为 .
【瓶颈突破】 在几何体中，过两个互相垂直的底面的外心分别做两个底面的垂线，两个垂线的交点，即为球心.
解析：如图，当三棱锥D-ABC的体积取到最大值时，则平
面ABC⊥平面DBC，取BC的中点G，连接AG，DG，则
AG⊥BC，DG⊥BC. 分别取△ABC与△DBC的外心E，
F，分别过点E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于
点O，则点O为三棱锥D-ABC的外心.由AB＝AC＝BC＝
DB＝DC＝1，得正方形OEGF的边长为 ，则OG＝ .所以三棱锥D-ABC的外接球的半径R＝ ＝ ＝ .则球O的表面积为S＝4π×（ ）2＝ .
【训练1】 （1）已知正三棱台的上、下底面边长分别为2 ，4 ，体
积为42 ，则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
A. 20π B. π
C. 80π D. π
√
解析： 令给定的正三棱台为正三棱台ABC-A1B1C1，
A1B1＝2 ，AB＝4 ，令△A1B1C1，△ABC的中
心分别为O1，O2，而 ＝ ×（2 ）2＝
3 ，S△ABC＝ ×（4 ）2＝12 ，则V＝ （3 ＋ ＋12 ）·O1O2＝42 ，解得O1O2＝6，△A1B1C1的外接圆半径r1＝2 × × ＝2，△ABC的外接圆半径r＝4，显然正三棱台的外接球球心在直线O1O2上，设正三棱台的外接球半径为R，OO1＝x，则OO2＝｜6－x｜，因此R2＝x2＋22＝（6－x）2＋42，解得x＝4，R2＝20，所以该正三棱台的外接球表面积为S＝4πR2＝80π.
（2）在正三棱锥A-BCD中，BC＝CD＝DB＝2，AB＝AC＝AD＝ ，
则三棱锥A-BCD的外接球表面积为（ ）
A. B. 9π
C. D.
√
【瓶颈突破】 对于一般多面体的外接球问题，可以建立空间直角坐标系设球心为O（x，y，z），利用球心到各顶点的距离相等建立方程（组）从而得到半径长.
解析： 法一 如图1，取正△BCD的中心为P，连接
AP，PC，则三棱锥A-BCD的外接球球心O在AP上，连
接OC. 在正△BCD中，BC＝2，所以PC＝ ×BC sin ＝
.在Rt△APC中，AC＝ ，所以AP＝ ＝
＝ .设外接球的半径为R，由OC＝OA，OP2＋PC2＝OC2得（ －R）2＋（ ）2＝R2，解得R＝ ，所以三棱锥A-BCD的外接球表面积为S＝4πR2＝ .
法二 在正三棱锥A-BCD中，过点A作AF⊥底面BCD
于点F，则F为底面正△BCD的中心，因为正△BCD的
边长为2，所以BF＝ ×BC sin ＝ .因为AB＝ ，
所以AF＝ ＝ .如图2，以F为坐标原点，
建立空间直角坐标系，则A（0，0， ），C（0， ，0）.设三棱锥A-BCD的外接球球心为O（0，0，h），半径为R. 由OC2＝OA2，得 ＋h2＝（h－ ）2，解得h＝ ，所以R2＝ ＋h2＝ ，则三棱锥A-
BCD的外接球表面积为S＝4πR2＝ .
（3）已知正四面体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（球面上任意两
个点连成的线段称为球的弦），P为正四面体表面上的动点，当弦MN最
长时， · 的最大值为（ ）
A. B.
√
解析： 如图，在正四面体A-BCD中，AH是四面体
的高，AH与底面内的直线CH垂直，由对称性知其内切
球球心O必在高AH上，利用V四面体A-BCD＝VO-ABC＋VO-
ABD＋VO-BCD＋VO-ACD，可得OH＝ AH，而CH＝ ×
C. D.
BC＝ ，AH＝ ＝ ，所以OH＝ AH＝ ，即内切球的半径为 ，AO＝AH－OH＝ － ＝ ，当弦MN最长时，MN为内切球直径，它的中点是球心O，所以 · ＝（ ＋ ）·（ ＋
）＝（ ＋ ）·（ － ）＝ － ＝｜ ｜2－ ，易知当P是正四面体A-BCD的四个顶点时，｜ ｜最大，所以 · 的最大值是（ ）2－ ＝ .
考点二 特殊的切、接问题
【例2】 （1）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该
球与其所有棱都相切）的表面积分别为S1，S2，则 ＝ ；
【通性通法】 解决棱切球问题的常用方法
（1）转化为内切球求解；
（2）找切点 定球心 构造直角三角形求解.
解析：设正三棱柱的棱长为a，外接球与棱切球的半径分别为r1，r2.易知正三棱柱上、下底面中心连线的中点O为外接球的球心，如图，因为OB2＝OD2＋BD2，BD＝ × a＝ a，
所以 ＝（ ）2＋（ ）2＝ .因为OE＝ a＝
＝OF，所以点O也是棱切球的球
心，则 ＝（ ）2＝ ，故 ＝ ＝ ＝ .
（2）（2025·全国Ⅱ卷14题）一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形
容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最
大值为 cm.
2.5
【瓶颈突破】 圆柱的轴截面为长方形，要求铁球半径的最值，做截面，联想到长方形的对角线，从而确定两铁球半径最大时的摆放位置.
解析：设铁球半径为r cm，若两个铁球的球心在竖直方向上，且分别与两
个底面相切，则铁球球心与圆柱上、下底面的距离均为r，此时铁球的半
径为 cm.当两球球心不在竖直方向上时，设两个铁球的球心分别为O1，O2，
此种情况下，当铁球半径最大时，如图1所示，圆柱与两铁球的轴截
面如图2所示，其中ABCD为圆柱的轴截面，O2P⊥AB，O1P⊥AD，则
有O2P＝9－2r，O1P＝8－2r，O1O2＝2r，则有（2r）2＝（8－2r）2＋
（9－2r）2，即4r2－68r＋145＝0，即（2r－29）（2r－5）＝0，解得r1
＝14.5（舍去），r2＝2.5.因为2.5＞ ＝2.25，所以铁球半径的最大值为
2.5 cm.
【训练2】 〔多选〕下列物体中，能够被整体放入棱长为2的正四面体容
器（容器壁厚度忽略不计）内的有（参考数据： ≈2.449， ≈1.732）
（ ）
A. 底面直径为1，高为 的圆锥
B. 底面边长为1，高为0.8的正三棱柱
C. 直径为0.8的球体
D. 底面直径为0.5，高为0.9的圆柱体
√
√
√
解析： 对于正四面体ABCD，作AO⊥平面BCD，
交平面BCD于点O，连接OD，则O为正三角形BCD
的中心，又棱长为2，则正三角形BCD的内切圆半径
r＝ ，正四面体的高AO＝ ＝ ≈1.633.设正四面体内切球半径为t，则V＝4× ×S△BCD·t＝ ×S△BCD×AO，则t＝ ≈0.408.对于A，圆锥的高为 且 ＞ ，所以不符合题意，故A错误；对于B，底面边长为1，高为0.8的正三棱柱，如图所示，当MO＝0.8时，设△EFG
内切圆的半径为r'，则 ＝ ≈ ≈0.51，则r'≈0.51× ≈0.294，而边长为1时的正三角形内切圆半径为 ≈0.289＜0.294，故满足题意，故B正确；对于C，直径为0.8的球体，其半径为0.4＜0.408，故满足题意，故C正确；对于D，如图，当MO＝0.9时，设△EFG内切圆的半径为r1，则 ＝ ≈ ≈0.449，则r1≈0.449× ≈0.259＞0.25，故满足题意，故D正确.
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：45分钟，满分：51分）
一、单项选择题（每小题5分，共30分）
1. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积
为（ ）
A. B.
C. D.
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6
7
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9
10
√
解析： 易知半径最大的球即为该圆锥的内切球，圆锥及其
内切球O如图所示.设内切球的半径为R，则 sin ∠BPE＝
＝ ＝ ，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝ ＝
＝2 ，所以R＝ ，所以内切球的体积V＝ πR3＝ ，即该圆锥内半径最大的球的体积为 .
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10
2. （2025·广东广州一模）已知球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面
圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为 ，
则该圆台的侧面积为（ ）
A. π B. π
C. π D. 3π
√
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解析： 设球的半径为R，可得4πR2＝4π，即R＝1，∵圆台的上、下底
面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为
，∴圆台的下底面半径为R，圆台的母线长为R，圆台的上底面半径为
，∴圆台的侧面积为S＝π（R＋ ）R＝π×（1＋ ）×1＝ π.故选B.
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3. 已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC
＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为（ ）
A. B.
C. D.
√
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10
解析： 如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1
的直径，且AB＝ .连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1
＝ ＝ ＝ ，所以三棱锥
O-ABC的体积V＝ S△ABC·OO1＝ × ×1×1× ＝ .
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4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面
ABCD，PA＝ ，AB＝2，则四棱锥P-ABCD内切球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
√
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10
解析： 由PO⊥底面ABCD，PA＝ ，AB＝2，O是正方形ABCD的
中心，所以AO＝ .则OP＝ ＝ ，所以四棱锥P-ABCD的
体积V＝ S四边形ABCD·OP＝ .设四棱锥P-ABCD内切球的半径为r，所
以四棱锥P-ABCD的体积V＝ ·（S四边形ABCD＋S△ABP＋S△ADP＋S△BCP＋
S△CDP）·r，所以4r＝ ，解得r＝ .则四棱锥P-ABCD内切球的体积
V＝ πr3＝ .
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5. 已知在三棱锥P-ABC中，除PC外其他各棱长均为2，且二面角P-AB-
C的大小为60°.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
（ ）
A. B.
C. D. 6π
√
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解析： 如图，设D，F分别为AB，PC的中点，连接
PD，DF，CD，则∠PDC＝60°，△PDC是边长为
的等边三角形，则球心O必在线段DF上，设球的半径为
R，在Rt△OAD中，OD＝ ＝ ，又
PF＝ PC＝ ，DF＝ ＝ ＝ ，所以在Rt△OFP中，OF＝ ＝ ，因为OD＋OF＝DF，所以 ＋ ＝ .解得R2＝ ，故球的表面积为4πR2＝ .
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6. 已知圆柱OO1的下底面在半球O的底面上，上底面圆周在半球O的球面
上，记半球O的底面圆面积与圆柱OO1的侧面积分别为S，S1，半球O与
圆柱OO1的体积分别为V，V1，则当 的值最小时， 的值为（ ）
A. B.
C. D.
√
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解析： 设圆柱底面半径为r，高为h，球的半径为R，
则R2＝h2＋r2，S＝πR2，S1＝2πrh，V＝ · πR3＝
πR3，V1＝πr2h，所以 ＝ ＝ ＝ ＋ ≥
2 ＝1，当且仅当r＝h时等号成立，此时R＝ r，所以 ＝ ＝ ＝ .
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二、多项选择题（6分）
7. 将正三棱锥P-ABC置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P-ABC-
Q，如图.下列关于该“倒影三棱锥”的说法中正确的有（ ）
A. PQ⊥平面ABC
B. 若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上
C. 若该“倒影三棱锥”存在外接球，则AB＝ PA
D. 若AB＝ PA，则PQ的中点必为“倒影三棱锥”外接球的
球心
√
√
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解析： 由“倒影三棱锥”的几何特征可知PQ⊥平面ABC，故A正
确；当P，A，B，C在同一球面上时，若△ABC的外接圆不是球的大
圆，则点Q不在该球面上，故B错误；若该“倒影三棱锥”存在外接球，
则三棱锥P-ABC的外接球的半径与等边三角形ABC外接圆的半径相等，
设其为R，则AB＝ R，PA＝ R，则AB＝ PA，故C错误；由C的推
导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为△ABC的中心，即PQ的中点，
故D正确.
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三、填空题（每小题5分，共15分）
8. 已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边
三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝ .
解析：如图，设△ABC外接圆的圆心为O1，半径为r，则2r
＝ ＝ ＝2 ，可得r＝ ，设三棱锥S-ABC外接
球的球心为O，连接OA，OO1，O1A，则OA＝2，OO1＝
SA，因为OA2＝O1A2＋O ，所以4＝3＋ SA2，解得SA＝2（负值舍去）.
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9. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的
球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为 .
解析：该四棱锥的体积最大，即以底面外接圆和顶点O组成的圆锥体积最
大，设圆锥的高为h（0＜h＜1），底面半径为r，则圆锥的体积V＝
πr2h＝ π（1－h2）h，则V'＝ π（1－3h2），令V'＝ π（1－3h2）＝0，
得h＝ ，所以V＝ π（1－h2）h在（0， ）上单调递增，在（ ，
1）上单调递减，所以当h＝ 时，该四棱锥的体积最大.
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10. 已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为3 ，则
该正四棱台内半径最大的球的表面积为 .
解析：作出如图所示正四棱台，其中OO1为正四棱台的高，EE1为其斜
高，因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为3 ，则B1O1
＝ ，BO＝4 ，OO1＝ ＝3 ，因为
OO1＝3 ＞ ＝5，故半径最大的球不与上、下底面同时相切，EE1＝
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＝6，则 sin ∠OEE1＝ ＝ ，
则∠OEE1＝ ，过O，E，E1，O1作正四棱台的截面，
截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则
∠O2EO＝ ，则OO2＝4tan ＝ ＜ ＝ ，则更确定最大内切球与四个侧面及下底面相切，即该正四棱台内半径最大的球的半径r＝ ，球的表面积S＝4πr2＝ .
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THANKS
演示完毕 感谢观看
