北京市东城区2025-2026学年上学期期末九年级数学练习试卷(含答案)
文档属性
| 名称 | 北京市东城区2025-2026学年上学期期末九年级数学练习试卷(含答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 863.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-31 00:00:00 | ||
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文档简介
北京市东城区2025-2026学年上学期期末九年级数学练习试卷
一、选择题，第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.（本题共16分，每题2分）
1．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．某运动员的跳高成绩为12米
C．任意画一个圆，它是轴对称图形
D．蜡烛在真空中燃烧
2．下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边BC相交于点，连接．若，则线段的长为（ ）
A． B． C．4 D．
4．已知关于x 的方程 则该方程根的情况为( )
A．方程没有实数根 B．方程有两个实数根
C．方程有两个相等的实数根 D．方程有两个不等的实数根
5． 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象，某同学得出以下四个结论：
①abc<0，②2a+b>0，③9a-3b+c>0，④b2-ac=0.
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
8．如图，在中，，，是角平分线.点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且.设，，若y关于x的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共16分，每题2分）
9．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
10．二次函数的图象必过点 ．
11．某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如表所示：
移植总数n 400 1500 3500 7000 9000 14000
成活数m 369 1335 3203 6335 8073 12628
成活的频率 0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
根据表中数据，估计这种幼树移植成活的概率为 (结果精确到0.1).
12．如图，是的切线，切点分别是点A和B，是的直径．若，则的长为 ．
13． 如图， △ABC内接于⊙O， AB=AC， CD∥AB 交⊙O于点D， 连结AD. 若∠CAD=33°，则∠ABC的度数为 .
14．抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是 ．
15．如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于F，恰有．若，，则 ．
16．仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物的质量比为，如果又运走64吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的五分之三，仓库原有货物 吨．
三、解答题（本题共68分，第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧．
（1）该圆弧所在圆的圆心坐标为______；
（2）求该圆的半径．
19．已知、是一元二次方程方程的两个实数根；
（1）求k的取值范围；
（2）若、满足，求实数k的值．
20． 已知二次函数的图象经过A(3，0)，B(0，-3)，C(-2，5)三点.
（1）求这个二次函数的表达式及函数图象顶点 P 的坐标.
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象(要列表画图)，并求四边形OBPA 的面积.
21．我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且．
（1）求证：．
（2）由（1）可得伞圈在伞圈上滑动．如图1，伞打开时，；当伞缩拢到图2状态时，时，伞圈下滑的距离长是多少？
22．近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．
调查问卷 年 月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是( )(单选) A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是 ；
（3）【做出合理估计】
若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
（4）【解决概率问题】
文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．
23．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
24．如图1，弹球从原点以一定的方向拋出，弹球抛出的路线是拋物线的一部分，若弹球到达最高点的坐标为，弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，弹球在轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是．
①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点？请说明理由．
（3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点横坐标的取值范围______．
25．如图，△ABC 内接于⊙O，AH⊥BC 于点H，连接OC，过点A 作⊙O 的切线，交CB的延长线于点E.
（1）求证：∠BAH=∠ACO；
（2）若AC=24，AH=18，OC=13，求 的值.
26．已知二次函数．
（1）若它的图象经过点和点．
①求该二次函数的表达式；
②当自变量的值满足时，求的取值范围．
（2）若它的图象经过点，，，且，求的取值范围．
27．如图，在中，将线段绕点顺时针旋转一定角度得到给好落在直线上；过点作垂直直线于点，在直线上再取两点（点在点左侧），连接，且，；
（1）如图1，在线段上，若，，，诸求出线段的长；
（2）如图2，在线段上，连接交于点，若时，求证：；
（3）如图3，在线段延长线上，且，在上取一点使得，当取得最小值时，请直接写出此时的值．
28．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴和x轴分别交于点A，B，的顶点C的坐标为．
（1）求点D的坐标；
（2）直线l经过的中点M，与直线交于点N（点N住x轴下方），且的面积为，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q为y轴上的动点，则在x轴上是否存在点P，使以点C，N，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】1
10．【答案】
11．【答案】0.9
12．【答案】
13．【答案】71°
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】360
17．【答案】（1）解：
或
，；
（2）解：
，.
18．【答案】（1）
（2）解：连接，设的中点为D，，，
，
∴圆的半径为．
19．【答案】（1）解： 解：根据题意得：，
解得；
（2）解：根据题意得：，，∴，
，
，
，
，
整理得，，
∴，
解得或，
又∵，
∴．
20．【答案】（1）解：设二次函数的表达式为y=
将A，B，C三点坐标代入，得
解得
∴ 二次函数的表达式为 2x-3.
∴ 顶点 P 的坐标为(1，-4)
（2）解：列表：
x -1 0 1 2 3
y 0 -3 -4 -3 0
如图，二次函数的图象即为所求.
过点 P 作PD⊥x轴于点D，
∴ 四 边 形 OBPA 的 面 积 =
21．【答案】（1）证明：在和中，，
∴，
∴．
（2）解：如图1，∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
如图2，设交于点，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：伞圈下滑的距离长是．
22．【答案】（1）120
（2）
（3）解：(人)
答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人．
（4）解：根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即．
所以，P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品)．
23．【答案】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得，（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
24．【答案】（1）解：根据题意，设抛物线L的解析式为，将代入，得，解得，
∴抛物线L的解析式为
（2）解：①令，由得，，∴点A的横坐标为8；
②反弹后的小球不经过点，理由为：
∵反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同，且最大高度是，
∴反弹后的抛物线的解析式为，
由①得，代入解析式中，得，
解得或（舍去），
∴设反弹后的抛物线的解析式为，
当时，，
∴反弹后的小球不经过点
（3）
25．【答案】（1）证明：连接 AO 并延长交⊙O 于点 D，连接 CD.
∵AD为直径
∴∠ACD=90°
∴∠ADC+∠CAD=90°
∵∠ADC=∠ABH，∠ABH+∠BAH=90°
∴∠BAH=∠CAD
又∵OA=OC
∴∠CAD=∠ACO
∴∠BAH=∠ACO
（2）解：连接BD，
∵OC=13
∴AD=2OC=26
∴
∵AD 为⊙O 直径，
∴∠ACD=90°
∵AH⊥BC
∴∠AHB=90°
∴∠AHB=∠ACD
又∵∠BAH=∠CAD
∴△ABH~△ADC
∴
即，解得AB=
∵AE为圆的切线
∴∠OAE=90°
∴∠BAE+∠BAD=90°
而∵∠BAD+∠ADB=90°，∠ADB=∠ACB
∴∠BAE=∠ACB
∴△EAB~△ECA
∴
26．【答案】（1）解：①将点和点代入，
得：，解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵，
∴当时，；当时，；当时，；
则当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
∴当时，
（2）解：∵图象经过点，，，
∴对称轴是直线，
当时，，即图象经过点，
∵，即抛物线开口向下，
∴在对称轴直线左侧随的增大而增大，在对称轴的右侧是随的增大而减小．
∵图象经过点，，且，
∴，，在对称轴直线的左侧或两侧．
①当，在对称轴直线的左侧，
∵也在对称轴直线的左侧，且，
∴，
∴；
②，在对称轴直线的两侧，
∴在左侧，，在右侧．
∵，离对称轴越近，函数值越大
∴，
∴；
综上，或．
27．【答案】（1）解：
在中，，
，由勾股定理知：
图1
（2）证明：如图，在上取一点，使得，并连接
，
（3）
28．【答案】（1）解：直线与y轴和x轴分别交于点A，B，
则点A、B的坐标分别为∶、，
∵点C的坐标为，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴点；
（2）解：∵点M是的中点，
∴则点，
则，
设点，
则的面积，解得∶，
则点，
设直线l的表达式为∶，
将点的坐标代入上式得∶，解得，
则直线l的表达式为∶；
（3）解：存在，或或.
1 / 1
一、选择题，第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.（本题共16分，每题2分）
1．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．某运动员的跳高成绩为12米
C．任意画一个圆，它是轴对称图形
D．蜡烛在真空中燃烧
2．下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边BC相交于点，连接．若，则线段的长为（ ）
A． B． C．4 D．
4．已知关于x 的方程 则该方程根的情况为( )
A．方程没有实数根 B．方程有两个实数根
C．方程有两个相等的实数根 D．方程有两个不等的实数根
5． 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象，某同学得出以下四个结论：
①abc<0，②2a+b>0，③9a-3b+c>0，④b2-ac=0.
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
8．如图，在中，，，是角平分线.点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且.设，，若y关于x的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共16分，每题2分）
9．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
10．二次函数的图象必过点 ．
11．某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如表所示：
移植总数n 400 1500 3500 7000 9000 14000
成活数m 369 1335 3203 6335 8073 12628
成活的频率 0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
根据表中数据，估计这种幼树移植成活的概率为 (结果精确到0.1).
12．如图，是的切线，切点分别是点A和B，是的直径．若，则的长为 ．
13． 如图， △ABC内接于⊙O， AB=AC， CD∥AB 交⊙O于点D， 连结AD. 若∠CAD=33°，则∠ABC的度数为 .
14．抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是 ．
15．如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于F，恰有．若，，则 ．
16．仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物的质量比为，如果又运走64吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的五分之三，仓库原有货物 吨．
三、解答题（本题共68分，第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧．
（1）该圆弧所在圆的圆心坐标为______；
（2）求该圆的半径．
19．已知、是一元二次方程方程的两个实数根；
（1）求k的取值范围；
（2）若、满足，求实数k的值．
20． 已知二次函数的图象经过A(3，0)，B(0，-3)，C(-2，5)三点.
（1）求这个二次函数的表达式及函数图象顶点 P 的坐标.
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象(要列表画图)，并求四边形OBPA 的面积.
21．我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且．
（1）求证：．
（2）由（1）可得伞圈在伞圈上滑动．如图1，伞打开时，；当伞缩拢到图2状态时，时，伞圈下滑的距离长是多少？
22．近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．
调查问卷 年 月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是( )(单选) A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是 ；
（3）【做出合理估计】
若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
（4）【解决概率问题】
文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．
23．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
24．如图1，弹球从原点以一定的方向拋出，弹球抛出的路线是拋物线的一部分，若弹球到达最高点的坐标为，弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，弹球在轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是．
①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点？请说明理由．
（3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点横坐标的取值范围______．
25．如图，△ABC 内接于⊙O，AH⊥BC 于点H，连接OC，过点A 作⊙O 的切线，交CB的延长线于点E.
（1）求证：∠BAH=∠ACO；
（2）若AC=24，AH=18，OC=13，求 的值.
26．已知二次函数．
（1）若它的图象经过点和点．
①求该二次函数的表达式；
②当自变量的值满足时，求的取值范围．
（2）若它的图象经过点，，，且，求的取值范围．
27．如图，在中，将线段绕点顺时针旋转一定角度得到给好落在直线上；过点作垂直直线于点，在直线上再取两点（点在点左侧），连接，且，；
（1）如图1，在线段上，若，，，诸求出线段的长；
（2）如图2，在线段上，连接交于点，若时，求证：；
（3）如图3，在线段延长线上，且，在上取一点使得，当取得最小值时，请直接写出此时的值．
28．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴和x轴分别交于点A，B，的顶点C的坐标为．
（1）求点D的坐标；
（2）直线l经过的中点M，与直线交于点N（点N住x轴下方），且的面积为，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q为y轴上的动点，则在x轴上是否存在点P，使以点C，N，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】1
10．【答案】
11．【答案】0.9
12．【答案】
13．【答案】71°
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】360
17．【答案】（1）解：
或
，；
（2）解：
，.
18．【答案】（1）
（2）解：连接，设的中点为D，，，
，
∴圆的半径为．
19．【答案】（1）解： 解：根据题意得：，
解得；
（2）解：根据题意得：，，∴，
，
，
，
，
整理得，，
∴，
解得或，
又∵，
∴．
20．【答案】（1）解：设二次函数的表达式为y=
将A，B，C三点坐标代入，得
解得
∴ 二次函数的表达式为 2x-3.
∴ 顶点 P 的坐标为(1，-4)
（2）解：列表：
x -1 0 1 2 3
y 0 -3 -4 -3 0
如图，二次函数的图象即为所求.
过点 P 作PD⊥x轴于点D，
∴ 四 边 形 OBPA 的 面 积 =
21．【答案】（1）证明：在和中，，
∴，
∴．
（2）解：如图1，∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
如图2，设交于点，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：伞圈下滑的距离长是．
22．【答案】（1）120
（2）
（3）解：(人)
答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人．
（4）解：根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即．
所以，P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品)．
23．【答案】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得，（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
24．【答案】（1）解：根据题意，设抛物线L的解析式为，将代入，得，解得，
∴抛物线L的解析式为
（2）解：①令，由得，，∴点A的横坐标为8；
②反弹后的小球不经过点，理由为：
∵反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与相同，且最大高度是，
∴反弹后的抛物线的解析式为，
由①得，代入解析式中，得，
解得或（舍去），
∴设反弹后的抛物线的解析式为，
当时，，
∴反弹后的小球不经过点
（3）
25．【答案】（1）证明：连接 AO 并延长交⊙O 于点 D，连接 CD.
∵AD为直径
∴∠ACD=90°
∴∠ADC+∠CAD=90°
∵∠ADC=∠ABH，∠ABH+∠BAH=90°
∴∠BAH=∠CAD
又∵OA=OC
∴∠CAD=∠ACO
∴∠BAH=∠ACO
（2）解：连接BD，
∵OC=13
∴AD=2OC=26
∴
∵AD 为⊙O 直径，
∴∠ACD=90°
∵AH⊥BC
∴∠AHB=90°
∴∠AHB=∠ACD
又∵∠BAH=∠CAD
∴△ABH~△ADC
∴
即，解得AB=
∵AE为圆的切线
∴∠OAE=90°
∴∠BAE+∠BAD=90°
而∵∠BAD+∠ADB=90°，∠ADB=∠ACB
∴∠BAE=∠ACB
∴△EAB~△ECA
∴
26．【答案】（1）解：①将点和点代入，
得：，解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵，
∴当时，；当时，；当时，；
则当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
∴当时，
（2）解：∵图象经过点，，，
∴对称轴是直线，
当时，，即图象经过点，
∵，即抛物线开口向下，
∴在对称轴直线左侧随的增大而增大，在对称轴的右侧是随的增大而减小．
∵图象经过点，，且，
∴，，在对称轴直线的左侧或两侧．
①当，在对称轴直线的左侧，
∵也在对称轴直线的左侧，且，
∴，
∴；
②，在对称轴直线的两侧，
∴在左侧，，在右侧．
∵，离对称轴越近，函数值越大
∴，
∴；
综上，或．
27．【答案】（1）解：
在中，，
，由勾股定理知：
图1
（2）证明：如图，在上取一点，使得，并连接
，
（3）
28．【答案】（1）解：直线与y轴和x轴分别交于点A，B，
则点A、B的坐标分别为∶、，
∵点C的坐标为，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴点；
（2）解：∵点M是的中点，
∴则点，
则，
设点，
则的面积，解得∶，
则点，
设直线l的表达式为∶，
将点的坐标代入上式得∶，解得，
则直线l的表达式为∶；
（3）解：存在，或或.
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