浙江省湖州市吴兴区2025-2026学年上学期期末九年级数学练习试卷(含答案)

浙江省湖州市吴兴区2025-2026学年上学期期末九年级数学练习试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．二次函数的图象的顶点坐标是（　　）
A．（2，1） B．（-2，1）
C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
2．有一个不透明的袋子装有四个小球（1个白球和3个红球）．这些球除颜色外没有其他不同之处．现从袋子里随机摸出1个小球，则摸出的这个小球不是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，P是以点 为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A(-1，0)，B(1，0)，连结 PA，PB，则 的最小值是 (　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
5．如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式中一定成立的是(　　)
A． B．
C． D．
7．线段，P是AB的黄金分割点，且，则BP的长度为　　
A． B． C． D．
8．已知在函数y＝2（x﹣1）2+m上有点A（﹣2，y1），点B（4，y2），C（6，y3），则关于y1，y2，y3的大小判断正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＝y2＜y3 D．无法确定
9．如图， 的两条中线 交于点 ，下列结论： ①； ② ； ③； ④； ⑤．其中，正确的有（　　）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
10．如图，在矩形ABCD 中，E，F是边 BC上两点，且 BE=EF=FC，连结DE，AF，DE 与AF 相交于点 G，连结 BG.若AB=4，BC=6，则sin∠GBF的值为 （　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11． 二次函数的开口方向是　 　．
12． 已知 ， 那么 的值为　 　.
13．一个不透明的箱子里装有仅颜色不同的红色卡片和蓝色卡片共10张，随机从箱子里摸出1张卡片，记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.4附近，由此估计箱子中蓝色卡片有　 　张．
14．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，且
（1）　 　，　 　.
（2）设△ADE的边 DE上的高为h1，△ABC的边BC上的高为h2，则 　 　，　 　.　 　.
15．如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为　 　．
16．如图，已知分别为正方形的边的中点，与交于点为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有　 　．
三、解答题(本大题共8个小题，共72分)
17．
（1）计算：
（2）解不等式组：
18．已知抛物线．
（1）求其对称轴和顶点坐标；
（2）若，在此抛物线上，比较的大小．
19．旅客在某网站购高铁票，系统会随机分配座位，李某和张某打算购票，如图所示一排中座位编号为A，B，C，D，F，若系统已将两人分配到同一排，在同一排分配各个座位的概率一样。
（1）"分给李某座位A”是随机事件，这一事件的概率是　 　.
（2）试用列表法或画树状图法求分给这两人相邻座位：（过道两侧座位C，D算相邻)的概率。
A B C 过道 D F
20． 如图， 在⊙O中， 过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A， B两点， 连接OB.
（1） 求∠BOC 的度数；
（2） 若计算阴影部分的面积.
21．为弘扬传统文化，学校建设了一条特色的文化长廊如图1，九年级数学实践小组利用所学的知识测量文化长廊顶部到地面的距离.图2为测量示意图，经过实地测量后，他们得到如下信息.信息1：如图2，点A，B，C，D，E在同一平面内，多边形ABDEC为轴对称图形，点A 与点B对称，点C与点 D 对称.
信息2： 经测量得到AB=2.80m， BD=1.80m， ∠ABD=127°， ∠BDE=90°.
（1） 任务：求文化长廊最大宽度CD 的长；
（2） 任务：计算文化长廊最高点 E 到地面的距离.
(参考数据： ， 结果精确到0.01m)
22．如图1，在四边形ABCD中，，，，，点E在AB上，作交BC于点F，点G为CD上一点，且.如图2，作的外接圆交CD于点H，连结EH，FH，设，.
（1）求CD的长.
（2）求y关于x的函数表达式，
（3）当CF与的一边相等时，求满足所有条件的BE的长.
23．在平面直角坐标系xOy中， 已知二次函数的表达式为
（1）若a=1，且点(2，3)在函数的图象上，求此时函数的最小值；
（2）若函数的图象经过点(-1，-1)，当自变量x的值满足x≥-1时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3） 若函数的图象的对称轴为x=2， 点A(m， y1)， B(m+1， y2)在函数的图象上， 且总有.y1>y2，求m的取值范围.
24．如图，内接于，点在直径的延长线上，且，连结，．
（1）求证：是的切线．
（2）若的半径为，．
①当时，求．
②求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】C
10．【答案】A
11．【答案】向上
12．【答案】
13．【答案】4
14．【答案】（1）；
（2）；；
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：
解不等式①得x>-1，
解不等式②得x≤6，
∴原不等式组的解集为-118．【答案】（1）解：根据题意，可得
，
即，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线.
（2）解：∵抛物线的对称轴方程为，，，
∴，
∴A，B在对称轴的右侧，
∵，
∴抛物线的开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵，
∴
19．【答案】（1）
（2）解：根据题意画树状图如下：
共有20种等可能情况，其中相邻座位的情况数有8种，
∴分给李某和张某相邻座位 (过道两侧座位C，D算相邻)的概率是
20．【答案】（1）解：如图，连接，
∵为中点，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得（舍负），
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：作，，垂足分别为F，H，
由题意得，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得，，
∴
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴文化长廊最大宽度的长．
（2）解：作于点G，由题意得，，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴文化长廊最高点E到地面的距离．
22．【答案】（1）解：作于点，
，且，
，
四边形ABMD是矩形，
，，
，
.
（2）解：，
，
，
，
∴，
，MC=6，DM=8，
∴，
.
，，
.
∵CF+BF=BC=8，
，
得.
（3）解：①当时，则，
，
.
②当时，
，
，
，
，
，
作于点，
则，
，，
.
③当时，
，
，
四边形EFCG是平行四边形，
，
，
综上可得，，，.

23．【答案】（1）解：若a=1，则抛物线的表达式为：
将(2， 3)代入上式得： 3=4+2b+3， 则b=-2，
则抛物线的表达式为：
即函数的最小值为2
（2）解：将(-1， - 1)代入函数表达式得： - 1=a-b+3， 则b=a+4，
∵x≥-1时， y随x的增大而增大， a>0，
则 则a≤4，
即0（3）解：由题意得：|m-2|>|m+1-2|，即
解得：
24．【答案】（1）证明：连接、，
∵是直径，
∴，
设∠OAB=∠OBA=∠ACD=x
∵∠BAC=∠BAO+∠FAO=∠2∠ ACD=2x
即x+∠FAO=2x
∴∠FAO=x
AE∥BC
∴∠ACB=∠CAE
∠ACB+∠ACD=∠CAE+∠FAO
∴∠BCD=∠OAE=90°
即：，
∵是半径，.
∴是的切线．
（2）解：①∵，，∴．AO=AE=R
∴
∴
∵，
∴
∴在中，
∴
∵，
∴．
②由（1）得AE是圆的切线
∴∠ABE=∠EAD=∠ACD，
∠E=∠ E
∴，即
∵在中，
在中，，
∵AE∥BC
∴，即
∵，
∴，即：
∴，即，
∴，
∴
∴
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