浙江省湖州市长兴县2025-2026学年上学期期末九年级数学练习试卷(含答案)

浙江省湖州市长兴县2025-2026学年上学期期末九年级数学练习试卷
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1．下列函数中，为二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．“明天温州市最高气温为25℃”这一事件是 (　　)
A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件
3．抛物线向右平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
4．如图．将半径为6cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O．则折痕AB的长为（　　）
A．6cm B．3cm C．6cm D．6cm
5．两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为 （　　）
A．16 B．8 C．2 D．1
6．某城市绿化部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下的统计图，种植这种树苗1000棵，估计可以成活的棵数为（　　）
A．950 B．900 C．850 D．800
7．如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系中，两个“”是位似图形，且相似比为，位似中心为坐标原点，点与点为一组对应点，若点的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．已知点在矩形的对角线上（不与点重合），下列命题为假命题的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9． 如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，沿着折叠，使点恰好落在边上点处．若，，则的边长是（　　）
A． B． C． D．
10．已知 关于 的二次函数 ，下列结论中， 正确的序号是（　　）
① 当 时， 函数图象的顶点坐标为 ；②当 时，函数图象总过定点；③当 时， 函数图象在 轴上截得的线段的长度大于 ；④若函数图象上任取不同的两点 ， ， 则当 ， 函数在 时，一定能使 成立．
A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11．已知，则=　 　．
12．小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为　 　．
13．如图，小明同学用木棍制成的测量旗杆的高度．他调整自己的位置，使斜边保持与地面平行，直角边与点在同一直线上．已知米，米，斜边离地面的高度米，米，则旗杆的高度　 　米．
14．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上的动点，则取最小值时，点坐标是　 　．
15． 如图，在 ABCD中，AB=6，AD=4，∠A=60°，E，F分别为边CD，AB上异于端点的动点，且DE=BF，连结EF，将四边形CEFB沿着EF折叠得到四边形HEFG.当点G落在 ABCD的边上时，BG的长为　 　
16．如图，为的直径，，D为弧上一动点，连结，作交于E，连结．
（1）当D为弧的中点时，　 　；
（2）当D在弧上运动时，的最小值为　 　．
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17．求过，和三点的抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标．
18．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，　 　．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在上找一点P，使．
②如图③，在上找一点P，使．
19．我校滨江校区食堂实行自主排队取餐.如图所示，为方便学生取餐，食堂开设3个窗口，分别记为①，②，③，现假设学生从这3个窗口中随机选取一个取餐.
（1）小明去食堂用餐时，选择②号窗口取餐的概率是　 　.
（2）若小红和小丽一起去食堂用餐，求小红和小丽在同一窗口取餐的概率.请通过画树状图或列表的方式说明你的理由。
20． 如图，在矩形中，是边上的一点，连接，作交边于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
21．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示．
（1）求每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式．
（2）若销售单价为65元，则经销商每月获得的利润为多少元？
（3）设每月获得的利润为（元），那么销售单价定为多少元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大？并求出最大利润．
22． 如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
（1）如图1，连接，求的度数；
（2）如图2，若点为的中点，且，求的长．
23．先阅读下列解法，再解答有关问题．
由抛物线y=x2-2mx+m2+2m-1，①配方，得y=(x-m)2+2m-1，②
∴抛物线的顶点坐标为(m，2m-1)，
即x=m，③y=2m-1，④
当m的值变化时，x，y的值也随之变化，因
而y的值也随x值的变化而变化．
将③代入④，得y=2x-1．⑤
可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y=2x-1，即该抛物线的顶点在直线y=2x-1上．
解答问题：
（1）写出一个二次函数的表达式，使它的对称轴为直线x=1，且顶点恰好在直线y=x+2上，则这个二次函数的表达式可以为　 　
（2）根据阅读材料中提供的方法，确定抛物线y=x2-2mx+m2-3m+1的顶点所在直线的表达式．
（3）求抛物线y=kx2-2kx+k-2(k≠0)的顶点坐标，并判断该抛物线的顶点在不在(2)中顶点所在的直线上．
24． 如图1，已知是的直径，四边形内接于，其对角线交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，交于点，若．
①求的值；
②过点作交的延长线于点，若的半径为5，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】C
10．【答案】C
11．【答案】5
12．【答案】
13．【答案】12
14．【答案】
15．【答案】4或3或2
16．【答案】；
17．【答案】解：∵抛物线经过，
∴设函数的表达式为：
将点代入得：
解得：
∴该函数的解析式为
∴顶点坐标为：
答：函数的解析式为，顶点坐标为.
18．【答案】（1）
（2）解：①由勾股定理可得，AB==5，
∴连接CD，交AB于点P，如图所示：
则点P即为所求，
理由：由图②可知，AD=3，BC=2，
∵AD∥BC，
∴△ADP∽△BCP，
∴=，
∴AP=AB=3，
故点P可以使AP=3；
②由图③可知，∠ABD=∠CDB=90°，
作点A关于直线BD的对称点A'，连接A'C交BD于点P，如图所示：
则点P即为所求，
理由：∵AB∥CD，
∴△A'BP∽△CDP，
∵点A与点A'关于直线BD的对称，
∴AB=A'B，∠ABP=∠A'BP，
又∵BP=BP，
∴△ABP≌△A'BP，
∴△ABP∽△CDP，
故点P使.
19．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
小红 ① ① ① ② ② ② ③ ③ ③
小丽 ① ② ③ ① ② ③ ① ② ③
所有可能的结果为3×3=9种，
其中“在同一窗口”的情况有3种：(①，①)，(②，②)，(③，③)．
∴同一窗口取餐的概率为.
20．【答案】（1）证明：∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵矩形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
21．【答案】（1）解：由题意：设与之间的函数关系式为：
将，代入得：
解得：
∴每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为
（2）解：当时，
∴经销商每月获得的利润为（元）
（3）解：由题意得：
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为9000．
答：销售单价定为70元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大，最大利润为9000元
22．【答案】（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
在四边形中，
∵
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为：．
23．【答案】（1）y=(x-1)2+3
（2）解：∵y=x2-2mx+m2-3m+1=(x-m)2-3m+1，
∴抛物线的顶点坐标为(m，-3m+1)．
设x=m，y=-3m+1，
∴抛物线的顶点所在直线的表达式为y=-3x+1
（3）解：∵y=kx2-2kx+k-2．
=k(x2-2x+1)-2
=k(x-1)2-2，
∴抛物线的顶点坐标为(1，-2)，
当x=1时，-3x+1=-3×1+1=-2，
∴该抛物线的顶点(1，-2)在直线y=-3x+1上
24．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）①解：过点作交于点G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∵，，
∴，
不妨设，则，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
解得，负值舍去；
∴，，
过点C作于点K，
则，
∴，
∴．

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