浙江省金华市2025-2026学年上学期期末九年级数学练习试卷(含答案)

浙江省金华市2025-2026学年上学期期末九年级数学练习试卷
一、精心选一选：（本题共30分，每小题3分)
1． 如图，小丽从点 A 出发，沿坡度为 的坡道向上走了 120 米到达点 B，则她沿垂直方向升高了(　　)
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
2． 已知⊙O 的半径为 cm，直线l与⊙O 有公共点，且直线l 和圆心O 的距离为d cm，则d满足的条件是(　　)
A． B． C． D．
3．“篮球运动员投篮一次，投中篮筐”这一事件是（　　）
A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．确定事件
4．圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（　　）
A．中心投影 B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定
5．如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
6． 一次函数y= ax+b的图象如图 K13-1所示，则二次函数 的图象大致是(　　)
A． B．
C． D．
7．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆半径的倍，为了使航船S不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角必须（　　）
A．大于 B．小于 C．大于 D．小于
8．如图，在中，，，为的中点，过点作，交于点，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．
9．已知点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．如图， 在平面直角坐标系中， 矩形 的顶点 分别在 轴正半轴、 轴正半轴上， 顶点 在第一象限， 已知 ， 将矩形 绕点 逆时针旋转， 每次旋转 ， 则第 2025 次旋转结束时， 点 的坐标是 (　　)
A． B． C． D．
二、用心填一填（本题共18分，每小题3分)
11．二次函数 、 的图象如图所示，则m　 　n（填“＞”或“＜”）．
12．已知a＝1，b＝4，则a，b的比例中项c的值为　 　．
13．用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为　 　．
14．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线解析式是 　 　．
15．将正五边形绕着它的中心O逆时针旋转时，点A的对应点为点，则的度数为　 　．
16．如图，在菱形ABCD中，，，E是AB边上的一点，，将四边形AEFD沿着EF折叠得到四边形A'D'FE，当三点A'，B，D'在同一条直线上时，　 　°，此时D'F交BC边于点G，CG的长为　 　.
三、细心答一答（本题共72分)
17．计算：．
18．在“趣味化学实验室”选修课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色、现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液：
（1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是______；
（2）张老师随机从两瓶溶液中各取一定量的溶液混合均匀，请用列表格或画树状图的方法求出混合后的溶液变红色的概率．
19．科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），科研人员测量出小钢球离地面高度（米）与其运动时间（秒）的几组数据如下表：
运动时间（秒）
离地面高度（米）
（1）在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接：科研人员发现，小钢球离地面高度（米）与其运动时间（秒）成二次函数关系，请求出关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
（2）在弹射小钢球的同一时刻，无人机开始保持匀速竖直上升，无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系式为．
在小钢球运动过程中，当无人机高度不大于小钢球高度时，无人机可以采集到某项相关性能数据，则能采集到该性能数据的时长为_▲_秒；
弹射器间隔秒弹射第二枚小钢球，其飞行路径视为同一条抛物线．当两枚小钢球处于同一高度时，求此时无人机离地面的高度．
20．数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC>AB>AC，在BC边上取一点P，使∠APC=2∠ABC．
小路的作法如下：
① 作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
② 连结AP．
请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵ PQ是AB的垂直平分线
∴ AP= ， （依据： ）；
∴ ∠ABC= ， （依据： ）．
∴ ∠APC=2∠ABC．
21．贵州榕江的增冲鼓楼是我国侗察现存最老的鼓楼之一．如图是太阳光照射鼓楼形成的示意图．， 分别是不同时刻太阳光照射鼓楼的影长，测得，，．（ 点，，在同一水平线上，且点，，，在同一平面内）
（1）设鼓楼高为，则的长为_______（用含 的代数式表示）．
（2）求鼓楼的高度（结果保留整数）．（参考数据： ）
22．如图，是的外接圆，AB为直径，过点C作的切线CD交BA延长线于点D，点E为上一点，且．
（1）求证：；
（2）若EF垂直平分OB，，求阴影部分的面积．
23．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线。
（1）抛物线与直线两个交点的横坐标分别为-1和2，求该抛物线的解析式；
（2）设，当时；当时。已知时，。
①求的值；
②当时，求的取值范围。
24．如图，在中，，过点、、作圆，取圆上一点，连接交圆于点．连接，，，使，连接．
（1）若，，求的度数；
（2）①求证：；②求证：为圆的直径．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】A
10．【答案】B
11．【答案】＞
12．【答案】±2
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】120°；
17．【答案】解：原式
．
18．【答案】（1）
（2）解：列表如下，
　 A B C D
A 　
B 　
C 　
D 　
共有12种等可能结果，其中混合后的溶液变红色的结果有：，共2种，
∴混合后的溶液变红色的概率为．
19．【答案】（1）解：画图如下图所示：
设，
把、代入得，
，
解得，
∴.
（2）解：当时，，
解得，，
此时，二次函数与一次函数的图象如图所示，
∵当无人机高度不大于小钢球高度时，无人机可以采集到某项相关性能数据，
∴由图象可得，能采集到该性能数据的时长为，
故答案为：；
由可得，抛物线的对称轴为直线，
设第二枚小钢球飞行的时间为，则第一枚小钢球飞行的时间为，
当两枚小钢球处于同一高度时，根据二次函数的对称性可得，，
解得，
∴第一枚小钢球飞行的时间为
∴此时无人机离地面的高度为．
20．【答案】解：如图，
∵ PQ是AB的垂直平分线
∴ AP=BP，（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；
∴ ∠ABC=∠BAP，（依据：等边对等角）．
∴ ∠APC=2∠ABC．
21．【答案】（1）
（2）解：∵，在中，，
∴，
解得：
经检验是原方程的解，且符合题意，
故鼓楼AB的高度为25m.
22．【答案】（1）解：如图，连结OC．
∵CD为的切线，点C在上，
∴，即．
又∵AB为直径，∴，即．
∴．
∵，∴．
∵，∴．
∴．∴．
（2）解：连结OE、BE．
∵EF垂直平分OB，∴．
又∵，∴为等边三角形．
∴，．
∵，∴．
∵，∴．
又∵，∴．
∵，∴为等边三角形．
∴，．∴．
∴．∴．
∴．∴．
又∵，
∴．
23．【答案】（1）解：当x=-1时=0，当x=2时=3，
∴两交点坐标为（-1，0）（2，3），
把（-1，0）（2，3）代入得，
解得，
∴
（2）①∵=ax2+(b-1)x+2，且当时，，
由二次函数的对称性知：抛物线对称轴为=，
∴=
∴a+b=1.
②由a+b=1，则b=1-a，
∴y=ax2-ax+2=a(x-)2-+2，
把（m，M）代入得：M=a(m-)2-+2①，
把（1-2m，N+1）代入得：N+1=a(-2m)2-+2②，
①-②得：M-（N+1）=a(-3m2+m)，
∵M=N，
∴-1=a(-3m2+m)，
∴a==，
∴a≤-12或a＞0.
24．【答案】（1）解：，，
，
四边形为圆内接四边形，
∴∠EFD+∠EAD=180°
又∴∠CFD+∠EFD=180°，
；
（2）解：①证明：，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
即；
②作，交圆于点，连接，如图所示：
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
∴△CED≌△BPA
，
，
，
，
；
由得到，
，
为圆的直径．
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