广东省华附、省实、广雅、深中2026届高三四校联考期末数学试题（PDF版，含答案）

华附、省实、广雅、深中 2026届高三四校联考
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 A= x| x ≤2 , B= x∣3x-1<1 ，则 A∩ B=
A. -2,2 B. -2,1 C. -2,1 D. 1,2
2.已知数列 an 是公差不为零的等差数列,若 s , t , p∈N+ ,则“2at= as+ ap”是“2t= s+ p”的
A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从 2025年到该地旅游的游客
中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的游客比例，如下图
所示，则估计 2025年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的
A. 45% B. 30% C. 13.5% D. 13%
4.有 2位老师和 3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有
A. 48种 B. 12种 C. 36种 D. 24种
5.任意一个复数 z= a+ bi a,b∈R 都可以表示成三角形式，即 a+ bi= r(cosθ+ isinθ) θ∈R,r≥0 .法国
数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是:设两个复数 z1= r1 cosθ1+ isinθ1 , z2= r2 cosθ2+ isinθ2 ，则 z1z2=
r1r2 cos θ1+θ2 + isin θ
1
1+θ2 ，已知复数 z= 2 -
3 i，则 z20262 =
A. - 12 -
3
2 i B. -
1
2 +
3
2 i C.
1
2 D. - 1
6.设动直线 l : mx- y- 2m+ 3= 0 m∈R 交圆 C : x-4 2 + y-5 2 = 12于 A , B两点 (点 C为圆心)，当
∠ACB最小时其余弦值为
A. 1 B. 12 4 C.
1
3 D.
1
6
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7.已知函数 f x = ex- 2m , g x = x2-mx，g x 在点 m,0 处的切线与曲线 y= f x 也相切，则实数m
的值为
A. 1 B. - 1 C. - 2 D. 2
lnn -1 n8.已知数列 an 满足 an= n -

n ，则关于 an 说法正确的是
A. 无最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 有最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
n
9. 1已知二项式 ax2+ x (其中 a∈ R , n≤ 8 , n∈N+)的展开式中存在常数项,则下列说法正确的是
A. n的所有取值组成的集合中有且仅有 3个元素
B. 若当 n取最大值时常数项为 30 ,则 a=± 2
C. n f x = ax2+ 1
n
若当 取最小值时函数 x 的图象在点 1, f 1
1
处的切线与 x轴平行,则 a= 2
D. 若二项展开式中的所有项的系数和为 0 ,则 a=-1
y2 2
10. O x 3已知 为坐标原点，椭圆C1 : 2 + 2 = 1 a>b>0 的长轴长为 4，离心率为 ，过抛物线C
2
a b 2 2
: y = 4x
的焦点 F作直线 l交抛物线于 A , B两点，连接 AO , BO并分别延长交椭圆C1于M , N两点，则下列结论
正确的是
y2
A. 椭圆C1的方程为 4 + x
2= 1

B. 若 AF= 2FB，则 AB = 4
C. 若直线OM ,ON 1的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1k2=- 4
D. OM 2+ ON 2= 5
11.在棱长为 a的正四面体 ABCD中，P ,Q分别为棱 AB和CD(包括端点)的动点，直线 PQ与平面 ABC、平
面 ABD所成角分别为 α , β，则
A. 点Q到平面 ABC和平面 ABD的距离之和是定值
B. sinα- sinβ的正负由点Q位置确定，与点 P位置无关
C. sinα+ sinβ 4 3的最大值为 3
D. O CQ= 3 3πa
2
正四面体顶点在球 的球面上，当 4 CD时，则过点Q截球O的截面面积最小值为 16
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12.已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn，且 S1，2S2，3S3成等差数列，则数列 an 的公比为 .
13.已知函数 f x = 3sinx+cosx cosx- 12 ，若 f x 在区间

-
π
6 ,m

上的值域为
-
1 ,1 2 ，则实数m的
取围是 .
π
14.已知函数 f x π π 1 π 的定义域为 0, 2 ，且满足 f 6 = e 6 ，f x ≥ 1- tanx f x ，则 f 3 的最小值为
数学试题 第 2 页 共 4 页
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在△ABC中，a , b , c π分别为角 A , B ,C的对边，已知 a= 6，2acos 3 -C = b+ c.
(1)求角 A的大小；
(2)若D为 BC的中点，且 AD= 3 3，求△ABC的面积.
16.如图，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形 A1ACC1 , AC= 2AA1= 2A1C1= 4 , B为底面圆周上异于 A ,C的任
一点.

(1)若劣弧 BC中点为 E(如图 1)，过点 E作出平面 α⊥平面 BCC1，请说明平面 α的作法，并证明平行；α
⊥平面 BCC1 ;
(2)现定义:和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交点所
形成的线段叫做两条异面直线的公垂线段,两条异面直线的公垂线段的长度,叫做这两条异面直的距离.

当 B为半圆弧 AC的中点 (如图 2)所示,设平面 A1AB∩平面C1CB= l ,Q∈ l ,求异面直线CQ与 A1l距离
的最大值.
A O1 C1 A O1 1 C1 1
A O C A2 O C2
B E B
图1 图2
数学试题 第 3 页 共 4 页
17. (15分)某商场为庆祝元旦，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有 5个除颜色外其他都相同的小球，其
中 3个黑球和 2个红球.
取球结果 2个红球 2个黑球 红、黑球各 1个
奖金 300元 200元 100元
(1)消费每满 2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取 2个小球，按照表格领取奖
金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望;
(2)若该商场对消费不足 2000元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一位抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖
箱里仍然是 3个黑球和 2个红球,每位抽幸运奖顾客从中随机抽取 1个小球,若取出黑球,则放回小盒中,
无奖励；若取出红球，则将球放回后再往盒子中加 1个黑球，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在
前一位抽奖后的箱中继续抽奖.该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖.
设“第 i个抽幸运奖顾客获得第 1份幸运礼品”记为事件 A1，设“第 j个抽幸运奖顾客获得第 2份幸运礼
品”记为事件 B j.
(i)求 P A1B3 和 P A2∣B3 ;
(ii)求第 k k≥2 位抽幸运奖顾客恰好获得第 2份幸运礼品的概率 P k .
18.已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在 x轴上，离心率等于 2，右焦点 F到其渐近线的距离等于 3 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)经过点 F的直线 l与双曲线C交于 A、B两点，以 AB为直径的圆记作⊙M .
(i)求证:⊙M恒过某个定点,并求出此定点的坐标;
(ii)是否存在某个定圆与⊙M相切,若存在,请求出此定圆的方程,若不存在,请说明理由.
19.已知函数 f x = x+1 ln x+1 - asinx a∈R .
(1)讨论函数 f x 在区间 0,π 内的零点个数;
(2)若 a∈ 0,1 ，使得 f x-1 + ax2≤ 1 bebx2 对 x∈ 1,+∞ 恒成立，求实数 b的取值范围；
(3)若方程 f x-1 = x+1 lnx- 2ax a>0 1 有两个不相等的实根 x1 , x2，求证: x1 x2< a2
.
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华附、省实、广雅、深中 2026届高三四校联考
数学参考答案及评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B C D A C A C BCD AD ABD
π
12. 1 . 13. π , π 3 33 6 2 　 14. 3 e
15. (1)因 b+ c= 2acos π3 -C = 2a cos
π
3 cosC+sinCsin
π
3 = 3asinC+ acosC，...1分
由正弦定理和两角和正弦公式得：sinB+ sinC= 3sinAsinC+ sinAcosC，.......2分
又因为 sinB= sin(A+C) = sinAcosC+ cosAsinC，所以 cosAsinC+ sinC= 3sinAsinC，.......4分
因为 sinC> 0，所以 cosA+ 1= 3sinA sin A- π = 1，即 6 2 .........................5分
由 0< A< π π π 5π π π π得- 6 < A- 6 < 6 ，则 A- 6 = 6 ，所以 A= 3 ；...................6分
(法二：cosA+ 1= 3sinA即 2cos2 A2 = 2 3sin
A
2 cos
A
2 ，
0< A < π cos A > 0 cos A因为 2 2 ，所以 2 ，所以 2 = 3sin
A A 3
2 ，所以 tan 2 = 3 ，.......5分
A π π
所以 2 = 6 ，即 A= 3 ；....................................................6分)
(2)因为点D为 BC中点，且 AD= 3 3，
2 2 2
在△ABC中，a= 6 cosA= b +c -6， 2bc =
1
2 ，即 bc= b
2+ c2- 36，.................8分
2 2 2 2 2 2
在△ABD和△ACD中，cos∠ADB=-cos∠ADC AD +BD -c =- AD +CD -b，即 2AD BD 2AD CD ，...9分
化简得 b2+ c2= 72，.......10分
所以 bc= b2+ c2- 36= 72- 36= 36，.....................................11分
1 1 π
故 S△ABC= 2 bcsinA= 2 × 36× sin 3 = 9 3，所以△ABC的面积为 9 3．.......13分
16. (1)连接O1E , EO2 ,O1O2，平面 EO1O2即为所求作的平面 α，............2分
证明如下：
∵在圆台O1O2中，O1O2⊥面CBA，BC 面CBA，∴O1O2⊥ BC，............3分

∵ E为劣弧 BC中点，O2E为圆O2的半径，∴O2E⊥ BC， ......................4分
又∵O1O2∩O2E=O2，O1O2 ,O2E 平面O1O2E，∴ BC⊥平面O1O2E，............5分
又∵ BC 平面 BCC1，∴平面O1O2E⊥平面 BCC1............................6
分
(2)延长 AA1 ,CC1交于点D，故D∈ AA1 平面 ABA1 ,D∈CC1 平面
CC1B ,故平面 A1AB∩平面C1CB= BD , BD即 l , .......7分
在△ACD中，DC ,DA ,DB均为圆锥母线.
由 AC= 2AA1= 2A1C1= 4，得DC= 2CC1，BC= 2 2
故DO2= 2 3 ...................8分
以O2为原点，O2B ,O2C ,O2O1方向为 x , y , z轴正向建立空间直角坐
参考答案 1 页 共 5 页
标系，

C 0,2,0 , B 2,0,0 ,D(0 , 0 , 2 3 ) , A1 0,-1, 3 ,C1 0,1, 3 AA1= 0,1, 3 , AB= 2,2,0 ,CC 1
= 0,-1, 3 , BC= -2,2,0 ，BD= (-2 , 0 , 2 3 )...........9分

设 BQ= λBD(λ∈ R且 λ≠ 1) ,则CQ= BQ- BC= λBQ- BC= (-2λ+ 2 ,-2 , 2 3 λ) , ........10分
将 AA1 ,CQ

平移至平面 β，设平面 β的法向量平面 n= (x0 , y0 , z0)，

n A A 1=0 y0+ 3 z0=0 则 ，即 x (2-2λ)-2y +2 3λz =0 取 n= 3 λ+1 , 3(1-λ),λ-1 ..........11分n CQ=0 0 0 0

AC n
AC= (0 , 4 , 0)，则异面直线CQ与 A1A的距离 d为 AC在 n

上的投影向量的长度即
n

AC n 1-λ
则 d= = 4 3
..........................12分
n 7λ2-2λ+7
4 3 t
令 t= 1- λ，则 d= ，
7t2-12t+12
当 t= 0时，λ= 1，此时CQ与 A1A相交，不为异面直线 (舍)；.........................13分
当 t≠ 0时，0< d= 4 3 = 4 3 ≤ 2 3 ..........................14分
12 12 2
t2 - t +7 12
1
t -
1
2 +4
当且仅当 λ=-1，异面直线CQ与 A1A的距离有最大值 2 3 ..........................15分
17. (1)从 5个球中抽 2个，即C25= 10种.
抽 2 1个红球：C22= 1种，概率为 10 ； .......................................1分
3
抽 2个黑球：C23= 3种，概率为 10 ； .........................................2分
6 3
抽 1红 1黑：C1×C12 3= 6种，概率为 10 = 5 . .................................3分
设奖金为随机变量 X，
则期望 E(X ) = 300× 110 + 200×
3
10 + 100×
3
5 ，
则 E(X ) = 30+ 60+ 60= 150(元)..........................................5分
(2) (ⅰ)A1(第 1 2次获第 1份礼品)：第 1次抽红球，概率 5 ，此时箱内变为 4黑 2红；
第 2 4次未获礼品：抽黑球 (放回，箱内仍为 4黑 2红)，概率 6 ；
B3(第 3次获第 2份礼品)：第 3 2次抽红球，概率 6 ，
P(A B ) = 2 × 4 2 4因此 1 3 5 6 × 6 = 45 .............................................6分
A2B3(第 2次获第 1份、第 3次获第 2份)：
第 1 3次抽黑球 (放回，箱内 3黑 2红)，概率 5 ；
第 2 2次抽红球 (箱内变为 4黑 2红)，概率 5 ；
2
第 3次抽红球，概率 6 ；
3 2 2 2
故 P(A2B3) = 5 × 5 × 6 = 25 ， ...........................................7分
B3包含“第 1次获第 1份、第 3次获第 2份”和“第 2次获第 1份、第 3次获第 2份”，
参考答案 2 页 共 5 页
即 P(B3) = P(A1B3) + P(A2B ) = 4 2 383 45 + 25 = 225 ，..........................8分
2
P(A B )
则 P(A2|B3) = 2 3 25 9( ) = 38 = 19 ，.........................................10分P B3
225
(ⅱ)设第 k(k≥ 2)位顾客恰好获得第 2份礼品的概率为 P(k)，
若第 k名顾客抽取了第 2份奖品，设前面 k-1 名顾客中第 i(1≤ i≤ k- 1 , k , i∈Ν+)名顾客抽取到了
3 i-1
第 1份奖品，则前面 (i- 1)名顾客中无人获得奖品，其概率为 5 ，.................11分
第 i 2名顾客只获得一份奖品，其概率为 5 ，
k-i-1
第 (i+ 1) 2名顾客到第 k-1 名顾客都没有获得奖品，其概率为 3 ， ...........12分
所以第 k名顾客抽取了一份奖品的概率为
k-1 i-1 k-i-1 k-2 k-1 i-1
P(k) = 3 5 ×
2 2
5 × 3 ×
1
3 =
2 × 1 × 2 × 3 × 3 5 3 3 ...........13分i=1 i=1 5 2
9 k-1
1 2 k-1 k-1= 9
i-1 1 2 k-1 1- 10 2 k-1 3 k-1
5 × 3 × 10 = 5 × 3 × 9 = 2 3 - 5 ...........14分i=1 1- 10
2 k-1P(k) = 2 - 3
k-1
故： 3 5 .............................................15分
2 2
18. (1) C : x - y b设 2 2 = 1 a>0,b>0 ，右焦点 F c, 0 ，则点 F到其渐近线 y=±a b a
x即 bx± ay= 0的距离
bc
为 = bcc = b，故 b= 3 ①，.......................................1分a2+b2
e= c = a
2+b2 2
a a = 1+
b
a = 2
b
，得 a = 3 ②，................................2分
①代入②，得 a= 1， ........................................................3分
y2
故双曲线C的方程为：x2- 3 = 1． ......................................4分
(2) (i)F 2, 0 ，当直线 AB的斜率不为 0时，设 AB : x=my+ 2，与C : 3x2- y2= 3联立，
得 3m2-1 y2+ 12my+ 9= 0(1分给分点)，则 3m2- 1≠ 0，Δ= 36 m2+1 > 0恒成立，......5分
设 A x1,y1 ，B x2,y y + y =-
12m
2 ，则 1 2 ，y y =
9
，
3m2-1 1 2 3m2-1
⊙M AB M - 2的圆心即 的中点 2 , - 6m2 ，..................................................6分3m -1 3m -1
由弦长公式，得
2 6 m2+1
AB = 1+m2 y1+y 22 -4y1y2 = 1+m2 - 12m 36

3m2-1 - 3m2-1 = ， 3m2-1
⊙M r= 1 AB = 3m
2+3
则 的半径 2 2 . .....................................7分 3m -1
(以下步骤，酌情按证法一、证法二给分)
证法一：⊙M的方程为：
2 2 2 2
x+ 2 6m 3m +32 + y+ 2 = 2 . ........................................8分3m -1 3m -1 3m -1
2
y= 0 x+ 2 = 3m
2-3 2 2
令 ，得 2 2 ，解得：x =-1 , x =
3m -5
. .................9分
3m -1 3m -1 1 2 3m2-1
参考答案 3 页 共 5 页
⊙M x P -1, 0 , Q 3m
2-5
故 与 轴交于 2 , 0 两点. .......................10分3m -1
而当直线 AB的斜率为 0时，⊙M : x2+ y2= 1也经过定点 P -1, 0 (1分给分点)；
综上，⊙M恒过定点 P -1, 0 . .............................11分
证法二：当直线 AB的斜率为 0时，⊙M1 : x2+ y2= 1；当 AB的斜率不存在时，⊙M2 : x-2 2 + y2= 9.
(注：只要写对其中一个圆方程就给 1分).......................................8分
因为⊙M1与⊙M2内切，它们有唯一的公共点 P -1, 0 ，
由此猜想：⊙M恒过定点 P -1, 0 (1分给分点)，下面给予证明. .................9分

故 PA PB= x1+1 x2+1 + y1y2= my1+3 my2+3 + y1y = m22 +1 y1y2+ 3m y1+y2 + 9
2
= 9m +9-36m
2+9(3m2-1)
m2+1 9 2 + 3m -
12m + 9= = 0.
3m -1 3m2-1 3m2-1
则 PA⊥ PB即∠APB= 90°，故以 AB为直径的⊙M恒过定点 P -1, 0 . .........11分
(ii)根据直线 AB的斜率为 0与 AB的斜率不存在，这两种特殊情形时⊙M的方程，结合对称性，
猜想：存在定圆 (设为⊙N)的方程为 x-3 2 + y2= 4(2分给分点)，下面给予证明. ...13分
2
由 (i)知，⊙M M - 2 , - 6m的圆心 2 ，半径 r= 3m +3 ；3m -1 3m2-1 3m2-1
而 ⊙ N : x-3 2 + y 2 = 4 的圆心 N ( 3 , 0 )，半径为 2 ；所以 ⊙ M 与 ⊙ N 的圆心距 MN =
2 2 2
- 23m2-1 -3 + -
6m
3m2-1 =
9m +1
3m2
. ........................14分
-1
2 2
①当 3m2- 1> 0即 m > 3 ⊙M ⊙N r + r = 3m +3 + 2= 9m +13 时， 与 的半径之和 1 2 =3m2-1 3m2-1
MN ，
此时，⊙M与⊙N外切. ..............................................15分
3m2- 1< 0 m < 3 ⊙M ⊙ N r -r = 3m
2+3 9m2+1
②当 即 3 时， 与 的半径之差的绝对值 1 2 2 -2 = =1-3m 1-3m2
MN ，
此时，⊙M与⊙N内切. ..........................................16分
综上所述，存在定圆⊙N : x-3 2 + y2= 4与⊙M相切. .........................17分
说明：若设直线 AB的方程为 AB : y= k(x- 2) 1，则只要将上述解答过程种的m用 k 代，就能得到相应的
运算结果，注意要讨论直线 AB的斜率不存在的情况，阅卷时请参照上述评分标准相应给分即可.
19. (1)由 f x = x+1 ln x+1 - asinx，得 f x = ln x+1 + 1- acosx，
f x = 1 x+1 + asinx，(注：以上求导只要对一个就给 1分) ...................1分
①当 a< 0时，因为 x∈ 0, π ，所以 x+1 ln x+1 > 0，asinx< 0，故 f x > 0恒成立，此时，f x 在区
间 0, π 内无零点. ..............................2分
②当 0≤ a≤ 1时，因为 x∈ 0, π ，所以 f x > 0，则 f x 单调递增，
故 f x > f 0 = 1- a≥ 0，则 f x 单调递增，故 f x > f 0 = 0，
此时，f x 在区间 0, π 内无零点. .....................3分
③当 a> 1时，因为 x∈ 0, π ，所以 f x > 0，则 f x 单调递增，
π
因为 f 0 = 1- a< 0，f 2 = 1+ ln
π
2 +1 > 0，
所以存在唯一的 x0∈ 0, π 使得 f 2 x0 = 0. ................4分
当 x∈ 0, x 时，f x < f 0 x0 = 0，f x 单调递减；
参考答案 4 页 共 5 页
当 x∈ x , π 时，f x > f 0 x0 = 0，f x 单调递增.
因为 f 0 = 0，所以 f x0 < f 0 = 0，又 f π = π+1 ln π+1 > 0，
故 f x 在区间 0, π 内只有 1个零点 x1，且 x1∈ x0, π . ...........5分
综上所述，当 a≤ 1时，f x 在区间 0, π 内的零点个数为 0；
当 a> 1时，f x 在区间 0, π 内的零点个数为 1. .....................6分
(2)不等式 f x-1 + ax2≤ 1 bebx2 φ a = x
2-sin x-1 a+ xlnx- 1 bebx2 ≤ 0，
则 a∈ 0, 1 ，使得 φ a ≤ 0，转化为 φ a min≤ 0. ...........................7分
因为 x∈ 1, +∞ ，所以 x2- sin x-1 ≥ x2- 1> 0，则 φ a 在 a∈ 0, 1 上单调递增，
故 φ a 1 1 min= φ 0 = xlnx- bebx2 ≤ 0，转化为 xlnx≤ be
bx
2 对 x∈ 1, +∞ 恒成立，...8分
即 x2 lnx2≤ bx ebx，即 lnx2 elnx2≤ bx ebx(**)对 x∈ 1, +∞ 恒成立，......9分
因为当 x> 1时，lnx2> 0，所以 bx> 0.
构造函数 h x = xex x>0 ，则 h x = x+1 ex> 0，故 h x 在 0, +∞ 上单调递增.
不等式 (**)等价于 h lnx2 ≤ h bx ，则 lnx2≤ bx，..............................10分
b≥ 2lnx分参，得 x =m x 对 x∈ 1, +∞ 恒成立，转化为 b≥m x max.
2 1- lnxm x = 2 ，令m
x = 0，得 x= e. ..............................11分x
当 x∈ 1, e 时，m x > 0，m x 单调递增；当 x∈ e, +∞ 时，m x < 0，m x 单调递减.
故m x max=m e =
2
e ，故 b
2
的取值范围是 e , +∞ . .......................12分
（3）方程 f x-1 = x+1 lnx- 2ax a>0 代入有
xlnx- asin(x- 1) = (x+ 1)lnx- 2ax即 2ax- asin(x- 1) = lnx有两个不相等实根 x1 , x2，
不妨设 x1< x2，则有 2a x1-x2 - a sin x1-1 -sin x2-1 = lnx1- lnx2，.........................13分
构造函数 g x = sin x-1 - x，则 g x = cos x-1 - 1≤ 0，则 g x 在 R上单调递减，
故 g x1 > g x2 ，得 sin x1-1 - sin x2-1 > x1- x2. ........................................................14分
lnx1- lnx2< 2a x1-x2 - a x1-x2 = a x1-x
x1-x2 1
2 ，即 lnx - lnx < a . ...........................15分1 2
x x < x1-x2 x2-x1 > lnx - lnx x2 - x x下证 1 21 2 lnx1- lnx
> ln
2 x1x
2 1
2 x1 x2 x
，
1
令 t= x2x ，则只要证 t-
1
t > 2lnt t>1 ，...............................................................16分1
F t = t- 1 - (t-1)
2
设 t 2lnt t>1 ，则 F
t 1 2 = 1+ - = > 0，t2 t t2
故当 t> 1时，F t 单调递增，故 F t > F 1 = 0，则 t- 1t > 2lnt t>1 ，得证！
x x1-x2 1 1故 1 x2< lnx - lnx < a ，故 x1 x2< 2 . .......................................................17分1 2 a
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