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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024） 册、章 下册第二章
课标要求 根据新课标“数与代数”领域中“数量关系”部分的规定，本章的具体要求如下：1.了解不等式的意义，探索并掌握不等式的基本性质。2.理解一元一次不等式（组）的概念，能够识别一元一次不等式（组）。3.能解数字系数的一元一次不等式（组），并能在数轴上表示出解集。4.能用不等式（组）解决现实生活中的实际问题。
内容分析 不等式是现实世界中不等关系的一种表现形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，也是以后学习的重要基础。本章教学内容是学生学习了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的基础上研究不等关系，通过前面的学习学生初步体会了生活中量与量的关系是众多而且复杂的但面对大量的同类量最容易使人感到就是他们的大小之分。在此之前学生已初步建立了方程模型和函数思想，对于解决实际问题的数学化积累了一定的经验以此为基础学习不等关系顺理成章。教科书首先通过具体实例建立不等关系，探索不等式基本性质，了解一般不等式的解、解集以及不等式的概念。然后具体研究一元一次不等式的解、解集，解集的数轴表示。一元一次不等式的解法和一元一次不等式的实际运用。通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程、一次函数的内在联系。教学过程关注“类比”思想的渗透；强化“数形结合”；关注“实际情景”规范书写。
学情分析 知识储备充足：已熟练掌握一元一次方程、二元一次方程组的解法；熟悉一次函数的基本概念及其图像特征；掌握实数大小比较方法，了解生活中常见的不等关系（如身高、温度）思维发展阶段：处于从形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期；对直观图形（如数轴）接受度高，适合采用“数形结合”策略辅助教学。八年级学生整体具备学习“不等式与不等式组”的良好起点，教师应抓住其好奇心强、乐于合作的特点，重点突破符号方向变化和解集几何表示两大障碍。建议以“生活问题建模 → 数学化表达 → 图像验证 → 反馈修正”为主线开展教学，帮助学生建立完整的认知链条。
单元目标 （一）教学目标1、理解不等式（组）的概念解；掌握解一元一次不等式（组）的解法；会用会用数轴表示不等式组的解、解集；能够根据具体问题的数量关系，列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题；初步体会一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系。2、经历“一元一次方程”到“一元一次不等式”的类比过程，体会方程与不等式之间的联系；通过数轴来直观表示不等式的解和不等式组的解集，体会数形结合思想；通过经历用一元一次不等式解决实际问题，增强学生的建模意识。3、通过实际问题的分析、抽象的过程，体会不等式和等式都刻画现实生活中的数量关系，发展学生的符号感；感受数型结合思想，培养分析问题解决问题的能力；通过合作学习，培养学生主动参与的意识和勇于探索的精神：（二）教学重点、难点重点：1、不等式的意义和性质；2、解简单的不等式（组）、用数轴表示不等式表示解集；3、根据实际问题，列出一元一次不等式解决实际问题。难点：解简单的一元一次不等式（组），用数轴表示不等式组的表示解集；2、根据实际问题，列出一元一次不等式解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数01认识不等式102不等式的解与解集103不等式的基本性质104解一元一次不等式105一元一次不等式实际运用106一元一次不等式与一次函数（1）107一元一次不等式与一次函数（2）108一元一次不等式组109回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识不等式感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式产生的背景及不等式的概念 2．能根据具体问题中的不等关系列不等式,在解决问题的过程中,体会不等式也是刻画事物变化规律的数学模型 3．通过用不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系以及人类历史发展的作用,并以此激发学生学习数学的信心和兴趣 1、初步感知不等关系在日常生活中的存在.2、认识不等号3、已知周长分别用含有字母的式子表示正方形和圆的面积。4、比较周长相等的圆面积和正方形面积的大小。5、根据题意用不等式表示数量关系.6、总结归纳不等式的定义.7、自学例题2、3.关注中差生.8、引导学生总结常用不等关系的基本语言的意义。9、学生完成课堂练习10引导学生进行课堂总结环节一：情景导入环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置不等式的解与解集1.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.2.会在数轴上表示不等式的解集.3.培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力，经历求不等式的解集的过程，发展学生的创新意识.4.从实际问题抽象为数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索1、回顾知识，完成检测题。2、学生们积极参与到活动中，猜测满足x的值有哪些。3、理解不等式的解、解集和解不等式的含义。4、合作交流不等式的解、解集的联系和区别。5、探究不等式的解集用数轴表示6、总结用数轴表示不等式解集的一般方法。7、学习例题8、完成课堂作业。9、课堂总结环节一：回顾旧知并完成检测题。环节二：问题引入，探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置不等式的基本性质学生能准确理解和叙述不等式的三条基本内容，并能运用不等式的基本性质解不等式。经历“观察--实验--猜想--探究过程培养学生归纳能力、类比能力，提升数感和符号意识。在自我探究过程中培养学生严谨的科学态度、合作交流意识和辩证的思维。学生回顾知识。2、教师引导学生探究不等式性质1、2、3及不等式的传递性。3、学生独立完成4个练习4、自学例题，口述每一步的根据。5、完成课堂作业。6、课堂总结环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置解一元一次不等式1、类比解一元一次方程的的定义，理解解一元一次不等式的定义.2、类比解一元一次方程的方法和步骤，理解一元一次不等式的解法和步骤.并能在数轴上表示其解集。3、通过一元一次不等式的学习，提高学生的自主学习能力，激发学生的探究兴趣。1、回顾知识并完成两道解方程习题。2、观察比较得出一元一次不等式的定义。体会一元一次不等式是最基本 最重要的不等式3、根据解方程的步骤自学例题1.2。 强化学生对一元一次不等式解法的过程与步骤的理解 4、交流在探索不等式解题的一般步骤的过程中的心得和体会,不断积累数学活动经验 5、完成课堂作业。6、课堂总结环节一：回顾旧知环节二；情景引入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置一元一次不等式的实际运用1、理解并初步掌握利用一元一次不等式解决实际问题，探究归纳运用不等式解决实际问题的基本步骤。2、经历运用不等式解决实际问题，发展学生抽象、分析、解决问题的能力。3、发展学生数学应用意识，体会生活处处有数学。1、学生回顾旧知。2、理解利润、利润率之间的关系，建立不等关系、解不等式。3、小组合作讨论。学生审题，通过仔细读题，分析题目中的已知条件，圈画出关键字和重点语句，寻找等量关系，列出不等式从而求解。4、教师引导学生分析题目中的不等关系，学生独立或合作完成，帮助学生巩固一元一次不等式解决实际问题的基本步骤，在练习中巩固、提升。5、完成课堂作业。6、课堂总结环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置一元一次不等式与一次函数（1）1．了解一元一次不等式与一次函数的关系。2．会根据题意列出函数关系式，画出函数图像，并利用不等关系进行比较3．通过一元一次不等式与一次函数的图像之间的结合，培养学生的数形结合意识。4. 体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。回顾旧知，完成一次函数图像的作图。先独立思考再互相交流，展示交流成果。先画出图象，然后讨论问题得出用图像或代数解决问题的思维模式。4、完成课堂作业。5、课堂总结环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置一元一次不等式与一次函数（2）1．掌握一元一次不等式与一次函数的关系，通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系，会运用不等式解决函数有关问题。2、感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，并渗透“数形结合”思想，体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，训练大家能利用数学知识去解决问题的能力。1、完成课前3个练习。2、探究手机资费问题。3、完成做一做4、探究方案选择问题。5、小组交流方案选择问题的方法，建立数学模型。6、完成课堂作业。7、课堂总结环节一：课前检测环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结环节五：作业布置一元一次不等式组1、结合具体情景了解一元一次不等式组及其一元一次不等式组解集的意义，能识别一个不等式组的的未知数的个数和次数。2、熟练求解一元一次不等式解集，掌握用数轴来表示不等式组的公共解（解集）方法。3、能运用不等式组解决简单的实际问题，体会数学的应用价值，培养学生的逻辑思维能力和计算能力。1、根据题意列出符合条件的不等式。2、通过观察得出一元一次不等式组的定义，并判断给出的四个不等式组是否是一元一次不等式组。3、独立完成解不等式并用数轴表示不等式的解。4、类比解一元一次不等式，探究解一元一次不等式组，并用数轴表示不等式组的解集。5、总结一元一次不等式组的解法和用数轴表示不等式组的解集。6、学生独立完成例题1、2，学生尝试批改，老师最终讲评。7、小组合作交流完成例题3，并总结归纳;同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小解不了。8、完成课堂作业。9、课堂总结环节一：情景引入环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置回顾与思考1、掌握不等式的基本性质， 理解一元一次不等式（组）的解集，能用数轴表示解集，运用一元一次不等式和一次函数的关系，解决实际问题。2通过回顾本章内容，培养学生归纳总结能力，以及用数学知识解决实际问题的能力。3、用不等式及不等式组的知识去解决实际问题，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心。1、课前给学生充分的时间把课本知识简单复习，然后梳理总结形成本章的知识结构框架。2、教师引导学生充分思考、练习和交流，同时从典型例题里找出对应的解题策略，数学思想中的分类讨论思想，解题中的代数法和几何法。3、完成课堂作业。环节一：知识框架环节二：知识梳理环节三：课堂练习环节四：作业布置
《不等式与不等式组》单元教学设计
活动一：情景导入
活动二：认识不等式
活动三：列不等式
任务一：认识不等式
活动四：课堂练习
不等式与不等式组
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：课前检测
活动三：探究新知
任务二：不等式的解与解集
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动七：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
不等式与不等式组
活动三：典例精析
任务三：不等式的基本性质
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
活动三：典例精析
活动四：课堂练习
任务四：解一元一次不等式
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务五：不等式的实际运用
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务六：一元一次不等式与一次函数（1）
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：课前检测
活动二：探究新知
不等式与不等式组
任务七：一元一次不等式与一次函数（2）
活动三：课堂练习
活动四：课堂总结
活动五：作业布置
活动一：情景引入
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务八：一元一次不等式组
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：知识框架
任务九：回顾与思考
活动二：知识梳理
活动四：课堂练习
活动六：作业布置
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北师大版（2026）八年级数学下册第二章《不等式与不等式组》
2.1不等式的认识教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 不等式的认识 课时 1
课标要求 1、从实际情境中抽象出不等式模型： 能够结合具体情境，了解不等式的意义，理解不等式的概念，探索并掌握不等式的基本性质。2、经历建模过程： 经历由具体问题抽象出不等式模型的过程，体会不等式也是刻画现实世界中数量关系的重要模型。3、类比与转化： 通过类比等式的性质，探索不等式的性质，体会“类比”和“特殊到一般”的数学思想方法。4、表达能力： 能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并能用不等式表示简单的数量关系。
教材分析 对八年级《不等关系》这一课，课标特别强调以下几个方面，通常是教学和考试的重点：1、对“不等”意义的理解：能够区分“等式”与“不等式”适用的不同场景（例如：限速、限量、最低消费等情境适合用不等式）。2、列不等式（数学建模）：这是本节课的重难点。课标要求学生能将文字语言（关键词）转化为数学符号。3、不等式的性质（预备知识）：虽然本节叫“不等关系”，但往往涉及对性质的初步探索或铺垫。
学情分析 学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过一些不等式的相关知识，了解“大于”、“小于”等符号的用法和意义；在本章学习的前面，学生已经能比较两数的大小，并能用数学的语言表达；学生活动经验基础：在相关的知识学习过程中，学生已经经历了将生活中的数学现象抽象为数学问题或数学模型的形式，获得并积累了解决实际问题的数学经验的基础，同时在以前的学习中学生已经有了很多合作的过程。具备了一定的合作交流能力，为本章的学习奠定了知识与经验的基础。
核心素养目标 1．感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式产生的背景及不等式的概念 2．能根据具体问题中的不等关系列不等式,在解决问题的过程中,体会不等式也是刻画事物变化规律的数学模型 3．通过用不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系以及人类历史发展的作用,并以此激发学生学习数学的信心和兴趣
教学重点 通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式。
教学难点 正确理解题意列出不等式.
教学准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的工作原理吗？2、这是限速标志，红圈中的数字是指行车不能超过的速度，你能表示行车速度V与40的关系吗？3、在现实生活中我们也经常看到下面的情形与相等关系相比，不等关系在生活中更为普遍。与一元一次方程的学习类似，本章将研究不等式的性质、一元一次不等式（组）的解法，并通过解决一些简单的实际问题，体会不等式的模型思想及一元一次不等式、一次函数、一元一次方程之间的内在联系。 初步感知不等关系在日常生活中的存在 通过生活中的实例，学生体会不等关系如同相等关系一样处处存在,培养学生观察生活 乐于探究的品质 学生举出了许多不等关系的例子,不仅能从数字上,还能从现象 感觉上去体会不等关系
二、探究 任务一：检查预习效果认识不等式号： > ， < ，≥， ≤ ，≠归纳 ：“<”读作“小于”,比 小“>”读作“大于”.比 大“≤”读作“小于等于”,又可理解为“不大于、不超过、最多”;“≥”读作“大于等于”,又可理解为“不小于，不低于、最少”.“≠”读作“不等于”,表示左、右两边不相等.任务二：探究不等式的定义如图，利用两个长度均为Lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：用含有的式子表示它们的面积要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳子长l应满足怎样的关系式？如果要使圆的面积不小于100cm2，那么绳子长l应满足怎样的关系式？当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？ EMBED Equation.3 (4)当l=12时，正方形和圆的面积哪个大？ EMBED Equation.3 你能得到什么猜想？改变l的取值再试一试。根据上面的不等式，说一说周长相等的情况下圆的面积大于正方形的面积的理由。2、铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm。设行李的长、宽、高分别为 a cm、b cm、c cm， 请你列出行李的长、宽、高满足的关系式 。【a+b+c≤160】 3、通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为6cm,以后树围10年内每年增加3cm，这棵树要生长多少年其树围超过30cm？【6+3x≥30】任务三：总结归纳一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞” （或“≥”）连接的式子叫做不等式（inequality）一个式子是不等式，要把握两点：一是含有不等号，二是表示不等关系，而与不等式是否成立无关 认识不等号2、已知周长分别用含有字母的式子表示正方形和圆的面积。3、比较周长相等的圆面积和正方形面积的大小。4、根据题意用不等式表示数量关系.5、总结归纳不等式的定义. 通过生活中的实际问题的提出,引起学生进一步思考,培养学生深入思考问题的习惯 同时学生在层层深入的思考中,亲身体会到不等关系在生活中的重要性,让学生体会学习数学知识为我们生活服务的意识,激发了学生学习探究的欲望.总结归纳不等式的定义.
四、变式 例1、 列不等式：(1)a与1的和是正数：【a+1>0】；(2)y的2倍与1的和大于3：【2y+1>3】；(3)x的一半与x的2倍的和是非正数：【x+2x≤0】；(4)c与4的和不大于－2：【c+4≤-2】.例2、用适当的符号表示下列关系：(1)x的3倍与8的和比x的5倍小；(2)x2是非负数；(3)地球上海洋的面积大于陆地面积；(4)老师的年龄不超过你的年龄的2倍。解： （1）3X+8<5X （2）X≥0（3）>（4）设老师年龄为x，你的年龄为y x≤2y总结归纳；列不等式首先要找出表示不等关系的关键词，然后用表示数量关系的式子表示不等式的左边和右边；常用不等关系的基本语言的意义：(1)a是正数 a＞0； (2)a是负数 a＜0；(3)a是非正数 a≤0； (4)a是非负数 a≥0；(5)a大于b a－b＞0； (6)a小于b a－b＜0；(7)a不大于b a≤b； (8)a不小于b a≥b；(9)a，b同号 ab＞0或 ＞0；(10)a，b异号 ab＜0, 1、自学例题2、3.关注中差生.2、引导学生总结常用不等关系的基本语言的意义： 通过例题的学习,目的在于加强学生对认识不等式与列不等式的训练,同时也是对本节课教学重点的强化 让学生明白新旧知识之间是有着知识上的联系的
五、尝试 基础达标：1．下列说法中，正确的是（ D ）A．a不是正数，则a＜0 B．b是小于0的数，则b＞0C．c不大于-1，则c＜-1 D．d是负数，则d＜02．济南春季某日最高气温是20℃，最低气温是6℃，则济南当日气温t（℃）的变化范围是（ C ）A．t≤20 B．t≥6 C．6≤t≤20 D．6＜t＜203. 下列式子：①3＞0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x－1；⑤x＋2≤3；⑥2x≠0.其中不等式有( C )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4.“数x不小于2”是指( B )A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞25．下列各项中，蕴含不等关系的是（ D ）A．老师的年龄是你的年龄的2倍 B．小军和小红一样高C．小明岁数比爸爸小26岁 D．x是非负数6.用适当的符号表示下列关系：（1）x的与x的2倍的和是非正数； x+2x≤0(2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；设炮弹的杀伤半径为r，则应有r≥300；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a+4b≤268；（4）x减去6大于12； x-6＞12（5）x的2倍与5的差是负数；2x-5＜0能力提升：7．对于任意实数a，用不等号连结|a| ≥ a（填“＞”或“＜”或“≥”或“≤”）8．某班35名同学去春游，共收款100元，由小李去买点心，每人一包；已知有2.5元一包和4.5元一包的点心，试问最多能买几包4.5元的点心？设买x包4.5元的点心，根据题意，列出关于x的不等式为 4.5x+2.5(35-x)≤100；9．按商品质量规定：商店出售的标明500 g的袋装食盐，其实际克数与所标克数相差不能超过5 g．设实际克数为x(g)，则x应满足的不等式是：495≤x≤505拓展迁移10.在数轴上有P、Q两点，其中点P所对应的数是x，点Q所对应的数是1．已知P、Q两点间的距离小于3，请你利用数轴作答下面的题．（1）写出点P所满足的不等式．（2）数 -1, 0, 4所对应的点到点Q的距离小于3吗 解：（1）画出数轴如下图所示：（2） 数-1, 0所对应的点到点Q的距离小于3；数4所对应的点到点4的距离不小于3． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 1、不等式的定义：一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。2、“≥、≤”的意义：(1)“≥”：a不小于(不低过)b表示为a≥b ，a为非负数表示为a≥0 ；(2)“≤”：a不大于(不高过)b表示为a≤b ，a为非正数表示为a≤0 。3、列不等式 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.下列式子：① 3x=5；② a>2；③ 3m 1≤4；④ 5x+6y；⑤ a+2≠ 2．其中不等式有 ( B ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个2.下列说法正确的是（ D ）A．﹣a比a小 B．一个有理数的平方是正数C．a与b之和大于b D．一个数的绝对值不小于这个数3. x 与 y 的差的 5 倍与 2 的和是一个非负数，可表示为 ( B ) A. 5(x y)+2>0 B. 5(x y)+2≥0 C. x 5y+2≥0 D. 5x 2y+2≤04.有理数m，n在数轴上如图，用不等号填空．（1）m+n ＜ 0； （2）m﹣n ＜ 0； （3）m n ＞ 0；（4）m ＞ n； （5）|m| ＞ |n|．5.用适当的符号表示下列关系：（1）明天下雨的可能性不小于70%；用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%；（2）小明的身体不比小刚轻．设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有a≥b（3）x的3倍与4的和是非负数； 3x+4≥0；（4）y的5倍与9的差不大于-1. 5y-9≤-1．能力提升：6.对于不等式5X+4y ≤20我们可以这样解释：香蕉每千克5元，苹果每千克4元，x千克香蕉与y千克苹果的总钱数不超过20元．请你结合生活实际，设计具体情境解释下列不等式：（1）5x-3y≥2 （2） 4a+6b＜8答案不唯一：（1）每支钢笔5元，每支圆珠笔3元，x支钢笔的价钱比y支圆珠笔的价钱至少多2元．（2）长方形长为2acm,宽为3bcm,周长小于8cm拓展迁移：7.甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：甲种原料乙种原料维生素C/(单位/千克)600100原料价格/(元/千克)84（1）现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足的不等式： 600x+100（10-x）≥4200（2） 现配制这种饮料10千克，购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，那么你能写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足不等式： 8x+4（10-x）≤728.张师傅下岗再就业，做起了小商品生意，第一次进货时，他以每件a元的价格购进20件甲种小商品，每件b元的价格购进了30件乙种小商品（a＞b ）．回来后，根据市场行情，他将这两种小商品都以的价格出售．在这次买卖中，张师傅是（ A ）.A. 赚钱 B. 赔钱 C. 不赚不赔 D. 无法确定赚和赔
教学反思
用符号“＜”（或“≤”），“＞”
（或“≥”）连接的式子.
不等式概念
不等式
理解题意.
找出不等关系.
列不等式
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第二章 不等式与不等式组导学案
2.1认识不等式
学习目标与重难点
学习目标：
1．感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式产生的背景及不等式的概念
2．能根据具体问题中的不等关系列不等式,在解决问题的过程中,体会不等式也是刻画事物变化规律的数学模型
3．通过用不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系以及人类历史发展的作用,并以此激发学生学习数学的信心和兴趣
学习重点：
通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式。
学习难点：
正确理解题意列出不等式.
教学过程
一、创设情境、导入新课
你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的工作原理吗？
2、这是限速标志，红圈中的数字是指行车不能超过的速度，你能表示行车速度V与40的关系吗？
3、在现实生活中我们也经常看到下面的情形
与相等关系相比，不等关系在生活中更为普遍。与一元一次方程的学习类似，本章将研究不等式的性质、一元一次不等式（组）的解法，并通过解决一些简单的实际问题，体会不等式的模型思想及一元一次不等式、一次函数、一元一次方程之间的内在联系。
合作交流、新知探究
任务一：检查预习效果
认识不等式号： > ， < ，≥， ≤ ，≠
归纳 ：
“<”读作“小于”,比 小
“>”读作“大于”.比 大
“≤”读作“小于等于”,又可理解为“不大于、不超过、最多”;
“≥”读作“大于等于”,又可理解为“不小于，不低于、最少”.
“≠”读作“不等于”,表示左、右两边不相等.
任务二：探究不等式的定义
如图，利用两个长度均为Lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：用含有的式子表示它们的面积
要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳子长l应满足怎样的关系式？
如果要使圆的面积不小于100cm2，那么绳子长l应满足怎样的关系式？
当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？
(4)当l=12时，正方形和圆的面积哪个大？
你能得到什么猜想？改变l的取值再试一试。
根据上面的不等式，说一说周长相等的情况下圆的面积大于正方形的面积的理由。
2、铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm。设行李的长、宽、高分别为 a cm、b cm、c cm， 请你列出行李的长、宽、高满足的关系式 。
3、通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为6cm,以后树围10年内每年增加3cm，这棵树要生长多少年其树围超过30cm？
任务三：总结归纳
一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞” （或“≥”）连接的式子叫做不等式（inequality）
一个式子是不等式，要把握两点：①一是含有不等号，②二是表示不等关系，而与不等式是否成立无关.
任务四；列不等式
例1、 列不等式：
(1)a与1的和是正数： .
(2)y的2倍与1的和大于3： .
(3)x的一半与x的2倍的和是非正数： .
(4)c与4的和不大于－2： .
例2、用适当的符号表示下列关系：
(1)x的3倍与8的和比x的5倍小； .
(2)x2是非负数； .
(3)地球上海洋的面积大于陆地面积； .
(4)老师的年龄不超过你的年龄的2倍。 .
【强调】；
列不等式首先要找出表示不等关系的关键词，然后用表示数量关系的式子表示不等式的左边和右边；
常用不等关系的基本语言的意义：
(1)a是正数 a＞0； (2)a是负数 a＜0； (3)a是非正数 a≤0； (4)a是非负数 a≥0；
(5)a大于b a－b＞0； (6)a小于b a－b＜0； (7)a不大于b a≤b；
(8)a不小于b a≥b； (9)a，b同号 ab＞0或 ＞0； (10)a，b异号 ab＜0,
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．a不是正数，则a＜0 B．b是小于0的数，则b＞0
C．c不大于-1，则c＜-1 D．d是负数，则d＜0
2．济南春季某日最高气温是20℃，最低气温是6℃，则济南当日气温t（℃）的变化范围是（ ）
A．t≤20 B．t≥6 C．6≤t≤20 D．6＜t＜20
3. 下列式子：①3＞0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x－1；⑤x＋2≤3；⑥2x≠0.其中不等式有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4.“数x不小于2”是指( )
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2
5．下列各项中，蕴含不等关系的是（ ）
A．老师的年龄是你的年龄的2倍 B．小军和小红一样高
C．小明岁数比爸爸小26岁 D．x是非负数
6.用适当的符号表示下列关系：
（1）x的与x的2倍的和是非正数；
(2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；
（4）x减去6大于12；
（5）x的2倍与5的差是负数；
能力提升：
7．对于任意实数a，用不等号连结|a| a（填“＞”或“＜”或“≥”或“≤”）
8．某班35名同学去春游，共收款100元，由小李去买点心，每人一包；已知有2.5元一包和4.5元一包的点心，试问最多能买几包4.5元的点心？设买x包4.5元的点心，根据题意，列出关于x的不等式为 ；
9．按商品质量规定：商店出售的标明500 g的袋装食盐，其实际克数与所标克数相差不能超过5 g．设实际克数为x(g)，则x应满足的不等式是： .
拓展迁移
10.在数轴上有P、Q两点，其中点P所对应的数是x，点Q所对应的数是1．已知P、Q两点间的距离小于3，请你利用数轴作答下面的题．
（1）写出点P所满足的不等式．
（2）数 -1, 0, 4所对应的点到点Q的距离小于3吗
总结反思、拓展升华
1、不等式的定义：
一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。
2、“≥、≤”的意义：
(1)“≥”：a不小于(不低过)b表示为a≥b ，a为非负数表示为a≥0 ；
(2)“≤”：a不大于(不高过)b表示为a≤b ，a为非正数表示为a≤0 。
3、列不等式：找不等关系
五、【作业布置】
基础达标：
1.下列式子：① 3x=5；② a>2；③ 3m 1≤4；④ 5x+6y；⑤ a+2≠ 2．其中不等式有 ( )
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
2.下列说法正确的是（ ）
A．﹣a比a小 B．一个有理数的平方是正数
C．a与b之和大于b D．一个数的绝对值不小于这个数
3. x 与 y 的差的 5 倍与 2 的和是一个非负数，可表示为 ( )
A. 5(x y)+2>0 B. 5(x y)+2≥0 C. x 5y+2≥0 D. 5x 2y+2≤0
4.有理数m，n在数轴上如图，用不等号填空．
（1）m+n 0； （2）m﹣n 0； （3）m n 0；
（4）m n； （5）|m| |n|．
5.用适当的符号表示下列关系：
（1）明天下雨的可能性不小于70%；
（2）小明的身体不比小刚轻．
（3）x的3倍与4的和是非负数；
（4）y的5倍与9的差不大于-1.
能力提升：
6.对于不等式5X+4y ≤20我们可以这样解释：香蕉每千克5元，苹果每千克4元，x千克香蕉与y千克苹果的总钱数不超过20元．请你结合生活实际，设计具体情境解释下列不等式：
（1）5x-3y≥2 （2） 4a+6b＜8
拓展迁移：
7.甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
甲种原料 乙种原料
维生素C/(单位/千克) 600 100
原料价格/(元/千克) 8 4
现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足的不等式： .
（2） 现配制这种饮料10千克，购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，那么你能写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足不等式： .
8.张师傅下岗再就业，做起了小商品生意，第一次进货时，他以每件a元的价格购进20件甲种小商品，每件b元的价格购进了30件乙种小商品（a＞b ）．回来后，根据市场行情，他将这两种小商品都以的价格出售．在这次买卖中，张师傅是（ ）.
A. 赚钱 B. 赔钱 C. 不赚不赔 D. 无法确定赚和赔
【课堂作业参考答案】
D
C
C
B
D
6、(1) x+2x≤0 （2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有r≥300；
（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a+4b≤268；
（4） x-6＞12 （5）2x-5＜0
7、≥
8、4.5x+2.5(35-x)≤100
9、495≤x≤505
10、解：（1）画出数轴如下图所示：
（2） 数-1, 0所对应的点到点Q的距离小于3；数4所对应的点到点4的距离不小于3．
【课外作业参考答案】
B
D
B
(1)＜；（2）＜；（3）＞; (4)＞ ；（5）＞。
5、（1）用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%；
（2）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有a≥b
（3） 3x+4≥0； （4） 5y-9≤-1．
6、答案不唯一：
（1）每支钢笔5元，每支圆珠笔3元，x支钢笔的价钱比y支圆珠笔的价钱至少多2元．
（2）长方形长为2acm,宽为3bcm,周长小于8cm
7、(1) 600x+100（10-x）≥4200
(2) 8x+4（10-x）≤72
8、A
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第二章 不等式与不等式组
2.1认识不等式
01
教学目标
02
知识回顾
03
探究新知
04
典例精析
06
课堂小结
07
作业布置
05
课堂练习
01
教学目标
感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式产生的背景及不等式的概念
01
能根据具体问题中的不等关系列不等式,在解决问题的过程中,体会不等式也是刻画事物变化规律的数学模型
02
通过用不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系以及人类历史发展的作用,并以此激发学生学习数学的信心和兴趣
03
02
情景引入
你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的工作原理吗？
02
情景引入
这是限速标志，红圈中的数字是指行车不能超过的速度，你能表示行车速度V与40的关系吗？
02
情景引入
在现实生活中我们也经常看到下面的情形
与相等关系相比，不等关系在生活中更为普遍。与一元一次方程的学习类似，本章将研究不等式的性质、一元一次不等式（组）的解法，并通过解决一些简单的实际问题，体会不等式的模型思想及一元一次不等式、一次函数、一元一次方程之间的内在联系。
03
新知探究
任务一：检查预习效果
认识不等式号
> < ≥ ≤ ≠
归纳 ：
“<”读作“小于”,比 小
“>”读作“大于”.比 大
“≤”读作“小于等于”,又可理解为“不大于、不超过、最多”;
“≥”读作“大于等于”,又可理解为“不小于，不低于、最少”.
“≠”读作“不等于”,表示左、右两边不相等.
03
新知探究
1、如图，利用两个长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：用含有l的式子表示它们的面积
任务二：探究不等式的定义
03
新知探究
(1)要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳子长l
应满足怎样的关系式？
(2)如果要使圆的面积不小于100cm2，那么绳子长l
应满足怎样的关系式？
03
新知探究
(3)当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？
(4)当l=12时，正方形和圆的面积哪个大？
03
新知探究
(5)你能得到什么猜想？改变l的取值再试一试。
(6)说一说 的理由。
03
新知探究
2、铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm。设行李的长、宽、高分别为 a cm、b cm、c cm， 请你列出行李的长、宽、高满足的关系式 。
a+b+c≤160
3、通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为6cm,以后树围10年内每年增加3cm，这棵树要生长多少年其树围超过30cm？
6＋3x＞30
03
新知探究
任务三：总结归纳
一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”
（或“≥”）连接的式子叫做不等式（inequality）
一个式子是不等式，要把握两点：
一是含有不等号，
二是表示不等关系，而与不等式是否成立无关．
a+b+c≤160
6＋3x＞30
04
典例精析
任务四：列不等式
1、 列不等式：
(1)a与1的和是正数：________；
(2)y的2倍与1的和大于3：________；
(3)x的一半与x的2倍的和是非正数：__________；
(4)c与4的和不大于－2：________.
a＋1＞0
2y＋1＞3
c＋4≤－2
04
2、用适当的符号表示下列关系：
(1)x的3倍与8的和比x的5倍小；
(2)x2是非负数；
(3)地球上海洋的面积大于陆地面积；
(4)老师的年龄不超过你的年龄的2倍。
典例精析
04
典例精析
列不等式首先要找出表示不等关系的关键词，然后用
表示数量关系的式子表示不等式的左边和右边；
常用不等关系的基本语言的意义：
(1)a是正数 a＞0； (2)a是负数 a＜0；
(3)a是非正数 a≤0； (4)a是非负数 a≥0；
(5)a大于b a－b＞0； (6)a小于b a－b＜0；
(7)a不大于b a≤b； (8)a不小于b a≥b；
(9)a，b同号 ab＞0或 ＞0；
(10)a，b异号 ab＜0,
05
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．a不是正数，则a＜0 B．b是小于0的数，则b＞0
C．c不大于-1，则c＜-1 D．d是负数，则d＜0
2．济南春季某日最高气温是20℃，最低气温是6℃，则济南当日气温t（℃）的变化范围是（ ）
A．t≤20 B．t≥6 C．6≤t≤20 D．6＜t＜20
3. 下列式子：①3＞0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x－1；⑤x＋2≤3；⑥2x≠0.其中不等式有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
D
C
C
05
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.“数x不小于2”是指( )
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2
5．下列各项中，蕴含不等关系的是（ ）
A．老师的年龄是你的年龄的2倍 B．小军和小红一样高
C．小明岁数比爸爸小26岁 D．x2是非负数
6.用适当的符号表示下列关系：
（1）x的与x的2倍的和是非正数；
B
D
x+2x≤0；
05
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；
（4）x减去6大于12；
（5）x的2倍与5的差是负数；
设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a+4b≤268；
x-6＞12
2x-5＜0
设炮弹的杀伤半径为r，则应有r≥300；
05
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7．对于任意实数a，用不等号连结|a|________ a（填“＞”或“＜”或“≥”或“≤”）
8．某班35名同学去春游，共收款100元，由小李去买点心，每人一包；已知有2.5元一包和4.5元一包的点心，试问最多能买几包4.5元的点心？设买x包4.5元的点心，根据题意，列出关于x的不等式为________________________；
9．按商品质量规定：商店出售的标明500 g的袋装食盐，其实际克数与所标克数相差不能超过5 g．设实际克数为x(g)，则x应满足的不等式是_____．
≥
4.5x+2.5(35-x)≤100
495≤x≤505
05
课堂练习
【综合拓展类作业】
10.在数轴上有P、Q两点，其中点P所对应的数是x，点Q所对应的数是1．已知P、Q两点间的距离小于3，请你利用数轴作答下面的题．
（1）写出点P所满足的不等式．
（2）数 -1, 0, 4所对应的点到点Q的距离小于3吗
解：（1） 画出数轴如下图所示：
（2） 数-1, 0所对应的点到点Q的距离小于3；数4所对应的点到点4的距离不小于3．
06
课堂小结
1、不等式的定义：
一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)
连接的式子叫做不等式。
2、“≥、≤”的意义：
(1)“≥”：a不小于(不低过)b表示为a≥b ，a为非负数表示为a≥0 ；
(2)“≤”：a不大于(不高过)b表示为a≤b ，a为非正数表示为a≤0 。
3、列不等式.
07
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列式子：① 3x=5；② a>2；③ 3m 1≤4；④ 5x+6y；
⑤ a+2≠ 2．其中不等式有 ( )
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
2.下列说法正确的是（ ）
A．﹣a比a小 B．一个有理数的平方是正数
C．a与b之和大于b D．一个数的绝对值不小于这个数
3. x 与 y 的差的 5 倍与 2 的和是一个非负数，可表示为 ( )
A. 5(x y)+2>0 B. 5(x y)+2≥0
C. x 5y+2≥0 D. 5x 2y+2≤0
D
B
B
07
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4.有理数m，n在数轴上如图，用不等号填空．
（1）m+n 0；
（2）m﹣n 0；
（3）m n 0；
（4）m2 n；
（5）|m| |n|．
＜
＜
＞
＞
＞
07
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
5.用适当的符号表示下列关系：
（1）明天下雨的可能性不小于70%；
（2）小明的身体不比小刚轻．
（3）x的3倍与4的和是非负数；
（4）y的5倍与9的差不大于-1.
用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%；
设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有a≥b
3x+4≥0；
5y-9≤-1．
07
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
6.对于不等式5X+4y 20我们可以这样解释：香蕉每千克5元，苹果每千克4元，x千克香蕉与y千克苹果的总钱数不超过20元．请你结合生活实际，设计具体情境解释下列不等式：
（1）5x-3y≥2 （2） 4a+6b＜8
答案不唯一：
（1）每支钢笔5元，每支圆珠笔3元，x支钢笔的价钱比y支圆珠笔的价钱至少多2元．
（2）长方形长为2acm,宽为3bcm,周长小于8cm
07
作业布置
【综合拓展类作业】
7.甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
甲种原料 乙种原料
维生素C/(单位/千克) 600 100
原料价格/(元/千克) 8 4
（1）现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足的不等式。
600x+100（10-x）≥4200
07
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
甲种原料 乙种原料
维生素C/(单位/千克) 600 100
原料价格/(元/千克) 8 4
（2）现配制这种饮料10千克，购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，那么你能写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足不等式。
8x+4（10-x）≤72
07
作业布置
【综合拓展类作业】
8.张师傅下岗再就业，做起了小商品生意，第一次进货时，他以每件a元的价格购进20件甲种小商品，每件b元的价格购进了30件乙种小商品（a＞b ）．回来后，根据市场行情，他将这两种小商品都以
的价格出售．在这次买卖中，张师傅是（ ）
A. 赚钱 B. 赔钱 C. 不赚不赔 D. 无法确定赚和赔
A
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