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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024） 册、章 下册第二章
课标要求 根据新课标“数与代数”领域中“数量关系”部分的规定，本章的具体要求如下：1.了解不等式的意义，探索并掌握不等式的基本性质。2.理解一元一次不等式（组）的概念，能够识别一元一次不等式（组）。3.能解数字系数的一元一次不等式（组），并能在数轴上表示出解集。4.能用不等式（组）解决现实生活中的实际问题。
内容分析 不等式是现实世界中不等关系的一种表现形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，也是以后学习的重要基础。本章教学内容是学生学习了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的基础上研究不等关系，通过前面的学习学生初步体会了生活中量与量的关系是众多而且复杂的但面对大量的同类量最容易使人感到就是他们的大小之分。在此之前学生已初步建立了方程模型和函数思想，对于解决实际问题的数学化积累了一定的经验以此为基础学习不等关系顺理成章。教科书首先通过具体实例建立不等关系，探索不等式基本性质，了解一般不等式的解、解集以及不等式的概念。然后具体研究一元一次不等式的解、解集，解集的数轴表示。一元一次不等式的解法和一元一次不等式的实际运用。通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程、一次函数的内在联系。教学过程关注“类比”思想的渗透；强化“数形结合”；关注“实际情景”规范书写。
学情分析 知识储备充足：已熟练掌握一元一次方程、二元一次方程组的解法；熟悉一次函数的基本概念及其图像特征；掌握实数大小比较方法，了解生活中常见的不等关系（如身高、温度）思维发展阶段：处于从形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期；对直观图形（如数轴）接受度高，适合采用“数形结合”策略辅助教学。八年级学生整体具备学习“不等式与不等式组”的良好起点，教师应抓住其好奇心强、乐于合作的特点，重点突破符号方向变化和解集几何表示两大障碍。建议以“生活问题建模 → 数学化表达 → 图像验证 → 反馈修正”为主线开展教学，帮助学生建立完整的认知链条。
单元目标 （一）教学目标1、理解不等式（组）的概念解；掌握解一元一次不等式（组）的解法；会用会用数轴表示不等式组的解、解集；能够根据具体问题的数量关系，列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题；初步体会一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系。2、经历“一元一次方程”到“一元一次不等式”的类比过程，体会方程与不等式之间的联系；通过数轴来直观表示不等式的解和不等式组的解集，体会数形结合思想；通过经历用一元一次不等式解决实际问题，增强学生的建模意识。3、通过实际问题的分析、抽象的过程，体会不等式和等式都刻画现实生活中的数量关系，发展学生的符号感；感受数型结合思想，培养分析问题解决问题的能力；通过合作学习，培养学生主动参与的意识和勇于探索的精神：（二）教学重点、难点重点：1、不等式的意义和性质；2、解简单的不等式（组）、用数轴表示不等式表示解集；3、根据实际问题，列出一元一次不等式解决实际问题。难点：解简单的一元一次不等式（组），用数轴表示不等式组的表示解集；2、根据实际问题，列出一元一次不等式解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数01认识不等式102不等式的解与解集103不等式的基本性质104解一元一次不等式105一元一次不等式实际运用106一元一次不等式与一次函数（1）107一元一次不等式与一次函数（2）108一元一次不等式组109回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识不等式感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式产生的背景及不等式的概念 2．能根据具体问题中的不等关系列不等式,在解决问题的过程中,体会不等式也是刻画事物变化规律的数学模型 3．通过用不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系以及人类历史发展的作用,并以此激发学生学习数学的信心和兴趣 1、初步感知不等关系在日常生活中的存在.2、认识不等号3、已知周长分别用含有字母的式子表示正方形和圆的面积。4、比较周长相等的圆面积和正方形面积的大小。5、根据题意用不等式表示数量关系.6、总结归纳不等式的定义.7、自学例题2、3.关注中差生.8、引导学生总结常用不等关系的基本语言的意义。9、学生完成课堂练习10引导学生进行课堂总结环节一：情景导入环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置不等式的解与解集1.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.2.会在数轴上表示不等式的解集.3.培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力，经历求不等式的解集的过程，发展学生的创新意识.4.从实际问题抽象为数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索1、回顾知识，完成检测题。2、学生们积极参与到活动中，猜测满足x的值有哪些。3、理解不等式的解、解集和解不等式的含义。4、合作交流不等式的解、解集的联系和区别。5、探究不等式的解集用数轴表示6、总结用数轴表示不等式解集的一般方法。7、学习例题8、完成课堂作业。9、课堂总结环节一：回顾旧知并完成检测题。环节二：问题引入，探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置不等式的基本性质学生能准确理解和叙述不等式的三条基本内容，并能运用不等式的基本性质解不等式。经历“观察--实验--猜想--探究过程培养学生归纳能力、类比能力，提升数感和符号意识。在自我探究过程中培养学生严谨的科学态度、合作交流意识和辩证的思维。学生回顾知识。2、教师引导学生探究不等式性质1、2、3及不等式的传递性。3、学生独立完成4个练习4、自学例题，口述每一步的根据。5、完成课堂作业。6、课堂总结环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置解一元一次不等式1、类比解一元一次方程的的定义，理解解一元一次不等式的定义.2、类比解一元一次方程的方法和步骤，理解一元一次不等式的解法和步骤.并能在数轴上表示其解集。3、通过一元一次不等式的学习，提高学生的自主学习能力，激发学生的探究兴趣。1、回顾知识并完成两道解方程习题。2、观察比较得出一元一次不等式的定义。体会一元一次不等式是最基本 最重要的不等式3、根据解方程的步骤自学例题1.2。 强化学生对一元一次不等式解法的过程与步骤的理解 4、交流在探索不等式解题的一般步骤的过程中的心得和体会,不断积累数学活动经验 5、完成课堂作业。6、课堂总结环节一：回顾旧知环节二；情景引入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置一元一次不等式的实际运用1、理解并初步掌握利用一元一次不等式解决实际问题，探究归纳运用不等式解决实际问题的基本步骤。2、经历运用不等式解决实际问题，发展学生抽象、分析、解决问题的能力。3、发展学生数学应用意识，体会生活处处有数学。1、学生回顾旧知。2、理解利润、利润率之间的关系，建立不等关系、解不等式。3、小组合作讨论。学生审题，通过仔细读题，分析题目中的已知条件，圈画出关键字和重点语句，寻找等量关系，列出不等式从而求解。4、教师引导学生分析题目中的不等关系，学生独立或合作完成，帮助学生巩固一元一次不等式解决实际问题的基本步骤，在练习中巩固、提升。5、完成课堂作业。6、课堂总结环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置一元一次不等式与一次函数（1）1．了解一元一次不等式与一次函数的关系。2．会根据题意列出函数关系式，画出函数图像，并利用不等关系进行比较3．通过一元一次不等式与一次函数的图像之间的结合，培养学生的数形结合意识。4. 体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。回顾旧知，完成一次函数图像的作图。先独立思考再互相交流，展示交流成果。先画出图象，然后讨论问题得出用图像或代数解决问题的思维模式。4、完成课堂作业。5、课堂总结环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置一元一次不等式与一次函数（2）1．掌握一元一次不等式与一次函数的关系，通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系，会运用不等式解决函数有关问题。2、感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，并渗透“数形结合”思想，体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，训练大家能利用数学知识去解决问题的能力。1、完成课前3个练习。2、探究手机资费问题。3、完成做一做4、探究方案选择问题。5、小组交流方案选择问题的方法，建立数学模型。6、完成课堂作业。7、课堂总结环节一：课前检测环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结环节五：作业布置一元一次不等式组1、结合具体情景了解一元一次不等式组及其一元一次不等式组解集的意义，能识别一个不等式组的的未知数的个数和次数。2、熟练求解一元一次不等式解集，掌握用数轴来表示不等式组的公共解（解集）方法。3、能运用不等式组解决简单的实际问题，体会数学的应用价值，培养学生的逻辑思维能力和计算能力。1、根据题意列出符合条件的不等式。2、通过观察得出一元一次不等式组的定义，并判断给出的四个不等式组是否是一元一次不等式组。3、独立完成解不等式并用数轴表示不等式的解。4、类比解一元一次不等式，探究解一元一次不等式组，并用数轴表示不等式组的解集。5、总结一元一次不等式组的解法和用数轴表示不等式组的解集。6、学生独立完成例题1、2，学生尝试批改，老师最终讲评。7、小组合作交流完成例题3，并总结归纳;同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小解不了。8、完成课堂作业。9、课堂总结环节一：情景引入环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置回顾与思考1、掌握不等式的基本性质， 理解一元一次不等式（组）的解集，能用数轴表示解集，运用一元一次不等式和一次函数的关系，解决实际问题。2通过回顾本章内容，培养学生归纳总结能力，以及用数学知识解决实际问题的能力。3、用不等式及不等式组的知识去解决实际问题，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心。1、课前给学生充分的时间把课本知识简单复习，然后梳理总结形成本章的知识结构框架。2、教师引导学生充分思考、练习和交流，同时从典型例题里找出对应的解题策略，数学思想中的分类讨论思想，解题中的代数法和几何法。3、完成课堂作业。环节一：知识框架环节二：知识梳理环节三：课堂练习环节四：作业布置
《不等式与不等式组》单元教学设计
活动一：情景导入
活动二：认识不等式
活动三：列不等式
任务一：认识不等式
活动四：课堂练习
不等式与不等式组
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：课前检测
活动三：探究新知
任务二：不等式的解与解集
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动七：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
不等式与不等式组
活动三：典例精析
任务三：不等式的基本性质
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
活动三：典例精析
活动四：课堂练习
任务四：解一元一次不等式
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务五：不等式的实际运用
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务六：一元一次不等式与一次函数（1）
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：课前检测
活动二：探究新知
不等式与不等式组
任务七：一元一次不等式与一次函数（2）
活动三：课堂练习
活动四：课堂总结
活动五：作业布置
活动一：情景引入
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务八：一元一次不等式组
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：知识框架
任务九：回顾与思考
活动二：知识梳理
活动四：课堂练习
活动六：作业布置
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北师大版（2026）八年级数学下册第二章《不等式与不等式组》
2.1不等式的性质教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 不等式的基本性质 课时 1
课标要求 1、运算能力：掌握不等式的基本性质，能够准确进行不等式的变形。2、推理能力：经历不等式基本性质的探索过程，体会类比等式性质的思想，并能进行简单的逻辑推理。3、模型观念：体会不等式是刻画现实世界中数量关系的重要模型。
教材分析 不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同，掌握不等式的基本性质。
学情分析 本章是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上，开始研究简单的不等关系。学生已经掌握等式的基本性质，同时经历了解一元一次方程、二元一次方程组的研究过程及方法，为进一步学习不等式的基本性质奠定了基础。学习时可以类比七年级上册学习的等式的基本性质。
核心素养目标 学生能准确理解和叙述不等式的三条基本内容，并能运用不等式的基本性质解不等式。经历“观察--实验--猜想--探究过程培养学生归纳能力、类比能力，提升数感和符号意识。在自我探究过程中培养学生严谨的科学态度、合作交流意识和辩证的思维。
教学重点 不等式基本性质及其应用
教学难点 灵活运用性质对不等式进行变形
教学准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、什么是不等式？一般地，用符号“<”(或”≤”)，“>”(或”≥”) 连接的式子叫做不等式。2、不等式的解和解集的关系如何不等式的解是解集的其中一个，解集包含不等式所有的解3、如何用数轴表示不等式的解集。①画数轴；②定边界（空心、实心）；③定方向等式的基本性质是什么？（1）.等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，等式仍然成立。如：a=b a+c=b+c ,a-c=b-c（2）2.等式的两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。如a=b ac=bc; a÷c=b÷c 学生回顾知识 复习不等式有关概念及等式的性质，为新授铺垫
二、探究 任务一：探究不等式性质1如果在不等式的两边都加上或减去同一个整式，那么结果会怎样？举例试一试。如：3 < 7加(减)正数：3+2__ 7+2；3-5__ 7-5加(减)负数：3+(-2)__ 7+(-2)；3-(-5)__ 7-(-5)你发现了什么？不等式的基本性质 1 ：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。若a>b ;那么a±c>b±c 若a
b ;那么ac>bc (c>0); a÷c>b÷c (c>0)若a0); a÷c0)2、已知2<3,请用恰当的符号填空。2×5___ 3×5 2÷2___ 3÷22÷5___ 3÷5任务三：探究不等式性质3对于8<12，-4>-6，那么8×(-4)＿12×(-4) 8÷(-4)＿12÷(-4)(-4)×(-2)＿(-6)×(-2) (-4)÷(-2)＿(-6)÷(-2)对比“不等式基本性质2”，你有什么想法？ 不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.若a>b ;那么acbc (c<0);a÷c＞b÷c (c<0)3、已知x﹥y，请用恰当的符号填空。（1）3x （ ）3y （2）-2x （ ）-2y（3）2x + 1（ ）2y + 1 （4）-4x + 2（ ）-4y + 2任务四： 性质拓展1、若ab、b>c，则a和c有怎么的大小关系？不等式的传递性：若ab ，b>c， 则a>c 4.练一练：选择适当的不等号填空:⑴ 若 a＞-b ,则 a + b ＞ 0;（两边同时加上b，不等号方向不变）⑵ 若 -a＜b ,则 a ＞ -b;（两边同时乘以-1，不等号方向改变）⑶ 若 -a＞-b ,则 2-a ＞ 2-b;（两边同时加上2，不等号方向不变）(4) 若 a ＜b,且 b＜2a-1 ,则 a < 2a-1.（根据不等式的传递性特点）探究小结：不等式的基本性质：(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。(4) 不等式的传递性：若ab ，b>c，则a>c 教师引导学生探究不等式性质1、2、3及不等式的传递性。2、学生独立完成4个练习 以问题的形式引导学生在类比等式性质的基础上探究不等式的基本性质。先猜想不等式的基本性质、再通过具体数值验算性质、最后自己总结归纳出性质并能用字母表示出来。因此在整个教学教程中，学生均处于主导地位，教师只是从旁引。这时，学生对于由自己推导出性质应该感到非常兴奋。
三、变式 例1： 在上节课的问题中，我们猜想无论绳长l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即现在你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？所以圆的面积总大于正方形的面积例2：利用不等式的性质将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：并将不等式的解集用数轴表示出来（1）x－5> 1; （2） 2x>3; 解： (1)根据不等式的性质1两边都加上5，得： x > 1+5 即x >4; (2)根据不等式的性质3两边都除以 2，得：x < 3÷（ 2） 即x <- 自学例题，口述每一步的根据。 在讲解例题的过程中要求学生说出每一步变形的依据，加强学生对不等式的基本性质的理解。养成步步有据、准确表达的良好学习习惯，并通过这种方式达到熟练掌握不等式的基本性质的目的。
四、尝试 基础达标：1. 若 xay．那么一定有 （ C ） A. a>0 B. a≥0 C. a<0 D. a≤02. 若 a>b，则下列不等式成立的是( D ) A. a 3 2b C. < D. <3．若 x（m 2）y，则 m 的取值范围是 m＜2 .4. 如果 x”或“=”填空：（1）a+3 ＜ b+3； （2）a 5 ＜ b 5；（3） 5a ＞ 5b； （4）2a ＜ 2b；（5） ＜ ； （6） ＞ ．6.若 x>y，比较 3x+5 与 3y+5 的大小，并说明理由；解：∵x>y， ∴ 不等式两边同时乘以 3 得：（不等式的基本性质 3） 3x< 3y， ∴ 不等式两边同时加上 5 得：（不等式的基本性质 1） 5 3x<5 3y；能力提升：7.下列说法，不一定成立的是( C ) A. 若 a>b，则 a+c>b+c B. 若 a+c>b+c，则 a>bC. 若 a>b，则 ac >bc D. 若 ac>bc ，则 a>b8.①若 a=0，b≠0，则方程 ax=b 无解；②若 a=0，b≠0，则不等式 ax>b 无解；③若 a≠0，则方程 ax=b 有唯一解 x= ；④若 a≠0，则不等式 ax>b 的解集为 x> ，则( B ) A. ①②③④都正确 B. ①③正确，②④不正确C. ①③不正确，②④正确 D. ①②③④都不正确拓展迁移9.甲商贩从一个农贸市场买西瓜，他上午买了 30 千克，价格为每千克 a 元，下午他又买了 20 千克价格为每千克 b 元后来他以每千克 元的价格把西瓜全部卖给了乙，结果发现赔了钱，这是因为（ B ） A. ab C. a≥b D. a≤b10.已知实数x、y满足3x+4y=1．(1)用含有x的式子表示y；(2)若实数y满足y>1，求x的取值范围．解：(1)3x+4y=1，4y= 3x+1， ；(2)根据题意得 ，解得x< 1． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
五、提升 不等式的基本性质：(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。(4) 不等式的传递性：若ab ，b>c，则a>c 数学思想：类比、数形结合、模型思想 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.若x>y，则下列不等式成立的是( A )A. x+5>y+5 B. 15x<15y C. 8x> 8y D. x 10>y+102.如果a>b，c<0，那么下列不等式成立的是( D )A. a+c>b B. a+c>b c C. ac 1>bc 1 D. a(c 1)4，得x> 2 D. 由1+x>3，得x>3 14.已知a>b，下列结论：①a >ab；②a>b；③若b<0，则a+b<2b；④若b>0，则 < ，其中正确的个数是( A )A. 1 B. 2 C. 3 D. 45.设a，b，c表示三种不同物体的质量，用天平秤两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排列正确的是( A )A. cb，则 2a+1< 2b+1；⑤三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形。A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个能力提升：7.下列命题中：①若a>b，c≠0，则ac>bc；②若ab<0，则a<0，b>0；③若ac >bc ，则a>b；④若a1；⑤若 ，则a>b.正确的有个．( C )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8. 若x+4y=1，则xy的最大值为 ．答提示：拓展迁移：9.阅读下面的材料：小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论：若A B>0，则A>B；若A B=0，则A=B；若A B<0，则A0，∴3 ＞ 22 3．回答下面的问题：(1)请完成小明的解题过程；(2)试比较2(2a ab+7)与 3a 2ab+7的大小(写出相应的解答过程)．解（2）：2(2a ab+7) ( 3a 2ab+7) =4a 2ab+14+3a+2ab 7 =7a+7， ∵a+1>0， ∴7a+7>0． ∴2(2a ab+7) ( 3a 2ab+7)>0， ∴2(2a ab+7)> 3a 2ab+7．
教学反思
aa b c
a>c
c b a
不等式的基本性质1、
如果a＞b;那么a±C＞b±c
不等式的基本性质
不等式的基本性质2、
如果a＞b;c＞0，那么ac＞bc，
不等式的基本性质3、
如果a＞b;c＜0，那么ac＜bc，
不等式的传递性、
若ab ，b>c，则a>c
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第二章 不等式与不等式组
2.1不等式的基本性质
01
教学目标
02
知识回顾
03
探究新知
07
作业布置
05
课堂练习
06
课堂总结
04
典例精析
01
教学目标
学生能准确理解和叙述不等式的三条基本内容，并能运用不等式的基本性质解不等式。
01
经历“观察--实验--猜想--探究过程培养学生归纳能力、类比能力，提升数感和符号意识。
02
在自我探究过程中培养学生严谨的科学态度、合作交流意识和辩证的思维。
03
02
复习导入
1.什么是不等式？
一般地，用符号“<”(或”≤”)，“>”(或”≥”) 连接的式子叫做不等式。
2.不等式的解和解集的关系如何
不等式的解是解集的其中一个，解集包含不等式所有的解
3、如何用数轴表示不等式的解集。
①画数轴；②定边界（空心、实心）；③定方向
02
复习导入
4.等式的基本性质是什么？
1.等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，等式仍然成立。如：
a=b a+c=b+c ,a-c=b-c
2.等式的两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。如
a=b ac=bc; a÷c=b÷c
03
新知探究
任务一：探究不等式性质1
如果在不等式的两边都加上或减去同一个整式，那么结果会怎样？举例试一试。
如：3 < 7
加(减)正数
加(减)负数
3+2 7+2
3-5 7-5
3+(-2) 7+(-2)
3-(-5) 7-(-5)
你发现了什么？？
<
<
<
<
03
新知探究
不等式的基本性质 1 ：
不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
若a>b ;那么a±c>b±c
若a03
练一练
1、已知x＞y,请用恰当的符号填空。
（1）x – 6（ ）y - 6
（2）x-(-5) （ ）y-(-5)
(3） x-0 （ ）y-0
（4）x + 1（ ） y + 1
（5）x +（- 2）（ ） y + （-2）
03
新知探究
任务二：探究不等式性质2
对于4<6，那么
对比“不等式基本性质1”，你有什么想法？
<
<
03
新知探究
不等式的基本性质2 ：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
若a>b ;那么ac>bc (c>0); a÷c>b÷c (c>0)
若a0); a÷c0)
03
练一练
2、已知2<3,请用恰当的符号填空。
2×5___ 3×5
2÷2___ 3÷2
2÷5___ 3÷5
03
新知探究
任务三：探究不等式性质3
8×(-4)＿＿12×(-4)
8÷(-4)＿＿12÷(-4)
对于8<12， -4>-6，那么
(-4)×(-2)＿＿(-6)×(-2)
(-4)÷(-2)＿＿(-6)÷(-2)
对比“不等式基本性质2”，你有什么想法？
<
<
＞
＞
03
新知探究
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
若a>b ;那么ac若abc (c<0); a÷c＞b÷c (c<0)
03
练一练
3、已知x﹥y，请用恰当的符号填空。
（1）3x （ ）3y
（2）-2x （ ）-2y
（3）2x + 1（ ）2y + 1
（4）-4x + 2（ ）-4y + 2
03
新知探究
任务四： 性质拓展
1、若a2、若a>b、b>c，则a和c有怎么的大小关系？
aa>c
03
新知探究
不等式的传递性：
若a若a>b ，b>c， 则a>c
03
新知探究
4.练一练：选择适当的不等号填空:
⑴ 若 a＞-b ,则 a + b 0;
⑵ 若 -a＜b ,则 a -b;
⑶ 若 -a＞-b ,则 2-a 2-b;
(4) 若 a ＜b,且 b＜2a-1 ,则 a 2a-1.
（两边同时加上b，不等号方向不变）
（两边同时乘以-1，不等号方向改变）
（两边同时加上2，不等号方向不变）
（根据不等式的传递性特点）
＞
＞
＞
<
知识要点
(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；
(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
(4) 不等式的传递性：若a若a>b ，b>c，则a>c
不等式的基本性质：
04
典例精析
例1： 在上节课的问题中，我们猜想无论绳长l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即
现在你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？
所以周长相等的正方形和园，圆的面积总大于正方形的面积
04
典例精析
例2：解下列不等式，并将不等式的解集用数轴表示出来
（1）x－5> 1; （2） 2x>3;
解： (1)根据不等式的性质1两边都加上5，
得： x > 1+5
即x >4;
解：(2)根据不等式的性质3两边都除以 2，
得：x < 3÷（ 2）
即x <-
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 若 xay．那么一定有 （ ）
A. a>0 B. a≥0 C. a<0 D. a≤0
2. 若 a>b，则下列不等式成立的是( )
A. a 3 2b C. < D. <
3．若 x（m 2）y，则 m 的取值范围是 .
4. 如果 xC
D
m＜2
＜
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5.如果 a”或“=”填空：
（1）a+3 b+3； （2）a 5 b 5；
（3） 5a 5b； （4）2a 2b；
（5） ； （6） ．
＜
＜
＞
＜
＜
＞
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
6.若 x>y，比较 3x+5 与 3y+5 的大小，并说明理由；
解：∵x>y，
∴ 不等式两边同时乘以 3 得：（不等式的基本性质 3）
3x< 3y，
∴ 不等式两边同时加上 5 得：（不等式的基本性质 1）
5 3x<5 3y；
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7.下列说法，不一定成立的是( )
A. 若 a>b，则 a+c>b+c B. 若 a+c>b+c，则 a>b
C. 若 a>b，则 ac >bc D. 若 ac >bc ，则 a>b
8.①若 a=0，b≠0，则方程 ax=b 无解；②若 a=0，b≠0，则不等式 ax>b 无解；③若 a≠0，则方程 ax=b 有唯一解 x= ；④若 a≠0，则不等式 ax>b 的解集为 x> ，则( )
A. ①②③④都正确 B. ①③正确，②④不正确
C. ①③不正确，②④正确 D. ①②③④都不正确
C
B
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
9.甲商贩从一个农贸市场买西瓜，他上午买了 30 千克，价格为每千克 a 元，下午他又买了 20 千克价格为每千克 b 元后来他以每千克 元的价格把西瓜全部卖给了乙，结果发现赔了钱，这是因为（ ）
A. ab C. a≥b D. a≤b
B
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
9.已知实数x、y满足3x+4y=1．
(1)用含有x的式子表示y；
(2)若实数y满足y>1，求x的取值范围．
解：(1)3x+4y=1，
4y= 3x+1，
；
(2)根据题意得 ，
解得x< 1．
05
课堂小结
等式 不等式
基本性质1 等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数,不等号的方向不变；
基本性质2 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。 性质2、3：
不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数,不等式的方向不变；
不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数,不等号的方向改变。
传递性 如果a=b，b=c，那么a=c 若a若a>b ，b>c，则a>c
等式与不等式的基本性质的区别与联系
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.若x>y，则下列不等式成立的是( )
A. x+5>y+5 B. 15x<15y
C. 8x> 8y D. x 10>y+10
2.如果a>b，c<0，那么下列不等式成立的是( )
A. a+c>b B. a+c>b c
C. ac 1>bc 1 D. a(c 1)3.下列式子变形正确的是( )
A. 由4+x=3，得x=3+4 B. 由 x=0，得x=3
C. 由 2x>4，得x> 2 D. 由1+x>3，得x>3 1
A
D
D
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4.已知a>b，下列结论：①a >ab；②a >b ；③若b<0，则a+b<2b；④若b>0，则 < ，其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.设a，b，c表示三种不同物体的质量，用天平秤两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排列正确的是( )
A. cA
A
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
6.下列命题是假命题的有( )
①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
②三边长分别是1， ， 3的三角形是直角三角形；
③面积相等的两个三角形全等
④若a>b，则 2a+1< 2b+1；
⑤三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形。
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
7.下列命题中：①若a>b，c≠0，则ac>bc；②若ab<0，则a<0，b>0；③若ac >bc ，则a>b；④若a1；⑤若 ，则a>b.正确的有个．( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 若x+4y=1，则xy的最大值为 ．
C
解答提示：∵
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9.阅读下面的材料：
小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论：
若A B>0，则A>B；若A B=0，则A=B；若A B<0，则A下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较3与22 3的大小．
解：∵3 (22 3)=3 22+3=23 22>0，
∴3 ______22 3．
回答下面的问题：
(1)请完成小明的解题过程；
(2)试比较2(2a ab+7)与 3a 2ab+7的大小(写出相应的解答过程)．
＜
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解（2）：2(2a ab+7) ( 3a 2ab+7)
=4a 2ab+14+3a +2ab 7
=7a +7，
∵a +1>0，
∴7a +7>0．
∴2(2a ab+7) ( 3a 2ab+7)>0，
∴2(2a ab+7)> 3a 2ab+7．
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第二章 不等式与不等式组导学案
2.1不等式的基本性质
学习目标与重难点
学习目标：
学生能准确理解和叙述不等式的三条基本内容，并能运用不等式的基本性质解不等式。
经历“观察--实验--猜想--探究过程培养学生归纳能力、类比能力，提升数感和符号意识。
3、在自我探究过程中培养学生严谨的科学态度、合作交流意识和辩证的思维。
学习重点：
不等式基本性质及其应用
学习难点：
灵活运用性质对不等式进行变形
预习自测
知识链接
1、什么是不等式？ 。
2、不等式的解和解集的关系如何？ 。
3、如何用数轴表示不等式的解集。 。
等式的基本性质是什么？
.等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，等式仍然成立。
用数学语音表示： 。
（2）2.等式的两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。
用数学语音表示： 。
教学过程
一、合作交流、新知探究
任务一：探究不等式性质1
如果在不等式的两边都加上或减去同一个整式，那么结果会怎样？举例试一试。如：3 < 7
加(减)正数：3+2__ 7+2； 3-5__ 7-5
加(减)负数：3+(-2)__ 7+(-2)； 3-(-5)__ 7-(-5)
你发现了什么？
不等式的基本性质 1 ：
不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
若a>b ;那么a±c>b±c 若a已知x﹥y,请用恰当的符号填空。
（1）x – 6（ ）y - 6 （2）x-(-5) （ ）y-(-5)
(3） x-0 （ ）y-0 （4）x + 1（ ） y + 1
（5）x +（- 2）（ ） y + （-2）
任务二：探究不等式性质2
对于4<6，那么
（1）4×2 6×2
（3） 4×0 6×0
对比“不等式基本性质1”，你有什么想法？
不等式的基本性质2 ：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
若a>b ;那么ac>bc (c>0); a÷c>b÷c (c>0)
若a0); a÷c0)
2、已知2<3,请用恰当的符号填空。
2×5___ 3×5 2÷2___ 3÷2
2÷5___ 3÷5
任务三：探究不等式性质3
对于8<12， -4>-6，那么
8×(-4)＿12×(-4) 8÷(-4)＿12÷(-4)
(-4)×(-2)＿(-6)×(-2) (-4)÷(-2)＿(-6)÷(-2)
对比“不等式基本性质2”，你有什么想法？
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
若a>b ;那么ac若abc (c<0);a÷c＞b÷c (c<0)
3、已知x﹥y，请用恰当的符号填空。
（1）3x （ ）3y （2）-2x （ ）-2y
（3）2x + 1（ ）2y + 1 （4）-4x + 2（ ）-4y + 2
任务四： 性质拓展
1、若a2、若a>b、b>c，则a和c有怎么的大小关系？
不等式的传递性：
若ab ，b>c， 则a>c
4.练一练：选择适当的不等号填空:
⑴ 若 a＞-b ,则 a + b 0;根据是 。
⑵ 若 -a＜b ,则 a -b;根据是 。
⑶ 若 -a＞-b ,则 2-a 2-b;根据是 。
(4) 若 a ＜b,且 b＜2a-1 ,则 a 2a-1.根据是 。
探究小结：不等式的基本性质：
不等式的基本性质1 .
不等式的基本性质2 .
不等式的基本性质1 .
(4) 不等式的传递性： .
例题精析
例1： 在上节课的问题中，我们猜想无论绳长l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即
现在你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？
所以圆的面积总大于正方形的面积
例2：利用不等式的性质将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：并将不等式的解集用数轴表示出来
（1）x－5> 1; （2） 2x>3;
解： (1)根据不等式的性质1两边都加上5，
得： x > 1+5 即x >4;
(2)根据不等式的性质3两边都除以 2，
得：x < 3÷（ 2） 即x <-
二、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1. 若 xay．那么一定有 （ ）
A. a>0 B. a≥0 C. a<0 D. a≤0
2. 若 a>b，则下列不等式成立的是( )
A. a 3 2b C. < D. <
3．若 x（m 2）y，则 m 的取值范围是 .
4. 如果 x5.如果 a”或“=”填空：
（1）a+3 b+3； （2）a 5 b 5； （3） 5a 5b； （4）2a 2b；
（5） ； （6） ．
6.若 x>y，比较 3x+5 与 3y+5 的大小，并说明理由；
能力提升：
7.下列说法，不一定成立的是( )
A. 若 a>b，则 a+c>b+c B. 若 a+c>b+c，则 a>b
C. 若 a>b，则 ac >bc D. 若 ac>bc ，则 a>b
8.①若 a=0，b≠0，则方程 ax=b 无解；②若 a=0，b≠0，则不等式 ax>b 无解；③若 a≠0，则方程 ax=b 有唯一解 x= ；④若 a≠0，则不等式 ax>b 的解集为 x> ，则( )
A. ①②③④都正确 B. ①③正确，②④不正确
C. ①③不正确，②④正确 D. ①②③④都不正确
拓展迁移
9.甲商贩从一个农贸市场买西瓜，他上午买了 30 千克，价格为每千克 a 元，下午他又买了 20 千克价格为每千克 b 元后来他以每千克 元的价格把西瓜全部卖给了乙，结果发现赔了钱，这是因为（ B ）
A. ab C. a≥b D. a≤b
10.已知实数x、y满足3x+4y=1．
(1)用含有x的式子表示y；
(2)若实数y满足y>1，求x的取值范围．
解：(1)3x+4y=1，
4y= 3x+1，
；
(2)根据题意得 ，
解得x< 1．
三、总结反思、拓展升华
不等式的基本性质：
(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；
(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
(4) 不等式的传递性：若a若a>b ，b>c，则a>c
数学思想：类比、数形结合、模型思想
四、【作业布置】
基础达标：
1.若x>y，则下列不等式成立的是( )
A. x+5>y+5 B. 15x<15y C. 8x> 8y D. x 10>y+10
2.如果a>b，c<0，那么下列不等式成立的是( )
A. a+c>b B. a+c>b c C. ac 1>bc 1 D. a(c 1)3.下列式子变形正确的是( )
A. 由4+x=3，得x=3+4 B. 由 x=0，得x=3 C. 由 2x>4，得x> 2 D. 由1+x>3，得x>3 1
4.已知a>b，下列结论：①a >ab；②a>b；③若b<0，则a+b<2b；④若b>0，则 < ，其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.设a，b，c表示三种不同物体的质量，用天平秤两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排列正确的是( )
A. c6.下列命题是假命题的有( )
①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长分别是1，，3的三角形是直角三角形；
③面积相等的两个三角形全等 ④若a>b，则 2a+1< 2b+1；
⑤三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形。
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
能力提升：
7.下列命题中：①若a>b，c≠0，则ac>bc；②若ab<0，则a<0，b>0；③若ac >bc ，则a>b；④若a1；⑤若 ，则a>b.正确的有个．( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 若x+4y=1，则xy的最大值为 ．
拓展迁移：
9.阅读下面的材料：
小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论：
若A B>0，则A>B；若A B=0，则A=B；若A B<0，则A下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较3与22 3的大小．
解：∵3 (22 3)=3 22+3=23 22>0，
∴3 22 3．
回答下面的问题：
(1)请完成小明的解题过程；
(2)试比较2(2a ab+7)与 3a 2ab+7的大小(写出相应的解答过程)．
课堂作业参考答案
C
D
m＜2
＜
（1）＜；（2）＜； （3）＞；（4）＜；（5）＜；（6）＞。
6、解：∵x>y，
∴ 不等式两边同时乘以 3 得：（不等式的基本性质 3）
3x< 3y，
∴ 不等式两边同时加上 5 得：（不等式的基本性质 1）
5 3x<5 3y；
7、C
8、B
9、B
10、解：(1)3x+4y=1，
4y= 3x+1，
；
(2)根据题意得 ，
解得x< 1．
课外作业参考答案
A
D
D
A
A
B
C
8、解答提示： ∵
9、（1）＞
（2）解： 2(2a ab+7) ( 3a 2ab+7)
=4a 2ab+14+3a+2ab 7
=7a+7，
∵a+1>0，
∴7a+7>0．
∴2(2a ab+7) ( 3a 2ab+7)>0，
∴2(2a ab+7)> 3a 2ab+7
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